ListasRespondidasProbabilidade_POLI_UPE

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Respostas transcritas das listas de exercícios. 
Hugo Abreu Mendes 
 
1ª Lista, Distribuição Binomial. 
 
1- p = 0.59 -> Probabilidade de usar grelha a gás em um país. 
Ao selecionar 100 casas, a probabilidade de exatamente 65 usarem grelha a gás é 
dada por: 
 P(x=65) = (100
65
) 0,5965 × 0,4135 = 3,91% 
 
2- 41% gostam de ler. Ao escolher 4 mulheres aleatoriamente. 
a) Probabilidade de exatamente duas delas gostar de ler 
P(x=2) = (4
2
) 0,412 × 0,592 =
4∙3
2
× 0,412 × 0,592 = 35,1% 
b) No mínimo duas gostarem de ler 
P(x≥2) = 1 – (P(x=0) + P(x=1)) = 1 – ((4
1
) 0,411 × 0,593 + (4
0
) 0,410 × 0,594) =
1 – (4 × 0,411 × 0,593 + 1 × 0,594) = 54,2% 
c) Menos que duas delas gostarem de ler, é o complementar da anterior. 
1 - P(x≥2) = 45,8% 
 
3- 56% dos dias são nublados em meses de junho. 
a) O mês de junho tem 30 dias. 
A média é dada pelo valor esperado de dias. Para a distribuição binomial isto é 
dado por 𝑛 × 𝑝 = 30 × 0.56 = 16,8 𝑑𝑖𝑎𝑠 
A variância é dada por, 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = 7,392 
O desvio padrão √𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = 2,72 
A prova da equação da variância e do valor esperado podem ser obtidos pelos 
primeiros e segundos momentos centrais. 
 
Manoel Marinho
Lápis
2 
 
Para toda variável aleatório X, o r-ésimo momento em torno de α é dado por: 
𝐸[(𝑥 − 𝛼)𝑟] 
Se, 
α = 𝐸(𝑥) 
Então, se trata de um momento central. 
A função geradora de momentos, Mx(t) = E(etx) 
Para a distribuição binomial, resulta em: 
M𝑥(t) = 𝐸[𝑒
𝑡𝑥]
= ∑ 𝑒𝑡𝑥 (
𝑁
𝑥
) 𝑝𝑥 × (1 − 𝑝)𝑁−𝑥
𝑁
𝑥=0
= ∑ (
𝑁
𝑥
) (𝑒𝑡𝑝)𝑥 × (1 − 𝑝)𝑁−𝑥
𝑁
𝑥=0
 
Usando a fórmula do binômio de newton, dá para simplificar a expressão acima 
(𝑥 + 𝑦)𝑁 = ∑ (
𝑁
𝑘
) (𝑥)𝑘 × 𝑦𝑁−𝑘
𝑁
𝑘=0
 
M𝑥(t) = 𝐸[𝑒
𝑡𝑥] = ∑ (
𝑁
𝑥
) (𝑒𝑡𝑝)𝑥 × (1 − 𝑝)𝑁−𝑥
𝑁
𝑥=0
= (𝑒𝑡𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁 
O primeiro momento central, E(x), a média ou valor esperado, será M𝑥
′(0) 
𝑑(𝑒𝑡𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁
𝑑𝑡
= 𝑁(𝑒𝑡𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁−1𝑒𝑡𝑝, 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 
𝑁(𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁−1𝑒𝑡𝑝 = 𝑁𝑝 
O segundo momento central M𝑥
′′(0) 
𝑑𝑁(𝑒𝑡𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁−1𝑒𝑡𝑝
𝑑𝑡
= 𝑁(𝑁 − 1)𝑒𝑡𝑝(𝑒𝑡𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁−2𝑒𝑡𝑝
+ 𝑁(𝑒𝑡𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁−1𝑒𝑡𝑝 
3 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 
= 𝑁(𝑁 − 1)𝑝(𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁−2𝑝 + 𝑁(𝑝 + 1 − 𝑝)𝑁−1𝑝 = 𝑁(𝑁 − 1)𝑝2 + 𝑝𝑁
= 𝑝𝑁(1 − 𝑝) 
 
b) Se em um determinado ano, chover 9 ou 23 dias no mês de junho, seria um 
pouco estranho, no caso de 9 dias, estaria abaixo da média menos variância, em 
23 dias estaria bem próximo do limite da variância. 
 
4- Teste Múltipla escolha com 5 questões. 
a) P(x=3) = (5
3
) 0,23 × 0,82 = 5,12% 
b) P(x≥3) = P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) = 5,12% + (5
4
) 0,24 × 0,81 + (5
5
) 0,25 ×
0,80 = 5,12% + 0,64% + 0,032% = 5,692% 
c) 1 - P(x≥3) = 94,308% 
 
5- p = 0,4. 
a) P(x=3) = (10
3
) 0,43 × 0,67 = 21,5% 
b) No mínimo uma chamada não ocupada, é o complementar de 9 chamadas 
ocupadas 
𝑃(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑥 < 1) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0) = 1 − (
10
0
) 0,60 × 0,410
= 99,9895% 
c) O valor esperado é dado por n*p = 10 * 0.4 = 4 linhas ocupadas. 
 
6- Assumindo que se trata de eventos discretos. 
a) P(x=1) = (5
1
) 0,21 × 0,84 = 0,84 = 40,96% 
b) P(x=4) = (20
4
) 0,24 × 0,816 = 21,82% 
c) 1 – [P(x=4) + P(x=3) + P(x=2) + P(x=1) + P(x=0)] = 37,03% 
 
4 
 
7- Para o Klez 
a) No mínimo um caso ser Klez, que é o complementar de todos não serem Klez. É 
dado por: 
P(x≥1)=1 - P(x=0) = 1 - (20
0
) 0,61220 × (1 − 0,6122)20 ≈ 99,99999940% 
b) P(x≥3) = 1 – P(x<3) = 1 – [P(x=2) + P(x=1) + P(x=0)] = 99,99970% 
c) Media = 20 * 0,6122 = 12,44 casos 
Desvio padrão = np(1-p) = 20*0,6122*0,3888 = 4,76 casos 
 
2ª Lista, Distribuição de Poisson 
1- 
µ=λ=3 
P(x=4) = 
𝑒−334
4!
= 16,80% 
2- µ=λ=2,3 
a) P(x=2) = 
𝑒−2,32,32
2!
= 0,2651 
b) µ=λ=2,3*5 = 11,5 
P(x=10) = 
𝑒−11,511,510
10!
= 0,1129 
c) µ=λ=2,3*2 = 4,6 
P(x≥1) =1 - P(x=0)=1- 
𝑒−4,64,60
1
= 0,9899 
3- 0.1 partículas/cm² -> 10 partículas/disco de 100cm² 
a) 12 partículas no disco: 
P(x=12) = 
𝑒−101012
12!
= 0,0947 
b) Nenhuma partícula: 
P(x=0) = 
𝑒−10100
0!
= 𝑒−10 = 0.0000454 
 
4- Pelo menos 1 erro 
P(x≥1) = 1 – P(x=0) = 1 - 𝑒−0.5= 0.3935 
 
 
5 
 
5- P(x=0) = 
𝑒−𝜆𝜆0
0!
= 0.05= 
 𝑒−𝜆 = 0.05 => 𝜆 = − ln(0.05) = 2,9957 ≈ 3 
Neste tipo de distribuição o parâmetro 𝜆 se trata da média de casos. 
Enquanto a variância é dada por 𝜆2 ≈ 9 
 
6- λ=1 estrela por 16 anos luz. 
a) Em 16 anos luzes λ=1 
Probabilidade de achar 2 estrelas 
P(x=2) = 
𝑒−112
2!
= 0,1839 
b) Para achar uma ou mais estrelas com probabilidade acima de 95% 
P(x≥1) ≥ 0.95 => 1 – P(x=0) ≥ 0.95 => 1 - 
𝑒−𝜆𝜆0
0!
 ≥ 0.95 
𝑒−𝜆 ≤ 0.05 
 𝜆 ≥ 3 
se, λ=1 estrela por 16 anos luz, então são necessários mais de 48 anos para 
ter uma probabilidade acima de 95%. 
 
7- λ=0.1 falhas/m² 
a) P(x=2) = 
𝑒−0.10.12
2!
= 0,001839 
b) λ=1 falhas/10m² 
P(x=1) = 
𝑒−111
1!
= 0,36788 
c) λ=2 falhas/20m² 
P(x=0) = 
𝑒−220
0!
= 0,1353 
d) λ=1 falhas/10m² 
P(x≥2) = 1 – [P(x=1) + P(x=0)] = 1 - 2𝑒−1 = 0,264 
 
 
 
 
 
 
Manoel Marinho
Nota
P(x≥2) = 1 – [P(x=1) + P(x=0)] 
Manoel Marinho
Realce
6 
 
3ª Lista, Distribuição Exponencial 
 
1- Vida média 100 horas. 
λ=1/100 
 
P(x > 150) = ∫ λ
∞
150
𝑒−λx𝑑𝑥 = −𝑒−λ∞ − (− 𝑒−λx) = 𝑒−λ150 = 𝑒−
150
100 =
22,31% 
 
2- Probabilidade de custo adicional da marca A: 
P(x<200) = 1 – P(x>200) = 1 - ∫ λ
∞
200
𝑒−λx𝑑𝑥 = 1 − 𝑒−
200
100 = 86,47% 
 
 Probabilidade de custo adicional da marca B: 
 P(x<200) = 1 – P(x>200) = 1 - ∫ λ
∞
200
𝑒−λx𝑑𝑥 = 1 − 𝑒−
200
200 = 63,21% 
 
 O valor esperado do componente A é: 
 R$10,00 + 0,8647*8,00 = R$16,91 
 O valor esperado do componente B é: 
 R$15,00 + 0,6321*8,00 = R$20,06 
 
Neste caso, vale mais a pena usar o componente, por mais que ele tenha uma 
maior probabilidade de falhar até 200 horas, porém o valor esperado levando 
isto em conta é menor que do componente B. 
 
3- λ=1/5 milissegundos 
a) P(x≤10) = ∫ 0.2
10
0
𝑒−0.2x𝑑𝑥 = 1 − 𝑒−2 = 0,865 
b) P(5<x≤10) = ∫ 0.2
10
5
𝑒−0.2x𝑑𝑥 = 𝑒−1 − 𝑒−2 = 0,233 
 
7 
 
4- λ=1/100 
a) P(x<10) = ∫ 0,01
10
0
𝑒−0,01x𝑑𝑥 = 1 − 𝑒−0,1 = 0,0951 
b) P(100<x≤110) = ∫ 0,01
110
100
𝑒−0,01x𝑑𝑥 = 𝑒−1 − 𝑒−1,1 = 0,0350 
c) Evento AΩB: queimar entre 100 e 110 horas, naturalmente dura mais que 
100 horas. 
P(A) = 0,035 
Evento B: 
Durar mais de 100 horas. 
P(B) = ∫ 0,01
∞
100
𝑒−0,01x𝑑𝑥 = 0,368 
P(A|B) = P(AΩB)/P(B) = 0,035/0,368 = 0,095 
 
5- No máximo 10s 
P(x<10) = 1 - 𝑒−2 = 86,47% 
Entre 5 e 10 segundos 
𝑒−1 − 𝑒−2 = 23,25% 
6- 
a) P(x>5) = 𝑒−1=36,79% 
b) P(x<4) = ∫ 0,2
4
0
𝑒−0,2x𝑑𝑥 = 1 − 𝑒−0,8 = 55,07% 
c) P(3<x<8) = ∫ 0,2
8
3
𝑒−0,2x𝑑𝑥 = 𝑒−0,6 − 𝑒−1,6 = 34,69% 
 
7- λ = 1/100 
a) não falhar em 150 horas 
1 – P(x<150) = 1 – (1 - 𝑒−1,5) = 22,31% 
 
b) 1 – P(x < h) = 0,9 
P(x<h) = 0,1 
1 – 𝑒−h/100 = 0,1 => 𝑒−h/100 = 0,9 => ℎ = −100 × ln(0,9) =
10,53 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
 
 
8 
 
4ª Lista, Distribuição Normal. 
 
1- X ~ N(µ, σ2) = X ~ N(800, 144) 
P(x ≥ 772) = 1- P( Z ≤ (772-800)/144) = 1- P( Z ≤ -0,1944) = 1 -0,422931 = 0,577 
 
2- X ~ N(8, 2) 
a) P(Z ≤ (5-8)/2) = P(Z≤1,5) = 0,0668 
b) P(x ≥ 9,5) = 1 - P(Z ≤ (9,5-8)/2) = 1 - P(Z≤0,75) = 22,66% 
c) P((7-8)/2 ≤ Z ≤ (10-8)/2) = P(-0,5 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) – P(Z ≤ -0,5) 
= 0,8413 – 0,3085 
= 0,5328 
d) P(Z ≤ a) = 0,67 
(m – 8)/2 = 0,67 
m = 9,34 minutos 
 
3- X ~ N(8, 1,5) 
P(Z ≥ (10-8)/1,5) = P(Z ≥ 4/3) = 1 - P(Z ≤ 4/3) = 1- 0,9082 = 0,0918 
 
4- X ~ N(25,08 , 0,05) 
P((24,85-25,08)/0,05 ≤ Z ≤ (25,15-25,08)/0,05) = P(-4,6 ≤ Z ≤ 1,4) = P(Z ≤ 1,4) – 
P(Z ≤ -4,6) ≈ P(Z ≤ 1,4) = 91,92% 
 
5- X ~ N(150 , 5) 
a) P(Z ≤ 4) ≈ 100% 
b) P( -2 ≤ Z ≤ 3) = 0,9987 – 0,0228 = 97,59% 
c) Da tabela, 
Z = 2,88 garante probabilidade de 99,8% 
(G - 150)/5 = 2,88 
G = 164,4 * 10^3 Km deve ser a garantia 
 
Manoel Marinho
Realce
Manoel Marinho
Realce
Manoel Marinho
Nota
-0,67
Manoel Marinho
Nota
Resposta: 6,7 min9 
 
6- X ~ N(10 , 4) 
a) P(x ≥ 13) = 1- P( Z ≤ 3/4) = 1- 0,7734 = 0,2266 
b) P( 9 ≤ x ≤ 11) = P( 1/4 ≤ Z ≤ 1/4) = 0,5987 - 0,4013 = 0,1974 
c) P(Z ≤ m) = 0.98 
m = 2,05 
A = 2,05*4 + 10 = 18,2 miliamperes 
 
7- Questão 3 repetida 
8- Tipo A: X ~ N(10 , 2) 
Tipo B: X ~ N(11 , 3) 
Defeito antes de 6 meses 
a) A: P(x ≤ 6) = P( Z ≤ -2) = 2,28% 
B: P(x ≤ 6) = P( Z ≤ -1,67) = 4,75% 
 
b) Lucro médio vem do valor esperado, levando em consideração o prejuízo 
A: 1200*(1 – 0,0228) – 2500*0,0228 = 1115,64 
 
B: 2100*(1 – 0,0475) - 7500*0,0475 = 1667,75 
 
c) Olhando apenas o lucro esperado, o televisor B deveria levar mais 
investimento para suas vendas. Porém, isso não leva em conta a 
probabilidade de compra dos televisores a partir do seu preço.