Gabarito_AP1_2023_2

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Curso de Tecnologia em Sistemas de Computação
Disciplina : Álgebra Linear - EAD05006
Gabarito da AP1 - Segundo Semestre de 2023
Professores: Márcia Fampa & Mauro Rincon
(2.0)1. Considere os vetores v1 = (−6, 2, 1), v2 = (1, 2, 2), v3 = (1,−2, 3).
(1.0)a. Calcule o ângulo formado por v1 e v2.
Solução:
Seja θ o ângulo entre os vetores v1 e v2.
cos(θ) = v1.v2
|v1|.|v2|
.
|v1| =

(−6)2 + 22 + 12) =

(36 + 4 + 1) =
√
41.
|v2| =
√
12 + 22 + 22 =
√
9 = 3.
v1.v2 = 1× (−6) + 2× 2 + 2× 1 = −6 + 4 + 2 = 0.
cos(θ) = 0
3
√
41
= 0
=⇒ θ = π
2
.
(1.0)b. Calcule a distância d(v1, v3) = |v1 − v3|
Solução:
d(v1, v3) =

(−6− 1)2 + (2− (−2))2 + (1− 3)2 =
√
49 + 16 + 4 =
√
69.
(2.0)2. Sejam u = (2,−3, 2) e v = (1, 4,−1) dois vetores em IR3.
(1.0)a. Escrever o vetor r = (1, 15,−5) como combinação linear de u e v.
(1.0)b. Determinar a condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação
linear dos vetores u e v.
Solução:
(a) Pretende-se que r = au + bv, sendo a e b escalares a determinar. Temos
então:
(1, 15,−5) = a(2,−3, 2) + b(1, 4,−1),
1
ou
2a+ b = 1
−3a+ 4b = 15
2a− b = −5
cuja solução é a = −1, b = 3. Portanto r = −u+ 3v.
(b) Devemos ter
(x, y, z) = a(2,−3, 2) + b(1, 4,−1),
ou
2a+ b = x
−3a+ 4b = y
2a− b = z
O vetor (x, y, z) é combinação linear de u e v se o sistema tiver solução.
Para que isto ocorra, devemos ter: das 2 primeiras equações: 11a = 4x−y.
Da primeira e terceira equações: 2b = x− z. Substituindo a e b na terceira
equação , por exemplo, temos então que :
(2/11)(4x− y)− (x− z)/2− z = 0 ⇒ 5x− 4y − 11z = 0.
(2.0)3. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de IR3. Justique
sua resposta.
(1.0)a. {(x1, x2, x3)
T |x1 + 2x3 = 0}
(1.0)b. {(x1, x2, x3)
T |x3 = 2 + x2}
Solução
(a) {(x1, x2, x3)
T |x1 + 2x3 = 0} é subespaço, pois considerando que u =
(u1, u2, u3)
T e v = (v1, v2, v3)
T pertencem ambos ao conjunto, temos:
u+v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
T pertence ao conjunto, já que u1+2u3 = 0,
v1 + 2v3 = 0, e, portanto, u1 + v1 + 2u3 + 2v3 = 0.
e
α(u1, u2, u3)
T = (αu1,αu2,αu3)
T pertence ao conjunto para todo escalar
α, já que u1 + 2u3 = 0, e, portanto, αu1 + α2u3 = 0.
(b) {(x1, x2, x3)
T |x3 = 2 + x2} não é subespaço, pois u = (0, 1, 3)
T e v =
(0, 3, 5)T pertencem ambos ao conjunto, enquanto u+ v não pertence.
(2.0)4. Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial
S = {(x, y, z) ∈ IR3|x+ 2y + z = 0}
Solução:
Isolando z na equação de denição, tem-se: z = −x − 2y. Qualquer vetor
(x, y, z) ∈ S tem a forma: (x, y,−x− 2y) e, portanto, podemos escrever:
(x, y, z) = (x, y,−x− 2y)
2
ou
(x, y, z) = (x, 0,−x) + (0, y,−2y)
ou
(x, y, z) = x(1, 0,−1) + y(0, 1,−2)
isto é, todo vetor de S é combinação linear dos vetores (1, 0,−1) e (0, 1,−2).
Como esses dois vetores geradores de S são L.I., o conjunto {(1, 0,−1), (0, 1,−2)}
é uma base de S e, consequentemente, dimS=2.
(2.0)5. Seja
A =

3 2
−1 2

e B =


1 2
3 −1
2 0

 .
Calcule C = (2BA2)T .
Solução:
A2 =

7 10
−5 2

BA2 =


−3 14
26 28
14 20


2BA2 =


−6 28
52 56
28 40

 .
C =

−6 52 28
28 56 40

.
3