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Unidade I MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Luiz Felix A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Capital é o valor principal de uma operação, ou seja, do dinheiro em um momento inicial. Matemática financeira Juros são a correção monetária em espécie ou o valor acrescido pela taxa de juros. A soma do capital com os juros é chamada de montante. Juros Abreviaturas Fonte: Livro Texto A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0,11). Taxa de juros Taxa Percentual Transformação Taxa unitária 40% a.m. 40 100 0,40 a.m. 4% a.a. 4 100 0,04 a.a. 24,5% a.d. 24,5 100 0,245 a.d. Passe para a forma unitária os seguintes valores: 0,5% a.a. 0,005 a.a. 2% a.s. 0,02 a.s. 17,5% a.d. 0,175 a.d. Passe para a forma percentual os seguintes valores: 0,003 a.b. 0,3% a.b. 0,04 a.m. 4% a.m. 0,18 a.d. 18% a.d. Taxas de juros: exercícios Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$ 5.250,00. a) Qual o juro? Montante = Capital + Juro ou M = C + J 5250 = 5000 + J 5250 – 5000 = J J = 250 b) Qual a taxa unitária de juro? i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias C 5000 c) Qual a taxa percentual de juro? i = 0,05 x 100 = 5% em 50 dias Taxas de juros: exercícios Um bolo é vendido por R$ 35,00. Se seu preço fosse acrescido de 15%, quanto o bolo passaria a custar? Calculando 15% de R$ 35,00; temos: 15 . 35 = 0,15 . 35 = 5,25 100 Somando R$ 5,25 ao preço original do bolo, temos: Novo preço: R$ 35,00 + R$ 5,25 = R$ 40,25 Taxas de juros: exercícios Os juros de cada período incidem sobre o capital inicial aplicado: juros não rendem juros. Crescimento linear ou em progressão aritmética. Poucas são as operações financeiras e comerciais. Juros simples Para um entendimento do sistema de capitalização simples, vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano. Juros simples Fonte: Livro Texto Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos diferentes. Exemplos: Transformar 2% a.m. em taxa semestral 2 x 6 = 12% a.s. Transformar 10% a.s. em taxa trimestral 10 / 2 = 5% a.t. Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Juros simples: taxas equivalentes Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre? Resposta: 8/2 = 4% ao mês Qual a taxa anual equivalente a 3% ao semestre? Resposta: 3 * 2 = 6% ao ano Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano? Resposta: 12/6 = 2% ao bimestre Juros simples: exercícios de taxas equivalentes Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? a) 0,16% ao ano. b) 0,5% ao ano. c) 6% ao ano. d) 12% ao ano. e) 24% ao ano. Interatividade A alternativa correta é: e) 24% ao ano Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 2% ao mês = 2 x 12 = 24% ao ano Resposta J = C . i . n Em que: J = juros C = capital i = taxa de juros n = período M = C + J ou M = C.(1 + i.n) Em que: M = montante Juros simples: fórmulas Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim dessa aplicação? Resolução incorreta C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ? J = C.i.n M = C + J J = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000 J = 30000 M = 33000 J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 Juros simples: exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim dessa aplicação? Resolução correta C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ? J = C.i.n M = C + J J = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300 J = 300 M = 3300 J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00 Juros simples: exemplo Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período? Resolução incorreta C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b. J = ? J = C.i.n J = 1500 . 0,1 . 2 J = 300 J = R$ 300,00 Juros simples: exemplo Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período? Resolução correta C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b. 10 / 2 = 5% a.m. J = ? J = C.i.n J = 1500 . 0,05 . 2 J = 150 J = R$ 150,00 Juros simples: exemplo Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a juros simples, para obter R$ 6.000,00 de juros em 4 meses. C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses J = C.i.n 6000 = C . 0,06 . 4 6000 = C . 0,24 6000 = C 0,24 C = 25000 C = R$ 25.000,00 Juros simples: exemplo Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestado para pagar dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. C = 3500 n = 7 meses i = 5,5% a.m. M = ? M = C (1+ i.n) M = 3500 (1 + 0,055 . 7) M = 3500 (1 + 0,385) M = 3500 (1,385) M = 4847,50 M = R$ 4.847,50 Juros simples: exemplo Juro exato: utiliza o calendário do ano civil com 365 dias. Juro comercial: admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros simples, a taxa diária de: a) Juro exato: 30% = 0,082191% ao dia 365 dias b) Juro comercial: 30% = 0,083333% ao dia 360 dias Juro exato e juro comercial Linha horizontal é a escala do tempo. Demais pontos representam outros períodos de tempo (datas). Fluxo de caixa 0 1 2 3 4 5 6 7 Entradas de Caixa ( + ) Saídas de Caixa ( - ) tempo R$ 500,00 R$ 600,00 R$ 700,00 R$ 300,00 Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias. a) R$ 150,00 b) R$ 23.400,00 c) R$ 702,00 d) R$ 70.200,00 e) R$ 234,00 Interatividade A alternativa correta é: e) R$ 234,00 Dica para a resolução: i = 13% a.t. Como 1 trimestre tem 90 dias, vamos dividir 13 por 90 para obtermos a taxa ao dia: 13 / 90 = 0,1444444 i = 0,1444444% a.d. n = 4 meses e 15 dias = 135 dias J = 1200 . 0,0014444 . 135 = 234 J = R$ 234,00 Resposta Assume os conceitos e as relações básicas de juros simples. Dr é o valor do desconto racional. Vr é o valor descontado racional (ou valor atual). N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante). Dr = N – Vr N = Vr.(1 + i.n) Desconto simples racional ou “por dentro” Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado. Dr (valor do desconto) Vr (valor descontado) i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal = 3500 N = Vr.(1 + i.n) Dr = N – Vr 3500 = Vr.(1 + 0,04.2) Dr = 3500 – 3240,74 3500 = Vr.(1 + 0,08) Dr = 259,26 3500 = Vr.(1,08) Vr= 3500 / 1,08 = 3240,74 Desconto simples racional ou “por dentro” A modalidade de “desconto por fora” é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. DF é o valor do desconto VF é o valor descontado “por fora” N é o valor nominal d é a taxa de desconto “por fora” n é o prazo definido DF = N . d . n VF = N.(1 – d.n) Desconto bancário ou comercial ou “por fora” Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontada 60 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 0,2% a.d.? d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 DF = ? DF = N . d . n DF = 100 . 0,002 . 60 DF = 12 DF = R$ 12,00 Desconto bancário ou comercial ou “por fora” Juros de cada período incidem sobre o capital do início do período (saldo): juros rendem juros. Crescimento exponencial ou em progressão geométrica. É o mais comum no sistema financeiro. Juros compostos Para um entendimento do sistema de capitalização composto, vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano. Juros compostos Fonte: Livro Texto M = C.(1 + i)n Em que: M = montante C = capital i = taxa de juros n = número de períodos Juros compostos: fórmula Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000.(1,02)3 = 6000.1,0612 = 6367,20 M = C + J 6367,20 = 6000 + J J = 6367,20 – 6000 = 367,20 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20 Juros compostos: exemplo Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses M = C.(1 + i)n 3500 = C.(1+0,025)12 3500 = C.(1,025)12 3500 = C.1,3449 C = 3500 = 2.602,42 1,3449 O capital foi de R$ 2.602,42 Juros compostos: exemplo Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.140,00 b) R$ 5.065,90 c) R$ 16.240,00 d) R$ 4.245,45 e) R$ 5.040,65 Interatividade A alternativa correta é: d) R$ 4.245,45 Resolução: C = 4000 i = 1,5% a.m. n = 4 meses M = C.(1 + i)n M = 4000 . (1+0,015)4 M = 4000 . (1,015)4 M = 4000 . 1,0613634 M = 4.245,45 M = R$ 4.245,45 Resposta Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. iq = (1 + i) q – 1 iq = (1 + i) 1/q – 1 q = número de períodos de capitalização Lembrete: q 1+ i – 1 = (1 + i)1/q – 1 Juros compostos: taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2,3% a.m.? Mês Anual iq = (1 + i) q – 1 1 mês 12 meses iq = (1 + 0,023) 12 – 1 iq = (1,023) 12 – 1 iq = 1,3137 – 1 iq = 0,3137 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual iq = 0,3137 . 100 iq = 31,37% a.a. Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 0,14% a.d. ? Dia Dias iq = (1 + i) q – 1 1 dia 23 dias iq = (1 + 0,0014) 23 – 1 iq = (1,0014) 23 – 1 iq = 1,0327 – 1 iq = 0,0327 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual iq = 0,0327 . 100 iq = 3,27% para 23 dias Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t.? Trimestre Anual iq = (1 + i) q – 1 1 trimestre 4 trimestres iq = (1 + 0,0745) 4 – 1 iq = (1,0745) 4 – 1 iq = 1,3329 – 1 iq = 0,3329 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual iq = 0,3329 . 100 iq = 33,29% a.a. Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 34% a.a.? Mês Anual iq = (1 + i) 1/q – 1 12 meses 1 ano iq = (1 + 0,34) 1/12 – 1 iq = (1,34) 1/12 – 1 iq = 1,0247 – 1 iq = 0,0247 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual iq = 0,0247 . 100 iq = 2,47% a.m. Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Cálculo de (1,34) 1/12 = 1,0247 Na HP: Vamos trabalhar com 4 casas decimais: f 4 1,34 ENTER 12 1/x yx 1,0247 Na calculadora do computador: Chamar a calculadora Clicar em exibir e selecionar científica Dividir 1 por 12, resultado: 0,08333 1,34 xy 0,08333 = 1,0247 Em calculadoras científicas com símbolo ^ Utilizar o símbolo ^ 1,34 ^ 0,08333 = 1,0247 Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa diária equivalente a 9,5% a.a.? Dia Ano iq = (1 + i) 1/q – 1 360 dias 1 ano iq = (1 + 0,095) 1/360 – 1 iq = (1,095) 1/360 – 1 iq = 1,000252 – 1 iq = 0,000252 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual iq = 0,000252 . 100 iq = 0,0252% a.d. Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? a) 10,39% a.m. b) 5,50% a.m. c) 7% a.m. d) 4,43% a.m e) 15% a.m. Interatividade A alternativa correta é: c) 7% a.m. Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? Mensal Semestral iq = (1 + i) 1/q – 1 6 meses 1 semestre iq = (1 + 0,50) 1/6 – 1 iq = (1,50) 1/6 – 1 iq = 1,070 – 1 iq = 0,070 iq = 7,0% a.m. Resposta ATÉ A PRÓXIMA!
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