Seleção de Materiais - Objetivos conflitantes

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Seleção de Materiais 
 
 
 
 
Seleção de componentes para pernas de 
mesa, uma evolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ricardo Brandao 148107 
Fábio Augusto de Almeida Passos 148395 
A tradução do problema em questão pode ser resumida na imagem a 
seguir: 
 
Considerando que a carga de flambagem é um requisito para o sucesso 
estrutural dos pés. 
Assim, podemos realizar a montagem das funções objetivos para a 
minimização da massa e a maximização da esbelteza: 
A perna é uma coluna delgada de densidade p e módulo E, com 
comprimento L e carga máxima que ela deve suportar no projeto sendo 
F. Sabendo que o raio r da perna é uma variável livre temos a seguinte 
expressão para minimização da massa: 
, a qual é sujeita a uma restrição de suportar uma 
carga P sem sofrer flambagem. 
Assim, pela equação da carga elástica de flambagem temos: 
, resolvendo para a variável livre: 
 
Dessa maneira chegamos ao índice de mérito para a minimização da 
massa, invertendo a propriedade do material: 
 
Da mesma maneira, para maximização da esbelteza, teremos: 
Invertendo a equação da carga elástica de flambagem: 
 
A perna mais fina será feita do material que tem o maior valor do índice 
de mérito a seguir: 
 
Com tais índices de mérito pode-se analisar o seguinte diagrama de 
Ashby para seleção dos materiais: 
 
Agora, teremos de considerar a eminencia de objetivos conflitantes para 
o projeto de seleção. 
Para abordagem desse problema com multiobjetivos utiliza-se a 
construção de um gráfico de permuta como o a seguir, considerando 
ainda M1 como sendo p/E^1/2 e M2 como sendo 1/E e eles sendo 
dispostos no eixo vertical e horizontal, respectivamente: 
 
No gráfico em questão, materiais que se apresentam próximos a 
superfície de permuta são aqueles que devem ser considerados para o 
objetivo em questão, dependendo da premissa, leve, mas espesso e fino, 
mas pesado. 
Outro ponto a ser avaliado é a também eminencia da possibilidade da 
construção dos pés tubulares para a mesa. 
Para isso deve-se avaliar o raio r e a espessura t da parede, embora não 
é viável fazê-los com r/t demasiadamente grande pelo fato de eles 
sofrerem flambagem local. 
Para isso é relacionado a área da seção transversal A e o momento de 
inércia I de um tubo de parede fina: 
 
e, 
 
Assim: 
 
Permitindo assim a representação de linhas da constante r no quadrante 
A-I do diagrama de quatro quadrantes: 
 
Sendo esse gráfico utilizado para selecionar o melhor material quando 
limitado pela rigidez à flexão, podendo agora minimizar a massa ou o 
raio do tubo, fato esse que nos leva a questionar, pernas grossas e leves 
ou finas e pesadas. 
Associando isso com a carga de flambagem, pode-se ter: 
Utilizando 50 kg como uma massa válida para que cada perna suporte 
temos a seguinte equação para a carga de flambagem: 
, sendo assim: 
 
Agora pode-se associar esse limite, selecionando a propriedade 
requerida, como por exemplo: Para a perna mais leve tem-se o material 
GFRP, porém resultando em uma perna grossa com aproximadamente 
15mm de raio. O interessante é que no mesmo diagrama pode-se repetir 
o procedimento até mesmo para outros materiais. 
Assim, podemos chegar a seguinte conclusão, levando em consideração 
todas as abordagens: 
Pernas feitas de espruce ou abeto são potencialmente mais leves do que 
as feitas de qualquer outro material. Compósitos oferecem pernas que 
são quase tão leves e muito mais finas, porém não oferecem a mais finas 
de todas. O aço pode-se tornar atraente devido a seus altos módulos. 
Porém ligas leves permitem pernas mais leves do que o aço, porém não 
mais finas. No geral, para essa seleção os compósitos oferecem o melhor 
compromisso, tendo peso baixo e esbelteza atraente, respeitando os 
limites para carga de flambagem e também respeitando o processo de 
minimização de massa. 
Assim, fazendo uma lista de materiais para confecção dos pés de mesa 
sendo o seu grau de eficiência aumentando da esquerda para direita 
temos: 
Material 
 
Ligas de aço Ligas de alumínio Madeiras Compósitos 
 
 
SAE 8620 6063 Espruce CFRP 
 
 
SAE 8640 6051 Abeto GFRP