CA II A05 - Lajes maciças - Cisalhamento

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auferir lucro, o sujeitará às sanções civis e 
criminais cabíveis, sem prejuízo do dever de 
indenizar a (o) CONTRATADA (O) por todos os 
danos e prejuízos causados." 
São Luís – MA | 2021.2 
UNIVERSIDADE CEUMA 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CAMPUS RENASCENÇA 
CONCRETO ARMADO II 
Prof. Me. Felipe Ferreira | felipe005228@ceuma.com.br 
São Luís – MA | 2021.2 
UNIVERSIDADE CEUMA 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CAMPUS RENASCENÇA 
 LAJES MACIÇAS: 
Verificação ao 
Cisalhamento 
1.INTRODUÇÃO 
 As lajes conseguem mobilizar um esquema de resistência ao 
esforço cortante fazendo com que seu efeito não seja crítico, e 
geralmente apenas o concreto é suficiente para resisti-lo. 
Armaduras transversais só são necessárias em situações 
especiais. 
4 
Lajes Maciças 
2.Força cortante em lajes 
-Lajes sem armadura para força cortante 
“As lajes maciças ou nervuradas, conforme 17.4.1.1.2 − 𝑏), 
podem prescindir de armadura transversal para resistir as 
forças de tração oriundas da força cortante, quando a 
força cortante de cálculo, a uma distância d da face do 
apoio, obedecer à expressão:” (𝑁𝐵𝑅 6118, 19.4.1) 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1, 
Onde: 
𝑉𝑆𝑑 Força cortante solicitante de cálculo; 
𝑉𝑅𝑑1 Resistência de projeto ao cisalhamento. 
 
 
𝑽𝑹𝒅𝟏 = 𝝉𝑹𝒅 ∙ 𝒌 ∙ 𝟏, 𝟐 + 𝟒𝟎 ∙ 𝝆𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓 ∙ 𝝈𝒄𝒑 ∙ 𝒃𝒘 ∙ 𝒅 
 
5 
Lajes Maciças 
𝑏𝑤-largura da peça; 
𝑑-altura útil; 
𝜎𝑐𝑝-tensão de protensão; 
𝜌1-taxa de armadura; 
𝜏𝑅𝑑-tensão de cisalhamento 
resistente de cálculo; 
2.Força cortante em lajes 
-Lajes sem armadura para força cortante 
𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ 1,2 + 40 ∙ 𝜌1 + 0,15 ∙ 𝜎𝑐𝑝 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 
 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓/𝛾𝑐 
𝜌1 =
𝐴𝑠1
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
≤ 0,02 
𝜎𝑐𝑝 = 𝑁𝑆𝑑/𝐴𝑐 (𝑁𝑆𝑑: força longitudinal devido a protenção) 
𝑘 = 1 para elementos em que 50% da armadura inferior não 
chegam até ao apoio 
𝑘 = 1,6 − 𝑑 ≥ 1, com 𝑑 em metros para os demais casos 
6 
Lajes Maciças 
2.Força cortante em lajes 
-Lajes sem armadura para força cortante 
Verificação da compressão diagonal do concreto (bielas 
comprimidas), em lajes sem estribos. 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,5 ∙ 𝛼𝑣1 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,9 ∙ 𝑑 
Onde 
𝑉𝑅𝑑2-força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das 
diagonais comprimidas de concreto, 
𝛼𝑣1 = 0,7 −
𝑓𝑐𝑘
200
≤ 0,5, (𝑓𝑐𝑘 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎) 
7 
Lajes Maciças 
2.Força cortante em lajes 
-Lajes com armadura para força cortante 
Aplicar-se-á os mesmos critérios de vigas, com a verificação 
da resistência da biela comprimida nos dois modelos de 
cálculo e calculando a área de estribos. 
Deve-se ser respeitado os seguintes valores máximos, sendo 
possível a interpolação, para a resistência dos estribos: 
−250 𝑀𝑃𝑎, para lajes com espessura até 15 𝑐𝑚; 
−435 𝑀𝑃𝑎, para lajes com espessura maior do que 35 𝑐𝑚. 
8 
Lajes Maciças 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
9 
Lajes Maciças 
As reações são calculadas pela equação: 
𝑉 = 𝜈 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
, 
Onde 
V = reação de apoio (kN/m); 
𝜈 = coeficiente tabelado em função de 𝜆 = 𝑙𝑦/𝑙𝑥, onde: 
𝜈𝑥 =reação nos apoios simples perpendiculares à direção de 𝑙𝑥; 
𝜈𝑦 =reação nos apoios simples perpendiculares à direção de 𝑙𝑦; 
𝜈𝑥
′ =reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de 𝑙𝑥; 
𝜈𝑦
′ =reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de 𝑙𝑦; 
𝑝= valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (em 𝑘𝑁/
𝑚2); 
 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
10 
Lajes Maciças 
É possível obter o módulo dos esforços por tabelas, para lajes 
bidirecionais. 
EXERCÍCIO 
 
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Lajes Maciças 
Calcular e detalhar a armadura a armadura do pavimento de 
lajes maciças, cuja planta de fôrmas esta indicada na figura. 
Considerando que as salas serão utilizadas para escritórios, 
que todas as lajes deveram ter a mesma espessura e que o 
revestimento inferior de gesso, para efeito de cálculo de carga, 
pode ser desprezado. Serão admitidos os seguintes dados de 
projeto: 
Contrapiso com espessura de 2,0 cm; 
Piso de plástico, cujo peso de 0,20 𝑘𝑁/𝑚2 já inclui a cola e a 
camada de regularização; 
Cobrimento nominal da armadura de 25 𝑚𝑚, admitindo classe 
de agressividade ambiental II; 
Vigas: largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 e altura ℎ = 50 𝑐𝑚; 
Concreto com resistência característica 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎; 
Aço 𝐶𝐴 − 50. 
EXERCÍCIO 
 
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Lajes Maciças 
EXERCÍCIO 
 
13 
Lajes Maciças 
A. Esquema estrutural das lajes: lajes adjacentes se engastarão. 
3 
3 
2B 
EXERCÍCIO 
 
14 
Lajes Maciças 
H. Reações nas lajes. 
As reações nas vigas de contorno, devido as lajes são calculados 
pela equações indicadas com coeficientes fornecidos pela 
TABELA. 
𝑞𝑥 = 𝜈𝑥 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
, 𝑞𝑦 = 𝜈𝑦 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
, 𝑞′𝑥 = 𝜈𝑥
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
, 𝑞′𝑦 = 𝜈𝑦
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
 
Cálculo das reações (𝑘𝑁/𝑚) 
 
 
 
 
𝑞𝑥 = 2,17 ∙
6,06𝑘𝑁
𝑚2
6,00𝑚
10
= 7,89𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
 
 
Laje Caso 𝑙𝑥(𝑚) 𝜆 P 𝝂𝒙 𝑞𝑥 𝝂𝒚 𝑞𝑦 𝝂𝒙
′ 𝑞′𝑥 𝝂𝒚
′ 𝑞′𝑦 
L1 3 6,00 1,00 6,06 2,17 7,89 2,17 7,89 3,17 11,53 3,17 11,53 
L2 3 4,00 1,50 6,06 2,89 2,17 4,23 3,17 
L3 2B 5,00 2,00 6,06 3,54 1,83 5,18 
EXERCÍCIO 
 
15 
Lajes Maciças 
H. Reações nas lajes. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
16 
Lajes Maciças 
H. Reações nas lajes. 
As reações nas vigas de contorno, devido as lajes são calculados 
pela equações indicadas com coeficientes fornecidos pela 
TABELA. 
𝑞𝑥 = 𝜈𝑥 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
, 𝑞𝑦 = 𝜈𝑦 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
, 𝑞′𝑥 = 𝜈𝑥
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
, 𝑞′𝑦 = 𝜈𝑦
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
 
Cálculo das reações (𝑘𝑁/𝑚) 
 
 
 
 
𝑞𝑥 = 𝜈𝑥 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
10
= 2,17 ∙
6,06
𝑘𝑁
𝑚2
6,00 𝑚
10
= 7,89 𝑘𝑁/𝑚 
 
Laje Caso 𝑙𝑥(𝑚) 𝜆 P 𝝂𝒙 𝑞𝑥 𝝂𝒚 𝑞𝑦 𝝂𝒙
′ 𝑞′𝑥 𝝂𝒚
′ 𝑞′𝑦 
L1 3 6,00 1,00 6,06 2,17 7,89 2,17 7,89 3,17 11,53 3,17 11,53 
L2 3 4,00 1,50 6,06 2,89 7,00 2,17 5,26 4,23 10,25 3,17 7,68 
L3 2B 5,00 2,00 6,06 3,54 10,72 1,83 5,54 5,18 15,70 - - 
EXERCÍCIO 
 
17 
Lajes Maciças 
I. Verificação ao cisalhamento. 
Verificação da necessidade de armadura de 
cisalhamento 
A verificação da necessidade de utilização de aradura de 
cisalhamento nas lajes será feita para a laje 3 
Dados 
 Força cortante solicitante 𝑉𝑠𝑘 = 15,70 𝑘𝑁/𝑚; 
 Toda a armadura inferior se estende ao longo das lajes, 
chegando até ao apoio; 
 Na laje 𝐿3, a armadura longitudinal inferior é composta de 
barra de 𝜙 = 10 𝑚𝑚 (0,8 𝑐𝑚2) a cada 20 𝑐𝑚, resultando em 5 
barras por metro. 
EXERCÍCIO 
 
18 
Lajes Maciças 
 
EXERCÍCIO 
 
19 
Lajes Maciças 
I. Verificação ao cisalhamento. 
Verificação da necessidade de armadura de 
cisalhamento 
O valor de 𝑉𝑆𝑑 (força cortante solicitante de cálculo) é 
𝑉𝑆𝑑 = 1,4 ∙ (15,70𝑘𝑁/𝑚)(1,00𝑚) 
𝑉𝑆𝑑 = 21,98 𝑘𝑁 
 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
= 0,25 ∙ 0,7 ∙
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝛾𝑐
 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2
3 /𝛾𝑐 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ∙
20
2
3
1,4
= 0,276 𝑀𝑃𝑎 = 276 𝑘𝑁/𝑚2 
EXERCÍCIO 
 
20 
Lajes Maciças 
I. Verificação ao cisalhamento. 
Verificação da necessidade de armadura de 
cisalhamento 
𝑘 = 1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,08 = 1,52 ≥ 1. 
𝜌1 =
𝐴𝑠1
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
=
5 ∙ (0,8 𝑐𝑚2)
(100 𝑐𝑚)(8 𝑐𝑚)
= 0,005 < 0,02 
 
𝜎𝑐𝑝 = 0 (𝑛ã𝑜 ℎá 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜) 
𝑑 = ℎ −
𝜙
2
− 𝜙 − 𝑐 
𝑑 = 12 −
1
2
− 1 − 2,5 = 8𝑐𝑚 = 0,08𝑚 
EXERCÍCIO 
 
21 
Lajes Maciças 
I. Verificação ao cisalhamento. 
Verificação da necessidade de armadura de 
cisalhamento 
O valor da força resistente de projeto 𝑉𝑅𝑑1 é dado por 
𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ 1,2 + 40 ∙ 𝜌1 + 0,15 ∙ 𝜎𝑐𝑝 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 
𝑉𝑅𝑑1 = [(276 𝑘𝑁/𝑚
2)(1,52)(1,2 + 40 ∙ 0,005)](1,00𝑚)(0,08𝑚) 
𝑉𝑅𝑑1 ≅ 47,0 𝑘𝑁 
 
Portanto 𝑉𝑆𝑑 = 21,98 𝑘𝑁 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 = 47,0 𝑘𝑁 (OK) 
 
EXERCÍCIO 
 
22 
Lajes Maciças 
I. Verificação ao cisalhamento. 
Verificação da compressão diagonal do concreto 
 
𝛼𝑣1 = 0,7 −
𝑓𝑐𝑘
200
= 0,7 −
20
200
= 0,6 ≥ 0,5 → 𝛼𝑣1 = 0,5 
Portanto 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,5 ∙ 𝛼𝑣1 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,9 ∙ 𝑑 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,5 ∙ (0,5) ∙
20.000𝑘𝑁/𝑚2
1,4
.(1,00𝑚)(0,9)(0,08𝑚) 
𝑉𝑅𝑑2 ≅ 257,14 𝑘𝑁 ≥ 𝑉𝑆𝑑 = 21,98 𝑘𝑁