CONTEÚDO ONLINE AULA 4 - 2017 3

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CÁLCULO IV 
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AULA 4 
 INTEGRAIS DE LINHAS 
 
Objetivo desta aula 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
1 - Reconhecer integrais de linha; 
2 - Analisar os tipos de integrais de linha; 
3 - Identificar alguns teoremas relacionados a integrais de linha; 
4 - Identificar algumas propriedades relacionadas a integrais de linha; 
5 - Reconhecer o Teorema de Green. 
 
Introdução 
Apresentaremos integrais de linha nas quais a função a ser integrada é calculada ao longo 
de uma curva. A função a ser integrada, na integral de linha, pode ser de dois tipos: 
integral de linha de função escalar, quando é uma função real ou integral de linha de 
campo vetorial, quando é uma função vetorial. No decorrer da aula, veremos algumas 
propriedades e teoremas relacionados às integrais de linha. Dentre os teoremas 
apresentaremos o de Green e alguns exercícios. O Teorema de Green relaciona uma 
integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano xy com uma integral dupla sobre 
a região limitada pela curva fechada. Veremos também que poderemos resolver integrais 
de linha ao longo de uma curva dependendo apenas do ponto inicial e final, isto é, 
integrais curvilíneas independentes do caminho de integração e construiremos função 
potencial usando integrais indefinidas. 
 
Integral de Linha de função escalar 
Nessa aula, estudaremos sobre as integrais de linha e para defini-las vamos partir da 
integral definida que aprendemos na disciplina de Cálculo anteriormente, ou 
seja, , dentro do intervalo [a,b]. 
Agora Imagine que o intervalo [a,b] define uma curva C que será descrita pelas equações 
paramétricas: 
• x = x(t); 
• y = y(t); 
• z = z(t). 
Onde: 
• a ≤ t ≤ b. 
Podemos então definir formalmente: 
�: | = [�, �] → �� 
 → ��
� = ���
�, ��
�, ��
��. 
A seguir veremos um exemplo prático para entender melhor. 
Exemplo 
Imagine que a curva C representa um arame e f(x,y,z) a densidade em cada ponto (x,y,z) 
na curva C. 
Desejamos calcular a massa total do arame. 
Mas como vamos fazer isso? 
Usando a mesma ideia de demonstração da integra, o Teorema de Riemann. 
Tome o intervalo [a,b] e divida-o por meio da partição regular de ordem n. 
Com esta divisão teremos: 
� = 
� < 
� < ⋯ < 
� = �. 
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Veja que com esta divisão estaremos com várias curvas ��, conforme podemos observar 
na figura abaixo. 
 
 
Integral de Linha de função escalar 
Agora, suponha que ��
� é de classe ��. 
Denotaremos por ∆�� o comprimento de cada curva ��, portanto o comprimento da curva 
será dado por: 
∆�� = � ‖���
�‖
!"#�
!"
$
. 
Observou que este mesmo raciocínio foi feito anteriormente para integral? 
Pelo teorema do valor médio para integrais visto na disciplina de Cálculo anteriormente, 
existe: 
%� ∈ [
�, 
�#�] 
Tal que: 
∆�� = ‖
�#� − 
�‖ = ‖�′�%��‖∆
� 
Onde: 
 ∆
� = 
�#� − 
�. 
Quanto maior n, ∆�� será pequano e )��, �, �� pode ser considerado constante em �� e 
igual a )���%���. 
Portanto, o somatório de todas estas partes nos dará aproximadamente a massa total e 
podemos escrever: 
�� = ∑ )���+���‖�1�+�‖∆
�
�-�
�.� 
A soma �� é uma soma de Riemann da função )���
��‖�′�
�‖ no intervalo [a, b]. 
Portanto, sendo f(x,y,z) contínua em C, podemos escrever a massa como: 
� )���
�‖�′�
�‖$
/
0 
Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que 
ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. 
Como nas integrais definidas, o resultado é a diferença entre a área onde a f é não 
negativa e a área onde a f é negativa. 
Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha. 
Esta fórmula ainda será valida se � é de classe �� por partes ou )�� é contínua por partes. 
Neste caso, a integral é calculada dividindo-se o intervalo em um numero finito de 
intervalos fechados onde )���
��‖�′�
�‖ é contínua. 
Um caso particular já estudado na disciplina de Cálculo anteriormente, é o comprimento 
de curva. 
Neste caso )��, �, �� = 1, ficando assim com a integral � ‖�′�
�‖
/
0 $
.no caso de 
� )$� = � )��, ��$� = � )���
��‖�′�
�‖$
/
011 , onde: 
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)��, �� ≥ 0 em C a interpretação geométrica será a ideia da área de uma cerca (ou muro) 
que tem como base a curva C e altura )��, �� em cada ponto ��, �� ∈ �, conforme pode 
ser observado nas figuras. 
 
 
 
O comprimento do arco denotaremos por ∆��. Como f é uma função contínua e a i-ésima 
tira da cerca é estreita podemos aproximar o valor de f para )��∗5, �∗5� em todo (x, y) do 
arco. 
Com n grande cada arco tende a zero e a função f tende a assumir o valor constante 
)��∗5, �∗5�. Desta forma, a área da cerca é 6 = lim
�→:
∑ )��∗5, �∗5���.� ∆�� que nada mais é do 
que a integral de linha da funão f ao longo da curva C e denotaremos � )��, ��$�1 . 
Exemplo: a04_07_01. 
 
Integral de linha de campo vetorial 
Já ouviu falar em campo vetorial? 
A ideia de campo vetorial vem da Física e corresponde associar a cada ponto do plano ou 
do espaço uma grandeza que possui direção, sentido e módulo, ou seja, um vetor. 
Exemplo: 
Seja um fluido percorrendo um encanamento com fluxo constante. 
Se associarmos a cada ponto a velocidade do fluido nesse ponto, obteremos um campo de 
vetores F de velocidades do fluido. 
Novamente, imagine que o intervalo [a,b] define uma curva C que será descrita pelas 
equações paramétricas: 
• x = x(t); 
• y = y(t); 
• z = z(t). 
Onde: 
• a ≤ t ≤ b; 
• F(x,y,z) = (F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z)) é um campo vetorial. 
Podemos então definir formalmente: 
;: �� → �� 
��, �, �� → ;��, �, �� = �;���, �, ��, ;<��, �, ��, ;���, �, ��� 
 
Exemplo de aplicação 
Suponha que F representa um campo de forças e calcularemos o trabalho realizado pela 
força F ao deslocar uma partícula ao longo da curva C. 
Novamente, esse exemplo vem da Física. 
Neste caso, sabemos que o trabalho é dado pelo produto escalar do campo pelo vetor 
6=. ?6= = (força) × (deslocamento na direção da força). 
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Se for um caminho curvo no espaço, podemos imaginar que ele é uma sucessão de 
deslocamentos retilíneos infinitesimais. 
Definição: 
Considere uma curva C em �� parametrizada por: 
• ��
� = ���
�, ��
�, ��
��; 
• 
 ∈ [�, �]. 
Onde: 
• � → é de classe ��; 
• ;��, �, �� = �;���, �, ��, ;<��, �, ��, ;���, �, ��� é um campo vetorial contínuo definido em 
C. 
Definimos a integral de linha de F ao longo de C por: 
� ;���
��. �1�
��
/
0 $
 
Saiba mais: a04_10_01. 
 
Construção de uma função potencial usando integrais indefinidas 
Se F = (F1, F2, F3) é um campo vetorial gradiente de uma função potencial f em um aberto 
U ⊂ , então: 
Para encontrar f(x,y,z) teremos que encontrar A(y,z), B(x,z) e C(x,y) de modo que as 
equações citadas tenham o mesmo lado direito. 
 
Veja alguns exemplos. 
AB
AC
= ;� 
Usando integrais indefinidas e integrando em relação a x, ou seja, mantendo y e z como 
constantes, obtemos: 
f(x,y,z) = � ;���, �, ��$� + 6��, �� 
Onde: 
 A(y,z) é uma constante de integração a ser determinada. 
 
AB
AE
= ;< 
Usando integrais indefinidas e integrando em relação a y, ou seja, mantendo x e z como 
constantes, 
obtemos: 
f(x,y,z) = � ;<��, �, �� $� + =��, ��. 
Onde: 
B(x,z) é uma constante de integração a ser determinada. 
 
AF
AG
= ;< 
Usando integrais indefinidas e integrando em relação a z, ou seja, mantendo x e y como 
constantes, 
obtemos: 
f(x,y,z) = � ;���, �, ��$� + ���, ��. 
Onde: 
C(x,y) é uma constante de integração a ser determinada. 
 
Teorema de Green 
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C no 
plano xy com uma integral dupla sobre a região limitada por C ("rotacional" do campo). 
 
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Para trabalharmos com esse teorema precisamos conhecer algumasnotações que 
estaremos usando regularmente. 
1ª definição: 
Uma curva �: [�, �] → �� é dita fechada se ���� = ����; 
2ª definição: 
Dizemos que uma região fechada e limitada D do plano xy é simples se D pode ser descrita 
como uma região do tipo I e do tipo II simultaneamente. 
3ª definição: 
Dizemos que a fronteira ∂D de uma região limitada D do plano xy está orientada 
positivamente, se a região D fica a esquerda, ao percorremos a fronteira ∂D. 
 
 
 
Agora finalmente podemos enunciar o teorema de Green. 
Seja D uma região fechada e limitada do plano xy, cuja fronteira HI está orientada 
positivamente e é parametrizada por uma função �� por partes, de modo que HI seja 
percorrida apenas uma vez. 
Se ;��, �� = �;���, ��, ;<��, ��� é um campo vetorial de classe �� em um subconjunto 
aberto que contém D, então: 
∮ ;�$� + ;<$� = ∬
AFL
AC
− AFM
AE
 OAO $�$� 
A demonstração deste teorema pode ser encontrada na bibliografia recomendada nesta 
aula. 
Exemplo: a04_13_01. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Nesta aula, você: 
• Reconheceu integrais de linha; 
• Analisou a importância da interdisciplinaridade; 
• Utilizou o conhecimento dos cálculos e do cálculo vetorial aprendidos anteriormente; 
• Partiu do conhecimento anterior da disciplina de Cálculo para fazer uma extensão ao 
conteúdo desta aula; 
• Reconheceu algumas propriedades e teorema relacionados às integrais de linha; 
• Identificou como construir a função potencial usando integrais indefinidas; 
• Reconheceu o Teorema de Green.