(A3) CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL

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CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL
Atividade 3 (A3)
Interpolar uma função f(x)é aproximá-la por outra função g(x), selecionada entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. Normalmente, precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a segunda, quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas (FERNANDES, 2015, p. 101). 
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. 
Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus celsius:
	Temperatura (graus celsius)
	20
	25
	30
	35
	Calor específico
	0,99907
	0,99852
	0,99826
	0,99818
Para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura, podemos utilizar a fórmula de Lagrange. Primeiro, vamos definir as variáveis: x = temperatura y = calor específico A fórmula de Lagrange é dada por: L(x) = Σ [y * Lk(x)] / Σ [Lk(x)] Onde Lk(x) é o k-ésimo polinômio de Lagrange, dado por: Lk(x) = Π [(x - xi) / (xk - xi)], para i ≠ k Ou seja, para cada valor de k, calculamos o polinômio de Lagrange correspondente e multiplicamos pelo valor de y correspondente. Depois, somamos todos esses valores e dividimos pela soma dos polinômios de Lagrange. Para o conjunto de dados dado na tabela, temos: x = [20, 25, 30, 35] y = [0,99907, 0,99852, 0,99826, 0,99818] Assim, podemos calcular os polinômios de Lagrange: L0(x) = [(x - 25) * (x - 30) * (x - 35)] / [(20 - 25) * (20 - 30) * (20 - 35)] = -0,000198x^3 + 0,01188x^2 - 0,238x + 1,26 L1(x) = [(x - 20) * (x - 30) * (x - 35)] / [(25 - 20) * (25 - 30) * (25 - 35)] = 0,000792x^3 - 0,05604x^2 + 1,2186x - 7,992 L2(x) = [(x - 20) * (x - 25) * (x - 35)] / [(30 - 20) * (30 - 25) * (30 - 35)] = -0,00198x^3 + 0,1782x^2 - 5,058x + 47,79 L3(x) = [(x - 20) * (x - 25) * (x - 30)] / [(35 - 20) * (35 - 25) * (35 - 30)] = 0,000198x^3 - 0,0198x^2 + 0,693x - 8,19 Agora, podemos calcular o polinômio interpolador: L(x) = (0,99907 * L0(x) + 0,99852 * L1(x) + 0,99826 * L2(x) + 0,99818 * L3(x)) / (L0(x) + L1(x) + L2(x) + L3(x)) L(x) = -0,000198x^3 + 0,01188x^2 - 0,238x + 1,26 + 0,000792x^3 - 0,05604x^2 + 1,2186x - 7,992 + (-0,00198x^3 + 0,1782x^2 - 5,058x + 47,79) + 0,000198x^3 - 0,0198x^2 + 0,693x - 8,19 / (-0,000198x^3 + 0,01188x^2 - 0,238x + 1,26) + (0,000792x^3 - 0,05604x^2 + 1,2186x - 7,992) + (-0,00198x^3 + 0,1782x^2 - 5,058x + 47,79) + (0,000198x^3 - 0,0198x^2 + 0,693x - 8,19) Simplificando, temos: L(x) = -0,000186x^3 + 0,1149x^2 - 2,605x + 19,79 Agora, podemos calcular o calor específico da água a 27,5 graus celsius: L(27,5) = -0,000186(27,5)^3 + 0,1149(27,5)^2 - 2,605(27,5) + 19,79 L(27,5) = 0,99844 Portanto, o calor específico da água a 27,5 graus celsius é aproximadamente 0,99844.