Analise transitória_1

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TRANSITÓRIOS EM
CIRCUITOS 
ELÉTRICOS
I – RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO RC
ANÁLISE TRANSITÓRIA
 Analise das correntes e tensões que surgem quando:
A energia armazenada em um capacitor ou indutor é
fornecida repentinamente a uma rede resistiva.
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ANÁLISE TRANSITÓRIA
 Analise das correntes e tensões que surgem quando:
A energia é recebida por um capacitor ou indutor
devido a aplicação repentina de uma fonte de tensão
ou corrente ao circuito.
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CONVENÇÃO PASSIVA DE SINAL
RELAÇÃO TENSÃO-CORRENTE E ENERGIA EM CAPACITORES E 
INDUTORES
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RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RC
 Em 𝑡 = 0 , a tensão no
capacitor é igual a tensão da
fonte de tensão 𝑉𝑆.
 Deseja-se determinar o
comportamento da tensão no
capacitor 𝑣(𝑡) para 𝑡 ≥ 0, ou
seja, para o circuito ao lado.
Nesse circuito
 𝑣 0 = 𝑉𝑠 = 𝑉0
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RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RC
 Aplicando a LCK ao nó 1:
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𝑖𝐶 + 𝑖𝑅 = 0 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝑅
= 0
/𝐶 𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝑅𝐶
= 0
𝑑𝑣
𝑣
= −
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡𝑙𝑛 𝑣 + 𝐶1 = −
𝑡
𝑅𝐶
+ 𝐶2
𝒍𝒏 𝒗 = −
𝒕
𝑹𝑪
+𝑲
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RC
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𝑣 = 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶+𝐾
𝑒𝐾 = 𝐵
𝑙𝑛 𝑣 = −
𝑡
𝑅𝐶
+ 𝐾 𝑣 = 𝑒
𝐾 ∙ 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶
𝑣 = 𝐵 ∙ 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶𝑣 = ±𝐵 ∙ 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶
𝒗 = 𝑨 ∙ 𝒆−
𝒕
𝑹𝑪
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RC
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𝑣 𝑡 = 𝐴 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶
𝑡 = 0
𝑣 0 = 𝐴 𝑒0 𝑣 0 = 𝐴
𝐴 = 𝑣 0 = 𝑉0
𝒗 𝒕 = 𝑽𝟎 𝒆
−
𝒕
𝑹𝑪 Uma vez que a resposta se deve a energia 
inicial armazenada e a natureza do circuito, ela 
é chamada de resposta natural do circuito.
CONSTANTE DE TEMPO 𝜏
 A rapidez com que a tensão 𝑣(𝑡) decresce é 
expressa em termos da constante de tempo, 
representada pela letra grega 𝜏. 
 Entende-se por constante de tempo, o 
tempo necessário para a resposta de um 
circuito variar 63,2% da sua excursão 
total.
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CONSTANTE DE TEMPO 𝜏
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𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
𝑡 = 𝜏
𝑣 𝜏 = 0,368 𝑉0
0,368 𝑉0 = 𝑉0 𝑒
−
𝜏
𝑅𝐶
𝑒−
𝜏
𝑅𝐶= 0,368ln 𝑒−
𝜏
𝑅𝐶 = ln 0,368
−
𝜏
𝑅𝐶
ln 𝑒 = −1
𝜏
𝑅𝐶
= 1
ln 𝑒 = 1
𝝉 = 𝑹𝑪
CONSTANTE DE TEMPO 𝜏
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𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑒
−
𝑡
𝜏
𝑡 = 5𝜏
𝑣 5𝜏 = 𝑉0 𝑒
− 5 𝒗 𝟓𝝉 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒𝑽𝟎
 Após 5𝜏, 𝑣 𝑡 < 1% de 𝑉0
 Para efeitos práticos, considera-se o capacitor completamente 
descarregado após cinco constantes de tempo.
 Quanto < 𝜏 , < 𝑡 de descarga, ou seja, mais rápida é a resposta, 
uma vez que o circuito atinge mais rapidamente o seu estado final. 
POTÊNCIA DISSIPADA PELO RESISTOR
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𝑝 𝑡 =
𝑣2
𝑅
𝒗 = 𝑽𝟎 𝒆
−
𝒕
τ
𝑝 𝑡 =
𝑉0
2 𝑒−
2𝑡
𝜏
𝑅
𝑤𝑅 𝑡 = න
0
𝑡
𝑝 𝑡 𝑑𝑡 𝑤𝑅 𝑡 =
𝑉0
2
𝑅
න
0
𝑡
𝑒−
2𝑡
𝜏 𝑑𝜆
𝑤𝑅 𝑡 = − อ
𝑉0
2
𝑅
𝜏
2
𝑒−
2𝜆
𝜏
0
𝑡
POTÊNCIA DISSIPADA PELO RESISTOR
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𝑤𝑅 𝑡 = − อ
𝑉0
2
𝑅
𝜏
2
𝑒−
2𝜆
𝜏
0
𝑡
𝑤𝑅 𝑡 =
1
2
ቚ𝐶𝑉0
2 𝑒−
2𝜆
𝜏
𝑡
𝑜
𝑤𝑅 𝑡 =
1
2
𝐶𝑉0
2 1 − 𝑒−
2𝑡
𝜏
𝑡 → ∞
𝑒−
2𝑡
𝜏 → ∞
𝒘𝑹 𝒕 =
𝟏
𝟐
𝑪𝑽𝟎
𝟐
Resultado coerente, pois 
toda energia armazenada 
inicialmente no capacitor 
é dissipada pelo resistor 
quando 𝑡 → ∞.
 Se a tensão inicial no capacitor 𝑣 0 = 𝑉0 não 
for fornecida, analisar o circuito para 𝑡 < 0. 
 Para 𝑡 > 0, separar o capacitor do resto do 
circuito e, na sequência conectar o capacitor ao 
circuito equivalente de Thévenin do restante do 
circuito. Assim, a constante de tempo 𝜏 = 𝑅𝐶
pode ser encontrada.
 Conhecidos 𝑉0 e 𝜏, a resposta natural do 
capacitor 𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑒
−
𝑡
𝜏 já está determinada. 
 Conhecida a tensão no capacitor, outras variáveis 
do circuito podem ser determinadas.
Método para 
analisar a 
resposta natural 
de circuito RC
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EXEMPLO 1
Para o circuito da Figura, 
determine 𝑣 e 𝑣
𝑥
para 𝑡 ≥ 0. 
Considere 𝑣(0) = 50 𝑉.
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EXEMPLO 1
 Circuito RC, a primeira grandeza a ser 
encontrada é a tensão no capacitor:
1. 𝑉0 = 𝑣 0 = 50 𝑉
2. 𝑅𝑇𝐻 = 8 +
3 ∙6
3+6
= 8 + 2 = 10 Ω
𝜏 = 𝑅𝑇𝐻𝐶 = 10 ∙ 0,25 = 2,5 𝑠
3. 𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑒
−
𝑡
𝜏= 50 𝑒− 0,4𝑡 (𝑉)
válida para 𝑡 > 0.
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EXEMPLO 1
 Determinada 𝑣, o próximo passo é 
encontrar 𝑣𝑥:
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𝑣𝑥 − 8 ∙ 𝑖𝑐 −𝑣 = 0
𝑣𝑥 − 8 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
− 𝑣 = 0
𝑣 𝑡 = 50 𝑒− 0,4𝑡
𝑣𝑥 − 8 𝐶
𝑑 50 𝑒− 0,4𝑡
𝑑𝑡
− 50 𝑒− 0,4𝑡 = 0
EXEMPLO 1
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𝒗𝒙 = 𝟏𝟎 𝒆
− 𝟎,𝟒𝒕 (𝑽)
𝑣𝑥 − 8𝐶
𝑑 50 𝑒− 0,4𝑡
𝑑𝑡
− 50 𝑒− 0,4𝑡 = 0
𝑣𝑥 + 8 ∙ 0,25 ∙ 20 𝑒
− 0,4𝑡 − 50 𝑒− 0,4𝑡 = 0
𝑣𝑥 + 40 𝑒
− 0,4𝑡 − 50 𝑒− 0,4𝑡 = 0
válida para 𝑡 > 0.
EXEMPLO 2
No circuito, o interruptor estava
fechado há um longo tempo, quando
é aberto em 𝑡 = 0. Determine a
tensão 𝑣(𝑡) e a corrente no
capacitor 𝑖𝑐 (𝑡) para 𝑡 ≥ 0 e desenhe
os gráficos de v(t) e 𝑖𝑐 (𝑡) .
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EXEMPLO 2
 Primeiro passo – Calcular 𝑉0
𝑅𝑒𝑞 =
30 ∙ 15
30 + 15
= 10 Ω
𝑣(0−) = 15
10
15
= 10 V
 Com a tensão em um capacitor não 
pode mudar instantaneamente:
𝑉0 = 𝑣 0 = 𝑣 0
− = 10 𝑉
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𝑡 < 0
EXEMPLO 2
 Segundo passo – Calcular 𝜏
 Terceiro passo – Calcular 𝑣 𝑡
 Finalmente
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𝑡 > 0
𝑅𝑇𝐻 = 𝑅𝐸𝑄
𝜏 = 𝑅𝑇𝐻𝐶
𝜏 = 10 ∙ 0,5 𝑚 = 5 𝑚𝑠
𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑒
−
𝑡
𝜏= 10 𝑒− 200𝑡 𝑉
𝑖𝑐 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0,5 × 10−3
𝑑 10 𝑒− 200𝑡
𝑑𝑡
𝑖𝑐 = −0,5 × 10
−3 ∙ 10 ∙ 200 ∙ 𝑒− 200𝑡= − 𝑒−200𝑡 𝐴
EXEMPLO 2
EXEMPLO 3
 No circuito, 𝑣2 0 = 0 e o interruptor
estava na posição 𝑎 há um longo
tempo, quando é colocado na posição
𝑏 em 𝑡 = 0. Determine:
 a) Determine 𝑖 , 𝑣1 𝑡 e 𝑣2 𝑡 para
𝑡 ≥ 0.
 b) A energia armazenada no capacitor
de 30 𝜇𝐹 em 𝑡 = 0.
 c) A energia final retida no circuito e
a energia dissipada no resistor de 2,5
kΩ se o interruptor permanecer
indefinidamente na posição 𝑏.
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EXEMPLO 3
(a) 𝑖, 𝑣1 𝑡 e 𝑣2 𝑡 para 𝑡 ≥ 0.
 Primeiro passo – Calcular 𝑉0
Para 𝑡 < 0, o circuito encontra- se 
no estado estável: 
𝑣1 0
− = 30 V
 Como a tensão em um capacitor não 
pode mudar instantaneamente:
𝑉0 = 𝑣1 0 = 𝑣1 0
− = 30 𝑉
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𝑡 < 0
EXEMPLO 3
 Segundo passo – Calcular 𝜏
 Terceiro passo – Calcular 𝑖 𝑡 a 
partir de 𝑣𝑒𝑞(𝑡):
𝑖 𝑡 é também a corrente do 
capacitor equivalente:
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𝑡 > 0
𝜏 = 𝑅𝐶𝑒𝑞 = 2,5 × 10
3 ∙ 20 × 10−6
𝜏 = 50 𝑚𝑠
𝐶𝑒𝑞 =
30 ∙ 60
30 + 60
= 20 𝜇𝐹
𝑖 𝑡 =
𝑣𝑒𝑞(𝑡)
𝑅
=
𝑉0
𝑅
𝑒−
𝑡
𝜏=
30
2,5 × 103
𝑒− 20𝑡
𝑖 𝑡 = 12 𝑒− 20𝑡 𝑚𝐴
EXEMPLO 3
 Para calcular 𝑣1 𝑡 , lembrar que adotando a convenção passiva de 
sinal, na expressão abaixo deve se utilizar 𝑖(𝑡) com sinal negativo.
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𝑣1 𝑡 =
1
𝐶1
න
0
𝑡
𝑖 𝜆 𝑑𝜆 + 𝑣 0 =
1
30 × 10−6
න
0
𝑡
−12 × 10−3 𝑒− 20𝜆 𝑑𝜆 + 30
𝑣1 𝑡 =
12 × 10−3
30 × 10−6
∙
1
20
∙ ቚ𝑒− 20𝜆
0
𝑡
+30 = 20 ∙ ቚ𝑒− 20𝜆
0
𝑡
+30
𝑣1 𝑡 = 20 𝑒
− 20𝑡−1 + 30 = 𝟐𝟎 𝒆− 𝟐𝟎𝒕 + 𝟏𝟎 𝑽
EXEMPLO 3
 Finalmente, calcula-se 𝑣2 𝑡 conforme segue:
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𝑣2 𝑡 =
1
𝐶2
න
0
𝑡
𝑖 𝜆 𝑑𝜆 + 𝑣 0 =
1
60 × 10−61
න
0
𝑡
12 × 10−3 𝑒− 20𝜆 𝑑𝜆 + 0
𝑣2 𝑡 = −
12 × 10−3
60 × 10−6
∙
1
20
∙ ቚ𝑒− 20𝜆
0
𝑡
= −10 ∙ ቚ𝑒− 20𝜆
0
𝑡
𝒗2 𝒕 = −10 𝑒
− 20𝑡−1 = −𝟏𝟎 𝒆− 𝟐𝟎𝒕 + 𝟏𝟎 (𝑽)
EXEMPLO 3
b)
 Abaixo,calcula-se a energia inicial armazenada no capacitor de 30 μF: 
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𝑤1 0 =
1
2
𝐶1𝑣1 0
2 =
1
2
∙ 30 × 10−6 ∙ 302
𝑤1 0 = 13,5 𝑚𝐽
EXEMPLO 3
c)
 Quando o circuito atingir o equilíbrio, a componente exponencial de 
𝑣1 𝑡 e 𝑣2 𝑡 se anula lim
𝑡→∞
𝑒− 20𝑡= 0 e a tensão nos capacitores 
se iguala. Assim: 
 E a energia final retida nos capacitores vale:
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𝑣1 𝑡 = 20 𝑒
− 20𝑡 + 10 𝑉 𝑣2 𝑡 = 10 𝑒
− 20𝑡 + 10 𝑉
𝑣1 ∞ = 𝑣2 ∞ = 10 𝑉
𝑤 ∞ = 𝑤1 ∞ +𝑤2 ∞ =
1
2
𝐶1𝑣1 ∞
2 +
1
2
𝐶2𝑣2 ∞
2
𝑤 ∞ =
1
2
102 30 + 60 × 10−6 = 4,5 𝑚𝐽
A energia final retida no 
circuito e a energia 
dissipada no resistor de 2,5 
kΩ
EXEMPLO 3
 A energia dissipada no resistor será a energia inicial subtraída da 
energia retida pelo circuito, ou seja
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𝑤𝑅 = 𝑤1 0 − 𝑤 ∞
𝑤𝑅 = 13,5 − 4,5 = 9 𝑚𝐽
EXEMPLO 4
 No circuito da Figura, o
interruptor, há um longo
tempo posicionado em 𝑎, é,
em 𝑡 = 0 , colocado na
posição 𝑏 . Determine 𝑖𝑥(𝑡)
para 𝑡 > 0.
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EXEMPLO 4
 Primeiro passo – Calcular 𝑉0
Para 𝑡 < 0, o circuito encontra-se no 
estado estável. A tensão inicial no 
capacitor vale:
𝑣 0− = 18 V
 Com a tensão em um capacitor não 
pode mudar instantaneamente:
𝑉0 = 𝑣 0 = 𝑣 0
− = 18 𝑉
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𝑡 < 0
EXEMPLO 4
 Segundo passo – Calcular 𝜏
Para calcular 𝑅𝑇𝐻 substitui-se o capacitor pela 
fonte de tensão 𝑉𝑇𝐻 , conforme mostra a 
Figura. Aplicando-se a LTK a este circuito, obtém-
se:
 Assim, a constante de tempo vale
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𝑡 > 0
−16 𝑖𝑥 − 4 𝑖𝑥 + 𝑉𝑇𝐻 = 0
𝑉𝑇𝐻 = 20 𝑖𝑥
𝑅𝑇𝐻 =
𝑉𝑇𝐻
𝑖𝑥
= 20 Ω
𝜏 = 𝑅𝑇𝐻𝐶 = 20 ∙ 2 × 10
−6 = 40 𝜇𝑠
EXEMPLO 4
 Terceiro passo – Calcular 𝑣 𝑡
 Finalmente,
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𝑡 > 0
𝑖𝑥 𝑡 = −
𝑣 𝑡
𝑅𝑇𝐻
𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑒
−
𝑡
𝜏= 18 𝑒−25000𝑡
𝑖𝑥 𝑡 = −
18
20
𝑒−25000𝑡
𝑖𝑥 𝑡 = −0,9 𝑒
− 25000𝑡 𝐴
Exercício
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NILSSON(p.275,2015)
REFERÊNCIAS
 ALEXANDER, Charles K; SADIKU, Matthew N. 
O. Fundamentos de circuitos elétricos.
5a. ed. Porto Alegre : AMGH, 2013.
 DORF, C. R.; SVOBODA, J. A. Introdução aos 
Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
 NILSSON, James W; RIEDEL, Susan A. 
Circuitos elétricos. 10a. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2015.
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