EXERCICIO IV - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1
Determine o valor da integral 
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
2
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∫
√
2
2
0
10x
1+4x
4
du
5π
3
5π
7
3π
8
π
8
5π
8
5π
8
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Exercício - Integrais: Conceitos, Propriedades e Técnicas de
Integração
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O cálculo de integrais é uma ferramenta importante para calcular áreas, volumes e
somas acumuladas. Calcule a integral definida de f(x) = x + 3x - 2 de 0 a 2.
A 2,67
B 4,67
C 6,67
D 8,67
E 10,67
Resposta correta
Gabarito comentado
Para resolver a integral definida, é necessário calcular a antidecivaga da funçäo
e, em seguida, avaliá-la nos limites de integração.
A antiderivada de é:
Avaliando-a nos limites de integração de 0 a 2 , temos:
3
2
f(x) = x
2
+ 3x − 2
F(x) = (1/3)x
3
+ (3/2)x
2
− 2x
F(2) − F(0) = (1/3)8 + (3/2)4 − 4 − (1/3)0 − (3/2)0 + 0 = 4
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Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa
forma, determine o valor da equaçāo .
A π/3
B π
C 2π
D 3π/2
E 0
Resposta correta
Gabarito comentado
Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao
invés de integrar diretamente:
Derivando , temos:
Logo
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
sen(3x)/3
d
dx
sen(3x)/3 = cos(3x)
∫ cos(3x)dx = sen(3x)/3
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Ea integral
Agora, juntando tudo temos:
4
Determine a família de funções representada por 
A , k real
B , k real
C , k real
D , k real
E , k real
Resposta correta
∫ 3dx = 3x
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = 3x + sen(3x)/3|
x=
π
2
x=0
= π + sen(π)/3 − sen(0)/3 = π
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = π
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∫ e
2x
cos(2x)dx
e
2x
(cos(2x) − sen(2x)) + k
1
4
e
2x
(cos(2x) + sen(2x)) + k
1
4
e
2x
(sen(2x) − cos(2x)) + k
e
2x
(2cos(2x) + 3sen(2x)) + k
1
2
e
2x
(−cos(2x) − sen(2x)) + k
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Gabarito comentado
A resposta correta é:  , k real
5
A técnica de substituiçäo é uma das técnicas mais empregadas em resoluçăo de
integrais. Utilizando a técnica de substituiçảo, a resoluçảo de é
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
1
4
e
2x
(cos(2x) + sen(2x)) + k
Marcar para revisão
∫ t sec
2
(t
2
)tg
4
(t
2
)dt
1
10
tg
2
(t
2
) + C
1
10
tg
3
(t
2
) + C
1
10
tg
4
(t
2
) + C
1
10
tg
5
(t
2
) + C
1
10
tg
6
(t
2
) + C
∫ t sec
2
(t
2
)tg
4
(t
2
)dt
u = t
2
→ du = 2tdt → tdt =
1
2
du
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Substituindo:
Usando integraçäo trigonométrica:
Logo,
6
A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo
isso em mente, calcule a integral indefinida 
A
B
C
D
∫ t sec
2
(t
2
) tg
4
(t
2
)dt = ∫
1
2
sec
2
(u)tg
4
(u)du
v = tg(u) → dv = sec
2
(u)du
∫
1
2
sec
2
(u) tg
4
(u)du = ∫
1
2
v
4
dv =
1
2
⋅
1
5
v
5
+ C =
1
10
tg
5
(u) + C
∫ t sec
2
(t
2
) tg
4
(t
2
)dt =
1
10
tg
5
(t
2
) + C
Marcar para revisão
∫
3e
2x
2e
x
(e
x
−2)(e
2x
+4)
dx
ln (e
2x
− 2) −
ln(e
2x
+4)
2
+
arctg(
4
2
)
2
ln (e
x
− 2) −
ln(e
x
+4)
2
+
arctg(
ex
2
)
2
ln (e
x
− 4) −
la(e
2x
+4)
4
+
arctg(
e
x
2
)
4
ln (e
x
− 2) −
ln(e
2x
+4)
2
+
arct g(
e
x
2
)
2
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E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Resolvendo por integral por frações parciais:
Resolvendo o sistema resultante:
Retornando para a integral:
Resolvendo cada uma delas separadamente:
ln (e
x
− 3) −
ln(e
2x
+4)
3
+
arctg(
e
x
2
)
3
∫
3e
2x
2e
x
(e
x
− 2) (e
2x
+ 4)
dx.
∫ = e
x
→ du = e
x
dx
∫
3e
2x
2e
x
(e
x
− 2) (e
2x
+ 4)
dx = ∫
3e
x
+ 2
(e
x
− 2) (e
2x
+ 4)
e
x
dx = ∫
3u + 2
(u − 2) (u
2
+ 4)
du
3u + 2
(u − 2) (u
2
+ 4)
=
A
u − 2
+
Bu + C
u
2
+ 4
3u + 2
(u − 2) (u
2
+ 4)
=
A (u
2
+ 4) + (Bu + C)(u − 2)
(u − 2) (u
2
+ 4)
(0)u
2
+ (3)u + (2)
(u − 2) (u
2
+ 4)
=
(A + B)u
2
+ (C − 2B)u + (4A − 2C)
(u − 2) (u
2
+ 4)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
A + B = 0
C − 2B = 3
4A − 2C = 2
A = 1; B = −1; C = 1
∫
3u + 2
(u − 2) (u
2
+ 4)
du = ∫ (
1
u − 2
+
−u
u
2
+ 4
+
1
u
2
+ 4
)du
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Para a última integral, dividimos por 4, para levar a uma integral conhecida:
Fazendo:
Juntando as respostas das 3 integrais:
Substituindo 
7
Determine o valor da soma 
A
∫
1
u − 2
du, y = u − 2 → dy = du
∫
1
y
dy = ln y = ln(u − 2)
∫
−u
u
2
+ 4
du, z = u
2
+ 4 → dz = 2udu
∫ −
1
2
(
dz
z
) =
ln z
−2
= −
ln (u
2
+ 4)
2
∫ (
1
u
2
+ 4
)du = ∫ (
1/4
(
u
2
)
2
+ 1
)du
w =
u
2
, → w =
du
2
→
dw
2
=
du
4
∫ (
1/4
(
u
2
)
2
+ 1
)du = ∫ (
dw
2
(w)
2
+ 1
) =
arctg(w)
2
=
arctg (
u
2
)
2
∫
3u + 2
(u − 2) (u
2
+ 4)
du = ∫ (
1
u − 2
+
−u
u
2
+ 4
+
1
u
2
+ 4
)du
∫
3u + 2
(u − 2) (u
2
+ 4)
du = ln(u − 2) −
ln (u
2
+ 4)
2
+
arctg (
u
2
)
2
u = e
x
∫
3e
2x
2e
x
(e
x
− 2) (e
2x
+ 4)
dx = ln (e
x
− 2) −
ln (e
2x
+ 4)
2
+
arctg (
e
x
2
)
2
Marcar para revisão
∫
2
0
x
(x
2
+1)
2
dx + ∫
π
2
0
x sen(2x)dx
π
4
+
2
5
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B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
8
As substituiçōes trigonométricas säo artificios que säo utilizados para a resolução e
integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a integral de .
A
B
C .
π
4
+ 2 ln2
π
4
−
2
5
π
4
− 2 ln2
π
4
+ 4
π
4
+
2
5
Marcar para revisão
∫
√
1 − 4x
2
dx
[
arcsen(x)
4
+
1
8
sen(2 arcsen(x))]+ C
[
arcsen(2x)
8
+
1
4
sen(2 arcsen(2x))] + C
[
arcsen(2x)
4
+
1
8
sen(2 arcsen(2x))] + C
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9 of 11 04/06/2023, 14:56
D .
E
Resposta incorreta Resposta correta: C
Gabarito comentado
Utilizando a relaçäo trigonométrica:
Substituindo na integral:
Sabemos que . Assim:
Fatorando 
Integrando:
Retornando o valor de :
Substituindo na equaçăo:
[2 arcsen(2x) +
1
8
sen(2 arcsen(2x))] + C
[
arcsen(2x)
4
+ sen(2 arcsen(2x))] + C
cos
2
(θ) = 1 − sen
2
(θ)
2x = sen(θ) → dx =
cos(θ)
2
dθ
√
1 − 4x
2
dx = ∫
√
1 − (2x)
2
dx = ∫
√
1 − sen
2
θ (
cos(θ)
2
dθ)
 Como 
√
1 − sen
2
θ = cos θ.  Assim:  ∫
1
2
cos
2
(θ)dθ
cos
2
(θ) =
1
2
+
cos(θ)
2
∫
1
2
(
1
2
+
cos(2θ)
2
)dθ
1
2
∫
1
4
dθ + ∫
1
4
cos(2θ)dθ = [
θ
4
+
1
8
sen(2θ)] + C
x
2x = sen(θ) → θ = arcsen(2x)
θ
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Assim, temos que:
[
arcsen(2x)
4
+
1
8
sen(2 arcsen(2x))] + C
∫
√
1 − 4x
2
dx = [
arcsen(2x)
4
+
1
8
sen(2 arcsen(2x))] + C
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