DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO

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DISCIPLINA
CONCRETO ARMADO II
Jéssica Salomão Lourenção
CAPÍTULO 1 
DIMENSIONAMENTO 
DE LAJES
DEFINIÇÃO
• Lajes são elementos planos, de superfície, bidimensionais, em geral
horizontais, com duas dimensões muito maiores que a terceira,
sendo esta denominada espessura. As lajes também são chamadas
de placas.
• A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no
andar, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis,
equipamentos, paredes), e transferi-los para os apoios.
• As cargas são comumente perpendiculares ao plano da laje, e podem
ser divididas em distribuídas na área, distribuídas linearmente ou
forças concentradas. Embora menos comuns, também podem
ocorrer ações externas na forma de momentos fletores,
normalmente aplicados nas bordas das lajes. As cargas são
geralmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje,
mas eventualmente também podem ser transmitidas diretamente
aos pilares, quando são chamadas lajes lisas, com ou sem capitel.
DEFINIÇÃO
LAJES MACIÇAS
• A laje maciça consiste em um sistema construtivo de lajes de
concreto armado moldada in loco. Esse tipo de laje surgiu
juntamente com os primeiros registros de edificações em concreto
armado no mundo, e foi utilizado como principal sistema construtivo
de laje por um longo período.
• Com o avanço tecnológico, surgiram diversos outros sistemas
alternativos para concepção de lajes. Ainda assim, atualmente as
lajes maciças são grandemente empregadas em construções de
concreto armado no Brasil e no mundo.
• O sistema estrutural de lajes maciças é comumente empregado em
edificações de múltiplos pavimentos e em construções de grande
porte. Isso se deve ao fato o sistema construtivo ser um pouco mais
caro do que as lajes pré-fabricadas, por exemplo. Com isso, as lajes
maciças são pouco comuns em edificações residenciais de pequeno
porte.
LAJES MACIÇAS
Vantagens da laje maciça
• Podemos destacar alguns pontos positivos das lajes maciças:
• Execução simplificada, não exigindo mão-de-obra especializada;
• Possui um bom desempenho em relação a resistência dos esforços;
• Pode auxiliar no sistema de contraventamento da edificação, através da 
propriedade de chapas;
• Menos suscetível à ocorrência de patologias, como por exemplo, fissuras e 
trincas;
• Acabamento liso na parte inferior;
• Permite diferentes formatos dos panos da laje.
LAJES MACIÇAS
Desvantagens da laje maciça
• Dentre os pontos negativos do sistema estrutural de lajes maciças, 
podemos destacar:
• Custo elevado em relação a diversos outros sistemas de laje;
• Mal desempenho da acústica nos ambientes;
• Elevado consumo de concreto;
• Peso próprio elevado, o que estimula maiores reações no restante da 
estrutura;
• Utilização de formas, com dificuldade de reaproveitamento;
• Não indicada para vencer grandes vãos.
LAJES MACIÇAS
Processo construtivo
• Quanto ao processo executivo, as lajes maciças são executadas em 
basicamente 5 etapas:
• 1ª Etapa: Alocação das formas e escoramento – as formas podem ser
constituídas de madeiras, tábuas, chapas compensadas ou chapas de aço e
vão servir como base até que o concreto atinja a resistência especificada. As
escoras das formas também podem ser constituídas de madeira ou metal.
LAJES MACIÇAS
• 2ª Etapa: Colocação das ferragens – nessa fase são posicionadas as
armaduras determinadas na fase de projeto, ou seja, armaduras principais,
secundárias e espaçadores. Nessa fase também são adicionados os
componentes elétricos da edificação.
LAJES MACIÇAS
• 3ª Etapa: Concretagem – Após a certificação de que as armaduras foram
todas posicionadas, as formas devem ser limpadas e molhadas e só assim
deve ocorrer o lançamento do concreto, realizando sempre os processos de
nivelamento e adensamento.
LAJES MACIÇAS
• 4ª Etapa: Cuidados da cura – Esse é um passo importante e que muitas vezes
é esquecido nas obras. Em suma, deve-se realizar a proteção e hidratação do
concreto durante o processo de cura sempre que necessário.
LAJES MACIÇAS
• 5ª Etapa: Desforma – Posteriormente, as formas devem ser retiradas apenas
quando o concreto atingir a resistência mecânica de projeto, normalmente
isso ocorre aos 28 dias.
CONDIÇÕES DE APOIO
• Existem, basicamente, três tipos de vinculações:
• borda livre: não há suporte. Exemplo: lajes em balanço.
• borda simplesmente apoiada: há restrição dos deslocamentos verticais, no
entanto, não há impedimento da rotação das lajes de apoio. Exemplo: vigas
de apoio de rigidez normal.
• borda engastada: há impedimento quanto ao deslocamento vertical e quanto
à rotação no apoio. Exemplo: vigas de apoio de grande rigidez.
CONDIÇÕES DE APOIO
• A borda livre caracteriza-se pela ausência de apoio, apresentando,
portanto deslocamentos verticais. Nos outros dois tipos de
vinculação, não há deslocamentos verticais. Nas bordas engastadas,
também as rotações são impedidas. Este é o caso, por exemplo, de
lajes que apresentam continuidade, sendo o engastamento
promovido pela laje adjacente.
• Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes
adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente
para a laje com menor espessura, admitindo-se simplesmente
apoiada a laje com maior espessura.
• Analisando o engastamento de uma laje, para que se possa
considerar que ela tenha uma borda engastada, devem-se observar
as seguintes condições:
CONDIÇÕES DE APOIO
• Deve existir uma laje ao lado da
analisada;
• A laje ao lado deve estar no mesmo nível
da analisada;
• Havendo apenas uma laje do lado (𝐿𝐿2),
esta deve ter comprimento no outro
sentido não inferior a 1/3 do
comprimento da laje em análise (𝐿𝐿1).
Para a figura abaixo, temos a equação
1.1:
• Se 𝑙𝑙2 <
1
3
𝑙𝑙1 → 𝐿𝐿1 está apoiada na viga, e
𝐿𝐿2, engastada em 𝐿𝐿1;
• Se 𝑙𝑙2 ≥
1
3
𝑙𝑙1 → 𝐿𝐿1 e 𝐿𝐿2 estão engastadas
uma na outra.
Eq. 1.1
CONDIÇÕES DE APOIO
• Havendo uma laje ao lado (𝐿𝐿2) que
não seja do mesmo comprimento
que a laje em análise (𝐿𝐿1), conforme
a figura ao lado, está é considerada
engastada quando o comprimento
engastado da laje adjacente (𝑙𝑙2) for
maior ou igual a 2/3 do
comprimento da laje em estudo (𝑙𝑙1).
Para a figura ao lado, observando-se
as lajes 1 e 2, tem-se a equação 1.2:
• Se 𝑙𝑙2 <
2
3
𝑙𝑙1 → 𝐿𝐿1 está apoiada na
viga, e 𝐿𝐿2, engastada em 𝐿𝐿1;
• Se 𝑙𝑙2 ≥
2
3
𝑙𝑙1 → 𝐿𝐿1 e 𝐿𝐿2 estão
engastadas uma na outra.
• Nas situações em que houver uma viga para apoio da borda e que não sejam
atendida as situações anteriormente citadas, diz-se que a borda está
apoiada. Quando não houver apoio, diz-se que a borda está livre.
Eq. 1.2
CONDIÇÕES DE APOIO
• A figura abaixo são apresentados alguns casos de vinculação, com
bordas simplesmente apoiadas e engastadas
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TIPO DE 
ARMAÇÃO
• As lajes retangulares podem ser classificadas quanto ao tipo de
armação como:
• Armadas em duas direções (momentos fletores solicitam as duas direções);
• Armadas em apenas uma direção (momentos fletores solicitam
predominantemente apenas uma direção).
• Para que seja realizada essa classificação, observa-se a relação 𝑏𝑏/𝑎𝑎,
conforme a equação 1.3:
0,5 ≤
𝑏𝑏
𝑎𝑎 ≤ 2,0 → laje armada nas duas direções
𝑏𝑏
𝑎𝑎
< 0,5 𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑏𝑏
𝑎𝑎
> 2,0 → laje armada em uma direção
Eq. 1.3
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TIPO DE 
ARMAÇÃO
• Quando armada em apenas uma direção, essa é realizada na menor
delas. Para isso, tem-se:
• 𝑎𝑎 – vão cuja direção apresenta o maior número de engastes. Caso o número
de engastes seja igual para as duas direções, adota-se como 𝑎𝑎 o menor dos
vãos;
• 𝑏𝑏 – o outro vão da laje.
• Para comprimentos dos vãos efetivos ou vãos de cálculo 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏,
devem-se considerar as distâncias de eixo a eixo dos apoios.
CARREGAMENTOS
• As ações ou carregamentos a se considerar atuando nas lajes são os
mais variados, desde pessoas até móveis, equipamentos fixos ou
móveis, paredes, divisórias, água, solo, etc. As lajes recebem as
cargas de utilização e as transmitem para os apoios, geralmentevigas
nas bordas. Nos edifícios as lajes ainda atuam como diafragma rígido
(elemento de rigidez infinita no seu próprio plano), distribuindo as
forças horizontais do vento para os elementos da estrutura de
contraventamento (pórticos, paredes, núcleos de rigidez, etc.),
responsáveis por proporcionar a necessária Estabilidade Global aos
edifícios.
CARREGAMENTOS
• Para determinação das ações atuantes nas lajes deve-se recorrer às
normas, sendo as principais a NBR 6118, a NBR 8681 e a NBR 6120, e
devem ser cuidadosamente avaliadas.
• No caso de cargas específicas não abordadas por normas brasileiras,
pode-se recorrer a normas estrangeiras, à bibliografia especializada,
consulta aos fabricantes de equipamentos mecânicos e máquinas,
etc.
• Nas lajes de edificações correntes geralmente as ações principais a
serem consideradas são as ações permanentes e as cargas variáveis.
As principais ações permanentes diretas que devem ser
determinadas são as seguintes.
CARREGAMENTOS
Peso Próprio
• O peso próprio da laje maciça é função da altura 𝒉𝒉 e do peso específico (𝛾𝛾𝑐𝑐)
do concreto armado, igual a 25 kN/m³ conforme a NBR 6118.
• O peso próprio de laje com altura constante é uniformemente distribuído na
área da laje, e para um metro quadrado de área pode ser calculado como:
𝑔𝑔𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛾𝛾𝑐𝑐ℎ
CARREGAMENTOS
Contrapiso
• A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície
superior das lajes recebe o nome de contrapiso ou argamassa de
regularização. A sua função é de nivelar e diminuir a rugosidade da laje,
preparando-a para receber o revestimento de piso final.
• A espessura do contrapiso deve ser cuidadosamente avaliada. Recomenda-se
adotar espessura não inferior a 3 cm. A argamassa do contrapiso tem
comumente o traço 1:3 (em volume), sendo considerado o peso específico
(𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) de 21 kN/m³, conforme a NBR 6120.
• A carga permanente do contrapiso é função da espessura (e) do contrapiso:
𝑔𝑔𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒
CARREGAMENTOS
Revestimento Inferior da Laje
• Na superfície inferior das lajes é padrão executar uma camada de
revestimento de argamassa, sobreposta à camada fina de chapisco.
• Para essa argamassa, menos rica em cimento, pode-se considerar o peso
específico (γ𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟) de 19 kN/m³, conforme a NBR 6120. De modo geral, este
revestimento tem pequena espessura, mas recomenda-se adotar espessura
não inferior a 1,5 ou 2 cm. A carga permanente desse revestimento é:
𝑔𝑔𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒
CARREGAMENTOS
Piso
• O piso é o revestimento final na superfície superior da laje, assentado sobre
a argamassa de regularização. Para a sua correta quantificação é necessário
definir o tipo ou material do qual o piso é composto, o que normalmente é
feito com auxílio do projeto arquitetônico, que define o tipo de piso de cada
ambiente da edificação. Os pisos mais comuns são os de madeira, de
cerâmica, carpetes ou forrações, e de rochas, como granito e mármore.
• A Tabela 1 da NBR 6120 fornece os pesos específicos de diversos materiais,
valores estes que auxiliam no cálculo da carga de piso por metro quadrado
de área de laje.
CARREGAMENTOS
Parede
• O modo de calcular a carga de parede sobre laje maciça depende do peso da
parede e de se a laje é armada em uma ou em duas direções. Para
determinar o peso da parede é necessário conhecer o tipo da unidade de
alvenaria que compõe a parede (tijolo, bloco, etc.), o tipo e espessura do
revestimento nas faces (argamassa, gesso, etc.) e a largura e altura da
parede.
• A NBR 6120 auxilia no cálculo do peso da parede, pois em sua Tabela 2
fornece o peso específico de paredes de alvenaria estrutural e de vedação
com alguns tipos de unidade (como bloco de concreto e bloco ou tijolo
cerâmico) e em função da espessura do revestimento das faces.
• No caso particular de parede de vedação com bloco cerâmico vazado com
furos horizontais, e quando o peso específico da alvenaria (𝛾𝛾𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟) é dado em
kN/m², o peso da parede é:
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟 ∗ ℎ ∗ 𝑙𝑙
CARREGAMENTOS
Laje armada em duas direções
• Para as lajes armadas em duas direções considera-se simplificadamente a carga
(peso) total das paredes uniformemente distribuída na área da laje, de forma que
a carga na laje é o peso total das paredes (𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) dividido pela área da laje:
𝑔𝑔𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑙𝑙𝑥𝑥 ∗ 𝑙𝑙𝑦𝑦
CARREGAMENTOS
Laje armada em uma direção
• Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados, em função da
disposição da parede sobre a laje. Para o caso de parede com direção paralela à
direção principal da laje (direção do menor vão), considera-se simplificadamente a
carga da parede distribuída uniformemente em uma área da laje adjacente à
parede, com largura de 2
3
𝑙𝑙𝑥𝑥, como mostrado na figura.
CARREGAMENTOS
• A laje fica com duas regiões com carregamentos diferentes. Nas regiões I não
ocorre a carga da parede, que fica limitada apenas à região II. Portanto, dois
cálculos de esforços solicitantes necessitam ser feitos, para as regiões I e II. A carga
uniformemente distribuída devida à parede, na faixa 2
3
𝑙𝑙𝑥𝑥 é:
𝑔𝑔𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
3𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑙𝑙𝑥𝑥2
CARREGAMENTOS
• No caso de parede com direção perpendicular à direção principal, a carga da
parede deve ser considerada como uma força concentrada (𝑃𝑃) na viga que
representa a laje, sendo 𝑃𝑃 o peso da parede relativo a 1 m de comprimento.
CARREGAMENTOS
Ações variáveis
• Quanto às cargas variáveis,
“As estruturas devem ser projetadas para suportar as cargas variáveis indicadas na Tabela
10 da NBR 6120. Áreas sujeitas a várias categorias de utilização devem ser calculadas
para a categoria que produzir os efeitos mais desfavoráveis. Exceto onde especificado, os
pavimentos devem ser projetados para as cargas uniformemente distribuídas e
verificados para a atuação isolada das cargas concentradas, o que for mais desfavorável.
Os valores informados na Tabela 10 não incluem o peso próprio de estruturas de
arquibancadas, plataformas, passarelas, mezaninos etc., exceto onde indicado. As cargas
variáveis devem ser consideradas como quase-estáticas.
Para cargas que possam induzir efeitos de ressonância ou outra resposta dinâmica
significativa da estrutura (por exemplo: danças, saltos, movimentos de máquinas etc.),
esses efeitos devem ser levados em consideração por meio de fatores dinâmicos ou
análise dinâmica específica. Exceto onde indicado, as cargas variáveis uniformemente
distribuídas da Tabela 10 podem ser multiplicadas por um coeficiente de redução,
conforme descrito em 6.12.”
CARREGAMENTOS
• Portanto, a Tabela 10 da NBR 6120 deve ser consultada quando da definição
das cargas variáveis atuantes nas lajes dos pavimentos.
COBRIMENTO
• Para determinar a espessura do cobrimento é necessário antes
definir a CAA a qual o elemento ou a estrutura está inserida. Nos
projetos das estruturas correntes, a agressividade do ambiente deve
ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 6.1 da NBR
6118 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições
de exposição da estrutura ou de suas partes (NBR 6118, item 6.4.2).
“O responsável pelo projeto estrutural, de posse de dados relativos ao
ambiente em que será construída a estrutura, pode considerar classificação
mais agressiva que a estabelecida na Tabela 6.1.” (NBR 6118, item 6.4.3).
COBRIMENTO
COBRIMENTO
• A NBR 6118 (item 7.4) estabelece valores para o cobrimento nominal
de armaduras. Para garantir o cobrimento mínimo (𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐) o projeto e
a execução devem considerar o cobrimento nominal (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚), que é o
cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆𝑐𝑐):
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 + ∆𝑐𝑐
• A Tabela 7.2 da NBR 6118 apresenta valores de cobrimento nominal
de lajes, vigas e pilares, para a tolerância de execução, em função da
CAA.
COBRIMENTO
ESTIMATIVA DE ALTURADA LAJE
• Para projetar uma laje é necessário conhecer de início a sua altura
(ℎ). Existem diferentes procedimentos para estimativa da altura da
laje, sendo um deles dependente da altura útil 𝑑𝑑, definida como a
distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a
face comprimida da seção.
ESTIMATIVA DE ALTURA DA LAJE
• Para projetar uma laje é necessário conhecer de início a sua altura
(ℎ). Existem diferentes procedimentos para estimativa da altura da
laje, sendo um deles dependente da altura útil 𝑑𝑑, definida como a
distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a
face comprimida da seção.
• A altura 𝑑𝑑 pode ser estimada como:
𝑑𝑑 = 2,5 − 0,1𝑛𝑛 𝑙𝑙∗
Onde:
𝑑𝑑 – altura útil da laje (cm);
𝑛𝑛 – número de bordas engastadas da laje;
𝑙𝑙∗ - dimensão da laje em metro, sendo:
ESTIMATIVA DE ALTURA DA LAJE
𝑙𝑙∗ ≤ �
𝑙𝑙𝑥𝑥
0,7𝑙𝑙𝑦𝑦
Com 𝑙𝑙𝑥𝑥 ≤ 𝑙𝑙𝑦𝑦 e 𝑙𝑙∗, 𝑙𝑙𝑥𝑥 e 𝑙𝑙𝑦𝑦 em metro.
• Com a altura útil 𝑑𝑑 da equação acima e supondo armadura em
apenas uma camada, a altura ℎ é:
ℎ = 𝑑𝑑 +
∅𝑎𝑎
2 + 𝑐𝑐
• A altura final para a laje deve-se aproximar o valor da equação acima
para o número inteiro mais próximo, obedecendo-se a altura mínima
prescrita para as lajes.
ESTIMATIVA DE ALTURA DA LAJE
• Nos cálculos de dimensionamento a altura útil 𝑑𝑑 deve ser conhecida,
de modo que deve ser recalculada em função da altura ℎ escolhida:
𝑑𝑑 = ℎ − 𝑐𝑐 −
∅𝑎𝑎
2
• Como não se conhece inicialmente o diâmetro ∅𝑎𝑎 da barra
longitudinal, esse diâmetro deve ser estimado.
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
• As lajes retangulares armadas em apenas uma direção são
dimensionadas no sentido da menor direção, sendo consideradas
como vigas de largura unitária de comprimento igual ao menor vão
da laje.
Cálculo das reações de apoio
• O cálculo das reações de apoio é realizado por meio da análise da área de
influência da laje, como pode ser observado na figura abaixo.
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
• Para a definição das áreas de influência, são utilizados os seguintes ângulos:
• 45° entre apoios do mesmo tipo;
• 60° começando pelo apoio considerado engastado quando o outro for apoiado;
• 90° quando a borda vizinha for livre.
• Após calculadas as áreas de influência, chegam-se às reações de apoio da laje
utilizando-se a equação 1.4:
𝑅𝑅 =
𝑝𝑝𝐴𝐴𝑐𝑐
𝑙𝑙
Eq. 1.4
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
𝑅𝑅 =
𝑝𝑝𝐴𝐴𝑐𝑐
𝑙𝑙
Sendo:
𝑅𝑅 – reação de apoio (𝑅𝑅′𝑐𝑐 - reação no lado 𝑎𝑎 apoiado, 𝑅𝑅′′𝑐𝑐 - reação no lado 𝑎𝑎
engastado, 𝑅𝑅′𝑏𝑏 - reação no lado 𝑏𝑏 apoiado, 𝑅𝑅′′𝑏𝑏 - reação no lado 𝑏𝑏 engastado);
𝑝𝑝 – carga normal distribuída na laje;
𝐴𝐴𝑐𝑐 - área de influência em análise;
𝑙𝑙 – borda da laje referente à área de influência calculada (vão 𝑎𝑎 ou 𝑏𝑏).
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
Cálculo dos momentos fletores
• Para lajes armadas em apenas uma direção, figura abaixo, podem-se calcular
os esforços apenas na direção do menor vão. Na outra direção, utiliza-se
armadura mínima de distribuição, sendo recomendado o uso das seguintes
equações:
𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑀𝑀
5
𝑋𝑋𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐 ≈ 0,70𝑋𝑋
Eq. 1.5
Eq. 1.6
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑀𝑀
5
𝑋𝑋𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐 ≈ 0,70𝑋𝑋
Em que:
𝑀𝑀 – momento fletor positivo (𝑀𝑀𝑐𝑐 ou 𝑀𝑀𝑏𝑏);
𝑋𝑋 – momento fletor negativo (𝑋𝑋𝑐𝑐 ou 𝑋𝑋𝑏𝑏).
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
• Para o cálculo dos momentos fletores de acordo com as condições de apoio,
considerando-se 𝑀𝑀, momento fletor positivo (𝑀𝑀𝑐𝑐 ou 𝑀𝑀𝑏𝑏); 𝑋𝑋, momento fletor
negativo (𝑋𝑋𝑐𝑐 ou 𝑋𝑋𝑏𝑏); 𝑝𝑝, carga normal distribuída na laje; e 𝑙𝑙, vão da laje
armada em uma direção (𝑎𝑎 ou 𝑏𝑏), tem-se:
I. Para lajes do tipo apoiada-apoiada, figura abaixo:
• Regime elástico (cargas de serviço) e regime rígido-plástico (estudo do
comportamento da laje à ruptura):
𝑀𝑀 =
𝑝𝑝𝑙𝑙2
8
Eq. 1.7
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
II. Para lajes do tipo apoiada-engastada, figura abaixo:
• Regime elástico:
𝑀𝑀 =
𝑝𝑝𝑙𝑙2
14,22
𝑋𝑋 =
𝑝𝑝𝑙𝑙2
8
• Regime plástico:
𝑀𝑀 =
𝑝𝑝𝑙𝑙2
13,33
𝑋𝑋 = 1,5𝑀𝑀
Eq. 1.8
Eq. 1.11
Eq. 1.10
Eq. 1.9
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
UMA DIREÇÃO
II. Para lajes do tipo engastada-engastada, figura abaixo:
• Regime elástico:
𝑀𝑀 =
𝑝𝑝𝑙𝑙2
24
𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 =
𝑝𝑝𝑙𝑙2
12
• Regime plástico:
𝑀𝑀 =
𝑝𝑝𝑙𝑙2
20
𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 1,5𝑀𝑀
Eq. 1.13
Eq. 1.12
Eq. 1.14
Eq. 1.15
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES
• Para cálculo das reações de apoio, momentos fletores e flechas de
lajes armadas em duas direções, são utilizadas tabelas que
possibilitam a classificação da laje em tipos definidos com base na
observação das suas condições de apoio (Tabs. A1, A2, A3 e A4),
sendo eles:
• Tipo A: laje apoiada nos quatro lados (figura A);
• Tipo B: laje engastada em um dos lados (figura B);
• Tico C: laje engastada em um lado no sentido horizontal e em outro na
vertical (figura C);
• Tipo D: laje engastada nos dois lados no sentindo horizontal ou nos dois
lados no sentido vertical (figura D);
• Tipo E: laje engastada nos dois lados no sentido horizontal ou vertical e com
um lado engastado e o outro apoiado no outro sentido (figura E);
• Tipo F: laje engastada nos quatro lados (figura F).
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES
Cálculo das reações de apoio
• Para cálculo das reações de apoio das lajes armadas em duas direções (figura
abaixo) pode-se efetuar os mesmos cálculos realizados para as lajes armadas
em uma direção ou utilizar a tabela A1, seguindo-se, para cálculo da reação,
a equação 1.16:
𝑅𝑅′𝑐𝑐 = 𝑟𝑟′𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎
𝑅𝑅′′𝑐𝑐 = 𝑟𝑟′′𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎
𝑅𝑅′𝑏𝑏 = 𝑟𝑟′𝑏𝑏𝑝𝑝𝑎𝑎
𝑅𝑅′′𝑏𝑏 = 𝑟𝑟′′𝑏𝑏𝑝𝑝𝑎𝑎
Eq. 1.16
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES
𝑅𝑅′𝑐𝑐 = 𝑟𝑟′𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎
𝑅𝑅′′𝑐𝑐 = 𝑟𝑟′′𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎
𝑅𝑅′𝑏𝑏 = 𝑟𝑟′𝑏𝑏𝑝𝑝𝑎𝑎
𝑅𝑅′′𝑏𝑏 = 𝑟𝑟′′𝑏𝑏𝑝𝑝𝑎𝑎
Em que:
𝑅𝑅 – reação de apoio (𝑅𝑅′𝑐𝑐 - reação no lado 𝑎𝑎 apoiado, 𝑅𝑅′′𝑐𝑐 - reação no lado 𝑎𝑎
engastado, 𝑅𝑅′𝑏𝑏 - reação no lado 𝑏𝑏 apoiado, 𝑅𝑅′′𝑏𝑏 - reação no lado 𝑏𝑏 engastado);
𝑟𝑟 – valor obtido na tabela (𝑟𝑟′𝑐𝑐 - reação no lado 𝑎𝑎 apoiado, 𝑟𝑟′′𝑐𝑐 - reação no
lado 𝑎𝑎 engastado, 𝑟𝑟′𝑏𝑏 - reação no lado 𝑏𝑏 apoiado, 𝑟𝑟′′𝑏𝑏 - reação no lado 𝑏𝑏
engastado);
𝑝𝑝 – carga normal distribuída na laje;
𝑎𝑎 – vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja
igual para as duas direções, adota-se 𝑎𝑎 o menor dos vãos.
Eq. 1.16
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES
Cálculo dos momentos fletores
• O cálculo dos momentos fletores para as lajes armadas em duas direções
(representadas pela figura) é efetuado utilizando-se a tabela A2 ou A3,
dependendo do regime considerado, seguindo-se, para cálculo do momento
fletor:
• As equações abaixo para regime elástico:
𝑀𝑀𝑐𝑐 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑚𝑚𝑎𝑎
e 𝑀𝑀𝑏𝑏 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑚𝑚𝑏𝑏
𝑋𝑋𝑐𝑐 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑐𝑐𝑎𝑎
e 𝑋𝑋𝑏𝑏 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑐𝑐𝑏𝑏
Eq. 1.17
Eq. 1.18
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES
𝑀𝑀𝑐𝑐 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑚𝑚𝑎𝑎
e 𝑀𝑀𝑏𝑏 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑚𝑚𝑏𝑏
𝑋𝑋𝑐𝑐 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑐𝑐𝑎𝑎
e 𝑋𝑋𝑏𝑏 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑐𝑐𝑏𝑏
Em que:
𝑀𝑀 – momento fletor positivo (𝑀𝑀𝑐𝑐 ou 𝑀𝑀𝑏𝑏);
𝑋𝑋 – momento fletor negativo (𝑋𝑋𝑐𝑐 ou 𝑋𝑋𝑏𝑏);
𝑝𝑝 – carga normal distribuída na laje;
𝑎𝑎 – vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja igual para
as duas direções, adota-se como 𝑎𝑎 o menor dos vãos;
𝑚𝑚 – valor obtido na tabela para os momentos positivos (𝑚𝑚𝑐𝑐 ou 𝑚𝑚𝑏𝑏);
𝑛𝑛 – valor obtido na tabela para os momentos negativos (𝑛𝑛𝑐𝑐 ou 𝑛𝑛𝑏𝑏);
LAJES RETANGULARES ARMADAS EM 
DUAS DIREÇÕES
• As equações abaixo para regime rígido-plástico:
𝑀𝑀𝑐𝑐 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑚𝑚𝑎𝑎
e 𝑀𝑀𝑏𝑏 =
𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝑚𝑚𝑏𝑏
𝑋𝑋𝑐𝑐 = 1,5𝑀𝑀𝑐𝑐 e 𝑋𝑋𝑏𝑏 = 1,5𝑀𝑀𝑏𝑏
Em que:
𝑀𝑀 – momento fletorpositivo (𝑀𝑀𝑐𝑐 ou 𝑀𝑀𝑏𝑏);
𝑋𝑋 – momento fletor negativo (𝑋𝑋𝑐𝑐 ou 𝑋𝑋𝑏𝑏);
𝑝𝑝 – carga normal distribuída na laje;
𝑎𝑎 – vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja igual para
as duas direções, adota-se como 𝑎𝑎 o menor dos vãos;
𝑚𝑚 – valor obtido na tabela para os momentos positivos (𝑚𝑚𝑐𝑐 ou 𝑚𝑚𝑏𝑏);
Eq. 1.19
Eq. 1.20
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
• Para que seja possível calcular a flecha da laje, mostra-se necessário
saber qual o estádio de cálculo da seção crítica. Um elemento
estrutural pode trabalhar nos estádios I ou II. O estádio I refere-se ao
concreto não fissurado, nele o concreto trabalha à tração e, ainda, à
compressão. Já o estádio II está relacionado ao concreto fissurado, ou
seja, o concreto trabalha à compressão no regime elástico e a tração
é desprezada.
• Para saber se o elemento encontra-se no estádio I ou II, compara-se o
momento de serviço (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟) com o momento de fissuração (𝑀𝑀𝑐𝑐),
classificando-o da seguinte forma:
�𝑀𝑀𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 < 𝑀𝑀𝑐𝑐 → Estádio I𝑀𝑀𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 > 𝑀𝑀𝑐𝑐 → Estádio II
Eq. 1.21
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
• Para o cálculo do momento de serviço, considera-se o momento
gerado pelas cargas permanentes e acidentais, o qual é obtido pela
equação abaixo:
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 = 𝑀𝑀𝑔𝑔 + 𝜓𝜓2𝑀𝑀𝑞𝑞
Em que:
𝑀𝑀𝑔𝑔 - momento total das cargas permanentes;
𝑀𝑀𝑞𝑞 - momento total das cargas acidentais;
𝜓𝜓2 - coeficiente de minoração do momento;
Eq. 1.22
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
• Quando não há informações que permitam o cálculo preciso dos
momentos provocados pela sobrecarga e pela carga permanente,
utiliza-se a proporção:
𝑀𝑀𝑔𝑔 - momento total das cargas permanentes = 80%𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑥𝑥
𝑀𝑀𝑞𝑞 - momento total das cargas acidentais = 20%𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑥𝑥
• Por analogia, ainda temos em substituição à equação 1.22 a equação
1.23 para o cálculo do momento de serviço:
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 =
𝑝𝑝𝑐𝑐𝑙𝑙2
𝑚𝑚𝑎𝑎
Eq. 1.23
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 =
𝑝𝑝𝑐𝑐𝑙𝑙2
𝑚𝑚𝑎𝑎
Em que:
𝑝𝑝𝑐𝑐 - carga imediata de serviço;
𝑙𝑙 – vão da laje armada em uma direção ou vão 𝑎𝑎 da laje armada em
duas direções (vão com o maior número de engastes da laje; caso o
número de engastes seja igual para as duas direções, adota-se 𝑎𝑎 como
o menor dos vãos);
𝑚𝑚𝑎𝑎 - para laje armada em duas direções, o valor de 𝑚𝑚𝑎𝑎 é obtido pela
tabela A2 ou A3. Para lajes armadas em uma direção, tem-se, de
acordo com o tipo:
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
apoiada − apoiada: regime elastico e r𝑚gido plástico → 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 8
apoiada− engastada: �
regime elástico → 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 14,22
regime plástico → 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 13,33
engastada − engastada: �
regime elástico → 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 24
regime plástico → 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 20
• A carga imediata de serviço (𝑝𝑝𝑐𝑐) é calculada pela equação 1.25:
𝑝𝑝𝑐𝑐 = 𝑔𝑔 + 𝜓𝜓2𝑞𝑞
Em que:
𝑔𝑔 – cargas permanentes;
𝑞𝑞 – cargas acidentais;
𝜓𝜓2 - coeficiente de minoração do momento.
Eq. 1.25
Eq. 1.24
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
• De acordo com a NBR 6118 (2014), item 17.3.1, o momento de
fissuração pode ser obtido pela equação 1.26:
𝑀𝑀𝑐𝑐 = 𝛼𝛼𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐼𝐼𝑐𝑐
𝑦𝑦𝑐𝑐
Em que:
𝛼𝛼 – fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na
flexão com a residência à tração direta, sendo, de acordo com a NBR
6118 (2014):
�
𝛼𝛼 = 1,2 para seções T ou duplo T
𝛼𝛼 = 1,3 para seções I ou T invertido
𝛼𝛼 = 1,5 para seções retangulares
Eq. 1.26
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
𝑀𝑀𝑐𝑐 = 𝛼𝛼𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐼𝐼𝑐𝑐
𝑦𝑦𝑐𝑐
Em que:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 – resistência à tração direta do concreto (para cálculo do momento
de fissuração, deve-se utilizar o 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑘𝑘,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖 para estado-limite de formação
de fissuras e 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑚𝑚 no estado-limite de deformação excessiva);
𝐼𝐼𝑐𝑐 - momento de inercia da seção bruta de concreto;
𝑦𝑦𝑐𝑐 - distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.
• Para seção retangular, utiliza-se:
• Para distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada (𝑦𝑦𝑐𝑐):
𝑦𝑦𝑐𝑐 =
ℎ
2
Eq. 1.27
Eq. 1.26
VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
• Para cálculo do momento de inércia da seção (𝐼𝐼𝑐𝑐):
𝐼𝐼𝑐𝑐 =
𝑏𝑏ℎ3
12
Em que:
𝑏𝑏 – base da seção de concreto;
ℎ - altura da seção de concreto.
Eq. 1.28
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
• A flecha imediata, ou inicial (𝑓𝑓𝑐𝑐), refere-se ao deslocamento que
ocorre no instante em que a carga é aplicada. Como a deformação
devido à ação das cargas observada nas lajes armadas em uma
direção assemelha-se à das vigas (deformação predominantemente
em uma direção), utiliza-se a mesma equação para os dois
elementos. Com base na análise do menor dos vãos, tem-se:
𝑓𝑓𝑐𝑐 =
𝑝𝑝𝑐𝑐𝑙𝑙4
384 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞
𝐾𝐾 Eq. 1.29
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
𝑓𝑓𝑐𝑐 =
𝑝𝑝𝑐𝑐𝑙𝑙4
384 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞
𝐾𝐾
Em que:
𝑝𝑝𝑐𝑐 - carga imediata de serviço;
𝑙𝑙 – vão da laje armada em uma direção ou comprimento da viga;
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞 - rigidez equivalente;
𝐾𝐾 – coeficiente que segue estas condições de apoio:
�
𝐾𝐾 = 5 → apoiada − apoiada
𝐾𝐾 = 2 → apoiada − engastada
𝐾𝐾 = 1 → engastada − engastada
Eq. 1.29
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
• O cálculo da flecha imediata para lajes armadas em uma direção
segue os critérios para a flecha imediata em vigas, os quais são
baseados no cálculo da rigidez equivalente utilizando-se a formulação
de Branson (1966).
• Para cálculo da rigidez equivalente 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞, deve-se, após classificação
em estádio I ou II, utilizar uma das equações a seguir estabelecidas
pela NBR 6118:
• Para estádio I:
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐
• Para estádio II:
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐
3
𝐼𝐼𝐶𝐶 + 1 −
𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐
3
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐
Eq. 1.30
Eq. 1.31
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
• Para estádio I:
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐
• Para estádio II:
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐
3
𝐼𝐼𝐶𝐶 + 1 −
𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐
3
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐
Em que:
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 - módulo de elasticidade secante do concreto;
𝑀𝑀𝑐𝑐 - momento de fissuração do elemento estrutural;
𝑀𝑀𝑐𝑐 - momento fletor na seção crítica do vão em análise (momento máximo no
vão de vigas biapoiadas e contínuas, e momento no apoio parar balanços);
𝐼𝐼𝐶𝐶 - momento de inércia da seção bruta de concreto;
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 - momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II, dado
por:
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑏𝑥𝑥𝐼𝐼𝐼𝐼
3
3
+ 𝛼𝛼′𝑟𝑟𝐴𝐴′𝑐𝑐 𝑥𝑥𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑑𝑑′ 2 + 𝛼𝛼𝑟𝑟𝐴𝐴𝑐𝑐 𝑑𝑑 − 𝑥𝑥𝐼𝐼𝐼𝐼 2
Sendo:
𝑥𝑥𝐼𝐼𝐼𝐼 = −𝐴𝐴 + 𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵
𝐴𝐴 =
𝛼𝛼𝑟𝑟𝐴𝐴𝑐𝑐 + 𝛼𝛼𝑟𝑟′𝐴𝐴𝑐𝑐′
𝑏𝑏
𝐵𝐵 =
2𝛼𝛼𝑟𝑟𝐴𝐴𝑐𝑐𝑑𝑑 + 𝛼𝛼𝑟𝑟′𝐴𝐴𝑐𝑐′ 𝑑𝑑′
𝑏𝑏
𝛼𝛼𝑟𝑟′ = 𝛼𝛼𝑟𝑟 − 1
𝛼𝛼𝑟𝑟 =
𝐸𝐸𝑐𝑐
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐
Em que:
𝑏𝑏 – largura do elemento;
𝑥𝑥𝐼𝐼𝐼𝐼 - posição da linha neutra no estádio II;
𝐴𝐴𝑐𝑐 - armadura tracionada;
𝐴𝐴𝑐𝑐′ - armadura de compressão;
Eq. 1.32
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
Em que:
𝑏𝑏 – largura do elemento;
𝑥𝑥𝐼𝐼𝐼𝐼 - posição da linha neutra no estádio II;
𝐴𝐴𝑐𝑐 - armadura tracionada;
𝐴𝐴𝑐𝑐′ - armadura de compressão;
𝑑𝑑 – altura útil da seção transversal;
𝑑𝑑′ - profundidade da armadura 𝐴𝐴𝑐𝑐′ ;
𝛼𝛼𝑟𝑟 - relação modular.
• A flecha diferida no tempo, ou final, refere-se ao deslocamento que
ocorre após a passagem de um longo período de tempo. Para seu
cálculo, segue-se a equação abaixo:
𝑓𝑓𝑐𝑐=∞ = 𝑓𝑓𝑐𝑐(1 + 𝛼𝛼𝑖𝑖) Eq. 1.33
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
𝑓𝑓𝑐𝑐=∞ = 𝑓𝑓𝑐𝑐(1 + 𝛼𝛼𝑖𝑖)
Em que:
𝑓𝑓𝑐𝑐=∞ - flecha diferida no tempo;
𝑓𝑓𝑐𝑐 - flecha imediata;
𝛼𝛼𝑖𝑖 - fator obtido pela equação abaixo:
𝛼𝛼𝑖𝑖 =
∆𝜉𝜉
(1 + 50𝜌𝜌′)
Em que 𝜌𝜌′ é encontrado por meio da equação abaixo:
𝜌𝜌′ =
𝐴𝐴𝑐𝑐′
𝑏𝑏𝑑𝑑 = 0
Eq. 1.34
Eq. 1.33
Eq. 1.35CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
𝜌𝜌′ = 0 → não há armadura dupla em laje
𝜉𝜉 – é o coeficiente função do tempo que pode ser calculado pelas
equações abaixo, ou obtido diretamente pela tabela abaixo.
𝜉𝜉 𝑡𝑡 = 0,68 0,996𝑐𝑐 𝑡𝑡0,32 para 𝑡𝑡 ≤ 70 meses
𝜉𝜉 𝑡𝑡 = 2 para 𝑡𝑡 > 70 meses
Eq. 1.36
Eq. 1.37
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
∆𝜉𝜉 é encontrado pela equação 1.38:
∆𝜉𝜉 = 𝜉𝜉𝑐𝑐=∞ − 𝜉𝜉𝑐𝑐=0
Logo, tem-se:
𝜉𝜉𝑐𝑐=∞ = 2 (para 𝑡𝑡 > 70 meses)
𝜉𝜉𝑐𝑐=0 = 0,54 (escoramento na idade de 14 dias ≈ 0,5 mês)
∆𝜉𝜉 = 2,0 − 0,54 = 1,46
• Assim, pode-se reescrever a equação 1.33 chegando-se a flecha
diferida no tempo, como mostra a equação abaixo:
𝑓𝑓𝑐𝑐=∞ = 2,46𝑓𝑓𝑐𝑐
Eq. 1.38
Eq. 1.39
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
• Após calculada a flecha diferida no tempo, verifica-se a flecha
admissível por meio dos deslocamentos-limite estabelecidos na NBR
6118, item 13.3, utilizando-se, em vigas e lajes biapoiadas:
• Para deslocamento devido à carga total:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 =
𝑙𝑙
250
• Para deslocamento devido à carga acidental:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 =
𝑙𝑙
350
Em que:
𝑙𝑙 – vão da laje armada em uma direção ou vão com o maior número de
engastes da laje armada em duas direções (caso o número de engastes seja
igual para as duas direções, adota-se como 𝑎𝑎 o menor dos vãos)
Eq. 1.40
Eq. 1.41
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
• Esses deslocamentos podem ser compensados, em parte, por
contraflechas (CF), sendo estas, para lajes e vigas biapoiadas,
definidas, pela equação abaixo:
𝐶𝐶𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =
𝑙𝑙
350 Eq. 1.42
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
• Para lajes armadas em duas direções, tem-se, para cálculo da flecha
imediata, a equação abaixo:
𝑓𝑓𝑐𝑐 =
𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎4
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ3
𝑥𝑥
Em que:
𝑝𝑝𝑐𝑐 - é obtido pela equação 1.25;
𝑎𝑎 – vão com o maior número de engastes da laje armadas em duas
direções (caso o número de engastes seja igual para as duas direções,
adota-se 𝑎𝑎 como o menor dos vãos);
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 - módulo de elasticidade secante do concreto;
ℎ - espessura da laje;
𝑥𝑥 – é obtido por meio da tabela A4.
Eq. 1.43
CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES 
ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
• Calcula-se, então, a flecha diferida no tempo utilizando-se a equação
1.39 para que possa ser feita a verificação da flecha a partir da
comparação do valor obtido com a flecha admissível, sendo esta
obtida pelas equações 1.40 e 1.41.
• Para contraflecha, utiliza-se a mesma equação empregada em lajes
armadas em uma direção, a equação 1.42.
PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO 
ÀS LAJES
• A NBR 6118 (2014) estabelece valores mínimos e máximos para
dimensionamento das lajes, sendo, alguns deles, dispostos a seguir.
Espessura mínima
• Para a espessura mínima das lajes, tem-se, de acordo com o item 13.2.4.1 da
norma:
• 7 cm para lajes de cobertura e 8 cm para lajes de piso, contanto que ambas não
estejam em balanço;
• 10 cm para lajes em balanço;
• 10 cm para lajes que estejam submetidas a carregamento de veículos de até 30 kN
e de 12 cm no caso de veículos de peso superior;
• 15 cm para lajes protendidas apoiadas em vigas, espessura de 𝑙𝑙/42 para pisos
biapoiadas e de 𝑙𝑙/50 para pisos contínuos;
• 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo.
PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO 
ÀS LAJES
Vão efetivo
• Os vãos efetivos das lajes nas direções principais (NBR 6118, item 14.6.2.4),
considerando que os apoios são suficientemente rígidos na direção vertical,
devem ser calculados pela expressão:
𝑙𝑙𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑙𝑙0 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2
Em que:
𝑙𝑙𝑟𝑟𝑖𝑖 - vão efetivo;
𝑙𝑙0 - vão livre (distância entre as faces dos apoios);
𝑎𝑎1 e 𝑎𝑎2 seguem as condições:
𝑎𝑎1 ≤ �
𝑐𝑐1
2
0,3ℎ
e 𝑎𝑎1 ≤ �
𝑐𝑐2
2
0,3ℎ
Eq. 1.44
Eq. 1.45
PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO 
ÀS LAJES
• As dimensões 𝑙𝑙0, 𝑡𝑡1, 𝑡𝑡2 e ℎ estão indicados na figura.
Em que:
ℎ - espessura da laje;
𝑡𝑡1 e 𝑡𝑡2 - larguras dos apoios.
PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO 
ÀS LAJES
• Conhecidos os vãos teóricos considera-se 𝑙𝑙𝑥𝑥 o menor vão e 𝑙𝑙𝑦𝑦 o maior e 𝜆𝜆 =
𝑙𝑙𝑦𝑦/𝑙𝑙𝑥𝑥.
PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO 
ÀS LAJES
• De acordo com o valor de 𝜆𝜆, é usual a seguinte classificação:
• 𝜆𝜆 ≤ 2 → laje armada em duas direções;
• 𝜆𝜆 > 2 → laje armada em uma direção;
PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO 
ÀS LAJES
Área mínima da armadura longitudinal
• Com base na taxa geométrica de armadura da seção transversal (𝜌𝜌𝑐𝑐) obtida
pela equação abaixo, têm-se, de acordo com o item 19.3.3.2 da NBR 6118,
condições a serem seguidas para estabelecimento dos valores mínimos para
armaduras das lajes em relação à taxa mínima de armadura de flexão 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐.
𝜌𝜌𝑐𝑐 =
𝐴𝐴𝑐𝑐
𝑏𝑏ℎ =
𝐴𝐴𝑐𝑐
100ℎ
• Para armadura negativa:
𝜌𝜌𝑐𝑐 ≥ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐
• Para armadura negativa de borda sem continuidade:
𝜌𝜌𝑐𝑐 ≥ 0,67𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐
Eq. 1.47
Eq. 1.46
Eq. 1.48
PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO 
ÀS LAJES
• Para armadura positiva de lajes armadas nas duas direções:
𝜌𝜌𝑐𝑐 ≥ 0,67𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐
• Para armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção:
𝜌𝜌𝑐𝑐 ≥ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐
• Para armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção:
𝜌𝜌𝑐𝑐 ≥ 0,5𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐
𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐 ≥ �
20%𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
0,9𝑐𝑐𝑚𝑚2/𝑚𝑚
Eq. 1.49
Eq. 1.50
Eq. 1.51
Eq. 1.52
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• De acordo com a NBR 6118 (2014), item 20.1, devem-se detalhar as
armaduras das lajes de forma a garantir que o posicionamento
desejado seja mantido durante a concretagem.
• O diâmetro das barras deve atender a equação abaixo:
∅ ≤
ℎ
8
Sendo ℎ a espessura da laje.
• Para a armadura principal de flexão, deve-se ter espaçamento entre
as barras:
𝑠𝑠 ≤ � 2ℎ20 𝑐𝑐𝑚𝑚
Eq. 1.53
Eq. 1.54
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Para armadura secundária de flexão das lajes armadas em uma
direção, esse espaçamento não deve ser superior a 33 cm, e para a
área de aço tem-se:
𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐 ≥ 20%𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Em que:
𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐 - área de aço da armadura secundária;
𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 - área de aço da armadura principal.
• Para dimensionamento das armaduras longitudinais das lajes, são
utilizadas as mesmas equações de vigas de seção retangular. Quanto
ao comprimento das barras e dos ganchos das extremidades, segue-
se o raciocínio a seguir.
Eq. 1.55
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
Armaduras positivas
• As armaduras positivas são responsáveis por absorver os esforços dos
momentos fletores positivos, localizando-se próximas à face inferior da laje.
Seu comprimento, geralmente, estende-se, para cada lado, até a face externa
da viga de apoio, sendo descontado apenas o valor do cobrimento mínimo.
Tem-se, dessa forma, para comprimento da barra, a equação abaixo:
𝑐𝑐 = 𝑙𝑙0 + 𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚
Em que:
𝑐𝑐 – comprimento da armadura;
𝑙𝑙0 - vão livre (distância entre as faces internas dos apoios);
𝑑𝑑1 e 𝑑𝑑2 - largura das vigas de apoio;
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 - cobrimento nominal.
Eq. 1.56
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Após a definição (dimensionamento estrutural) da ferrugem a ser utilizada na
laje com espessura unitária (𝑏𝑏 = 100𝑐𝑐𝑚𝑚 ), deve-se fazer o cálculo da
quantidade de barras necessárias para a largura (𝑏𝑏) real da laje, conforme a
equação abaixo:
𝑛𝑛 =
𝑙𝑙0
𝑠𝑠 − 1
Em que:
𝑛𝑛 – número de barras (arredondado para o inteiro imediatamente inferior);
𝑙𝑙0 - vão livre (distância entre as faces internas dos apoios);
𝑠𝑠 – espaçamento das barras.
• Visando a economia, pode-se variar alternadamente os comprimentos das
barras utilizadas devido à redução dos momentos fletores na região do
apoio. Essas barras alternadas podem ter seu comprimento estimado
conforme a equação abaixo:
Eq. 1.57
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
𝐶𝐶 = 0,8(𝑙𝑙0 + 𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2)
Em que:
𝑙𝑙0 - vão livre (distância entreas faces internas dos apoios);
𝑑𝑑1 e 𝑑𝑑2– largura das vigas de apoio.
Eq. 1.58
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
Armaduras negativas
• As armaduras negativas (representadas pelas figuras abaixo) são
responsáveis por absorver os esforços dos momentos fletores negativos,
localizando-se próximas à face superior da laje. O seu comprimento total
abrange o comprimento reto e os ganchos das extremidades.
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Para cálculo do seu comprimento, tem-se, estendendo para cada lado do
apoio, a equação abaixo:
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
4
Eq. 1.59
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
4
Em que:
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 - comprimento para cada lado do apoio;
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 - maior dos menores vãos efetivos das lajes contíguas.
• Com base nessa equação, chega-se ao comprimento reto da armadura
(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐), com a Equação 1.61:
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
• Para as dobras (ganchos de extremidades), pode-se adotar a equação abaixo:
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐 = ℎ − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚
Eq. 1.60
Eq. 1.61
Eq. 1.62
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
Em que:
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐- comprimento da dobra;
ℎ - espessura da laje;
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 - cobrimento nominal.
• Já para comprimento total (𝐶𝐶), utiliza-se a equação 1.63:
𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 + 2𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐
• Da mesma forma que para as armaduras positivas, para determinar a
quantidade de barras, utiliza-se a equação 1.57. Para garantir o
posicionamento adequado das barras negativas, são colocadas barras na
direção transversal para amarração.
• As armaduras negativas também podem ser alternadas. Para tal, estende-se,
sobre os apoios, alternadamente, um valor definido pela equação abaixo:
Eq. 1.63
DIMENSIONAMENTO E 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
𝐶𝐶𝑐𝑐 =
1
2
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
4
=
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
8
Em que 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 é o maior dos menores vãos efetivos das lajes contíguas.
• Com a alternância das armaduras, há uma economia quanto ao comprimento
da barra utilizada, sendo este reduzido e calculado por:
𝐶𝐶 =
3
2
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
4 = 3
𝑙𝑙𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
8
Eq. 1.64
Eq. 1.65
LAJES EM BALANÇO
• As lajes maciças que possuem borda livre podem ser divididas em:
armadas em uma direção ou armadas nas duas direções.
• Para as armadas em uma direção, deve-se calcular considerando-se
essas lajes como vigas isostáticas (engastada-livre), já para as
armadas em duas direções, deve-se realizar o cálculo por meio de
tabelas.
• Quanto às normas referentes às lajes em balanço, de acordo com a
NBR 6120 (1980b), item 2.2.1.5, para lajes em balanço que possuem
parapeitos e balcões (como a da figura), deve-se considerar uma
carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga
vertical mínima de 2,0 kN/m.
LAJES EM BALANÇO
• A NBR 6118, em seu item 13.2.4.1, estipula que, para
dimensionamento das lajes em balanço com espessura inferior a 19
cm, quando esta é dimensionada por analogia a uma viga em
balanço, devem-se multiplicar os esforços solicitantes de cálculo por
um coeficiente adicional 𝛾𝛾𝑐𝑐, chegando-se a tabela abaixo.
LAJES EM BALANÇO
• Para que a laje em balanço 𝐿𝐿2 da figura seja considerada engastada
na laje contínua 𝐿𝐿1, devem-se seguir as condições:
LAJES EM BALANÇO
• Se 𝑋𝑋2 referente à carga permanente ≥ 𝑋𝑋1 referente à carga total → 𝐿𝐿1 está
engastada em 𝐿𝐿2;
𝑋𝑋2
𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 ≥ 𝑋𝑋1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 → 𝐿𝐿1 engastada 𝐿𝐿2
• Se 𝑋𝑋2 referente à carga permanente < 𝑋𝑋1 referente à carga total → 𝐿𝐿1 está
apoiada em 𝐿𝐿2;
𝑋𝑋2
𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 < 𝑋𝑋1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 → 𝐿𝐿1 apoiada 𝐿𝐿2
Sendo que 𝑋𝑋1 e 𝑋𝑋2 são momentos negativos entre as lajes 1 e 2.
LAJES EM BALANÇO
Momento fletores das lajes em balanço armadas em duas direções
• Este método se faz pela utilização de tabelas especificas que permitem a
determinação das flechas e do momento fletor para lajes solicitadas por
carga uniforme ou triangular como as de Rocha (1987) e Hahn (1972)
denominadas “Momentos fletores em laje com uma borda livre” (Tabelas A5
a A10).
• Para utilização das tabelas, primeiramente, calcula-se o 𝜆𝜆:
𝜆𝜆 =
𝑙𝑙𝑦𝑦
𝑙𝑙𝑥𝑥
Em que:
𝑙𝑙𝑥𝑥 - vão na direção 𝑥𝑥 de eixo a eixo;
𝑙𝑙𝑦𝑦 - vão na direção 𝑦𝑦 de eixo a eixo;
Eq. 1.66
LAJES EM BALANÇO
• Calcula-se, então, o valor de P para se obter o momento fletor, por meio das
equações abaixo:
• Para carga uniforme na área:
𝑃𝑃 = 𝐹𝐹𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙𝑦𝑦
• Para carga concentrada uniforme na borda livre:
𝑃𝑃 = 𝐹𝐹1𝑙𝑙𝑥𝑥
• Para momento T uniforme na borda livre:
𝑃𝑃 = 𝑇𝑇
Em que:
𝑃𝑃 – valor utilizado para cálculo do momento fletor por meio das tabelas A5 a A10;
𝐹𝐹 – carga uniformemente distribuída na laje (kN/m²) ou valor máximo da carga
triangular;
Eq. 1.67
Eq. 1.68
Eq. 1.69
LAJES EM BALANÇO
𝐹𝐹1 - carga concentrada uniformemente aplicada na borda livre da laje (kN/m);
𝑙𝑙𝑥𝑥 - vão de eixo a eixo paralelo à borda livre;
𝑙𝑙𝑦𝑦 - vão de eixo a eixo perpendicular à borda livre;
𝑇𝑇 – momento fletor na borda livre da laje (kN.m/m).
• Como a laje é calculada como uma viga de 100 cm de largura, tem-se kN.m
como unidade para o momento fletor na borda livre.
• Por fim, calcula-se o momento fletor utilizando-se as seguintes equações:
𝑀𝑀𝑥𝑥 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑥𝑥
;𝑀𝑀𝑦𝑦 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑦𝑦
;𝑀𝑀𝑐𝑐 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑐𝑐
;𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑥𝑥𝑦𝑦
𝑋𝑋𝑥𝑥 =
𝑃𝑃
𝑛𝑛𝑥𝑥
;𝑋𝑋𝑦𝑦 =
𝑃𝑃
𝑛𝑛𝑦𝑦
;𝑋𝑋𝑐𝑐 =
𝑃𝑃
𝑛𝑛𝑐𝑐
Eq. 1.70
LAJES EM BALANÇO
𝑀𝑀𝑥𝑥 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑥𝑥
;𝑀𝑀𝑦𝑦 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑦𝑦
;𝑀𝑀𝑐𝑐 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑐𝑐
;𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦 =
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑥𝑥𝑦𝑦
𝑋𝑋𝑥𝑥 =
𝑃𝑃
𝑛𝑛𝑥𝑥
;𝑋𝑋𝑦𝑦 =
𝑃𝑃
𝑛𝑛𝑦𝑦
;𝑋𝑋𝑐𝑐 =
𝑃𝑃
𝑛𝑛𝑐𝑐
Em que:
𝑀𝑀𝑥𝑥 e 𝑀𝑀𝑦𝑦 - momentos positivos no centro nas direções x e y, respectivamente;
𝑀𝑀𝑐𝑐 - momento positivo no centro da borda livre na direção x;
𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦 - momento nos cantos;
𝑋𝑋𝑥𝑥 e 𝑋𝑋𝑦𝑦 - momentos negativos no centro da borda engastada nas direções x e
y, respectivamente;
𝑋𝑋𝑐𝑐 - momento negativo no extremos da borda livre na direção x;
𝑚𝑚𝑥𝑥, 𝑚𝑚𝑦𝑦, 𝑚𝑚𝑐𝑐, 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑦𝑦, 𝑛𝑛𝑥𝑥, 𝑛𝑛𝑦𝑦, 𝑛𝑛𝑐𝑐 - valores encontrados na tabela A11.
Eq. 1.70
LAJES EM BALANÇO
Reações das lajes em balanço armadas em duas direções
• Para cálculo das reações de apoio em lajes solicitadas por carga
uniformemente distribuída, pode-se utilizar a tabela A11. Para se chegar aos
valores das reações por meio dessa tabela, primeiramente, deve-se classificar
a laje em um dos tipos (A5, A6, A7, A8, A9 ou A10) e depois utilizar a
equação 1.66 para o cálculo de 𝜆𝜆.
• As reações de apoio podem ser encontradas pelas equações:
𝑅𝑅𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥
𝑅𝑅𝑥𝑥1 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥1
𝑅𝑅𝑥𝑥2 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥2
𝑅𝑅𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑦𝑦𝑉𝑉𝑦𝑦
Eq. 1.71
LAJES EM BALANÇO
𝑅𝑅𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥
𝑅𝑅𝑥𝑥1 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥1
𝑅𝑅𝑥𝑥2 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥2
𝑅𝑅𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑦𝑦𝑉𝑉𝑦𝑦
Em que:
𝑅𝑅𝑥𝑥, 𝑅𝑅𝑥𝑥1, 𝑅𝑅𝑥𝑥2 e 𝑅𝑅𝑦𝑦 - reações de apoio;
𝑝𝑝 – valor da carga uniformemente distribuída na laje;
𝑙𝑙𝑥𝑥 - vão na direção x de eixo a eixo;
𝑙𝑙𝑦𝑦 - vão na direção y de eixo a eixo;
𝑉𝑉𝑥𝑥, 𝑉𝑉𝑥𝑥1, 𝑉𝑉𝑥𝑥2 e 𝑉𝑉𝑦𝑦 - valores encontrados na tabela A11.
Eq. 1.71
LAJES EM BALANÇO
Detalhamento das lajes em balanço
• Para lajes em balanço com continuidade, as armaduras são posicionadas de
modo a respeitar o cobrimento mínimo da laje em balanço em relação à
borda livre e estendem-se pela laje contígua. Para comprimento reto dessas
barras, tem-se:
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 ≥ 2𝑙𝑙
Sendo 𝑙𝑙 o vão efetivo da laje em balanço (vão entre eixos dos apoios).
Eq. 1.72
LAJES EM BALANÇO
Cálculo da flecha
• O cálculo da flecha imediata (𝑓𝑓𝑐𝑐) de lajes em balanço pode ser realizado pela
equaçãoabaixo:
𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝑓𝑓1 + 𝑓𝑓2 + 𝑓𝑓3
Em que:
𝑓𝑓1 - parcela 1 da flecha imediata devido ao carregamento distribuído;
𝑓𝑓2 - parcela 2 da flecha imediata devido à carga concentrada;
𝑓𝑓3 - parcela 3 da flecha imediata devido ao momento no balanço.
Eq. 1.73
LAJES EM BALANÇO
• Para as parcelas, têm-se as seguintes equações:
𝑓𝑓1 =
𝑝𝑝𝑐𝑐𝑙𝑙4
8𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼
Em que:
𝑝𝑝𝑐𝑐 - carga imediata de serviço;
𝑙𝑙 – vão da laje em balanço;
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 - módulo de elasticidade secante do concreto;
𝐼𝐼 – momento de inercia da seção.
𝑓𝑓2 =
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑙𝑙3
3𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼
Em que:
𝑃𝑃𝑐𝑐 - carga imediata concentrada, dada pela equação abaixo.
Eq. 1.73
Eq. 1.74
LAJES EM BALANÇO
𝑃𝑃𝑐𝑐 = 𝐺𝐺 + 𝜓𝜓2𝑄𝑄
Em que:
𝐺𝐺 - cargas concentradas permanentes;
𝑄𝑄 – cargas concentradas variáveis;
𝜓𝜓2 - coeficiente de minoração do concreto.
𝐼𝐼 – momento de inercia da seção.
𝑓𝑓3 =
𝑋𝑋𝑐𝑐𝑙𝑙2
2𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼
Em que:
𝑋𝑋𝑐𝑐 - é o momento devido ao balanço, dado pela equação abaixo:
𝑋𝑋𝑐𝑐 = 𝑋𝑋𝑔𝑔,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑔𝑔𝑐𝑐 + 𝜓𝜓2𝑋𝑋𝑞𝑞,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑔𝑔𝑐𝑐
Eq. 1.75
Eq. 1.77
Eq. 1.76
LAJES EM BALANÇO
• Após calculada a flecha imediata, chega-se a flecha diferida no tempo
utilizando-se a equação 1.XXX. Verifica-se, então, a flecha admissível na
extremidade de um balanço por meio dos deslocamentos-limite estipulados
na norma, que são:
• Para deslocamento devido à carga total:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 =
𝑙𝑙
125
• Para deslocamento devido à carga acidental:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 =
𝑙𝑙
175
𝑙𝑙 – vão da laje armada em uma direção ou vão com o maior número de engastes da
laje armada em duas direções (caso o número de engastes seja igual para as duas
direções, adota-se como 𝑎𝑎 o menor dos vãos).
Eq. 1.79
Eq. 1.78
LAJES EM BALANÇO
• Esses deslocamentos podem ser compensados, em parte, por contraflechas
(𝐶𝐶𝐹𝐹), que são definidas pela equação abaixo:
𝐶𝐶𝐹𝐹 =
𝑙𝑙
175 Eq. 1.80
COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS
• Pode-se observar que,
geralmente, entre as lajes há
momentos negativos
diferentes, devendo-se, dessa
forma, realizar a
compatibilização dos
momentos sobre os apoios
de forma aproximada, como
vemos na figura ao lado.
COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS
• Isso pode ser feito utilizando-se as equações a seguir:
• Para momento negativo:
𝑋𝑋𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 ≥ �
𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2
2
0,8𝑋𝑋1
Em que:
𝑋𝑋1 - maior momento negativo entre eles;
𝑋𝑋2 - menor momento negativo entre eles;
• Para a laje que teve seu momento negativo diminuído, deve-se realizar uma
compensação, corrigindo o momento positivo da mesma direção conforme a
equação abaixo:
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 + 0,3 𝑋𝑋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 − 𝑋𝑋𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐
Eq. 1.81
Eq. 1.82
LAJES NERVURADAS
• As lajes nervuradas são vistas como uma opção para os casos nos
quais se deseja reduzir cargas na estrutura, economizar concreto e
ainda vencer maiores vãos (7 m a 15 m).
• Nessas lajes, há um melhor aproveitamento do concreto e do aço,
pois utiliza-se o mesmo princípio da viga T. Elas ainda possuem, em
sua parte inferior, nervuras que podem ou não ser preenchidas.
Quando preenchidas, são utilizados materiais que não interferem na
resistência, como isopor, blocos cerâmicos, de concreto, ou EPS e
tijolos.
LAJES NERVURADAS
• Quanto ao tipo de execução, as lajes nervuradas podem ser
moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas. Na primeira opção
(moldadas “in loco”), há a utilização de formas, escoramentos e
material de enchimento (ou formas em substituição do material
inerte).
LAJES NERVURADAS
• Já nas lajes pré-moldadas, são utilizadas vigotas pré-moldadas como
nervuras, que podem ser de concreto armado, concreto protendido
ou vigota treliçada.
• As lajes nervuradas, assim como as maciças, podem ser armadas em
uma ou duas direções (armadas em cruz), o que é definido pelas suas
nervuras, que podem ocorrer em uma ou nas duas direções. Quando
armadas em apenas uma direção, são analisadas na direção das
nervuras (menor vão); já quando armadas em cruz, são calculadas
como lajes maciças convencionais.
LAJES NERVURADAS
Prescrições da norma
• A NBR 6118:2014, item 13.2.4.2, define alguma condições a serem
obedecidas para o projeto das lajes nervuradas, como valores mínimos e
máximos, sendo, alguns deles, dispostos a seguir.
• Para melhor entendimento, tem-se a figura abaixo representa uma seção
transversal esquemática de uma laje nervurada com seus elementos.
LAJES NERVURADAS
Na figura, tem-se:
ℎ𝑖𝑖 - altura do capeamento;
ℎ𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 - altura da nervura;
ℎ𝑐𝑐 - altura total;
𝑏𝑏𝑤𝑤 - largura da nervura;
𝑏𝑏2 - espaçamento face a face entre as nervuras.
LAJES NERVURADAS
Espessura da mesa
• A espessura da mesa (ℎ𝑖𝑖) deve ser maior ou igual a 1/15 do espaçamento
entre as nervuras (medido face a face) e maior ou igual a 4 cm, quando não
houver tubulação horizontal embutida.
• Quando houver tubulação embutida de diâmetro máximo de 10 mm, o valor
mínimo para ℎ𝑖𝑖 deve ser de 5 cm. Para diâmetro ∅ da tubulação superior a
10mm, utiliza-se para espessura mínima da mesa:
ℎ𝑖𝑖 ≥ �
ℎ = 4𝑐𝑐𝑚𝑚 + ∅ → tubulação única
ℎ = 4𝑐𝑐𝑚𝑚 + 2∅ → tubulação que se cruzam
Eq. 1.90
LAJES NERVURADAS
Largura das nervuras
• A largura das nervuras (𝑏𝑏𝑤𝑤) não deve ser inferior a 5 cm. Em casos nos quais
a largura da nervura seja menor que 8 cm, não deve haver armadura de
compressão.
LAJES NERVURADAS
Verificações relacionadas ao eixo das nervuras
• Quando o espaçamento entre os eixos das nervuras for menor ou igual a 65
cm, não é necessário verificar a flexão da mesa, e, para a verificação do
cisalhamento na região das nervuras, pode-se aplicar os critérios das lajes.
• Para espaçamento entre eixos das nervuras entre 65 cm e 110 cm, mostra-se
necessário a flexão da mesa. Nessa situação, as nervuras devem ser
examinadas quanto ao cisalhamento como vigas, podendo ser analisadas
como lajes se o espaçamento entre os eixos das nervuras for no máximo de
90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm.
• Quando o espaçamento em entre os eixos das nervuras for maior que 110
cm, a mesa deve ser dimensionada como laje maciça, apoiada na grelha de
vigas, respeitando-se os limites mínimos quanto à espessura.
LAJES NERVURADAS
Dimensionamento das lajes nervuradas
• Para determinação das reações de apoio e momentos fletores nas
lajes nervuradas, primeiramente, classifica-se a laje em um dos dois
tipos:
• As que possuem espessura das nervuras e espaçamento entre elas iguais
para as duas direções;
• As que possuem essas dimensões diferentes.
• As lajes nervuradas que apresentam espessura das nervuras e
espaçamento entre elas iguais são dimensionadas da mesma forma
que as lajes maciças, sendo utilizadas as mesmas tabelas, com
exceção das lajes nervuradas que seguirem a teoria das linhas de
ruptura.
• Já as lajes nervuradas que apresentam espessura das nervuras e/ou
espaçamento entre elas diferentes nas duas direções devem ser
dimensionadas seguindo a teoria das grelhas, sendo realizados os
cálculos a seguir.
LAJES NERVURADAS
Momentos fletores e reações de apoio
• Para determinação do momento fletor positivo, as nervuras são consideradas
como vigas de seção T, utilizando-se os seguintes parâmetros mostrados na
figura abaixo:
LAJES NERVURADAS
Em que:
- seção T para dimensionamento da laje nervurada
ℎ𝑖𝑖 - altura do capeamento;
ℎ𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 - altura da nervura;
ℎ𝑐𝑐 - altura total;
𝑏𝑏𝑤𝑤 - largura da nervura;
𝑏𝑏2 - espaçamento face a face entre as nervuras;
𝑏𝑏𝑖𝑖 - largura da unidade-padrão para dimensionamento;
𝑏𝑏1 - é obtido pela equação 1.91.
LAJES NERVURADAS
𝑏𝑏1 ≤ �
0,5𝑏𝑏2
0,1𝑎𝑎
Em que:
𝑏𝑏2 - espaçamento face a face entre as nervuras;
𝑎𝑎 – distância em função do vão da laje nervurada na direção analisada,
definida pela equação abaixo:
𝑎𝑎 =
𝑙𝑙 → vão apoiado
0,75𝑙𝑙 → vão com momento em uma extremidade
0,6𝑙𝑙 → vão com momento nas duas extremidade𝑠𝑠
2𝑙𝑙→ balanços
Em que:
𝑙𝑙 – é o vão de eixo a eixo da laje nervurada na direção considerada.
Eq. 1.91
Eq. 1.92
LAJES NERVURADAS
• Para determinação do momento fletor negativo, as nervuras são
consideradas como vigas de seção retangular de largura 𝑏𝑏𝑤𝑤, sendo realizados
os mesmos cálculos que os efetuados para lajes maciças.
• As reações de apoio e os momentos fletores máximos para as lajes
nervuradas que apresentem espessura das nervuras e/ou espaçamento entre
elas diferentes nas duas direções podem ser calculados pelas mesmas
equações que as lajes maciças armadas em uma direção sob regime elástico,
sendo estas mostradas no Quadro abaixo.
LAJES NERVURADAS
Teoria das grelhas
• As lajes nervuradas que apresentam espessura das nervuras e/ou
espaçamento entre elas diferentes nas duas direções seguem a teoria das
grelhas, que apresenta como princípio a compatibilidade das flechas das
nervuras nas duas direções, realizando-se os cálculos para “quinhões de
carga” em cada direção.
• Segundo a teoria das grelhas, as vigas de um só tramo, quando solicitadas
por cargas uniformemente distribuídas, apresentam flechas máximas que
podem ser obtidas pela equação:
𝑓𝑓𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝐶𝐶1
𝑞𝑞𝑙𝑙4
𝐸𝐸𝐼𝐼
Em que:
𝑞𝑞 – carga uniformemente distribuída atuante na viga;
𝑙𝑙 – vão da viga;
𝐸𝐸𝐼𝐼 – rigidez à flexão da viga;
𝐶𝐶1 – fator que depende das condições de apoio da viga, em que:
Eq. 1.93
LAJES NERVURADAS
𝐶𝐶1 =
5
384
→ para viga apoiada− apoiada
2,1
384
→ para viga apoiada − engastada
1
384 → para viga engastada − engastada
Eq. 1.94
	DISCIPLINA�CONCRETO ARMADO II
	CAPÍTULO 1 ��DIMENSIONAMENTO DE LAJES
	DEFINIÇÃO
	DEFINIÇÃO
	LAJES MACIÇAS
	LAJES MACIÇAS
	LAJES MACIÇAS
	LAJES MACIÇAS
	LAJES MACIÇAS
	LAJES MACIÇAS
	LAJES MACIÇAS
	LAJES MACIÇAS
	CONDIÇÕES DE APOIO
	CONDIÇÕES DE APOIO
	CONDIÇÕES DE APOIO
	CONDIÇÕES DE APOIO
	CONDIÇÕES DE APOIO
	Número do slide 18
	CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TIPO DE ARMAÇÃO
	CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TIPO DE ARMAÇÃO
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	CARREGAMENTOS
	COBRIMENTO
	COBRIMENTO
	COBRIMENTO
	COBRIMENTO
	ESTIMATIVA DE ALTURA DA LAJE
	ESTIMATIVA DE ALTURA DA LAJE
	ESTIMATIVA DE ALTURA DA LAJE
	ESTIMATIVA DE ALTURA DA LAJE
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	LAJES RETANGULARES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	VERIFICAÇÃO DO ESTÁDIO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	CÁLCULO DA FLECHA PARA LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
	PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO ÀS LAJES
	PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO ÀS LAJES
	PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO ÀS LAJES
	PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO ÀS LAJES
	PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO ÀS LAJES
	PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO ÀS LAJES
	PRESCRIÇÃO DA NBR 6118 QUANTO ÀS LAJES
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	LAJES EM BALANÇO
	COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS
	COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS
	LAJES NERVURADAS