Aula_16-04-2018

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13/04/2018
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Equações do Plano
Aula 16/04/2018
A B
C

Equação Vetorial do Plano
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2
A B
C
Equação Vetorial do Plano
Equação Vetorial do Plano
A
B
C

AB

 X
AX

AC

X
y
z
O
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3
X  ,AX AB
 
e AC

.L D  e  
AX AB AC  
  
OX OA AX 
  
AX AB AC  
  
,OX OA AB AC   
   
, 
Equação Vetorial do Plano
A
B
C

AB

 X
AX

AC

X
y
z
O
,OX OA AB AC   
   
, 
( , , )u u uAB u x y z 
 
, ( , , )v v vAC v x y z 
 
1 1 1( , , ) ( , , )x y z x y z ( , , )u u ux y z  ( , , )v v vx y z , 
Equação Vetorial do Plano
1 1 1 2 2 2 3 3 3( , , ), ( , , ), ( , , )A x y z B x y z C x y z
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4
1
1
1
( ) ( )
: ( ) ( ) , ,
( ) ( )
u v
u v
u v
x x x x
y y y y
z z z z
 
    
 
       
   

Equação Paramétrica do Plano
1 1 1 2 2 2 3 3 3( , , ), ( , , ), ( , , )A x y z B x y z C x y z
( , , )u u uAB u x y z 
 
, ( , , )v v vAC v x y z 
 
Determine as equações vetorial e paramétrica 
do plano determinado pelos pontos 
(2,1, 1), (3,5, 6)A B  e (0 ,2, 4).C 
Exemplo
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(2,1, 1), (3,5, 6)A B  e (0,2 4)C 
:( , , ) (2,1 1)x y z   (1,4 , 5) ( 2 ,1, 3)      , 
2 2
: 1 4
1 5 3
x
y
z
 
  
 
      
   
, 
Solução
X
P
n


Plano dados o Vetor Normal e um Ponto 
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6
. 0n PX 
 
( , , )X x y z
0 0 0( , , ).( , , ) 0a b c x x y y z z   
0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z     
0 0 0. . . . . . 0a x a x b y b y c z c z     
Plano dados o Vetor Normal e um Ponto
X
P
n


0 0 0. . . ( . . . ) 0a x b y c z a x b y c z     
. . . 0a x b y c z d   
d

(Equação geral do plano) 
( , , )n a b c 

Determine a equação geral do plano que passa 
pelo ponto , sendo 
um vetor normal ao plano .

(3, 1 , 3)P  ( 2 , 1, 2 )n 


Exemplo
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(3, 1 , 3)P ( 2 , 1, 2 )n 

P
n


Exemplo
0ax by cz d   
2 2 0x y z d   
?d  (3, 1 , 3)P 
2.3 ( 1) 2.3 0d     1d 
2 2 1 0x y z   
Exemplo
( 2 , 1, 2 )n 

(3, 1 , 3)P 
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u

v

0P

Plano dados por um ponto e dois vetores não colineares
e então temos o vetor normal e 
um ponto do plano, caindo no caso anterior.
n u v 
  
Exemplo
Determine a equação geral do plano , que passa 
pelo ponto e é paralelo ao vetores 
e .

(0,1, 1)P 
(2, 4,5)u 

( 2,3,0)v  

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Solução
(2, 4,5)u 

( 2,3,0)v 

2 4 5
2 3 0
i j k
n u v   

  
 
( 15, 10, 2)n  

15 10 2 0x y z d    
(0,1, 1)P 
8d
15.0 10.1 2( 1) 0d     
15 10 2 8 0x y z    
0ax by c z d   
A B
C

Plano que passa por três pontos
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A B
C
Plano que passa por três pontos
Caindo no caso de um ponto do plano e seu 
vetor normal.
n AB AC 
 
Determine a equação geral do plano , que passa 
pelos pontos e .

(2,1, 1), (3,5, 6)A B  (0,2 4)C 
Exemplo
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u AB
 
v AC
 
(1,4, 5)u 

( 2,1, 3)v  

1 4 5
2 1 3
i j k
u v  
 
  
 
( 7,13,9)u v 
 
7 13 9 0x y z d    
7.2 13.1 9( 1) d 0     
(2,1, 1), (3,5, 6)A B  (0,2 4)C 
Substituindo (2,1, 1)A 
d 10
7 13 9 10 0x y z    
Solução