Resolução de Mecânica dos Sólidos

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Mecânica dos Sólidos II
Resolução da 1ª lista de Exercícios
1ª Questão - Na viga mostrada abaixo, considere a seção transversal no 
ponto C e resolva os itens a seguir através da análise do segmento A-C.
a) Desenhar o diagrama de corpo livre para o segmento A-C;
Resolução:
A C
540 N
180 N/m
90 N/m
135 N
 Para o triângulo, temos:
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
=
90 ∙ 3
2
=
270
2
= 135 𝑁
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ = 3 ∙ 180 = 540 𝑁
 Para o retângulo, temos:
𝑥 =
1
3
∙ 𝑏 =
3
3
= 1 𝑚
𝑥 =
1
2
∙ 𝑏 =
3
2
= 1,5 𝑚
1 m 1,5 m
𝑉𝐴 𝑉𝐶
𝑁𝐶
𝑀𝐶
𝑀𝐴
3 m
c) Identificar, por meio de cálculo, as forças internas e as reações atuantes no segmento A-C. 
b) Determinar as equações de equilíbrio de um corpo rígido;
Resolução:
A C
540 N
180 N/m
90 N/m
135 N
1 m 1,5 m
𝑉𝐴 𝑉𝐶
𝑁𝐶
𝑀𝐶
𝑀𝐴
Para o ponto A, temos:
 Aplicando as equações de equilíbrio no 
ponto A, temos:
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
=
270 ∙ 9
2
=
2430
2
= 1215 𝑁
෍ 𝐹𝑦𝐴 = 0
𝑉𝐴 − 1215 = 0
𝑉𝐴 = 1215 𝑁
෍ 𝑀𝐴 = 0
𝑀𝐴 + 1215 ∙ 3 = 0
𝑀𝐴 + 1215 ∙ 3 = 0
𝑀𝐴 + 3645 = 0
𝑀𝐴 = −3645 𝑁𝑚
 Aplicando as equações de equilíbrio no ponto C, temos:
෍ 𝐹𝑦𝐶 = 0
1215 − 135 − 540 − 𝑉𝐶 = 0
540 − 𝑉𝐶 = 0
෍ 𝑀𝐶 = 0
3645 − 1215 ∙ 3 + 135 ∙ 2 + 180 ∙ 3 ∙ 1,5 + 𝑀𝐶 = 0
3645 − 3645 + 270 + 810 + 𝑀𝐶 = 0
𝑀𝐶 + 1080 = 0
𝑀𝐶 = −1080 𝑁𝑚
−𝑉𝐶= −540 𝑁
𝑉𝐶 = 540 𝑁
3 m
2ª Questão - Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC 
são soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento 
conforme mostra a figura. Sabendo que d1 = 50 mm e d2 = 30 mm, calcule 
a tensão normal no ponto médio da barra AB e barra BC. 
Resolução:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐵, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐹𝐴𝐵 = 80 + 60 = 140𝑘𝑁
𝑑1 =
50 𝑚𝑚
2
=
25 𝑚𝑚
1000
→ 𝑟 = 0,025 𝑚
𝜎 =
𝐹𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵 = 𝜋𝑟
2
𝐴𝐴𝐵 = 3,14 ∙ 0,025
2
𝐴𝐴𝐵 = 0,0019625 𝑚
2
𝑨𝑨𝑩 = 𝟏, 𝟗𝟔𝟐𝟓 ∙ 𝟏𝟎
−𝟑 𝒎𝟐
𝜎 =
140 ∙ 103
1,9625 ∙ 10−3
𝜎 = 71,34 ∙ 106 𝑁/𝑚2
𝜎 = 71,34 ∙ 106 𝑃𝑎
𝝈 = 𝟕𝟏, 𝟑𝟒 𝑴𝑷𝒂
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝐶, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐹𝐵𝐶 = 80 + 60 = 140𝑘𝑁
𝑑2 =
30 𝑚𝑚
2
=
15 𝑚𝑚
1000
→ 𝑟 = 0,015 𝑚
𝜎 =
𝐹𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶 = 𝜋𝑟
2
𝐴𝐵𝐶 = 3,14 ∙ 0,015
2
𝐴𝐵𝐶 = 0,0007065 𝑚
2
𝑨𝑩𝑪 = 𝟕𝟎𝟔, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎𝟐
𝜎 =
60 ∙ 103
706,5 ∙ 10−6
𝜎 = 0,085 ∙ 109 𝑁/𝑚2
𝜎 = 85 ∙ 106 𝑃𝑎
𝝈 = 𝟖𝟓 𝑴𝑷𝒂
3ª Questão - Uma barra está carregada e apoiada como mostra a 
figura abaixo. Determine a tensão normal na barra AB: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐵, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐹𝐴𝐵 = 50 + 10 − 50 − 50 = −40𝑘𝑁
𝑑1 =
40 𝑚𝑚
2
=
20 𝑚𝑚
1000
→ 𝑟 = 0,02 𝑚
𝜎 =
𝐹𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵 = 𝜋𝑟
2
𝐴𝐴𝐵 = 3,14 ∙ 0,02
2
𝐴𝐴𝐵 = 0,001256 𝑚
2
𝑨𝑨𝑩 = 𝟏, 𝟐𝟓𝟔 ∙ 𝟏𝟎
−𝟑 𝒎𝟐
𝜎 = −
40 ∙ 103
1,256 ∙ 10−3
𝜎 = −31,85 ∙ 106 𝑁/𝑚2
𝜎 = −31,85 ∙ 106 𝑃𝑎
𝝈 = −𝟑𝟏, 𝟖𝟓 𝑴𝑷𝒂
Resolução:
4ª Questão - Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia, AB e BC, são 
soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme 
mostra a figura. Sabendo que a tensão normal não pode exceder 200 MPa na 
barra AB e 150 MPa na barra BC, determine os menores valores admissíveis de 
d1 e d2. 
Resolução:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐵, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐹𝐴𝐵 = 80 + 60 = 140𝑘𝑁
𝜎 = 200𝑀𝑃𝑎
𝑑1 =?
𝜎 =
𝐹𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
→ 𝑨𝑨𝑩 =
𝑭𝑨𝑩
𝝈𝑨𝑩
𝜋𝑟2 =
𝐹𝐴𝐵
𝜎𝐴𝐵
→ 3,14 ∙ 𝑟2=
140 ∙ 103
200 ∙ 106
→ 3,14 ∙ 𝑟2= 0,7 ∙ 10−3
𝑟 =
0,0007
3,14
→ 𝑟 ≈ 0,0149 𝑚 ∙ 2 → 𝑑 ≈ 0,0298 𝑚
𝑑 ≈ 0,0298 𝑚 ∙ 1000 𝒅 ≈ 𝟐𝟗, 𝟖 𝒎𝒎
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝐶, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐹𝐵𝐶 = 60𝑘𝑁
𝜎 = 150𝑀𝑃𝑎
𝑑2 =?
𝜋𝑟2 =
𝐹𝐵𝐶
𝜎𝐵𝐶
→ 3,14 ∙ 𝑟2=
60 ∙ 103
150 ∙ 106
→ 3,14 ∙ 𝑟2= 0,4 ∙ 10−3
𝑟 =
0,0004
3,14
→ 𝑟 ≈ 0,011286 𝑚 ∙ 2 → 𝑑 ≈ 0,02257 𝑚
𝑑 ≈ 0,02257 𝑚 ∙ 1000 𝒅 ≈ 𝟐𝟐, 𝟓𝟕 𝒎𝒎
𝜎 =
𝐹𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶
→ 𝑨𝑩𝑪 =
𝑭𝑩𝑪
𝝈𝑩𝑪
5ª Questão. Uma barra de comprimento L = 500 mm é feita de um material 
elastoplástico que tem um módulo de elasticidade E = 200 GPa em sua região 
elástica e uma tensão de escoamento σE = 300 MPa. A barra é submetida a uma 
força axial até que seja atingido um alongamento de 7 mm e a força é então 
removida. Com base no diagrama tensão deformação de um material 
elastoplástico ideal, mostrado abaixo, calcule:
a) Calcule a deformação de escoamento;
b) Calcule a deformação específica máxima; c) Calcule a deformação específica após a remoção da força. 
Resolução:
Resolução: Resolução:
𝜖𝐸 =
𝜎𝐸
𝐸
=
300 ∙ 106
200 ∙ 109
= 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑
𝜖𝐶 =
𝛿
𝐿
=
7
500
= 0,014 = 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟎−𝟑
𝜖𝐷 = 𝜖𝐶 − 𝜖𝐸
𝜖𝐷 = 14 ∙ 10
−3 − 1,5 ∙ 10−3
𝝐𝑫 = 𝟏𝟐, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎
−𝟑
𝜖𝐶 =? 𝛿 = 7 𝑚𝑚 𝐿 = 500 𝑚𝑚
𝜖𝐸 =? 𝜎𝐸 = 300 ∙ 10
6𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 200 ∙ 109 𝐺𝑃𝑎
6ª Questão - O diagrama tensão-deformação de uma barra de aço estrutural 
com 2,0 m de comprimento é indicado abaixo. Sabendo-se que sua tensão de 
escoamento e módulo de elasticidade são e 250 MPa e 200 GPa, 
respectivamente, e que a barra é axialmente carregada até alongar 6,5 mm e 
que, então, o carregamento é removido, determine qual a deformação residual 
da barra. 
Resolução:
𝜎 = 250𝑀𝑃𝑎
𝜀 =
6,5
2
=
0,0065
2
→ 𝜺 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟐𝟓
𝛿 = 6,5 𝑚𝑚 𝐿 = 2 𝑚
𝜀 =
𝜎
𝐸
=
250 ∙ 106
200 ∙ 109
= 1,25 ∙ 10−3 → 𝜺 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟓 𝒎
𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎 𝜀 =?
𝜀 =
𝛿
𝐿
→ 𝜹 = 𝜺 ∙ 𝑳
𝛿 = 0,00125 ∙ 2
𝛿 = 0,0025 𝑚
𝛿 = 25 𝑚𝑚
𝛿𝑅𝑒𝑠 = 𝛿𝑓 − 𝛿𝑖
𝛿𝑅𝑒𝑠 = 6,5 − 2,5
𝜹𝑹𝒆𝒔 = 𝟒 𝒎𝒎
7ª Questão. Com base no diagrama tensão-deformação abaixo, indique 
qual material possui o maior módulo de elasticidade. 
Resolução:
De acordo com a análise do gráfico, o aço possui maior módulo de 
elasticidade, pois quanto maior a deformação (), menor será o módulo 
da elasticidade (E). Logo, a borracha terá o menor módulo de 
elasticidade. 
8ª Questão - Considerando o diagrama tensão-deformação para o aço com 
baixo carbono indicado a seguir, temos que a σE = 240 MPa e a ε = 0,0012 
mm/mm. Com base nessas informações, determine o módulo de elasticidade 
deste material. 
Resolução:
𝜎𝐸 = 240𝑀𝑃𝑎
𝜀 = 0,0012 → 𝜀 = 12 ∙ 10−4
Pela Lei de Hooke, temos:
𝜎𝐸 = 𝐸 ∙ 𝜀
𝜎𝐸240 ∙ 10
6 = 𝐸 ∙ 12 ∙ 10−4
𝐸 =
240 ∙ 106
12 ∙ 10−4
∙
𝐸 = 20 ∙ 1010 𝑃𝑎
𝐸 = 200 ∙ 109 𝑃𝑎
𝑬 = 𝟐𝟎𝟎 𝑮𝑷𝒂
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