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Unidad 6. Números complejos 1
Página 147
REFLEXIONA Y RESUELVE
Extraer fuera de la raíz
■ Saca fuera de la raíz:
a) b) 
a) = = 4 b) = 10
Potencias de 
■ Calcula las sucesivas potencias de :
a) ( )3 = ( )2( ) = … b) ( )4 c) ( )5
a) ( )3 = ( )2( ) = (–1) · = –
b) ( )4 = ( )2( )2 = (–1) · (–1) = 1
c) ( )5 = ( )4 · = 1 · = 
¿Cómo se maneja k · ?
■ Simplifica.
a) –2 + 11 – 8 – 
b)5 + 2 – 10 + 3
c) 8 + – – 
a) –2 + 11 – 8 – = 0 · = 0
b) 5 + 2 – 10 + 3 = 0
c) 8 + – – = + – – = √–138
5
√–1)5103104108010(√–112√–1310√–125√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–11
2
√–13
10
√–12
5
√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1
√–1
√–1√–100√–1√–1 · 16√–16
√–100√–16
NÚMEROS COMPLEJOS6
Expresiones del tipo a + b · 
■ Simplifica las siguientes sumas:
a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 )
b) (–5)(5 + ) – 2(1 – 6 )
a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 ) = –1 – 5
b) (–5)(5 + ) – 2(1 – 6 ) = –3 – 
■ Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
a) 3(2 – 4 ) – 6(4 + 7 )
b)8(5 – 3 ) + 4(–3 + 2 )
a) 3(2 – 4 ) – 6(4 + 7 ) = 6 – 12 – 24 – 42 = –18 – 54
b) 8(5 – 3 ) + 4(–3 + 2 ) = 40 – 24 – 12 + 8 = 28 – 16
Multiplicaciones
■ Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) (4 – 3 ) · b) (5 + 2 ) · 8
c) (5 + 2 )(7 – 3 ) d) (5 + 2 )(5 – 2 )
a) (4 – 3 ) · = 4 – 3( )2 = 4 – 3 (–1) = 3 + 4
b) (5 + 2 ) · 8 = 40 + 16( )2 = –16 + 40
c) (5 + 2 )(7 – 3 ) = 35 – 15 + 14 – 6( )2 = 35 + 6 – = 41 – 
d) (5 + 2 )(5 – 2 ) = 25 – 10 + 10 – 4( )2 = 25 + 4 = 29
Ecuaciones de segundo grado
■ Resuelve:
a) x2 + 10x + 29 = 0 b)x2 + 9 = 0
a) x2 + 10x + 29 = 0 8 x = = = =
= –5 ± 2
b) x2 + 9 = 0 8 x2 = –9 8 x = ± = ±3
x1 = 3√
—
–1
x2 = –3√
—
–1
√–1√–9
x1 = –5 + 2√
—
–1
x2 = –5 – 2√
—
–1
√–1
–10 ± 4 √–1
2
–10 ± √–16
2
–10 ± √100 – 116
2
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√1√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1
Unidad 6. Números complejos2
Página 149
1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son
reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros:
5 – 3i; + i; –5i; 7; i; 0; –1 – i; –7; 4i
• Reales: 7, 0 y –7
Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i, –1 – i, 4i
Imaginarios puros: –5i, i, 4i
• Representación:
2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:
a) z2 + 4 = 0 b) z2 + 6z + 10 = 0
c) 3z2 + 27 = 0 d) 3z2 – 27 = 0
a) z = = = ± 2i
z1 = 2i, z2 = –2i
b) z = = =
= = –3 ± i; z1 = –3 – i, z2 = –3 + i
–3 + i
–3 – i
–6 ± 2i
2
–6 ± √–4
2
–6 ± √36 – 40
2
2i
–2i
± 4i
2
± √–16
2
i
— + — i1
2
5
4
5 – 3i
4i
–5i
7–7
–1 – i
√
—
3i
1
√3
√35
4
1
2
√35
4
1
2
Unidad 6. Números complejos 3
6UNIDAD
c) z2 = –9 8 z = ± = ±3i
z1 = –3i, z2 = 3i
d) z2 = 9 8 z = ±3
z1 = –3, z2 = 3
3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 3 – 5i b) 5 + 2i c) –1 – 2i d) –2 + 3i
e) 5 f) 0 g) 2i h) –5i
a) Opuesto: –3 + 5i
Conjugado: 3 + 5i
b) Opuesto: –5 – 2i
Conjugado: 5 – 2i
–5 – 2i
5 + 2i
5 – 2i
–3 + 5i 3 + 5i
3 – 5i
–3 3
3i
–3i
√–9
Unidad 6. Números complejos4
c) Opuesto: 1 + 2i
Conjugado: –1 + 2i
d) Opuesto: 2 – 3i
Conjugado: –2 – 3i
e) Opuesto: –5
Conjugado: 5
f) Opuesto: 0
Conjugado: 0
g) Opuesto: –2i
Conjugado: –2i
h) Opuesto: 5i
Conjugado: 5i
5i
–5i
2i
–2i
0
5–5
–2 + 3i
–2 – 3i 2 – 3i
–1 – 2i
–1 + 2i 1 + 2i
Unidad 6. Números complejos 5
6UNIDAD
4. Sabemos que i2 = –1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criterio
para simplificar potencias de i de exponente natural.
i3 = –i i4 = 1 i5 = i i6 = –1
i20 = 1 i21 = i i22 = –1 i23 = –i
CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:
in = i4c + r = i4c · i r = (i4)c · i r = 1c · i r = 1 · i r = i r
Por tanto, in = i r, donde r es el resto de dividir n entre 4.
Página 151
1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i)
b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i)
c) (3 + 2i) (4 – 2i)
d) (2 + 3i) (5 – 6i)
e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i)
f) g) h) 
i ) j ) k) 
l ) 6 – 3 5 + i m) 
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) = 6 – 5i + 2 – i + 10 – 12i = 18 – 18i
b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) = 2 – 3i – 5 – 4i + 3 – 2i = –9i
c) (3 + 2i) (4 – 2i) = 12 – 6i + 8i – 4i2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i
d) (2 + 3i) (5 – 6i) = 10 – 12i + 15i – 18i2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i
e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = (–3i + 2i2 + 3 – 2i ) (1 + 3i) = (3 – 2 – 5i) (1 + 3i) =
= (1 – 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i – 5i – 15i2 = 1 + 15 – 2i = 16 – 2i
f ) = = = = = i
g) = = = = =
= – i13
10
–1
10
–1 – 13i
10
3 – 13i – 4
9 + 1
3 – i – 12i + 4i2
9 – i2
(1 – 4i) (3 – i)
(3 + i) (3 – i)
1 – 4i
3 + i
20i
20
20i
16 + 4
8 + 4i + 16i + 8i2
16 – 4i2
(2 + 4i) (4 + 2i)
(4 – 2i) (4 + 2i)
2 + 4i
4 – 2i
1
2
(–3i)2 (1 – 2i)
2 + 2i)25(
4 – 2i
i
1 + 5i
3 + 4i
5 + i
–2 – i
4 + 4i
–3 + 5i
1 – 4i
3 + i
2 + 4i
4 – 2i
1
2
Unidad 6. Números complejos6
h) = = = =
= = – i = – i
i) = = = = =
= + i
j) = = = =
= = + i
k) = = = –4i – 2 = –2 – 4i
l) 6 – 3 (5 + i) = 6 – 15 + i = –9 + i
m) = = = =
= = = =
= = + i = + i
2. Obtén polinomios cuyas raíces sean:
a) 2 + i y 2 – i b) –3i y 3i c) 1 + 2i y 3 – 4i
(Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene 
coeficientes reales).
a) [x – (2 + i)] [x – (2 – i)] =
= [(x – 2) – i] [(x – 2) + i] = (x – 2)2 – ( i )2 =
= x2 – 4x + 4 – 3i2 = x2 – 4x + 4 + 3 = x2 – 4x + 7
b) [x – (–3i)] [x – 3i] = [x + 3i] [x – 3i] = x2 – 9i2 = x2 + 9
c) [x – (1 + 2i )] [x – (3 – 4i )] = [(x – 1) – 2i ] [(x – 3) + 4i ] =
= (x – 1) (x – 3) + 4 (x – 1) i – 2 (x – 3) i – 8i2 =
= x2 – 4x + 3 + (4x – 4 – 2x + 6) i + 8 = x2 – 4x + 11 + (2x + 2) i =
= x2 – 4x + 11 + 2ix + 2i = x2 + (–4 + 2i )x + (11 + 2i )
√3√3√3
√3√3
√3√3
27
4
9
4
54
8
18
8
18 + 54i
8
–18 + 54i + 36
4 + 4
–18 + 18i + 36i – 36i2
4 – 4i2
(–9 + 18i) (2 – 2i)
(2 + 2i) (2 – 2i)
–9 + 18i
(2 + 2i)
–9 (1 – 2i)
(2 + 2i)
9i2 (1 – 2i)
(2 + 2i)
(–3i)2 (1 – 2i)
(2 + 2i)
6
5
6
5
2
5
–4i + 2i2
1
(4 – 2i) (–i)
i (–i)
4 – 2i
i
11
25
23
25
23 + 11i
25
3 + 11i + 20
9 + 16
3 – 4i + 15i – 20i2
9 – 16i2
(1 + 5i) (3 – 4i)
(3 + 4i) (3 – 4i)
1 + 5i
3 + 4i
3
5
–11
5
–11 + 3i
5
–10 + 3i – 1
5
–10 + 5i – 2i + i2
4 + 1
(5 + i) (–2 + i)
(–2 – i) (–2 + i)
5 + i
–2 – i
16
17
4
17
32
34
8
34
8 – 32i
34
–12 – 32i + 20
9 + 25
–12 – 20i – 12i – 20i2
9 – 25i2
(4 + 4i) (–3 – 5i)
(–3 + 5i) (–3 – 5i)
4 + 4i
–3 + 5i
Unidad 6. Números complejos 7
6UNIDAD
3. ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi)2 sea imaginario puro?
(25 – xi)2 = 625 + x2i2 – 50xi = (625 – x2) – 50xi
Para que sea imaginario puro:
625 – x2 = 0 8 x2 = 625 8 x = ± = ±25
Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25
4. Representa gráficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba que 
z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.
z1 + z2 = 5 + 7i
Página 153
1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
a) 1 + i b) + i c) –1 + i
d) 5 – 12i e) 3i f) –5
a) 1 + i = 260° b) + i = 230° c) –1 + i = 135°
d) 5 – 12i = 13292° 37' e) 3i = 390° f) –5 = 5
2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 5(π/6) rad b) 2135º c) 2495º
d) 3240º e) 5180º f) 490º
a) 5(π/6) = 5 (cos + i sen ) = 5 ( + i ) = + i
b) 2135° = 2(cos 135° + i sen 135°) = 2 (– + i ) = – + i√2√2√22√22
5
2
5√3
2
1
2
√3
2
π
6
π
6
√2√3√3
√3√3
7i
i
5i
z1 + z2
z1
z2
1 2 3 4 5
√625
Unidad 6. Números complejos8
c) 2495° = 2135° = – + i
d) 3240° = 3(cos 240° + i sen 240°) = 3 (– – i ) = – – i
e) 5180° = –5
f) 490° = 4i
3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo 
z = ra .
Opuesto: –z = r180° + a Conjugado: 
–z = r360° – a
4. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo:
z = 8(cos 30º + i sen 30º)
z = 830° = 8 (cos 30° + i sen 30°) =8 ( + i ) = + i = 4 + 4i
5. Sean los números complejos z1 = 460º y z2 = 3210º.
a) Expresa z1 y z2 en forma binómica.
b) Halla z1 · z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.
c) Compara los módulos y los argumentos de z1 · z2 y z2/z1 con los de z1
y z2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.
a) z1 = 460° = 4 (cos 60° + i sen 60°) = 4 ( + i ) = 2 + 2 i
z2 = 3210° = 3 (cos 210° + i sen 210°) = 3 (– – i ) = – – i
b) z1 · z2= (2 + 2 i ) (– – i ) =
= –3 – 3i – 9i – 3 i2 = –3 – 12i + 3 = –12i = 12270°
= = =
= = = = ( )
150°
c) z1 · z2 = 460° · 3210° = (4 · 3)60° + 210° = 12270°
= = ( )
210° – 60°
= ( )
150°
3
4
3
4
3210°
460°
z2
z1
3
4
–6√
—
3 + 6i
16
–3√
—
3 + 6i – 3√
—
3
4 + 12
–3√
—
3 – 3i + 9i + 3√
—
3i2
4 – 12i2
3√
—
3 3(–—–— – — i) (2 – 2√—3i)2 2
(2 + 2√—3i)(2 – 2√—3i)
3√
—
3 3(–—–— – — i)2 2
(2 + 2√—3i)
z2
z1
√3√3√3√3
3
2
3√3
2
√3
3
2
3√3
2
1
2
√3
2
√3√3
2
1
2
√38
2
8√3
2
1
2
√3
2
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
√2√2
Unidad 6. Números complejos 9
6UNIDAD
Página 155
1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:
a) 1150º · 530º b) 645º : 315º c) 210º · 140º · 370º
d) 5(2π/3)rad : 160º e) (1 – i)
5
f ) (3 + 2i) + (–3 + 2i)
a) 1150° · 530° = 5180° = –5
b) 645° : 315° = 230° = 2 (cos 30° + i sen 30°) = 2 ( + i ) = + i
c) 210° · 140° · 370° = 6120° = 6 (cos 120° + i sen 120°) = 6 (– + i ) = –3 + 3 i
d) 5(2π/3)rad : 160° = 5120° : 160° = 560° = 5 (cos 60° + i sen 60°) =
= 5 ( + i ) = + i
e) (1 – i )5= (2300°)5 = 321500° = 3260° = 32 (cos 60° + i sen 60°) =
= 32 ( + i ) = 16 + 16 i
f) 4i = 490º
2. Compara los resultados en cada caso:
a) (230°)
3, (2150°)
3, (2270°)
3
b) (260°)
4, (2150°)
4, (2270°)
4, (2330°)
4
a) (230º)
3 = 233 · 30º = 890º
(2150º)
3 = 233 · 150º = 8450º = 890º
(2270º)
3 = 83 · 270º = 8810º = 890º
b) (260º)
4 = 244 · 60º = 16240º
(2150º)
4 = 16600º = 16240º
(2270º)
4 = 161080º = 160º
(2330º)
4 = 161320º = 16240º
3. Dados los complejos z = 545º , w = 215º , t = 4i, obtén en forma polar:
a) z · t, b) c) d) 
z = 545° w = 215° t = 4i = 490°
z · w3
t
z3
w · t2
z
w2
√3√3
2
1
2
√3
5√3
2
5
2
√3
2
1
2
√3√3
2
1
2
√31
2
√3
2
√3
Unidad 6. Números complejos10
a) z · w = 1060°
b) = = = ( )
15°
c) = = ( )
–60°
= ( )
300°
d) = = 100° = 10
4. Expresa cos 3a y sen 3a en función de sen a y cos a utilizando la fórmula
de Moivre. Ten en cuenta que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(1a)
3 = 1 (cos a + i sen a)3 =
= cos3 a + i 3 cos2 a sen a + 3i2 cos a sen2 a + i3 sen3 a =
= cos3 a + 3 cos2 a sen a i – 3 cos a sen2 a – i sen3 a =
= (cos3 a – 3 cos a sen2 a) + (3 cos2 a sen a – sen3 a) i
Por otra parte: (1a)
3 = 13a = cos 3a + i sen 3a
Por tanto: cos 3a = cos3 a – 3 cos a sen2 a
sen 3a = 3 cos2 a sen a – sen3 a
Página 157
1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.
= = 1(360° · k )/6 = 160° · k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
10° = 1 160° = + i 1120° = – + i
1180° = –1 1240° = – – i 1300° = – i
Representación:
1
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
6√10°
6√1
545° · 845°
490°
z · w3
t
125
32
125
32
125135°
215° · 16180°
z3
w · t2
5
4
545°
430°
z
430º
z
w2
Unidad 6. Números complejos 11
6UNIDAD
2. Resuelve la ecuación z3 + 27 = 0. Representa sus soluciones.
z3 + 27 = 0 8 z = = = 3(180° + 360° n )/3 = 360° + 120° n ; n = 0, 1, 2
z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 ( + i ) = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3240° = 3 (cos 240° + i sen 240°) = 3 (– – i ) = – – i
3. Calcula:
a) b) c) d) 
a) = = 1(270° + 360° k)/3; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
190° = i 1210° = – – i 1330° = + i
b) = = 2(120° + 360° k)/4 = 230° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
230° = 2 ( + i ) = + i
2120° = 2 (– + i ) = –1 + i
2210° = 2 (– – i ) = –1 – i
2300° = 2 ( – i ) = – i√312√32
√3√3
2
1
2
√3√3
2
1
2
√31
2
√3
2
4√16120°
4√–8 + 8√—3 i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
3√1270°
3√–i
–2 + 2i√—1 + √—3i√–254√–8 + 8√—3i3√–i
z1
z2
z3
–3
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3√27180°
3√–27
Unidad 6. Números complejos12
c) = = 5(180° + 360° k)/2 = 590° + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son: 590° = 5i ; 5270° = –5i
d)
3
=
3
= = (75° + 360° k)/3 = 25° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son: 25°; 145°; 265°
4. Resuelve las ecuaciones:
a) z4 + 1 = 0
b) z6 + 64 = 0
a) z4 + 1 = 0 8 z = = = 1(180° + 360° k)/2 = 145° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
145° = + i ; 1135° = – + i ; 1225° = – – i ; 1315° = – i
b) z6 + 64 = 0 8 z = = = 2(180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
230° = 2 ( + i ) = + 1 290° = 2i
2150° = 2 (– + i ) = – + i 2210° = 2 (– – i ) = – – i
2270° = –2i 2330° = 2 ( – i ) = – i
5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son
los resultados de las siguientes operaciones:
z · w, z/w, z2, z3
z y w raíces sextas de 1 8 z6 = 1, w6 = 1
(z · w )6 = z6 · w6 = 1 · 1 = 1 8 z · w es raíz sexta de 1.
( )6 = = = 1 8 es raíz sexta de 1.
z2 = (z2)6 = z12 = (z4)3 = 13 = 1 8 z2 es raíz sexta de 1.
z3 = (z3)6 = z18 = z16 · z2 = (z4)4 · z2 = 14 · 12 = 1 · 1 = 1 8 z3 es raíz sexta de 1.
z
w
1
1
z6
w6
z
w
√31
2
√3
2
√31
2
√3
2
√31
2
√3
2
√31
2
√3
2
6√64180°
6√–64
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
4√1180°
4√–1
6√26√26√2
6√26√2
3√√
—
275°√√
—
8135°
260°√ –2 + 2i1 + √—3 i
√25180°√–25
Unidad 6. Números complejos 13
6UNIDAD
6. El número 4 + 3i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla las
otras tres raíces cuartas de z.
4 + 3i = 536° 52'
Las otras tres raíces cuartas de z serán:
536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i
536° 52' + 180° = 5216° 52' = –4 – 3i
536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i
7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:
a) b) c) 
d) e) f ) 
a) = = 3(180° + 360° k)/2 = 390° + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son: 
390° = 3i ; 3270° = –3i
b) = = 3(180° + 360° k)/3 = 360° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 ( + i ) = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3300° = 3 (cos 300° + i sen 300°) = 3 ( – i ) = – i
z1
z2
z3
–3
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3√3
2
3
2
√3
2
1
2
3√27180°
3√–27
–3i
3i
√9180°√–9
3√8i
5 32√ i3 1 – i√ 1 + i
3√2 – 2i3√–273√–9
Unidad 6. Números complejos14
c) = = (315° + 360° k)/3 = 105° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 105° = –0,37 + 1,37i
z2 = 225° = (– – i ) = –1 – i
z3 = 345° = 1,37 – 0,37i
d)
3
= 
3
= = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
190° = i
1210° = – – i
1330° = – i
e)
5
= 
5
= = = 2(90° + 360° k)/5 = 218° + 72° k; k = 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
z1 = 218° = 1,9 + 0,6i
z2 = 290° = 2i
z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i
z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i
z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i
f) = = 2(90º + 360º k)/3 = 230º + 120º k; k = 0, 1, 2
Las tres son:
z1 = 230º
z2 = 2150º
z3 = 2270º
z1z2
z3
3√890°
3√8i
z1
z2
z3
z4 z5
5√3290°
5√32i√ – 32 (–i)i (– i)√ –32i
1210° 1330°
i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
3√1270°√√
—
2315°
√
—
245°√
1 – i
1 + i
√2
√2
2
√2
2
√2√2
√2
√2√2
3√√
—
8315°
3√2 – 2i
Unidad 6. Números complejos 15
6UNIDAD
z1
z2
i
–i
z3
–1
1
Página 158
LENGUAJE MATEMÁTICO
1. Pon la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas:
Describe con palabras cada una de las familias (“son los números complejos
cuya parte real vale …”) y da un representante de cada una de ellas.
a) Re z = 3 b) –1 Ì Im z < 3 c) |z| = 3 d) |z| > 2 e) Arg z = 90°
2. Representa:
a) Re z = –3 b) Im z = 0 c) 3 < Re z ≤ 5 d) |z|≥ 4 e) Arg z = 180°
a) b)
c) d)
e)
a) c) d) e)b)
Unidad 6. Números complejos16
Página 162
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Números complejos en forma binómica
1 Calcula:
a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) b)3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i)
c) –2i – (4 – i)5i d)(4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2
a) (3 + 2i) (2– i) – (1 – i) (2 – 3i) = 6 – 3i + 4i – 2i2 – 2 + 3i + 2i – 3i2 =
= 6 – 3i + 4i + 2 – 2 + 3i + 2i + 3 = 9 + 6i
b) 3 + 2i (–1 + i) – (5 – 4i) = 3 – 2i + 2i2 – 5 + 4i = 3 – 2i – 2 – 5 + 4i = –4 + 2i
c) –2i – (4 – i)5i = –2i – 20i + 5i2 = –22i – 5 = –5 – 22i
d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2 = 16 – (3i)2 – 16 – 9i2 + 24i =
= 16 + 9 – 16 + 9 + 24i = 18 + 24i
2 Calcula en forma binómica:
a) b)
c) (1 – i) d) + 
a) = = = =
= = = 3 + 6i
b) = = = =
= = = = – i
c) (1 – i ) = = = =
= = = + i23
13
15
13
15 + 23i
13
21 + 14i + 9i – 6
9 + 4
(7 + 3i ) (3 + 2i )
(3 – 2i ) (3 + 2i )
7 + 3i
3 – 2i
2 – 2i + 5i + 5
3 – 2i
2 + 5i
3 – 2i
7
20
9
20
9 – 7i
20
18 – 14i
40
12 + 4i – 18i + 6
36 + 4
(–2 + 3i ) (–6 – 2i )
(–6 + 2i ) (–6 – 2i )
–2 + 3i
–6 + 2i
–2 + 3i
–4 + 4i – 2i – 2
–2 + 3i
(4 + 2i ) (–1 + i )
24 + 48i
8
36 + 36i + 12i – 12
4 + 4
(18 + 6i ) (2 + 2i )
(2 – 2i ) (2 + 2i )
18 + 6i
2 – 2i
12 – 6i + 12i – 6i2
2 – 2i
(3 + 3i ) (4 – 2i )
2 – 2i
–3 – 2i
1 + 3i
1 + i
2 – i
2 + 5i
3 – 2i
–2 + 3i
(4 + 2i) (–1 + i)
(3 + 3i) (4 – 2i)
2 – 2i
PARA PRACTICAR
Unidad 6. Números complejos 17
6UNIDAD
d) + = + =
= + = + =
= = = + i
3 Dados los números complejos z = 1 – 3i, w = –3 + 2i, t = –2i, calcula:
a) zwt b)zt – w(t + z) c) t
d) e) w f)
z = 1 – 3i; w = –3 + 2i; t = –2i
a) zwt = (1 – 3i) (–3 + 2i) (–2i) = (–3 + 2i + 9i – 6i2)(–2i) =
= (3 + 11i) (–2i) = –6i – 22i2 = 22 – 6i
b) zt – w (t + z) = (1 – 3i) (–2i) – (–3 + 2i) (–2i + 1 – 3i) =
= (–2i + 6i2) – (–3 + 2i) (1 – 5i) = (–6 – 2i) – (–3 + 2i) (1 – 5i) =
= (–6 – 2i) – (–3 + 15i + 2i – 10i2) = (–6 – 2i) – (7 + 17i) = –13 – 19i
c) t = (–2i) = = =
= = = – + i
d) = = = =
= = – – i
e) w = (–3 + 2i) = (–3 + 2i) =
= – 3i (–3 + 2i) = –5 + i + 9i – 6i2 = 1 + i
f) = = =
= = + i = –10 + i
2
2
–20
2
–8 – 6i – 12 + 8i
2
1 – 6i + 9i2 – (–3 + 2i)(–4)
2
(1 – 3i)2 – (–3 + 2i) (–2i)2
2
z2 – wt2
2
37
3
10
3)53(
3 – 9i + 2
3
3(1 – 3i) + i (–2i)
3
3z + it
3
4
13
6
13
–6 – 4i
9 + 4
2(–3 – 2i)
(–3)2 – (2i)2
2 – 6i + 6i
–3 + 2i
2(1 – 3i) – 3(–2i)
–3 + 2i
2z – 3t
w
9
5
7
5
–14 + 18i
10
4 + 12i + 6i + 18i2
1 + 9
(4 + 6i)(1 + 3i)
12 – (3i)2
6i – 4i2
1 – 3i
–3 + 2i
1 – 3i
w
z
z2 – wt2
2
3z + it
3
2z – 3t
w
w
z
13
10
–7
10
–7 + 13i
10
2 + 6i – 9 + 7i
10
–9 + 7i
10
1 + 3i
5
–3 + 9i – 2i – 6
1 + 9
2 + i + 2i – 1
4 + 1
(–3 – 2i ) (1 – 3i )
(1 + 3i ) (1 – 3i )
(1 + i ) (2 + i )
(2 – i ) (2 + i )
–3 – 2i
1 + 3i
1 + i
2 – i
Unidad 6. Números complejos18
4 Calcula:
a) i37 b) i126 c) i–7 d) i64 e) i–216
a) i37 = i1 = i b) i126 = i2 = –1
c) i–7 = = = i d) i64 = i0 = 1
e) i–216 = = = = 1
5 Dado el número complejo z = – + i, prueba que:
a) 1 + z + z2 = 0 b) = z2
a) z2 = (– + i)2 = + i 2 – i = – – i =
= – – i = – – i
1 + z + z2 = 1 + (– + i) + (– + i) = 1 – + i – – i = 0
b) = = = = =
= = = = – – i
z2 = – – i (lo habíamos calculado en a)
Por tanto: = z2
Igualdad de números complejos
6 Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i.
(2 + mi ) + (n + 5i ) = 7 – 2i
(2 + n) + (m + 5) i = 7 – 2i 8 n = 5
m = –7
°
¢
£
2 + n = 7
m + 5 = –2
°
¢
£
1
z
√3
2
1
2
√3
2
1
2
–1 – √3 i
2
2 (–1 – √3 i )
4
2 (–1 – √3 i )
1 + 3
2 (–1 – √3 i )
(–1 + √
—
3 i) (–1 – √
—
3 i)
2
–1 + √
—
3 i
1
–1 + √
—
3 i
———–—
2
1
1 √
—
3
–— + — i
2 2
1
z
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
2
4
√3
2
3
4
1
4
√3
2
3
4
1
4
√3
2
1
2
1
z
√3
2
1
2
1
1
1
i0
1
i216
1
–i
1
i7
Unidad 6. Números complejos 19
6UNIDAD
7 Determina k para que el cociente sea igual a 2 – i.
= = = =
= ( ) + ( ) i = 2 – i 8
Por tanto, k = 3.
8 Calcula a y b de modo que se verifique:
(a + bi)2 = 3 + 4i
☛ Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.
(a + bi )2 = 3 + 4i
a2 + bi2 + 2abi = 3 + 4i
a2 – b2 + 2abi = 3 + 4i 8
b = = 
a2 – ( )2 = 3 8 a2 – = 3 8 a4 – 4 = 3a2 8 a4 – 3a2 – 4 = 0
a2 = = 
a = –2 8 b = –1
a = 2 8 b = 1
9 Dados los complejos 2 – ai y 3 – bi, halla a y b para que su producto sea
igual a 8 + 4i.
(2 – ai ) (3 – bi ) = 8 + 4i
6 – 2bi – 3ai + abi2 = 8 + 4i
6 – 2bi – 3ai – ab = 8 + 4i
(6 – ab) + (–2b – 3a) i = 8 + 4i
b = 4 + 3a
–2
6 – ab = 8
–2b – 3a = 4
°
¢
£
a2 = 4 8 a = ±2
a2 = –1 (no vale)
3 ± 5
2
3 ± √9 + 16
2
4
a2
2
a
2
a
4
2a
a2 – b2 = 3
2ab = 4
°
¢
£
1 – k
2
k + 1
2
(k + 1) + (1 – k) i
2
k – ki + i + 1
1 + 1
(k + i ) (1 – i )
(1 + i ) (1 – i )
k + i
1 + i
k + i
1 + i
Unidad 6. Números complejos20
°
§
§
¢
§
§
£
= 2 8 k = 3
= –1 8 k = 31 – k
2
k + 1
2
6 – a ( ) = 8 8 6 + = 8
= 2 8 4a + 3a2 = 4 8 3a2 + 4a – 4 = 0
a = = 
10 Calcula el valor de a y b para que se verifique: 
a – 3i = 
a – 3i = 
(a – 3i ) (5 – 3i ) = 2 + bi
5a – 3ai – 15i – 9 = 2 + bi
(5a – 9) + (–3a – 15) i = 2 + bi
11 Halla el valor de b para que el producto (3 – 6i) (4 + bi) sea un número:
a) Imaginario puro. b) Real.
(3 – 6i ) (4 + bi ) = 12 + 3bi – 24i + 6b = (12 + 6b) + (3b – 24) i
a) 12 + 6b = 0 8 b = –2
b) 3b – 24 = 0 8 b = 8
12 Determina a para que (a – 2i)2 sea un número imaginario puro.
(a – 2i )2 = a2 + 4i2 – 4ai = (a2 – 4) – 4ai
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
a2 – 4 = 0 8 a = ±2 8 a1 = –2, a2 = 2
13 Calcula x para que el resultado del producto (x + 2 + ix) (x – i) sea un nú-
mero real.
(x + 2 + ix ) (x – i ) = x2 – xi + 2x – 2i + x2i – xi2 =
= x2 – xi + 2x – 2i + ix2 + x = (x2 + 3x) + (x2 – x – 2)i
Para que sea real, ha de ser:
x2 – x – 2 = 0 8 x = = 
x1 = –1
x2 = 2
1 ± 3
2
1 ± √1 + 8
2
a = 11/5
b = –108/5
°
¢
£
5a – 9 = 2
–3a – 15 = b
2 + bi
5 – 3i
2 + bi
5 – 3i
–4 ± 8
6
–4 ± √16 + 48
6
4a + 3a2
2
4a + 3a2
2
4 + 3a
–2
Unidad 6. Números complejos 21
6UNIDAD
a = = 8 b = –3
a = = –2 8 b = 1–12
6
2
3
4
6
Números complejos en forma polar
14 Representa estos números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Ex-
présalos en forma polar.
a) 1 – i b)–1 + i c) + i d) – – i
e) – 4 f ) 2i g) – i h)2 + 2 i
a) 1 – i = 315°
Opuesto: –1 + i = 135°
Conjugado: 1 + i = 45°
b) –1 + i = 135°
Opuesto: 1 – i = 315°
Conjugado: –1 – i = 225°
c) + i = 230°
Opuesto: – – i = 2210°
Conjugado: – i = 2330°
d) – – i = 2210°
Opuesto: + i = 230°
Conjugado: – + i = 2150°
e) –4 = 4180°
Opuesto: 4 = 40°
Conjugado: –4 = 4180°
f) 2i = 290°
Opuesto: –2i = 2270°
Conjugado: –2i = 2270°
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√2
√2
√2
√2
√2
√2
√33
4
√3√3
Unidad 6. Números complejos22
1 – i
–1 + i 1 + i
–1 – i
–1 + i
1 – i
√
—
3 + i
√
—
3 – i√
—
3 – i–
√
—
3 + i
√
—
3 – i–
√
—
3 + i–
4–4
2i
–2i
g) – i = ( )
270°
Opuesto: i = ( )
90°
Conjugado: i = ( )
90°
h) 2 + 2 i = 60°
Opuesto: –2 – 2 i = 240°
Conjugado: 2 – 2 i = 300°
15 Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 245º b)3(π/6) c) 180º d)170º
e) 1(π/2) f) 5270º g) 1150º h)4100º
a) 245° = 2 (cos 45° + i sen 45°) = 2 ( + i ) = + i
b) 3(π/6) = 3 (cos + i sen ) = 3 ( + i ) = + i
c) 180° = (cos 180° + i sen 180°) = (–1 + i · 0) = –
d) 170° = 17
e) 1(π/2) = cos + i sen = i
f ) 5270° = –5i
g) 1150° = cos 150° + i sen 150° = – + i = – + i
h) 4100° = 4 (cos 100° + i sen 100°) = 4 (–0,17 + i · 0,98) = –0,69 + 3,94i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
π
2
π
2
√2√2√2√2
3
2
3√3
2
1
2
√3
2
π
6
π
6
√2√2√2
2
√2
2
√2
√14√3
√14√3
√14√3
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
Unidad 6. Números complejos 23
6UNIDAD
3i/4
–3i/4
2 + 2 3i√
—
–2 – 2 3i√
—
2 – 2 3i√
—
16 Dados los números complejos:
z1 = 2270°, z2 = 4120°; z3 = 3315°
calcula:
a) z1 · z2 b) z2 · z3 c) z1 · z3
d) e) f) 
g) z
1
2 h) z
2
3 i) z
3
4
a) z1 · z2 = 830º b) z2 · z3 = 1275º c) z1 · z3 = 6225º 
d) = 1,545º e) = 2–150º = 2210º f) = 1,5105º
g) z1
2 = 4180º h) z2
3 = 640º i) z3
4 = 81180º
17 Expresa en forma polar y calcula:
a) (–1 – i)5 b) 
4
c) 
d) e) (–2 + 2i)6 f ) (3 – 4i)3
a) (–1 – i )5 = ( 225°)
5
= 4 1125° = 4 45° = 4 ( + i) = 4 + 4i
b) = = (300° + 360° n)/4 = 75° + 90° n ; n = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
75° 165° 255° 345°
c)= = (360° k)/4 = 2 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
2 0° = 2 2 90° = 2 i 2 180° = –2 2 270° = –2 i
d) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i
e) (–2 + 2i )6 = (4150°)6 = 4 096900° = 4 096180° = –4 096
f) (3 – 4i )3 = (5306° 52')
3 = 125920° 36' = 125200° 36'
√3
√3√3
3√890°
3√8i
√2√2√2√2√2√2√2√2
√24√264√640°
4√64
4√24√24√24√2
4√24√24√2300°
4√1 – √
—
3 i
√2
2
√2
2
√2√2√2√2
√33√8i
6√64√1 – √—3 i
z1 · z3
z2
z2
z1
z3
z1
z1 · z3
z2
z2
z1
z3
z1
Unidad 6. Números complejos24
18 Calcula y representa gráficamente el resultado:
a) 
3
b) 
a) ( )3 = ( )3 = (( )
285°
)3 = ( )
855°
= ( )
135°
= 
= (cos 135° + i sen 135°) =
= (– + i ) = + i
b)
3
= 
3
= 
3
= =
= = ( )
(71° 34' + 360° k)/3
= 
6
23° 51' + 120° k
; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
6
23° 51'
= 0,785 + 0,347i
6
143° 51'
= –0,693 + 0,56i
6
263° 51'
= –0,092 – 0,853i
19 Calcula y representa las soluciones:
a) b) c) 
a)
3√
——
4 – 4 i = = 2(300° + 360° k)/3 = 2100° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
2100° = –0,35 + 1,97i
2220° = –1,53 – 1,26i
2340° = 1,88 – 0,68i
2
2 2
3√8300°√3
3√8i4√–16
3√4 – 4√—3 i
√ 25
√ 25
√ 25
√ 25
6√10
3√5
3 √
—
10√(—)5 71° 34'
3 1 3√— + — i5 5√1 + 3i5√ (1 + i ) (2 + i )(2 – i ) (2 + i )√ 1 + i2 – i
1
4
–1
4
√2
2
√2
2
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
2
√2315°
230°
1 – i
√3 + i
3 1 + i√ 2 – i)1 – i√—3 + i(
Unidad 6. Números complejos 25
6UNIDAD
1
i
–1
–— + —i1
4
1
4
b) = = 2(180° + 360° k)/4 = 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
245° = + i 2135° = – + i
2225° = – – i 2315° = – i
c) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i
Página 163
20 Calcula pasando a forma polar:
a) (1 + i )5 b) (–1 – i )6 ( – i) c) 
d) e) f) 
g) h) 
a) (1 + i )5 = (260°)
5 = 32300° = 32 (cos 300° + i sen 300°) =
= 32 ( – i ) = 16 – 16 i
b) (–1 – i )6 ( – i ) = (2240°)6 (2330°) = (641440°) (2330°) =
= (640°) (2330°) = 128330° = 128 (cos 330° + i sen 330°) =
= 128 ( + i ) = 64 – 64i
c) = = (120° + 360° k)/4 = 30° + 90° k =
= 30° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
30° = + i 120° = – + i
210° = – – i 300° = – i
√6
2
√2
2
√2√2
2
√6
2
√2
√6
2
√2
2
√2√2
2
√6
2
√2
√2
4√224√44√4120°
4√–2 + 2√—3 i
√3–1
2
√3
2
√3√3
√3√3
2
1
2
√3
2 – 2i√ –3 + 3i3√–i
√–1 – i6√–648
(1 – i)5
4√–2 + 2√—3 i√3√3√3
2 2
2
√3√3
3√890°
3√8i
2 2
2 2√2√2√2√2
√2√2√2√2
4√16180°
4√–16
Unidad 6. Números complejos26
d) = = = = ( )
–135°
= ( )
225°
=
= 225° = (cos 225° + i sen 225°) = (– – i) = –1 – i
e) = = (180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
230° = + i 290° = 2i 2150° = – + i
2210° = – – i 2270° = –2 2330° = – i
f ) = = (225° + 360° k)/2 = 112° 30' + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son:
112° 30' = –0,46 + 1,1i 292° 30' = 0,46 – 1,1i
g) = = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
190° = i 1210° = – – i 1330° = – i
h) = = ( )
180°
= ( )
(180° + 360° k)/2
=
= ( )
90° + 180° k
; k = 0, 1
Las dos raíces son:
( )
90°
= i ( )
270°
= – i
21 Expresa en forma polar z, su opuesto –z, y su conjugado –z en cada uno de
estos casos:
a) z = 1 – i b) z = –2 – 2i c) z = –2 + 2i
a) z = 1 – i = 2300°; –z = –1 + i = 2120°; 
–z = 1 + i = 260°
b) z = –2 – 2i = 2 225°; –z = 2 + 2i = 2 45°; 
–z = –2 + 2i = 2 135°
c) z = –2 + 2i = 4150°; –z = 2 – 2i = 4330°; 
–z = –2 – 2i = 4210°√3√3√3
√2√2√2
√3√3√3
√3√3
√ 23√ 23√ 23√ 23
√ 23
√ 2323√ 2√
—
2315°
3√
—
2135°
√ 2 – 2i–3 + 3i
1
2
√3
2
1
2
√3
2
3√1270°
3√–i
4√24√2
4√24√2√√—2225°√–1 – i
√3√3
√3√3
6√266√64180°
6√–64
√2
2
√2
2
√2√2√2
2
√2
8
4√2
80°
4√
—
2135°
80°
4√
—
21575°
80°
(√—2315°)5
8
(1 – i )5
Unidad 6. Números complejos 27
6UNIDAD
22 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las si-
guientes raíces:
a) b) c)
a) = = 1(90° + 360° k)/5 = 118° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
118° 190° 1162° 1234° 1306°
Representación del polígono (pentágono):
b) = = 1(180° + 360° k)/6 = 130° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
130° 190° 1150° 1210° 1270° 1330°
Representación del polígono (hexágono):
c) = = (30° + 360° k)/4 = 7° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
7° 30' 97° 30' 187° 30' 277° 30'
Representación del polígono (cuadrado):
√
—
2
√2√2√2√2
√24√224√430°
4√2√—3 + 2i
1
6√1180°
6√–1
1
5√190°
5√i
4√2√—3 + 2i6√–15√i
Unidad 6. Números complejos28
Ecuaciones y sistemas en Ç
23 Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binó-
mica:
a) z2 + 4 = 0 b)z2 + z + 4 = 0
c) z2 + 3z + 7 = 0 d)z2 – z + 1 = 0
a) z2 + 4 = 0 8 z2 = –4 8 z = ± = ±2i
z1 = –2i, z2 = 2i
b) z2 + z + 4 = 0 8 z = = = 
z1 = – – i, z2 = – + i
c) z2 + 3z + 7 = 0 8 z = = = 
z1 = – – i, z2 = – + i
d) z2 – z + 1 = 0 8 z = = = 
z1 = – i, z2 = + i
24 Resuelve las ecuaciones:
a) z5 + 32 = 0 b) iz3 – 27 = 0
c) z3 + 8i = 0 d) iz4 + 4 = 0
a) z5 + 32 = 0 8 z5 = –32
z = = = 2(180° + 360° k)/5 = 236° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
236° 2108° 2180° 2252° 2324°
b) iz3 – 27 = 0 8 z3 + 27i = 0 8 z3 = –27i
z = = = 3(270° + 360° k)/3 = 390° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
390° 3210° 3330°
c) z3 + 8i = 0 8 z = = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
290° = 2i 2210° = – – i 2330° = – i√3√3
3√8270°
3√–8i
3√27270°
3√–27i
5√32180°
5√–32
√3
2
1
2
√3
2
1
2
1 ± √3 i
2
1 ± √–3
2
1 ± √1 – 4
2
√19
2
3
2
√19
2
3
2
–3 ± √19 i
2
–3 ± √–19
2
–3 ± √9 – 28
2
√15
2
1
2
√15
2
1
2
–1 ± √15 i
2
–1 ± √–15
2
–1 ± √1 – 16
2
√–4
Unidad 6. Números complejos 29
6UNIDAD
d) iz4 + 4 = 0 8 z4 – 4i = 0 8 z4 = 4i
z = = = (90° + 360° k)/4 = 22° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
22° 30' = 1,3 + 0,5i 112° 30' = –0,5 + 1,3i
202° 30' = –1,3 – 0,5i 292° 30' = 0,5 – 1,3i
25 Resuelve las siguientes ecuaciones en Ç :
a) z2 + 4i = 0 b) z2 – 2z + 5 = 0
c) 2z2 + 10 = 0 d) z4 + 13z2 + 36 = 0
a) z2 + 4i = 0 8 z2 = –4i 8 z = = 8 z = 2(270° + 360° k )/2; k = 0,1
z1 = 2135°, z2 = 2315°
b) z2 – 2z + 5 = 0 8 z = = = = 1 ± 2i
z1 = 1 – 2i, z2 = 1 + 2i
c) 2z2 + 10 = 0 8 2z2 = –10 8 z2 = –5 8 z = ± i
z1 = – i, z2 = i
d) z4 + 13z2 + 36 = 0 
z2 = t
t2 + 13t + 36 = 0
t = = 
z2 = –4 8 z = ±2i
z2 = –9 8 z = ±3i
Las soluciones son: 2i = 290º; –2i = 2270º; 3i = 390º; –3i = 3270º
26 Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) z4 – 1 = 0 b) z4 + 16 = 0 c) z4 – 8z = 0
a) z4 – 1 = 0 8 z4 = 1 8 z = = = 1360° k/4 = 190° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
10° = 1 190° = i 1180° = –1 1270° = –i
b) z4 + 16 = 0 8 z4 = –16 8 z = = = 2(180° + 360° k)/4 =
= 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
4√16180°
4√–16
4√10°
4√1
t = –4
t = –9
–13 ± 5
2
–13 ± √169 – 144
2
√5√5
√5
2 ± 4i
2
2 ± √–16
2
2 ± √4 – 20
2
√4270°√–4i
√2√2
√2√2
√2√24√490°
4√4i
Unidad 6. Números complejos30
Las cuatro raíces son:
245° = + i 2135° = – + i
2225° = – – i 2315° = – i
c) z4 – 8z = 0 8 z (z3 – 8) = 0 
= = 2(360° k)/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2
Las soluciones de la ecuación son:
0 20° = 2 2120° = –1 + i 2240° = –1 – i
27 Halla los números complejos z y w que verifican cada uno de estos siste-
mas de ecuaciones:
a) b)
a) Sumando miembro a miembro:
Solución : z = –2 + 3i; w = 1 – i
b) Multiplicamos por –2 la 2.a ecuación y sumamos:
(1 – 2i )z = –8 – 9i 8 z = = 2 – 5i
w = = = 3i
Solución : z = 2 – 5i; w = 3i
28 Calcula m para que el número complejo 3 – mi tenga el mismo módulo
que 2 + i.
|3 – mi| = = 5 8 9 + m2 = 25 8 m2 = 16
|2 + i| = 5 m = ±4
Hay dos posibilidades: m = –4 y m = 4
√5√5
√9 + m2√9 + m2
√5√5
PARA RESOLVER
6i
2
2 + i – (2 – 5i)
2
–8 – 9i
1 – 2i
°
¢
£
z + 2w = 2 + i
–2iz – 2w = –10 – 10i
°
¢
£
z +2w = 2 + i
iz + w = 5 + 5i
2z = –4 + 6i 8 z = –2 + 3i
w = (–1 + 2i) – (–2 + 3i) = 1 – i
°
¢
£
z + w = –1 + 2i
z – w = –3 + 4i
z + 2w = 2 + i
iz + w = 5 + 5i
°
¢
£
z + w = –1 + 2i
z – w = –3 + 4i
°
¢
£
√3√3
3√80°
3√8
z = 0
z = 
3√
—
8
√2√2√2√2
√2√2√2√2
Unidad 6. Números complejos 31
6UNIDAD
°
§
¢
§
£
29 Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus ar-
gumentos π/3, y la suma de sus módulos 8.
☛Llámalos ra y sb y escribe las ecuaciones que los relacionan:
= 30º (0º es el argumento del cociente, a – b = 0º); r + s = 8 y a + b = .
= 3
r + s = 8
a + b = 
a – b = 0°
Hallamos sus módulos:
= 3
r + s = 8
Hallamos sus argumentos:
a + b = 
a – b = 0
Los números serán: 6π/6 y 2π/6
30 El producto de dos números complejos es 290° y el cubo del primero divi-
dido por el otro es (1/2)0°. Hállalos.
Llamamos a los números: z = ra y w = sb
ra · sb = 290°
= ( )0°
r · 2r3 = 2 8 r4 = 1 8 r = 
8 4a = 90° + 360° k 8
8 a = , k = 0, 1, 2, 3
b = 90° – a
90° + 360°k
4
°
¢
£
a + b = 90°
3a – b = 0°
1 8 s = 2 · 13 = 2
–1 (no vale)
°
¢
£
r · s = 2
s = 2r3
°
§
¢
§
£
r · s = 2
r3 1
— = —
s 2
1
r3/s = —
2
3a – b = 90°
1
2
(ra)
3
sb
r · s = 2
a + b = 90°
π
3
r
s
π
3
r
s
π
3
ra
sb
Unidad 6. Números complejos32
°
§
¢
§
£
°
§
¢
§
£
r = 3s
3s + s = 8; 4s = 8; s = 2; r = 6
a = b; 2b = ; b = ; a = π
6
π
6
π
3
Hay cuatro soluciones:
z1 = 122° 30' 8 w1 = 2z1
3 = 2 · 167° 30' = 267° 30'
z2 = 1112° 30' 8 w2 = 2337° 30'
z3 = 1202° 30' 8 w3 = 2607° 30' = 2247° 30'
z4 = 1292° 30' 8 w4 = 2877° 30' = 2157° 30'
31 El producto de dos números complejos es –8 y el primero es igual al cua-
drado del segundo. Calcúlalos.
w3 = –8
w = = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Hay tres soluciones:
w1 = 260° 8 z1 = 4120°
w2 = 2180° 8 z2 = 40° = 4
w3 = 2300° 8 z3 = 4600° = 4240°
32 De dos números complejos sabemos que:
• Tienen el mismo módulo, igual a 2.
• Sus argumentos suman 17π/6.
• El primero es opuesto del segundo.
¿Cuáles son esos números?
Llamamos a los números: z = ra y w = sb
Tenemos que:
r = s = 2
a + b = 8 2a = + π 8 a = π 8 b = π – π = π
Por tanto, los números son: 123π/12 y 211π /12; o bien 111π/12 y 223π /12
33 Calcula cos 75º y sen 75º mediante el producto 130º · 145º.
130° · 145° = 175° = cos 75° + i sen 75°
130° · 145° = (cos 30° + i sen 30°) (cos 45° + i sen 45°) = ( + i) ( + i) =
= + i + i – = + i
Por tanto:
cos 75° = sen 75° = √
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2
4
√2
4
√2
4
√6
4
√6
4
√2
2
√2
2
1
2
√3
2
11
12
23
12
23
12
17π
6
17π
6
3√8180°
3√–8
°
¢
£
z · w = –8
z = w2
Unidad 6. Números complejos 33
6UNIDAD
°
§
¢
§
£
34 Halla las razones trigonométricas de 15º conociendo las de 45º y las de 30º
mediante el cociente 145º : 130º.
145° : 130° = 115° = cos 15° + i sen 15°
= = = =
= = = + i
Por tanto:
cos 15° = sen 15° = 
35 ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente ?
= = + i
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
= 0 8 x2 – 4 = 0 
36 Halla, en función de x, el módulo de z = .
Demuestra que |z| = 1 para cualquier valor de x.
|z| = | | = = 1
O bien:
z = = = = + i
|z| = = = =
= = = 1
37 Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir 
esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.
☛ Para que a + bi esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a = b.
= = = + i
3x + 8
25
4x – 6
25
4x + 3xi + 8i – 6
16 + 9
(x + 2i ) (4 + 3i )
(4 – 3i ) (4 + 3i )
x + 2i
4 – 3i
x + 2i
4 – 3i
√1√ (1 + x2)2(1 + x2)2
√ x4 + 2x2 + 1(1 + x2)2√ 1 + x4 – 2x2 + 4x2(1 + x2)21 – x
2 2x√(— )2 + (—)21 + x2 1 + x2
2x
1 + x2
1 – x2
1 + x2
1 – x2 + 2xi
1 + x2
(1 + xi ) + (1 + xi )
(1 – xi ) (1 + xi )
1 + xi
1 – xi
√1 + x2
√1 + x2
1 + xi
1 – xi
1 + xi
1 – xi
x = 2
x = –2
x2 – 4
x2 + 1
–5x
x2 + 1
x2 – 4
x2 + 1
(x – 4i) (x – i )
(x + i ) (x – i )
x – 4i
x + i
x – 4i
x + i
√
—
6 – √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2 i + √
—
6 i + √
—
2
3 + 1
(√—2 + i √—2 ) (√—3 – i )
(√—3 + i ) (√—3 – i )
√
—
2 + i √
—
2
√
—
3 + i
√
—
2/2 + i (√
—
2/2)
√
—
3/2 + i (1/2)
cos 45° + i sen 45°
cos 30° + i sen 30°
145°
130°
Unidad 6. Números complejos34
Ha de ser:
= 8 4x – 6 = 3x + 8 ò x = 14
Página 164
38 Halla dos números complejos conjugados cuya suma es 8 y la suma de sus
módulos es 10.
Como |z| = |–z| ò |z| = 5
Si llamamos:
z = a + bi 8 –z = a – bi
z + –z = a + bi + a – bi = 2a = 8 8 a = 4
|z|=|–z| = = = 5 8 16 + b2 = 25 8
8 b2 = 9 8 b = ± = ±3
Hay dos soluciones:
z1 = 4 + 3i 8
–z1 = 4 – 3i
z2 = 4 – 3i 8
–z2 = 4 + 3i
39 La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es 2,
y el producto de ambos es un número real. Hállalos.
Llamamos z = a + bi y w = c + di
Tenemos que:
z · w = (2 + bi ) (1 + di ) = 2 + 2di + bi + bdi2 = (2 – bd) + (2d + b)i
Para que z · w sea un número real, ha de ser 2d + b = 0. 
Por tanto, Los números son: z = 2 + 2i ; w = 1 – i
40 Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar y
calcula el lado del triángulo que se forma al unir esos tres puntos.
= = (225° + 360° k)/3 = 75° + 120° k
Las tres raíces son:
z1 = 75° z2 = 195° z3 = 315°√2√2√2
√2√2
3√√
—
8225°
3√–2 – 2i
3√–2 – 2i
d = –1
b = 2
°
¢
£
b + d = 1
b + 2d = 0
a + c = 3
b + d = 1
°
¢
£
z + w = 3 + i
a = 2 8 c = 1
°
¢
£
√9
√16 + b2√a2 + b2
°
¢
£
z + –z = 8
|z| + |–z| = 10
3x + 8
25
4x – 6
25
Unidad 6. Números complejos 35
6UNIDAD
Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno:
l2 = ( )2 + ( )2 – 2 · · cos 120° = 2 + 2 – 4 (– ) = 4 + 2 = 6
l = 
41 Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equiláte-
ro. Compruébalo. 
¿Determinan el mismo triángulo los afijos de , o ? Representa
gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido.
• = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son: 
z1 = 230° z2 = 2150° z3 = 2270°
Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 120°, el triángulo
que determinan es equilátero.
• = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 290° z2 = 2210° z3 = 2330°
• = = 2360° k/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 20° z2 = 2120° z3 = 2240°
• = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 260° z2 = 2180° z3 = 2300°
3√8180°
3√–8
3√80°
3√8
3√8270°
3√–8i
3√890°
3√8i
3√–83√83√–8 i
√6
1
2
√2√2√2√2
√
—
2
120°
z1
l
z2
z3
Unidad 6. Números complejos36
• Representación:
42 ¿Pueden ser z1 = 2 + i, z2 = –2 + i, z3 = –1 – 2i y z4 = 1 – 2i, las raíces de un
número complejo? Justifica tu respuesta.
No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre ca-
da dos de ellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como ve-
mos en la representación gráfica:
43 Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos he-
xágonos:
• 1.er hexágono:
z1 = 20° = 2 z2 = 260° = 1 + i z3 = 2120° = –1 + i
z4 = 2180° = –2 z5 = 2240° = –1 – i z6 = 2300° = 1 – i
• 2.° hexágono:
z1 = 230° = + i z2 = 290° = 2i z3 = 2150° = – + i
z4 = 2210° = – – i z5 = 2270° = –2i z6 = 2330° = – i√3√3
√3√3
√3√3
√3√3
22
1
i
3√–83√83√–8i3√8i
z1z2
z3
z1
z2 z3
z1
z2
z3
z1
z2
z3
Unidad 6. Números complejos 37
6UNIDAD
44 ¿Pueden ser las raíces de un número complejo, z , los números 228º, 2100º,
2172º, 2244º y 2316º? En caso afirmativo, halla z.
☛ Comprueba si el ángulo que forman cada dos de ellas es el de un pentágono re-
gular.
28° + 72° = 100° 100° + 72° = 172°
172° + 72° = 244° 244° + 72° = 316°
Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quin-
ta cualquiera de ellas:
z = (228°)
5 = 32140°
45 El número complejo 340º es vértice de un pentágono regular. Halla los otros
vértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices.
☛ Para obtenerlos otros vértices puedes multiplicar cada uno por 172º .
Los otros vértices serán:
3112° 3184° 3256° 3328°
El número será:
z = (340°)
5 = 243
46 Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1 + i. Halla z y las
otras raíces cúbicas.
☛ Ten en cuenta que si = 1 + i 8 z = (1 + i)3.
1 + i = 45°
Las otras raíces cúbicas son:
45° + 120° = 165° 165° + 120° = 285°
Hallamos z :
z = (1 + i )3 = ( 45°)3 = 135° = (cos 135° + i sen 135°) =
= (– + i ) = –2 + 2i
47 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + i y 
1 – i.
☛ Mira el ejercicio resuelto 1 de la página 151.
[x – (1 + i )] [x – (1 – i )] = x2 – (1 – i )x – (1 + i )x + (1 + i ) (1 – i ) =
= x2 – (1 – i + 1 + i )x + (1 – i2) =
= x2 – 2x + 2 = 0
√2
2
√2
2
√8
√8√8√2
√2√2√2√2
√2
3√z
Unidad 6. Números complejos38
48 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean:
a) 5i y –5i b) 2 – 3i y 2 + 3i
a) (x – 5i ) (x + 5i ) = 0
x2 – 25i2 = 0
x2 + 25 = 0
b) [x – (2 – 3i )] [x – (2 + 3i )] = [(x – 2) + 3i ] [(x – 2) – 3i ] =
= (x – 2)2 – (3i2) = x2 – 4x + 4 – 9i2 =
= x2 – 4x + 13 = 0
49 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b) 
a) Multiplicamos por –i la primera ecuación:
w = = = = –1 + 2i
z = –1 + 2i – w = –1 + 2i + 1 –2i = 0
Solución : z = 0; w = –1 + 2i
b) Multiplicamos por i la primera ecuación:
z = = = = 2 – i
w = z – 5 + 3i = 2 – i – 5 + 3i = –3 + 2i
Solución : z = 2 – i; w = –3 + 2i
Interpretación gráfica de igualdades y desigualdades 
entre complejos
50 Representa.
a) Re z = 2 b) Im z = 1 c) Re z Ì 0
d)–1 Ì Im z Ì 3 e) –2 < Re z < 5 f) |z| Ì 3
g) Arg z = 45° h)0° Ì Arg z Ì 90°
16 – 8i
8
(6 + 2i)(2 – 2i)
4 – 4i2
6 + 2i
2 + 2i
Sumamos miembro a miembro:
zi + (2 +i)z = 5i + 3 + 3 – 3i 8 (2 + 2i)z = 6 + 2i
°
¢
£
zi – wi = 5i + 3
(2 + i)z + wi = 3 – 3i
–5 + 10i
5
(3 + 4i)(1 + 2i)
12 – 2i2
3 + 4i
1 – 2i
Sumamos miembro a miembro:
–iw + (1 – i)w = i + 2 + 1 + 3i 8 (1 – 2i)w = 3 + 4i
°
¢
£
–iz – iw = i + 2
iz + (1 – i)w = 1 + 3i
z – w = 5 – 3i
(2 + i )z + iw = 3 – 3i
°
¢
£
z + w = –1 + 2i
iz + (1 – i)w = 1 + 3i
°
¢
£
Unidad 6. Números complejos 39
6UNIDAD
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
51 Representa los números complejos z tales que z + –z = –3.
☛ Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condición
que obtienes.
Llamamos z = x + iy
Entonces: –z = x – iy
Así:
z + –z = x + iy + x – iy = 2x = –3 8 x = – 3
2
45°
–2 5
3
3
–1
3
0
2
1
Unidad 6. Números complejos40
Representación:
52 Representa los números complejos que verifican:
a) –z = –z b) |z + –z| = 3 c) |z – –z| = 4
a) z = x + iy 8 –z = x – iy
–z = –z 8 x – iy = –x – iy 8 2x = 0 8 x = 0 (es el eje imaginario)
Representación:
b) z + –z = x + iy + x – iy = 2x
|z + –z| = |2x| = 3 
Representación:
c) z – –z = x + iy – z + iy = 2yi
|z – –z| = |2yi| = |2y| = 4 
Representación:
2
–2
2y = 4 8 y = 2
2y = –4 8 y = –2
1 2–1–2
x = —3
2x = – —
3
2
2x = 3 8 x = 3/2
2x = –3 8 x = –3/2
1–1
x = 0
1–1–2
x = – —3
2
Unidad 6. Números complejos 41
6UNIDAD
53 Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya re-
presentación gráfica es la siguiente:
☛ En a), b) y f) es una igualdad. En c) y d), una desigualdad. En e), dos desigual-
dades.
a) Re z = –3 b) Im z = 2
c) –1 Ì Re z ≤ 1 d) 0 Ì Im z < 2
e) f) |z| = 3
Página 165
54 ¿Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0?
No, también son reales los números con argumento 180° (los negativos).
55 Si z = ra , ¿qué relación tienen con z los números ra + 180º y r360º – a ?
ra + 180° = –z (opuesto de z)
r360° – a = 
–z (conjugado de z)
56 Comprueba que:
a) –—–z + w = –z + –w b) –—–z · w = –z · –w c)
—
kz = k –z, con k éÁ
z = a + bi = ra 8
–z = a – bi = r360° – a
w = c + di = r'b 8
–w = c – di = r'360° – b
a) z + w = (a + c) + (b + d ) i 8 —z + w = (a + c) – (b + d ) i
–z + –w = a – bi + c – di = (a + c) – (b + d ) i = —z + w
CUESTIONES TEÓRICAS
–3 < Re z < 2
–2 < Im z < 3
°
¢
£
–3 1
1
3
1
2a) b) c)
d) e) f)
–1 1
1
2
2–3
3
–2
Unidad 6. Números complejos42
b) x · w = (r · r')a + b 8 
—z · w = (r · r')360° – (a + b)
–z · –w = (r · r')360° – a + 360° – b = (r · r')360° – (a + b) = 
—z · w
c) kz = ka + kbi 8 —kz = ka – kbi
k –z = ka – kbi = 
—
kz
57 Demuestra que:
| | = 
= = ( )
–a
= ( )
360° – a
8 | | = = 
58 El producto de dos números complejos imaginarios, ¿puede ser real?
Acláralo con un ejemplo.
Sí. Por ejemplo:
z = i, w = i
z · w = i · i = i2 = –1 é Á
59 Representa el número complejo z = 4 – 3i. Multiplícalo por i y comprue-
ba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de
90º.
iz = 4i – 3i2 = 3 + 4i
60 ¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto?
Se diferencian en 180°. Si el argumento del número es a, el de su opuesto es:
180° + a
90°
4 – 3i
3 + 4i
1
|z|
1
r
1
z
1
r
1
r
10°
ra
1
z
1
|z|
1
z
Unidad 6. Números complejos 43
6UNIDAD
61 ¿Qué condición debe cumplir un número complejo z = a + bi para que 
–z = ?
☛ Halla , e iguala a a – bi.
= = = = a – bi
= a = a2 + b2 8 a2 + b2 = 1 (módulo 1)
= –b Ha de tener módulo 1.
62 Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de
sus vértices en el punto ( , ). Halla los otros vértices y la longitud de su
lado.
El punto ( , ) corresponde al afijo del número complejo z = + i = 245°.
Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 172°:
z2 = 2117° = –0,91 + 1,78i z3 = 2189° = –1,97 – 0,31i
z4 = 2261° = –0,31 – 1,97i z5 = 2333° = 1,78 – 0,91i
Los otros tres vértices serán:
(–0,91; 1,78) (–1,97; –0,31) (–0,31; –1,97) (1,78; –0,91)
Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno:
l2 = 22 + 22 – 2 · 2 · cos 72°
l2 = 4 + 4 – 4 · 0,31
l2 = 8 – 1,24
l2 = 6,76
l = 2,6 unidades
2
2
l
72°
√2√2√2√2
√2√2
PARA PROFUNDIZAR
–b
a2 + b2
a
a
a
a2 + b2
a – bi
a2 + b2
a – bi
(a + bi ) (a – bi )
1
a + bi
1
z
1
z
1
z
Unidad 6. Números complejos44
°
§
§
¢
§
§
£
63 Si el producto de dos números complejos es –8 y dividiendo el cubo de uno
de ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cuánto valen el módulo y
el argumento de cada uno?
ra · r'b = (r · r')a + b = 8180° 8 
= = ( )
3a – b
= 20° 8
Así:
a + 3a = 180° 8 4a = 180° 8
Por tanto: z = 245°, w = 4135°
64 Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráfi-
camente el resultado que obtengas:
a) 3π/3 b) 2i c) –1 + i
¿Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número com-
plejo y de su inverso?
a) = = ( )
–π/3
= ( )
5π/3
b) = = i = ( )
270°
2i
–1/2i
1
2
–1
2
–i
2
1
2i
π/3
3π/3
(1/3–π/3) –π/3
1
3
1
3
10°
3π/3
1
3π/3
a = 45°
b = 135°
°
¢
£
°
¢
£
a + b = 180°
3a = b
r = 2
r' = 4
°
¢
£
°
¢
£
r · r' = 8
r3 = 2r'
r3
r'
r 33a
r'b
(ra)
3
r'b
r · r' = 8
a + b = 180°
°
¢
£
°
§
§
¢
§
§
£
z = ra
w = r'b
–8 = 8180°
2 = 20°
Unidad 6. Números complejos 45
6UNIDAD
°
§
§
¢
§
§
£
= 2
3a – b = 0°
r3
r'
°
§
§
¢
§
§
£
r' = 
r' = r
3
2
8
r
= 8 16 = r4 8r
3
2
8
r
c) –1 + i = 135°
= = ( )
–135°
= ( )
225°
= – – i
Si z = ra, entonces = ( )
360° – a
65 Representa gráficamente las igualdades siguientes. ¿Qué figura se determi-
na en cada caso?
a) |z – (1 + i)| = 5 b) |z – (5 + 2i)| = 3
a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.
b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.
66 Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afi-
jos estén en la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3.
|z – (1 + i )| = 3
2
5
(5, 2)
3
1 (1, 1)
1
5
1
r
1
z
–1 + i
1
–1 + i
———
1
2
1
2
1
√2
1
√2
10°
√2135°
1
–1 + i
√2
Unidad 6. Números complejos46
AUTOEVALUACIÓN
1. Efectúa.
= = =
= = =
= = – + i
2. Calcula z y expresa los resultados en forma binómica.
= 
z = 
4
Pasamos numerador y denominador a forma polar:
– + i
i 8 90°
z = 
4
= ( 60°)4 = 4240° 8 z= 4 (cos 240° + i sen 240°)
z = 4 – – i = –2 – 2 i
3. Halla a y b para que se verifique la igualdad:
5(a – 2i) = (3 + i)(b – i)
5a – 10i = 3b – i2 – 3i + bi 8 5a – 10i = 3b + 1 + (–3 + b)i
Igualando las componentes 8 b = –7, a = –4
°
¢
£
5a = 3b + 1
–10 = –3 + b
°
¢
£
√3)√3212(
√2)2150°√290°(
√2√2
r = √(–√—3)2 + 12 = 2
1
tg a = –— 8 a = 150°
√
—
3
√3
)–√—3 + i√—2 i(
–√
—
3 + i
√
—
2 i
4√z
37
10
19
10
–19 + 37i
10
–6 + 13i2 – 2i + 39i
9 – i2
(2 – 13i )(–3 – i )
(–3 + i )(–3 – i )
5 – 12i – 3 – i
–3 + i
9 + 4i2 – 12i – (2 – i + 2i – i2)
–3 + i
(3 – 2i )2 – (1 + i )(2 – i )
–3 + i
(3 – 2i)2 – (1 + i)(2 – i)
–3 + i
Unidad 6. Números complejos 47
6UNIDAD
–√
—
3
1
4. Resuelve la ecuación: z2 – 10z + 29 = 0
z = = 
Soluciones: z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i
5. Calcula el valor que debe tomar x para que el módulo de sea igual a 2.
= = = = + i
Módulo = = 2 8 = 2 8 = 4 8
8 x2 + 4 = 8 8 x2 = 4 Hay dos soluciones: x1 = 2, x2 = –2
6. Halla el lado del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas de
4 – 4i.
z = 
Expresamos 4 – 4i en forma polar:
4 – 4i = 8330°
z = = 
En el triángulo AOB conocemos dos lados, = = 2, y el ángulo comprendi-
do, 120°. Aplicando el teorema del coseno, obtenemos el lado del triángulo, :
2 = 22 + 22 – 2 · 2 · 2 · cos 120° = 12 8 = = 2 u√3√12ABAB
AB
OBOA
A = z1
C = z2
O
B = z3
z1 = 2110°
z2 = 2230°
z3 = 2350°
330° + 360°k
3
3√83√8330°
√3
°
§
¢
§
£
r = √(4√—3)2 + (–4)2 = 8
1
tg a = –— 8 a = 330°
√
—
3
√3
3√4√—3 – 4i
√3
x1 = 2
x2 = –2
x2 + 4
2
x2 + 4√ 2x – 2 x + 2√(—)2 + (—)22 2
x + 2
2
x – 2
2
x – 2 + (x + 2)i
1 + 1
x + 2i2 + xi + 2i
1 – i2
(x + 2i)(1 + i)
(1 – i)(1 + i)
x + 2i
1 – i
x + 2i
1 – i
z1 = 5 + 2i
z2 = 5 – 2i
10 ± 4i
2
10 ± √–16
2
Unidad 6. Números complejos48
7. Representa gráficamente.
a) 1 Ì Im z Ì 5 b)|z| = 3 c) z + z– = –4
a)
b)
c) a + bi + a – bi = –4 8 2a = –4 8 a = –2
8. Halla dos números complejos tales que su cociente sea 2150° y su producto
1890°.
= 2150° 8 = 2; a – b = 150°
ra · sb = 1890° 8 r · s = 18; a + b = 90°
Resolvemos los sistemas:
Obtenemos:
Los números son 6120° y 3330°. Otra posible solución es: 6300° y 3150°.
a = 120°
b = –30° = 330°
°
¢
£
r = 6
s = 3
°
¢
£
a – b = 150°
a + b = 90°
°
¢
£
r/s = 2
r · s = 18
°
¢
£
r
s
ra
sb
1–2
3
3
5
1
Unidad 6. Números complejos 49
6UNIDAD
9. Demuestra que |z · z–| = |z|2.
z · z– = (a + bi )(a – bi ) = a2 – b2i2 = a2 + b2
|z| = 8
|z · z–| = |z|2
10. Calcula cos 120° y sen 120° a partir del producto 190° · 130°.
190° · 130° = 1(cos 90° + i sen 90°) · 1(cos 30° + i sen 30°) =
= i · + i = – + i
190° · 130° = 1120° = 1(cos 120° + i sen 120°) = – + i 8
8 cos 120° = – ; sen 120° = 
11. Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo 
2 + 3i mediante un giro de 30º con centro en el origen.
Multipicamos por 130° = 1(cos 30° + i sen 30°).
z = (2 + 3i ) · 130° = (2 + 3i ) + i
z = + i2 + i + i
z = + i
2 + 3√3
2
2√3 – 3
2
3√3
2
3
2
√3
)12√32(
√3
2
1
2
√3
2
1
2
√3
2
1
2)12√32(
°
¢
£
|z · z–| = √(a2 + b2)2 = a2 + b2
|z|2 = (√a2 + b2)2 = a2 + b2√a2 + b2
°
¢
£
z = a + bi
z– = a – bi
Unidad 6. Números complejos50
2 + 3i
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