Sistemas Lineares prova 1

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica
EGM0002 - Sistemas Lineares
Prof. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
Semestre 2017.1 - Primeira Avaliação - 30/03/2017
1. (Valor: 4,5 pontos) A resposta ao degrau unitário de um sistema linear, invari-
ante no tempo, com condições iniciais nulas, é dada por:
y(t) = 2− 2 cos (2t), para t ≥ 0.
(a) (2,0 pontos) Determinar sua resposta ao impulso, sua função de trans-
ferência, uma realização e a equação diferencial que o representa.
(b) (1,5 pontos) Determinar sua resposta à entrada a seguir, considerando
condições iniciais nulas:
u(t) =
{
−0, 5, 0 ≤ t ≤ t0
0, t > t0
;
(c) (1,0 ponto) Determinar t0 de modo que a resposta calculada no item (b)
seja tal que y(t) = 0 para t ≥ t0.
2. (Valor: 3,0 pontos) Considere um sistema representado por:
[
x1[k + 1]
x2[k + 1]
]
=
[
a1 a2
0, 5 0, 5
] [
x1[k]
x2[k]
]
+
[
−2, 4
2
]
u[k],
y[k] =
[
0 1
]
[
x1[k]
x2[k]
]
.
(a) (2,0 pontos) Considerando a1 = 0, 2 e a2 = 0, calcular a resposta do sistema
ao degrau unitário, com condições iniciais nulas;
(b) (1,0 ponto) Determinar, se posśıvel, os valores de a1 e a2 ∈ R de modo que
a resposta do sistema ao sinal u[k] = (0, 5)k, k ≥ 0, com condições iniciais
nulas, tenha a seguinte expressão, sendo M1 e M2 e M3 constantes reais:
y[k] = (M1 +M2k +M3k
2)(α)k, para k ≥ 0.
Justificar a resposta.
3. (Valor: 2,5 pontos) Considere o circuito representado na figura 1.
_
_
_
+
+
+
y(t)
u(t) x1(t)
x2(t)
1Ω
1Ω
1F
1H
Figura 1:
(a) (1,5 ponto) Obter uma representação de estado considerando a corrente no
indutor (x1(t)) e a tensão no capacitor (x2(t)) como variáveis de estado.
Considerar como variável de sáıda a corrente no resistor y(t);
(b) (1,0 ponto) Determinar a expressão da resposta (em termos de uma com-
binação linear de funções do tempo, sem necessariamente calcular os coefi-
cientes) à entrada u(t) = cos(0, 5t), t ≥ 0, considerando condições iniciais
nulas. Justificar a resposta.
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