Lista01 Comentada

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Resolução de Problemas
Lista 01 com dicas e discussão
Faça mentalmente as seguintes multiplicações:
1. 27× 37
2. 21× 23
Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior.
Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que ano? Discuta
com seus colegas do PROFMAT.
Dica 1. Para o item a), note que 3× 37 = 111. Para o item b), lembre-se que
212 = 441.
Discussão 1. A ideia desse problema é simplesmente ilustrar que conhecimento
prévio relacionado ao que procuramos pode ajudar na resolução de um problema.
Creio que é o tipo problema que pode ser usado em qualquer série, especialmente
as menores do Fundamental II. Discuta com seus colegas a respeito. Começar
do zero um problema pode tornar mais dif́ıcil encontrar a solução do problema.
Uma avaliação criteriosa de fatos conhecidos ou de problemas semelhantes pode
nos ajudar a encontrar a solução mais rapidamente.
Buscando um Invariante
Em algumas situações, a busca de uma quantidade ou de uma propriedade que
não muda quando um processo ocorre, pode levar à solução do problema. Essa
quantidade é chamada de invariante. Isso é particularmente verdadeiro quando
consideramos problemas quem involvem impossibilidades, como os que vamos
descrever abaixo. Aplique a dica (D6) aos problemas 5, 6, 7 e 8.
1. Seis pessoas formando um ćırculo seguram pequenos quadros em suas
mãos, nos quais estão escritos números. A cada rodada, escolhe-se uma
das pessoas e adiciona-se uma unidade ao número escrito no quadro dessa
pessoa, bem como uma unidade aos números nos quadros de seus vizinhos.
(a) Se os números iniciais forem 1,0,1,0,0,0 é posśıvel, após repetir esse
procedimento um certo número de vezes, fazer com que todos os
quadros tenham os mesmos números?
(b) Se os números iniciais forem 6,3,0,0,3,6 mostre que é posśıvel, após
repetir esse procedimento um certo número de vezes, fazer com que
todos os quadros tenham os mesmos números.
(c) Se os números iniciais forem 6,3,0,0,3,6, qual o menor número de
jogadas de modo que todos os quadros tenham os mesmos números?
Dica 2. Observe o resto na divisão por 3 da soma dos números nos quadros
é um invariante.
Discussão 2. A noção-chave aqui é o que vem a ser um invariante. É im-
portante frisar que algo não muda quando realizamos uma jogada. Neste
caso, para o primeiro item, o invariante em questão é o resto da divisão
da soma total por 3. Como a soma da configuração inicial deixa resto 2
quando dividida por 3, temos que é imposśıvel chegar na situação onde to-
dos os números dos quadros são iguais começando com 1,0,1,0,0,0, já que
se todos os números são iguais, o resto da soma é zero quando dividida
por 3.
Para o segundo item, basta fazer uma construção. Em geral, o aluno
começa com o processo tentativa-e-erro, até pegar o jeito e inferir que jo-
gadas são interessantes para atingir o objetivo. É importante guiar o aluno
neste processo, estimulando a inferência de propriedades gerais. Isso per-
mite, por exemplo, ter ideias sobre o terceiro item. Por exemplo, ele pode
perceber que os números só aumentam a cada jogada. Isso permite inferir
que o número mı́nimo de jogadas deve ser maior igual a (36-18)/3=6. Isso
se deve ao fato que a primeira configuração que talvez seja posśıvel que
igual todos os números é 6,6,6,6,6,6 (soma 36) e que a configuração inicial
6,3,0,0,3,6 tem soma 18. Assim, como a cada jogada acrescentamos 3, o
mı́nimo é maior ou igual a 6. De fato, 6 é o mı́nimo pois uma sequência
que resolve o problema é
6, 3, 0, 0, 3, 6 → 6, 4, 1, 1, 3, 6 → 6, 4, 2, 2, 4, 6 →
6, 5, 3, 3, 4, 6 → 6, 5, 4, 4, 5, 6 → 6, 6, 5, 5, 5, 6 → 6, 6, 6, 6, 6, 6.
2. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema ante-
rior. Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que
ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT.
3. Num tabuleiro de xadrez 8 × 8 é permitido escolher um quadrado 2 × 2
qualquer e trocar as cores de uma das linhas ou colunas deste quadrado.
É posśıvel que se chegue a uma situação na qual todos os quadrados do
tabuleiro 8× 8 sejam brancos, exceto um?
Dica 3. Olhe a paridade da diferença entre o número de quadrados bran-
cos e quadrados pretos.
Discussão 3. A paridade da diferença entre o número de quadrados bran-
cos e quadrados pretos não muda a cada operação permitida. Como no
ińıcio temos 32 quadrados brancos e 32 quadrados pretos, a cada passo
teremos sempre um número PAR como resultado da diferença entre os
quadrados brancos e os quadrados pretos, mostrando que é imposśıvel
atingir a configuração pedida.
4. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema ante-
rior. Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que
ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT.
5. Os números 1, 2, 3, . . . , 99 são escritos no quadro-negro e é permitido rea-
lizar a seguinte operação: apagar dois deles e substitúı-los pela diferença
do maior com o menor. Fazemos esta operação sucessivamente até restar
apenas um último número no quadro. Pode o último número que restou
ser o zero?
Resolvendo de Trás-para-frente
Andar para trás pode ser uma ferramenta importante na solução de um
problema. A técnica consiste em supor que chegamos ao objetivo que
pretendemos (posição vitoriosa, por exemplo, ou uma configuração espe-
cial) e, fazendo movimentos para trás, tentamos chegar na situação inicial.
Resolva o seguinte problema usando a dica (D7):
6. João e Maria brincam com um monte de 30 palitos. É permitido a cada
um deles retirar no seu turno 1, 2 ou 3 palitos. Ganha quem retirar o
último palito. Sabendo que João começa e que os dois aprenderam a jogar
com o mestre sabetudo, quem ganha o jogo? E retirando-se 1,2,3 ou 4
palitos, quem ganharia?
Dica 4. Para o jogo retirando-se 1,2 ou 3 palitos, tente resolver o problema
fazendo uso do mı́nimo de itens da lista abaixo.
(a) Reduza o número de palitos no monte.
(b) Tente com 7 e depois passe para 10 palitos.
(c) Analise o que acontece quando seu adversário está na posição 4.
(d) Analise o que acontece quando seu adversário está na posição 8.
(e) Analise o que acontece quando seu adversário está em uma posição
múltiplo de 4.
Discussão 4. A estratégia vencedora é deixar seu adversário numa posição
múltiplo de 4. Verifique isso traçando uma árvore de posśıveis caminhos a
partir de uma dada posição, onde a posição 0 significa vitória. Isso pode
ser feito construindo-se um grafo orientado, isto é, um conjunto de pontos
(posições) e setas indicando as jogadas permitidas.
O jogo anterior se inclui numa classe chamada de jogos progressivamente
finitos. Esta classe é constituida de jogos que necessariamente acabam
após um número de jogadas. Outro exemplo deste tipo de jogo é o seguinte:
7. Suponha agora que na pilha existam 107 palitos e que a cada rodada, João
e Maria se alternam, escolhendo um primo p, n ≥ 0 é inteiro não-negativo
e retirando pn palitos. Ganha quem retirar o último palito. Pergunta-se:
se João começa o jogo, quem ganha?
Dica 5. Observe que o primeiro número que não é potência de primo é o
6. Ou seja, se João deixa Maria com 6 palitos na jogada dela, João ganha.
Discussão 5. O conjunto de posições vitoriosas consiste nos múltiplos de
6. De fato, se João deixa Maria com um múltiplo de 6 palitos na jogada
dela, depois de Maria retirar uma potência de primo, João pode retornar
a uma posição que é múltiplo de 6 retirando 1,2,3,4 ou 5 palitos. Assim,
no final Maria estará na posição 6 e João ganhará o jogo.
8. Agora, João e Maria dispõem de dois montes com 30 palitos cada. Em
cada turno, o jogador escolhe somente um dos montes e retira quantos
palitos quiser, inclusive o monte inteiro. Ganha quem retirar o último
palito. Sabendo que João começa, quem ganha o jogo?
Dica 6. Olhe na expressão dos montes quando escritos na base 2.
Discussão6. A estratégia vencedora desse jogo é deixar seu oponente
numa situação de modo que quando somamos os d́ıgitos na base dois
dos montes relativos a mesma potência, o resultado é par. Ou seja, os
d́ıgitos são iguais. Por exemplo, se os montes têm 15 e 21 palitos, primeiro
escrevemos eles na base dois:
15 = (1111)2 e 21 = (10101)2.
Em seguida, escrevemos a soma
10101
+1111
−−−−
11212
Chamaremos de posição vencedora, aquela que obtiver como resultado das
somas das colunas apenas os d́ıgitos 2 e 0. As demais são as perdedoras.
Por exemplo, a posição acima (um monte com 15 e outro com 21) é posição
perdedora. Para vencer o jogo, basta o jogador transformar este resultado
(11212) numa posição vencedora, retirando palitos. Por exemplo, pode-
mos retirar 6 palitos do monte com 21 para deixá-lo com 15 também.
Assim, a soma coluna a coluna dos d́ıgitos será (2222). Para mostrar que
a estratégia é a vitoriosa, você deve verificar que
• A partir de uma posição vencedora, sempre podemos ir para uma
posição perdedora.
• A partir de uma posição perdedora, nunca podemos ir para uma
posição vencedora
Como o zero é uma posição vencedora, essa é a estratégia vitoriosa do
jogo.
9. João e Maria se alternam desenhando diagonais de um 2012-ágono. Perde
quem desenhar uma diagonal cruzando alguma outra já desenhada. Qual
é a estratégia vitoriosa para esse jogo?
Dica 7. Observe que o que acontece quando um jogador traça uma di-
agonal principal, isto é, aquela que divide o poĺıgono em dois poĺıgonos
com a mesma quantidade de vértices.
Discussão 7. Como temos uma quantidade par de vértices, é posśıvel
traçar alguma diagonal principal. Digamos que João tenha traçado uma
diagonal principal, dividindo o 2012-ágono em dois 1006-ágonos, P1 e P2.
A seguir, observe que as diagonais que não cruzam a diagonal principal
corresponde exatamente às diagonais de um dos dois poĺıgonos obtidos.
Assim, para cada diagonal de Maria que não cruza a diagonal principal,
João poderá traçar uma diagonal correspondente no outro poĺıgono. Ao
final, Maria terá que cruzar a diagonal principal traçada.
Usando equações do primeiro e segundo graus
10. Nove cópias de certas notas custam menos de R$ 10,00 e dez cópias das
mesmas notas (com o mesmo preço) custam mais de R$ 11,00. Quanto
custa uma cópia das notas?
11. As páginas de um livro são numeradas de 1 até n. Ao somarmos estes
números, por engano um deles é somado duas vezes, obtendo-se o resultado
incorreto: 2.012. Qual é o número da página que foi somado duas vezes?
Discussão 8. Primeiramente, relembre que a soma dos n primeiros números
é S = n(n+ 1)/2. Observe também a soma efetuada incorretamente está
entre S + 1 e S + n. Assim, sabemos que S + 1 ≤ 2012 ≤ S + n, ou seja,
n2 + n+ 2 ≤ 4024 ≤ n2 + 3n
Testando os valores de n2 + n + 2 temos que n = 62, já que 61 é pouco
e 63 é demais e a função é crescente. Portanto, o valor desejado é obtido
fazendo 2012− S = 58.
12. Analise variações deste problema. Por exemplo, permita que se some dois
números consecutivos duas vezes, ou ainda, o mesmo número três vezes.
Mude o valor da soma. Para cada mudança que você fizer, discuta com
seus colegas do PROFMAT a série onde um desafio desse poderia ser
proposto.
13. Determine os valores de a para os quais a função quadrática ax2−ax+12
é sempre positiva.
14. Mostre que entre os retângulos com um mesmo peŕımetro, o de maior área
é um quadrado.
15. Mostre que para quaisquer a, b, c reais vale
a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc.
16. Usando cada d́ıgito 1,2,3,4,5,6,7,8, 9 somente uma vez, decida se é posśıvel
escrever números de modo que sua soma seja 100.
Discussão 9. A resposta deste problema é negativa, ou seja, é imposśıvel
realizar o que se pede. De fato, primeiramente observe que todos os
números constrúıdos têm que ser menores que 100. Portanto, cada número
tem no máximo dois d́ıgitos. Digamos que os d́ıgitos que forem usados na
casa das unidades dos números constrúıdos formem um conjunto com soma
t. Naturalmente, o conjunto dos números que foram usados nos algaris-
mos das dezenas dos números constrúıdos formará um conjunto com soma
45− t, já que 1+ 2+ 3+ . . .+9 = 45. Portanto, teremos que a soma será
(45− t)10 + t = 100,
e essa equação do primeiro grau não tem soluções inteiras.
17. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema ante-
rior. Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que
ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT.
18. João está na beira de um rio com dois baldes de 9 e 4 litros, sem marcações.
Ele deseja medir exatamente 6 litros de água para poder levar para Maria
fazer uma deliciosa sopa para sua numerosa famı́lia. Mostre como João
deverá proceder para obter os 6 litros de água.
19. Analise variações deste problema. Por exemplo, permita que a quantidade
a ser separada seja diferente de 6, ou ainda, que os baldes tenham outra
capacidade. Por exemplo, discuta o que ocorre quando os baldes tem
MDC diferente de 1. Decida o grau de dificuldade da resolução de cada
problema que você criar. É apropriado para que ano? Discuta com seus
colegas do PROFMAT.