AD2-Q3-2023-1-Gabarito

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Gabarito da Questão 3 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2023-1
Questão 3 (2,5 pontos)
(a) Escreva um sistema formado por uma equação e uma inequação, ambas com variáveis x e y,
que represente o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na circunferência
de centro (0,−1) e raio 5, e que tenham coordenada horizontal x maior do que a coordenada
vertical y.
(b) Esboce, no plano cartesiano, o conjunto descrito no item anterior, com o máximo de detalhes
posśıvel. Não deixe de dar as coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento de
circunferência que representa o conjunto.
Solução:
(a) Os pontos na forma (x, y) que estão na circunferência de centro (0,−1) e raio 5 são os que
satisfazem a equação
(x− 0)2 + (y − (−1))2 = 52,
que pode ainda ser reescrita como
x2 + (y + 1)2 = 25,
ou ainda
x2 + y2 + 2y + 1 = 25,
que pode ser simplificada na forma
x2 + y2 + 2y − 24 = 0.
Já os pontos (x, y) que têm coordenada horizontal x maior do que a coordenada vertical y são
os que satisfazem
x > y.
Desta forma, o conjunto dos pontos de coordenadas (x, y) satisfazendo simultaneamente as duas
condições é dado pela solução do sistema{
x2 + y2 + 2y − 24 = 0
x > y
(b) Abaixo esboçamos em vermelho o conjunto dos pontos que estão sobre a circunferência de
equação x2 + y2 + 2y − 24 = 0 e em azul o conjunto dos pontos satisfazendo x > y.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 3 da AD 2 – 2023-1 2
A interseção entre o conjunto em vermelho e o conjunto em azul está esboçado abaixo, e
representa o arco de circunferência de centro (0,−1), raio 5 e sob a reta x = y.
Os pontos extremos do arco de circunferência não pertencem à interseção, pois estão na reta x =
y e, portanto, não satisfazem à segunda condição (x > y). Para encontrarmos as coordenadas
destes pontos, fazemos x = y na equação da circunferência, obtendo
y2+ y2+2y− 24 = 0 ∴ 2y2+2y− 24 = 0 ∴ y2+ y− 12 = 0 ∴ y =
−1±
√
12 − 4 · 1 · (−12)
2 · 1
∴ y =
−1±
√
49
2
∴ y =
−1± 7
2
∴ y =
−1− 7
2
= −4 ou y = −1 + 7
2
= 3.
Como x = y, quando y = −4 temos x = −4 e quando y = 3 temos x = 3. Assim, temos os
pontos (−4,−4) e (3, 3).
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