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Métodos 
Matemáticos
Cálculo Numérico
Mariana Silva Ribeiro de Oliveira
• Unidade de Ensino: 2
• Competência da Unidade: Conhecer os elementos básicos de ponto 
flutuante, raízes de uma função, interpolação e integração numérica.
• Resumo: Entender o conceito de ponto flutuante, calcular raízes de uma
função, aplicar a interpolação e métodos de integração numérica.
• Palavras-chave: Ponto flutuante, interpolação, integração numérica.
• Título da Teleaula: Cálculo Numérico
• Teleaula nº: 2
Contextualização
https://bityli.com/YkXethttps://bityli.com/vNFkY
Sistema Aritmética de 
Ponto Flutuante
Representação em ponto flutuante
• Representações de números reais em ponto flutuante
Um número real, , pode ser representado da seguinte maneira:
b = a base;
t = número de dígitos da mantissa;
; 
E = expoente do 
intervalo [m, M]. 
• Há um caso especial da situação anterior no momento em 
que limitamos o expoente (E), variando-o entre [m; M], ou 
seja, . 
• Nessas condições, a representação numérica se resume a 
um sistema F(b, t, m, M).
Sendo:
,
, 
Exemplo
A nova máquina adquirida possui um sistema de
representação de números definido por base decimal, 4
dígitos na mantissa (t = 4) e expoentes no intervalo [-
5,5].
Os técnicos precisam saber qual o menor número, em
módulo, representados nessa máquina.
Resolvendo
Temos que o menor número não nulo, em módulo, de F 
é dado por: 
Logo, como b = 10 e m = -5, temos: 
Erro absoluto
Erro absoluto: Refere-se ao valor absoluto da diferença
entre o valor real e o aproximado.
;
Erro Relativo
Erro relativo: Refere-se à razão entre o erro absoluto e
o valor absoluto da aproximação.
Interação
O valor x = 27,895 foi inserido em um sistema de ponto
flutuante definido pela seguinte configuração F(10,3,-3,3).
Calcule o erro absoluto e relativo da inserção de x em F.
Interação
O valor x = 27,895 foi inserido em um sistema de ponto 
flutuante definido pela seguinte configuração F(10,3,-3,3). 
Calcule o erro absoluto e relativo da inserção de x em F. 
Logo:
Método da bissecção
Teorema de Bolzano
O método da bissecção se vale do teorema de Bolzano, com
o intuito de isolar os intervalos que as raízes estão dispostas.
Seja f: R R, uma função contínua num intervalo fechado
[a,b]. Se f(a) f(b)<0, então f tem pelo menos um zero no
intervalo aberto (a,b).
Método da Bissecção
1. f(a)∙f(b)<0 garante a existência do Zero da Função.
2. Efetuamos .
3. Se: ; 
não é zero, logo: 
Se e ;
Se e ;
Se e ;
Se e 
4. Ao determinar o novo intervalo, voltar para o passo 
2. 
Situação-Problema 1
Situação-problema 1
Seja uma função contínua em reais, seja
e um erro=0,1. Calcule uma aproximação para
o zero de f(x) em no máximo 1 iteração utilizando o
método da bissecção.
Vamos verificar a imagem nos extremos dos intervalos:
Vamos determinar 
Método de Newton 
Raphson
Método de Newton Raphson
Esses são os passos do método: 
1. Se é Zero da Função;
2. Se não é Zero da Função;
Devemos, assim, determinar 
3. Para determinar esse valor utilizaremos:
4. Se não é zero. Retornaremos ao 
passo 3. 
𝑥 = 𝑥 −
𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
Exemplo
Seja f, uma função contínua em R, definida pela seguinte 
lei: . Considerando e = 0,1, x1= -2 e 
no máximo 1 iteração, determine uma aproximação para 
a raiz em I = [-2;-1]. 
Fonte: elaborado pelo professor pelo software GeoGebra.
𝟑
Polinômio Interpolador
Polinômio Interpolador
Considere (n+1) pontos ordenados:
. O método que será estudado
consiste em determinar um polinômio de grau obtidos
com base nos pontos conhecidos. O polinômio interpolador
tem a forma:
e é obtido por meio da solução do seguinte sistema
linear. Destaca-se que p(x) é uma aproximação que se realiza
d e f(x).
Note que é em função do número de pontos conhecidos 
que vamos determinar o grau do polinômio interpolador. 
Para resolver o sistema, pode-se utilizar vários 
métodos.
Exemplo
Considere os seguintes pontos: A(0, 4) e B(2,6). 
Determine o polinômio que interpola os pontos A e B. 
Vamos utilizar os sistemas lineares para determinar o
polinômio interpolador.
Note que:
Forma de Lagrange
para o polinômio 
interpolador
Vamos considerar um conjunto formado por (n+1) pontos
distintos: .
Com base nesses pontos é que o polinômio interpolador é
determinado e seu grau é menor ou igual a n:
, onde:
)
+ .
Exemplo
Considere os seguintes pontos: A(1, -2) e B(2, 0) e C(3, 2). 
Determine 
𝟐
Fórmula Newton-Cotes
A integração pela fórmula Newton-Cotes é baseada no 
polinômio interpolador de Lagrange.
Sabe-se que: 
Logo,
.
é definido pela variação de
Onde n é número de subintervalos em [a,b]. Logo, 
Situação-Problema 2
Situação-problema 2
Você precisa calcular a área limitada pelo conjunto do
plano limitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico
de f(x)= tilizando a Fórmula Newton-Cotes.
Resolvendo
Vamos interpolar os pontos A(0,0) e B(1,1), utilizando sistemas 
lineares. = 
Note que: b=0 e a=1 
Vamos então integrar 
Comparando: 
Regra do Trapézio e 
Simpson
Regra do Trapézio
A integração pela Regra do Trapézio consiste em
subdividir a região de integração em trapézios e calcular
o somatório dessas áreas, aproximando-se do valor de
Fonte: Santos e Gibim (2015, p.190).
Decorrente dessa estratégia, tem-se:
n = nº de trapézios que serão utilizados;
h = altura de cada trapézio ;
Classifica-se:
Extremos: e ;
Internos: .
De um modo geral, a regra pode ser generalizada:
Regra de Simpson
A Regra de integração de Simpson se vale de
aproximações de pequenos trechos de curvas por meio
de pequenas parábolas, conforme apresenta a figura
abaixo:
Fonte: Santos e Gibim (2015, p.202).
Para o calculo da integral são utilizados os seguintes elementos: 
Simplificando, tem-se:
Interação
Calcule a seguinte integral 
Pela Regra dos Trapézios, considere h=0,5.
i 𝑥 𝑓(𝑥 )
0 3 ln 1 + 2 3 = ln 7 = 1,95
1 3,5 ln 1 + 2 3,5 = ln 8 = 2,08
2 4 ln 1 + 2 4 = ln 9 = 2,2
3 4,5 ln 1 + 2 4,5 = ln 10 = 2,3
4 5 ln 1 + 2 5 = ln 11 = 2,4
Resolvendo
Extremo Interno
Extremo 3 1,95 1,95
Interno 3,5 2,08 2,08
Interno 4 2,2 2,2
Interno 4,5 2,3 2,3
Extremo 5 2,4 2,4
Soma 4,35 6,58
Recapitulando
 Ponto flutuante
 Erros
 Raízes de uma função
 Polinômio Interpolador
 Integração Numérica 
Fonte: Google Imagens. Disponível em encurtador.com.br/psGNX
Acesso em: 01 fev. 2021.