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Métodos Matemáticos Cálculo Numérico Mariana Silva Ribeiro de Oliveira • Unidade de Ensino: 2 • Competência da Unidade: Conhecer os elementos básicos de ponto flutuante, raízes de uma função, interpolação e integração numérica. • Resumo: Entender o conceito de ponto flutuante, calcular raízes de uma função, aplicar a interpolação e métodos de integração numérica. • Palavras-chave: Ponto flutuante, interpolação, integração numérica. • Título da Teleaula: Cálculo Numérico • Teleaula nº: 2 Contextualização https://bityli.com/YkXethttps://bityli.com/vNFkY Sistema Aritmética de Ponto Flutuante Representação em ponto flutuante • Representações de números reais em ponto flutuante Um número real, , pode ser representado da seguinte maneira: b = a base; t = número de dígitos da mantissa; ; E = expoente do intervalo [m, M]. • Há um caso especial da situação anterior no momento em que limitamos o expoente (E), variando-o entre [m; M], ou seja, . • Nessas condições, a representação numérica se resume a um sistema F(b, t, m, M). Sendo: , , Exemplo A nova máquina adquirida possui um sistema de representação de números definido por base decimal, 4 dígitos na mantissa (t = 4) e expoentes no intervalo [- 5,5]. Os técnicos precisam saber qual o menor número, em módulo, representados nessa máquina. Resolvendo Temos que o menor número não nulo, em módulo, de F é dado por: Logo, como b = 10 e m = -5, temos: Erro absoluto Erro absoluto: Refere-se ao valor absoluto da diferença entre o valor real e o aproximado. ; Erro Relativo Erro relativo: Refere-se à razão entre o erro absoluto e o valor absoluto da aproximação. Interação O valor x = 27,895 foi inserido em um sistema de ponto flutuante definido pela seguinte configuração F(10,3,-3,3). Calcule o erro absoluto e relativo da inserção de x em F. Interação O valor x = 27,895 foi inserido em um sistema de ponto flutuante definido pela seguinte configuração F(10,3,-3,3). Calcule o erro absoluto e relativo da inserção de x em F. Logo: Método da bissecção Teorema de Bolzano O método da bissecção se vale do teorema de Bolzano, com o intuito de isolar os intervalos que as raízes estão dispostas. Seja f: R R, uma função contínua num intervalo fechado [a,b]. Se f(a) f(b)<0, então f tem pelo menos um zero no intervalo aberto (a,b). Método da Bissecção 1. f(a)∙f(b)<0 garante a existência do Zero da Função. 2. Efetuamos . 3. Se: ; não é zero, logo: Se e ; Se e ; Se e ; Se e 4. Ao determinar o novo intervalo, voltar para o passo 2. Situação-Problema 1 Situação-problema 1 Seja uma função contínua em reais, seja e um erro=0,1. Calcule uma aproximação para o zero de f(x) em no máximo 1 iteração utilizando o método da bissecção. Vamos verificar a imagem nos extremos dos intervalos: Vamos determinar Método de Newton Raphson Método de Newton Raphson Esses são os passos do método: 1. Se é Zero da Função; 2. Se não é Zero da Função; Devemos, assim, determinar 3. Para determinar esse valor utilizaremos: 4. Se não é zero. Retornaremos ao passo 3. 𝑥 = 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 Exemplo Seja f, uma função contínua em R, definida pela seguinte lei: . Considerando e = 0,1, x1= -2 e no máximo 1 iteração, determine uma aproximação para a raiz em I = [-2;-1]. Fonte: elaborado pelo professor pelo software GeoGebra. 𝟑 Polinômio Interpolador Polinômio Interpolador Considere (n+1) pontos ordenados: . O método que será estudado consiste em determinar um polinômio de grau obtidos com base nos pontos conhecidos. O polinômio interpolador tem a forma: e é obtido por meio da solução do seguinte sistema linear. Destaca-se que p(x) é uma aproximação que se realiza d e f(x). Note que é em função do número de pontos conhecidos que vamos determinar o grau do polinômio interpolador. Para resolver o sistema, pode-se utilizar vários métodos. Exemplo Considere os seguintes pontos: A(0, 4) e B(2,6). Determine o polinômio que interpola os pontos A e B. Vamos utilizar os sistemas lineares para determinar o polinômio interpolador. Note que: Forma de Lagrange para o polinômio interpolador Vamos considerar um conjunto formado por (n+1) pontos distintos: . Com base nesses pontos é que o polinômio interpolador é determinado e seu grau é menor ou igual a n: , onde: ) + . Exemplo Considere os seguintes pontos: A(1, -2) e B(2, 0) e C(3, 2). Determine 𝟐 Fórmula Newton-Cotes A integração pela fórmula Newton-Cotes é baseada no polinômio interpolador de Lagrange. Sabe-se que: Logo, . é definido pela variação de Onde n é número de subintervalos em [a,b]. Logo, Situação-Problema 2 Situação-problema 2 Você precisa calcular a área limitada pelo conjunto do plano limitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x)= tilizando a Fórmula Newton-Cotes. Resolvendo Vamos interpolar os pontos A(0,0) e B(1,1), utilizando sistemas lineares. = Note que: b=0 e a=1 Vamos então integrar Comparando: Regra do Trapézio e Simpson Regra do Trapézio A integração pela Regra do Trapézio consiste em subdividir a região de integração em trapézios e calcular o somatório dessas áreas, aproximando-se do valor de Fonte: Santos e Gibim (2015, p.190). Decorrente dessa estratégia, tem-se: n = nº de trapézios que serão utilizados; h = altura de cada trapézio ; Classifica-se: Extremos: e ; Internos: . De um modo geral, a regra pode ser generalizada: Regra de Simpson A Regra de integração de Simpson se vale de aproximações de pequenos trechos de curvas por meio de pequenas parábolas, conforme apresenta a figura abaixo: Fonte: Santos e Gibim (2015, p.202). Para o calculo da integral são utilizados os seguintes elementos: Simplificando, tem-se: Interação Calcule a seguinte integral Pela Regra dos Trapézios, considere h=0,5. i 𝑥 𝑓(𝑥 ) 0 3 ln 1 + 2 3 = ln 7 = 1,95 1 3,5 ln 1 + 2 3,5 = ln 8 = 2,08 2 4 ln 1 + 2 4 = ln 9 = 2,2 3 4,5 ln 1 + 2 4,5 = ln 10 = 2,3 4 5 ln 1 + 2 5 = ln 11 = 2,4 Resolvendo Extremo Interno Extremo 3 1,95 1,95 Interno 3,5 2,08 2,08 Interno 4 2,2 2,2 Interno 4,5 2,3 2,3 Extremo 5 2,4 2,4 Soma 4,35 6,58 Recapitulando Ponto flutuante Erros Raízes de uma função Polinômio Interpolador Integração Numérica Fonte: Google Imagens. Disponível em encurtador.com.br/psGNX Acesso em: 01 fev. 2021.
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