Atividade pratica - Metodos numericos aplicados11

Prévia do material em texto

ATIVIDADE PRÁTICA - Cálculo Numérico / Métodos numéricos Aplicados 
Nome: xxxxxxxxxxxxx 
RU: xxxxxxxxxxxxxx 
 
QUESTÃO 1: Raízes reais de Funções 
 
Determine a raiz mais alta da função 𝑓(𝑥) = −0,4𝑥2 + 2,2𝑥 + 4,7, com a raiz no intervalo 
[-2;-1]: 
 
a. Utilizando o Método da Bissecção com 10 iterações. 
f(-2) = -0,4(-2)² + 2,2(-2) + 4,7 = 3,3 
f(-1) = -0,4(-1)² + 2,2(-1) + 4,7 = 3,1 
f(-2) > 0 
f(-1) > 0 
 
c = (a + b) / 2 
c = (-2 + (-1)) / 2 = 1,5 
 
f(-1,5) = -0,4 (-1,5)² + 2,2 (-1,5) + 4,7 = 2,2 
 
Iteração a b c f(c) 
0 - 2,000 - 1,000 - 1.500,000 2.200,000 
1 - 1,500 - 1,000 - 1.250,000 2.613,000 
2 - 1,500 -1,250 - 1.375,000 2.406,000 
3 - 1,500 - 1.375,000 - 1.438,000 2.311,000 
4 - 1,500 - 1.438,000 - 1.469,000 2.267,000 
5 - 1,500 - 1.469,000 - 1.484,000 2.245,000 
6 - 1,500 - 1.484,000 - 1.492,000 2.234,000 
7 - 1,500 - 1.492,000 - 1.496,000 2.228,000 
8 - 1,500 - 1.496,000 - 1.498,000 2.224,000 
9 - 1,500 - 1,4980 - 1.499,000 2.222,000 
10 - 1,500 - 1,4990 - 1.500,000 2.222,000 
 
 
 
b. Utilizando o Método da Posição falsa com 10 iterações. 
f(x) = -0,4x² + 2,2x + 4,7 
 
Intervalo inicial: [a;b] = [-2;-1] 
x = (af(b) – bf(a) / (f(b) – f(a)) 
x = (-2.(-1) – (-1.(-2) / (-1) – (-2) 
x = (2 – 2) / (2 / -2) = 0 
Iteração a b f(a) f(b) x f(x) Erro 
absoluto 
1 -2 -1 4,1 11.000 -1,3781 25.644 23.871 
2 -2 -1,3871 4,1 23.549 -1,4705 22.837 0,0835 
3 -2 -1,4705 4,1 24.465 -1,4906 22.469 0,0201 
4 -2 -1,4906 4,1 24.670 -1,4954 22.384 0,0048 
5 -2 -1,4954 4,1 24.716 -1,4968 22.361 0,0014 
6 -2 -1,4968 4,1 24.725 -1,4971 22.356 0,0003 
7 -2 -1,4971 4,1 24.727 -1,4972 22.355 0,0001 
8 -2 -1,4972 4,1 24.727 -1,4972 22.355 0 
9 -2 -1,4972 4,1 24.727 -1,4972 22.355 0 
10 -2 -1,4972 4,1 24.727 -1,4972 22.355 0 
A raiz mais alta da função é, x = -1,4972, com o valor de f(x) = 2,2355 
 
c. Utilizando o Método Iterativo Linear com 10 iterações. 
xi + 1 = a(b – cxi) / d 
 
x1 = (2,2 (-1,5) + 4,7) / 0,4 (1,5) = -1,4625 
x2 = (2,2(-1,4625) + 4,7) / 0,4(-1,4625) = -1,4928 
x3 = (2,2(-1,4928) + 4,7) / 0,4(-1,4928) = -1,4967 
x4 = (2 ,2(-1,4967) + 4,7) / 0,4(-1,4967) = -1,4972 
x5 = (2,2(-1,4972) + 4,7) / 0,4( -1,4972) = -1,4973 
x6 = (2,2(-1,4973) + 4,7) / 0,4(-1,4973) = -1,4973 
x7 = (2,2(- 1,4973) + 4,7) / 0,4(-1,4973) = -1,4973 
x8 = (2,2(-1,4973) + 4,7) / 0,4(-1,4973 ) = -1,4973 
x9 = (2,2(-1,4973) + 4,7) / 0,4(-1,4973) = -1,4973 
x10 = (2,2(-1,4973) + 4,7) / 0,4(-1,4973) = -1,4973 
 
 
d. Utilizando o Método de Newton-Raphson com 10 iterações. 
f(x) = -0,4x² + 2,2x + 4,7 
f(x) = -0,8x + 2,2 
 
Iteração 1 
x1 = -1.5 - (f(-1.5)/f(-1.5)) 
x1 = -1.5 - (0.55/0.4) 
x1= -2.375 
 
Iteração 2 
x2 = -2.375 - (f(-2.375)/f(-2.375)) 
x2 = -2.375 - (0.1459/1.12) 
x2= -2.507 
 
Iteração 3 
x3 = -2.507 - (f(-2.507)/f(-2.507)) 
x3 = -2.507 - (0.0183/1.096) 
x3 = -2.525 
 
Iteração 4 
x4 = -2.525 - (f(-2.525)/f(-2.525)) 
x4 = -2.525 - (0.0019/1.091) 
x4 = -2.526 
 
Iteração 5 
x5 = -2.526 - (f(-2.526)/f(-2.526)) 
x5 = -2.526 - (0.0002/1.09) 
x5 = -2.526 
 
Iteração 6 
x6 = -2.526 - (f(-2.526)/f(-2.526)) 
x6 = -2.526 - (0.00002/1.09) 
x6 = -2.526 
 
 
Iteração 7 
x7 = -2.526 - (f(-2.526)/f(-2.526)) 
x7 = -2.526 - (0.000002/1.09) 
x7 = -2.526 
 
Iteração 8 
x8 = -2.526 - (f(-2.526)/f(-2.526)) 
x8 = -2.526 - (0.0000002/1.09) 
x8 = -2.526 
 
Iteração 9 
x9 = -2.526 - (f(-2.526)/f(-2.526)) 
x9 = -2.526 - (0.00000002/1.09) 
x9 = -2.526 
 
Iteração 10 
x10 = -2.526 - (f(-2.526)/f(-2.526)) 
x10 = -2.526 - (0.000000002/1.09) 
x10 = -2.526 
 
Raiz mais alta da função é x = -2.526 
 
e. Determine a raiz real da função de forma algébrica, e determine o erro relativo 
dos valores estimados pelos diferentes métodos. 
x = (-b ± √b 2 – 4ac)/ )2a) 
a = -0,4 
b = 2,2 
c = 4,7 
 
x = (-2,2 ± √2,2 x 2– 4(-0,4)(4,7)) / 2(-0,4) 
x = (-2,2 ± √b6.76) / (-0,8) 
x = -2,6125 
 
 
0 
QUESTÃO 2: Integração Numérica 
Integre a função ∫
6
[(𝑥 − 3)𝑒(𝑥−3) + 1] 𝑑𝑥 adotando 12 subintervalos. Utilize os métodos: 
 
a. Método dos Retângulos com a altura tomada pela esquerda. 
Δx = (ba)/n 
Δx = (6-0) / 12 
Δx = 0,5 
 
Alturas correspondentes: 
f(x0) = f(0) = (-3)e^(-3) + 1 = -2,9502 
f(x1) = f(0,5) = (-2,117)e^(-2,117) + 1 = -1,3519 
f(x2) = f(1) = (-1,148)e^(-1,148) + 1 = -0,5779 
f(x3) = f(1,5) = (-0,298)e ^(-0,298) + 1 = 0,4249 
f(x4) = f(2) = 0,297e^0,297 + 1 = 2,0882 
f(x5) = f(2,5) = 1,126e^1,126 + 1 = 8,0976 
f(x6) = f(3) = 2,316e^2,316 + 1 = 23,1338 
f(x7) = f(3,5) = 4,054e^4,054 + 1 = 73,4079 
f(x8) = f(4) = 5.031e^5.031 + 1 = 154.0887 
f(x9) = f(4,5) = 4.448e^4.448 + 1 = 89.3866 
f(x10) = f(5) = 2.937e^ 2,937 + 1 = 28,0571 
f(x11) = f(5,5) = 1,294e^1,294 + 1 = 5,3089 
f(x12) = f(6) = 1 
 
 ∫
6
[(𝑥 − 3)𝑒(𝑥−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ Δx[f(x0) + ... + f(x11)] 
= 0,5 [(-2,9502) + (-1,3519) + (-0,5779) + 0,4249 + 2,0882 + 8,0976 + 23,1338+ 73,4079 + 
154,0887 + 89,3866 + 28,0571 + 5,3089] = 446.081 
 
b. Método dos Retângulos com a altura tomada pela direita. 
h = (6,0)/12 = 0,5 
xi = 0, 0,5, 1, ..., 5,5, 6 
∫06[(x − 3)ℯ(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ h * (f(0,5) + f(1) + f(1,5) + ... + f(5,5 ) + f(6)), 
 
f(xi) = (xi - 3)*e^(xi-3) + 1 
 
f(0,5) = (0,5 - 3) x e^(-2,5) + 1 ≈ 0,6763 
f(1) = (1 - 3) x e^(-2) + 1 ≈ 0 ,2642 
f(1,5) = (1,5 - 3) x e^(-1,5) + 1 ≈ 0,0954 
f(2) = (2 - 3) x e^(-1) + 1 ≈ 0,0183 
f(2,5) = (2,5 - 3) x e^(-0,5) + 1 ≈ 0,0180 
f(3) = (3 - 3) x e^0 + 1 = 1 
f(3,5) = (3,5 -3) x e^0,5 + 1 ≈ 2,1293 
f(4) = (4 -3) x e^1 + 1 ≈ 4,7183 
f(4 ,5) = (4,5 -3) x e^1,5 + 1 ≈ 10,9433 
f(5) = (5 -3) x e^2 + 1 ≈ 22,476 
f(5,5) = (5 ,5 -3) x e^2,5 + 1 ≈ 43,2522 
f(6) = (6 -3) x e^3 + 1 ≈ 82,425 
 
∫0^6[(x − 3)ℯ(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ 0,5 * (0,6763 + 0,2642 + 0,0954 + 0,0183 + 0,0180 +1 + 
2,1293 + 4,7183 + 10,9433 + 22,476 + 43,2522 + 82,425) ≈ 477,7891 
 
c. Método dos Trapézios. 
x0 = 0, x1 = 0,5, x2 = 1, ... x12 = 6 
 
∫0^6 [(x − 3)ℯ^(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f( x11) +f(x12)] 
f(x) = (x - 3)e^(x-3) + 1 
 
f(x0) = (0 - 3)e^(-3) + 1 = -2,95021 
f(x1) = (0,5 - 3)e^(-2,5) + 1 = -1,66665 
f(x2) = (1 - 3)e^(-2) + 1 = -0,73576 
f(x3) = (1,5 - 3)e^(-1,5) + 1 = -0,19589 
f(x4) = (2 - 3)e^(-1) + 1 = -0,09957 
f(x5) = (2,5 - 3)e^(-0,5) + 1 = -0,12352 
f(x6) = (3 - 3)e^(0) + 1 = 1 
f(x7) = (3,5 - 3)e^(0,5) + 1 = 1,57648 
f(x8) = ( 4 - 3)e^(1) + 1 = 3,71828 
f(x9) = (4,5 - 3)e^(1,5) + 1 = 7,44802 
f(x10) = (5 - 3) e^(2) + 1 = 17,38906 
f(x11) = (5,5 - 3)e^(2,5) + 1 = 43,05058 
f(x12) = (6 - 3)e^(3 ) + 1 = 109,08568 
 
 
∫0^6 [(x − 3)ℯ^(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ (0,5/2) x [-2,95021 + 2x(-1,66665) + 2x(-0 ,73576)+ 2x(-
0,19589) + 2x(-0,09957) + 2x(-0,12352) + 1 + 21,57648 + 23,71828 + 27,44802 + 
217,38906 + 109,08568] 
∫0^6 [(x − 3)ℯ^(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ 146,4518 
 
d. Regra 1/3 de Simpson 
h = (b - a) / n = (6 - 0) / 12 = 0,5 
 
x0 = 0 
x1 = 0,5 
x2 = 1,0 
x3 = 1,5 
x4 = 2,0 
x5 = 2,5 
x6 = 3,0 
x7 = 3,5 
x8 = 4,0 
x9= 4,5 
x10 = 5,0 
x11 = 5,5 
x12 = 6,0 
I = (0,5 / 3) * [f(x0) + 4 f(x1) + 2 f(x2) + 4 f(x3) + 2 f(x4) + 4 f(x5) + 2 f(x6) + 4f(x7) + 2 
f(x8) + 4 f(x9) + 2 f(x10) + 4*f(x11) + f(x12)] 
I = (0,5 / 3) * [f(0) + 4 f(0,5) + 2 f(1,0) + 4 f(1,5) + 2 f(2,0) + 4 f(2,5) + 2 f(3,0) +4 f(3,5) 
+ 2 f(4,0) + 4 f(4,5) + 2 f(5,0) + 4*f(5,5) + f(6,0)] 
I = (0,5 / 3) * [1,0 + 4 1,0402 + 2 1,4007 + 4 2,1759 + 2 3,5258 + 4 5,7434 + 29,1244 + 
4 13,0909 + 2 17,1392 + 4 20,9654 + 2 24,4224 + 4 13,0909 + 217,1392 + 4 20,9654 
+ 2 24,4224 + 4*27] 
I = 86,0481 
e. Regra 3/8 de Simpson. 
h = (6,0) / 12 = 0,5 
∫6 0 [(x − 3)ℯ^(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ (3h/8) 3h/8) [f(0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) +3f(x5) 
+ 2f(x6) + 3f(x7) + 3f(x8) + 2f(x9) + 3f(x10) + f(6)] 
 
f(x) = (x-3)e^(x-3) + 1 
 
x1 = 0,5 
x2 = 1,0 
x3 = 1,5 
x4 = 2,0 
x5 = 2,5 
x6 = 3,0 
x7 = 3,5 
x8 = 4,0 
x9 = 4,5 
x10 = 5,0 
 
∫6 0 [(x − 3)ℯ^(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ (3*0,5/8)[ f(0) + 3f(0,5) + 3f(1,0) + 2f(1,5) + 3f(2,0)+ 3f(2,5) + 
2f(3,0) + 3f(3,5) + 3f(4,0) + 2f(4,5) + 3f(5,0) + f(6)] 
 
f(0) = (0 − 3)ℯ(0−3) + 1 ≈ 19,0855 
f(0,5) = (0,5 − 3)ℯ(0,5−3) + 1 ≈ 8,0981 
f(1) = (1 − 3)ℯ(1−3) + 1 ≈ 4,2131 
f(1,5) = (1,5 − 3)ℯ(1,5−3) + 1 ≈ 2,9344 
f(2) = (2 − 3)ℯ(2−3) + 1 ≈ 2,2642 
f(2,5) = (2,5 − 3)ℯ(2,5−3) + 1 ≈ 2,0647 
f(3) = (3 − 3)ℯ(3−3) + 1 ≈ 1 
f(3,5) = (3,5 − 3)ℯ(3,5−3) + 1 ≈ 1,6817 
f(4) = (4 − 3)ℯ(4−3) + 1 ≈ 3,2642 
f(4,5) = (4,5 − 3)ℯ(4,5−3) + 1 ≈ 6,1868 
f(5) = (5 − 3)ℯ(5−3) + 1 ≈ 10,2131 
f(6) = (6-3) e^(6-3) + 1 = 3 e^3 + 1 ≈ 21,086 
 
∫ [(x − 3)ℯ(x−3) + 1] 𝑑𝑥 ≈ (1/8) x (0 + 4.485 + 15.609 + 30.854 + 47.439 +63.065 + 76.224 + 
85.322 + 9 + 89.264 + 87.2617 + 7. ) ≈ 54,637 
 
 
 
 
QUESTÃO 3: Sistemas Lineares 
Determine a solução do Sistema Linear abaixo pelos métodos: 
5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 9 
{𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = −3 
−𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 6 
a. Regra de Cramer. 
[ 5 -2 1 ] 
[ 1 2 -1 ] 
[-1 -1 3 ] 
 
det(A) = 5(2*3 - (-1)(-1)) - (-2)(1*3 - (-1)(-1)) + 1(1*(-1) - 2*(-1))det(A) = 31 
 
[ 9 -2 1 ] 
[-3 2 -1 ] 
[ 6 -1 3 ] 
[ 5 9 1 ] 
[ 1 -3 -1 ] 
[-1 6 3 ] 
[ 5 -2 9 ] 
[ 1 2 -3 ] 
[-1 -1 6 ] 
 
det(Ax1) = 9(2*3 - (-1)(-1)) - (-2)(2*6 - (-1)9) + 1(2*(-1) - 2*(-1))det(Ax1) = 91 
det(Ax2) = 5(-3*3 - (-1)(-1)) - 9(1*3 - (-1)(-1)) + 1(-1*(-1) - 2*6)det(Ax2) = -104 
det(Ax3) = 5(2*(-1) - 9*(-1)) - (-2)(1(-1) - 6*3) + 9*(1*(-1) - 2*6)det(Ax3) = -31 
 
x1 = det(Ax1) / det(A) = 91 / 31 
x2 = det(Ax2) / det(A) = -104 / 31 
x3 = det(Ax3) / det(A) = -31 / 31 = -1 
 
 
 
 
 
b. Gauss-Jacobi com 5 iterações. 
 
Sistema linear na forma matricial 
| 5 -2 1 | | x1 | | 9 | 
| 1 2 -1 | x | x2 | = |-3 | 
|-1 -1 3 | | x3 | | 6 | 
 
Separação das matrizes, tendo: uma matriztriangular inferior e uma matriz triangular 
superior: 
| 5 0 0 | | x1 | | 9/5 | 
| 0 2 0 | x | x2 | = |-1/2 | 
| 0 0 3 | | x3 | | 11/3| 
 
Estimativa inicial dos valores das incógnitas: 
x1 = 0, x2 =0e x3 = 0 
 
Fórmula do método de Gauss-Jacobi: 
1ª iteração: 
x1 = (9 + 2*x2 - x3)/5 = (9 + 2*0 - 0)/5 = 9/5 
x2 = (-3 - x1 + x3)/2 = (-3 - 0 + 0)/2 = -3/2 
x3 = (6 + x1 + x2)/3 = (6 + 0 - 3/2)/3 = 11/6 
 
2ª iteração: 
x1 = 1.5, x2 = -1.75, x3 = 2.30556 
 
3ª iteração: 
x1 = 1.4125, x2 = -1.77875, x3 = 2.3728 
 
4ª iteração: 
x1 = 1.38719, x2 = -1.79781, x3 = 2.38194 
 
5ª iteração: x1 = 1.38262, x2 = -1.80099, x3 = 2.38381 
 
 
c. Gauss-Seidel com 5 iterações. 
 
5x = 2x² - x³ + 9 
x = -2x² + x³ - 3 
-x - x² = 3x³ + 6 
 
x = 0 
x² = 0 
x³ = 0 
 
 
 
Fórmulas: 
x1^(k+1) = (2/5)x2^k − (1/5)x3^k + (9/5) 
x2^(k+1) = (1/2)x1^(k+1) + (1/2)x3^k − (3/2) 
x3^(k+1) = (1/3)(−x1^(k+1) −x2^(k+1) + 2) 
 
Iteração 1: 
x1^1 = (2/5)0 − (1/5)0 + (9/5) = 1,8 
x2^1 = (1/2)1,8 + (1/2)0 − (3/2 )= 0,3 
x3^1 = (1/3)(−1,8 − 0,3 + 2) = 0,3 
 
Iteração 2: 
x1^2 = (2/5)0,3 − (1/5)0,3 + (9/5) = 1,74 
x2^2 = (1/2)1,74 + (1/2)0,3− (3/2) ) = 0,435 
x3^2 = (1/3)(−1,74 − 0,435 + 2) = 0,39 
 
Iteração 3: 
x1^3 = (2/5)0,435 − (1/5)0,39 + (9/5) = 1,7508 
x2^3 = (1/2)1,7508 +(1/2)0,39 − (3/2) ) = 0,4417 
x3^3 = (1/3)(−1,7508 − 0,4417 + 2) = 0,4053 
 
 
 
Iteração 4: 
x1^4 = (2/5)0,4417 − (1/5)0,4053 + (9/5) = 1,74914 
x2^4 =(1/2)1,74914 + (1/2)0,4053− (3/2 ) = 0,44170 
x3^4 = (1/3)(−1,74914 −0,44170 + 2) = 0,40611 
 
Iteração 5: 
x1^(5) = 1,98881 x2^(5) = -1,93827 x3^(5) = 2,94396 
 
QUESTÃO 4: Ajuste de curvas 
 
“Curitiba é a capital do Paraná, um dos três Estados que compõem a Região Sul do 
Brasil. Sua fundação oficial data de 29 de março de 1693, quando foi criada a Câmara. 
[...] A capital do Estado do Paraná, formada num altiplano 934 metros acima do nível do 
mar, carente de marcos de paisagem oferecidos pela natureza, acabou criando suas 
principais referências pela ciência e pela mão humana.” Fonte: PREFEITURA MUNICIPAL 
DE CURITIBA. Perfil da cidade de Curitiba. Disponível em: 
https://www.curitiba.pr.gov.br/conteudo/perfil-da-cidade-de-curitiba/174 
 
Curitiba é uma cidade de clima temperado oceânico, segundo a classificação de Köppen, 
e com índice de pluviosidade médio acima de 1500 mm/ano. Diante disso, podemos 
observar a média de precipitação mensal no período de um ano na cidade de Curitiba. 
 
Fonte: Climate-Data.org 
 
 
 
 
 
https://www.curitiba.pr.gov.br/conteudo/perfil-da-cidade-de-curitiba/174
 
 
Para tais dados: 
a. Elabore o diagrama de dispersão dos dados. 
 
 
 
b. Determine o polinômio de 2º grau que melhor se ajusta aos dados utilizando 
os métodos de regressão numérica. 
 
 
 
 
 
0
50
100
150
200
250
0 2 4 6 8 10 12 14
Chuva (mm)
0
50
100
150
200
250
0 2 4 6 8 10 12 14
Chuva (mm)
 
c. Apresente o gráfico da função determinada sobre o diagrama de dispersão. 
 
0
50
100
150
200
250
0 2 4 6 8 10 12 14
Chuva (mm)