Desigualdades Matemática

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Desigualdades 
 
Uma vez que uma inequação em uma ou mais variáveis é resolvida, o resultado dá lugar a uma desigualdade que é válida 
para um certo conjunto de valores. Alguns exemplos simples de desigualdades são os seguintes: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Desigualdade Triangular 
 
Teorema 7.1 (Desigualdade Triangular) Dado um triângulo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos 
comprimentos dos outros dois lados, ou seja 
 
 
 
Proposição 7.2 Sejam e números reais quaisquer, então 
 
 
Demonstração 
Se , então . 
Caso contrário, se , então . 
 
Corolário 7.3 As seguintes desigualdade valem 
 
 
 
 
Demonstração 
Para a primeira escrevemos . 
A segunda desigualdade decorre de . 
A última desigualdade é conseqüência da segunda, trocando os papéis de e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desigualdade das Médias 
 
Definição 7.6 Sejam números reais positivos. As quantidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
são chamadas respectivamente, de média harmônica, média geométrica, média aritmética e média quadrática dos números 
. 
 
Proposição 7.7 (Desigualdade das Médias Aritméticas e Quadrática) 
 
Dados números reais positivos tem-se 
 
 
ou seja, . Além disso, a igualdade só vale se, e somente se, 
 
Proposição 7.8 (Desigualdade das Médias Geométricas e Aritmética) 
 
Dados números reais positivos tem-se 
 
 
ou seja, . Além disso, a igualdade vale se, e somente se, . 
 
Proposição 7.9 (Desigualdade das Médias Harmônicas e Geométrica) 
 
Dados números reais positivos tem-se 
 
 
ou seja, . Além disso, a igualdade vale se, e somente se, . 
 
 
 
 
 
Teorema 7.10 (Desigualdade das Médias) 
 
Para toda coleção de números reais positivos se verificam as seguintes desigualdades 
 
 
 
 
 
Além disso, em cada caso a igualdade ocorre se, e somente se, . 
 
Exemplo 7.11 Num triângulo retângulo a altura relativa a hipotenusa é sempre menor ou igual que a metade da hipotenusa. 
Além disso, a igualdade, só ocorre quando o triângulo é isósceles (ou seja, seus catetos são iguais). 
 
 
Usando a figura temos que a hipotenusa é dada por e usando o teorema das altura para um triângulo retângulo 
temos que , logo . A desigualdade entre as médias geométrica e aritmética nos dá que 
 
 
como queríamos. Além disso, a altura é a metade da hipotenusa se, e somente se, a igualdade entre as médias ocorre, ou 
seja, quando . Então, os catetos e do triângulo são iguais, sendo este isósceles. 
 
Exemplo 7.12 (Desigualdade Isoperimétrica para Triângulos) 
O perímetro de um triângulo de lados é a soma . Entre todos os triângulos com perímetro fixado o 
de maior área é o triângulo equilátero. 
 
Usando a Fórmula de Heron temos que a área de um triângulo com perímetro é dada pela expressão 
 
onde são os lados do triângulo. 
Usando a desigualdade temos que, 
 
 
Elevando ao cubo ambos lados temos: 
 
 
Multiplicando ambos membros por temos: 
 
 
Extraindo a raiz quadrada em ambos membros tem-se: 
 
 
 
 
 
Logo a maior área possível é a qual é atingida quando 
 
 
ou seja, quando o triângulo for equilátero. Temos então neste caso 
 
 
Exemplo 7.13 (Desigualdade Isoperimétrica para Paralelepípedos) 
 
Entre todos os paralelepípedos com área lateral fixada o de maior volume é o cubo (ou seja, o paralelepípedo com todos 
seus lados iguais). 
 
Denotando por as medidas das arestas do paralelepípedo sabemos que a área lateral do mesmo é a soma de todas 
as faces do paralelepípedo, ou seja, 
 
 
Sendo o volume do paralelepípedo e usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica temos que 
 
 
Assim, o maior volume possível é 
 
 
obtido, quando , consequentemente . 
Desigualdade de Cauchy-Schwarz 
 
Teorema 7.14 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) 
 
Dados e números reais tem-se: 
 
 
Além disso, a igualdade só ocorre se existir um número real , tal que ou 
. 
 
Exemplo 7.15 Entre todos os triângulos retângulos de catetos e e hipotenusa fixada, o que tem maior soma dos catetos 
 é o triângulo isósceles. 
 
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que: 
 
 
e este máximo é atingido quando e ou e . Em qualquer caso devemos ter . 
 
Exemplo 7.16 (Desigualdade de Minkowski) 
 
Dados , com , números reais, tem-se: 
 
 
 
Desigualdade de Jensen 
 
Definição 7.17 Uma função é dita convexa se para qualquer e para todo satisfaz 
 
 
 
Geometricamente, a definição de convexidade significa que para cada par de pontos e escolhidos no intervalo o 
gráfico da função encontra-se abaixo do segmento de reta secante que junta os pontos e . 
Exemplo7.18 A função é convexa em qualquer intervalo . 
 
Sejam e suponhamos, sem perda de generalidade, que . Então, para todo valem as 
desigualdades: 
 
 
Como temos que: 
 
 
 
 
Exemplo 7.19 A função é convexa em qualquer intervalo com positivo. 
 
Sejam e suponhamos, sem perda de generalidade, que . Então, para todo valem as 
desigualdades: 
 
 
Como para quaisquer números positivos e , temos: 
 
 
 
 
Desenvolvendo ambos membros chegamos a: 
 
 
mostrando isto a convexidade da função . 
 
Observemos que, usando a desigualdade entre as médias aritmética e quadrática obtemos 
 
em outras palavras 
 
 
Por outro lado, a desigualdade entre as médias harmônicas e aritmética nos garantem que 
 
 
O seguinte resultado garante que as propriedades e , satisfeitas pelas funções convexas e , são válidas para 
qualquer função convexa. 
 
Teorema 7.20 (Desigualdade de Jensen) 
 
Seja uma função convexa e sejam tais que . Então, para quaisquer 
 vale 
 
 
Observação 7.21 Observemos que, quanto , a desigualdade de Jensen nos diz que 
 
 
ou seja,