ATIVIDADE 03 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Acadêmico: 
	R.A. 
	Curso: BACHARELADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
 
Atividade de Estudo 3 
 
ATIVIDADE 3:
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:
 
T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y - z, x + y)
 
(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.
R. u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) 
1. T(u+v) = T[(x1+x2),(y1+y2),(z1+z2)] = [(x1+x2+y1+y2+z1+z2),(x1+x2-y1- y2+z1+z2),
(x1+x2+y1+y2-z1-z2)] = [(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2), (x1-y1+z1)+(x2- y2+z2), (x1+y1-z1)+
(x2+y2-z2) = T(u)+T(v) 
2. T(au) = T(ax,ay,az) = (ax+ay+az, ax-ay+az, ax+ay-az) = [a(x+y+z),a(x-y+z),a(x+y-z)] =
a(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = a.T(u) 
Como ambas as condições de linearidade são satisfeitas, a transformação T é linear.
 (b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
R.
x + y +z = 0
 x – y + z = 0 
x + y – z = 0 
Núcleo de T [ Ker(T) ] = {(0,0,0)}
 (c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?
R. [dim(Ker)] = 1
A transformação é injetora, pois o vetor do núcleo de T é o vetor nulo.
 
(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
R. Considerando T(x,y,z)=(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = x(1,1,1)+y(1,-1,1)+z(1,1,-1) 
Temos os 
seguintes vetores: 
(1,1,1), (1-1,1) e (1,1-1) = {(1,1,1); (1-1,1); (1,1-1)}
 
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
R. dim R³ = dim N(T) + dim Im(T)
3 = 1 + dim Im(T) = dim Im(T) = 2 
Neste caso, a transformação não é sobrejetora, considerando que as dimensões da 
imagem (2) e do conjunto de chegada R³ (3) são diferentes.
 
(f) Qual a matriz da Transformação?
1 1 1 X
1 -1 1 . Y
1 1 -1 Z
 
(g) Quais seus autovalores?
 
(h) Quais seus autovetores?
R. (0, 1, -1); (1, -1, -1); (2, 1, 1)