AP3-GE-2017-1-Gabarito

Prévia do material em texto

Gabarito da AP3 - Geometria Espacial - 1/2017
Questão 1 [2,0 pts]: Uma peça é obtida pela rotação em torno do eixo e da região do plano
hachurada da figura 1. Sabendo que CG = GA = AH = HD = BI = IE = 1m e que
AB = BF = DE = HI = 4m, determine o volume da peça.
Fig. 1: Peça da questão 1.
Solução:
A peça é gerada pela rotação em torno de e das regiões delimitadas por CDHG,DEIH,EFI.
• Cálculo do volume gerado pela região CDHG:
Essa região é gerada por uma meia esfera de raio AC decrescido de uma meia esfera de raio AG.
VCDHG =
1
2
× 4
3
× π(AC3 −AG3) = 2
3
π(23 − 13) = 2
3
π × 7 = 14
3
πm3
• Cálculo do volume gerado pela região DEIH:
Essa região é gerada por um cilindro de raio da base AD e altura AB decrescido de um cilindro de
raio da base AH e altura AB.
VDEIH = π(AD
2 ×AB −AH2 ×AB) = AB × π(AD2 −AH2) = 4π(22 − 12) = 12πm3
• Cálculo do volume gerado pela região EFI:
Essa região é gerada por um cone de raio da base BE e altura BF decrescido de um cone de raio da
base BI e altura BF .
VEFI =
1
3
×BF × π(BE2 −BI2) = 1
3
× 4× π(22 − 12) = 4πm3
• Cálculo do volume total da peça:
V = VCDHG + VDEIH + VEFI =
(
14
3
+ 12 + 4
)
π =
(
14 + 16× 3
3
)
π =
62
3
πm3
1
Questão 2 [2,5 pts]: Seja um tronco de cone reto de altura h e cujos raios das bases medem R e r.
Utilizando a fórmula do volume de um cone, desenvolva a fórmula do volume do tronco de cone
em função de h,R, r.
Solução:
• Observar que o volume do tronco de cone é a diferença entre o volume de 2 cones:
Na figura 2 temos o tronco de cone e o cone constrúıdo a partir do tronco de cone. Na figura 3 temos
uma seção do cone que passa pelos centros das bases. Chamando AH = R,CJ = r,HJ = h, JV = h0,
temos que o volume do tronco de cone é o volume do cone de raio da base R e altura h+h0 decrescido
do volume do cone de raio da base r e altura h0.
• Cálculo da altura h0 do cone de diferença:
O valor de h0 pode ser obtido observando que os triângulos V HA e V JC são semelhantes:
AH
CJ
=
V H
V J
⇒ R
r
=
h+ h0
h0
⇒ Rh0 = rh+ rh0 ⇒ h0(R− r) = rh⇒ h0 = h
r
R− r
• Cálculo do volume do tronco de cone:
V =
1
3
πR2 × (h+ h0)−
1
3
πr2 × h0 =
1
3
π × (R2h+R2h0 − r2h0) =
1
3
π × (R2h+ (R2 − r2)h0) =
V =
1
3
π(R2h+ (R2 − r2)h r
R− r
) =
1
3
πh(R2 + (R+ r)(R− r) r
R− r
) =
1
3
πh(R2 +Rr + r2)
Fig. 2: Tronco de cone da questão 2 Fig. 3: Seção do tronco de cone da questão 2
2
Questão 3 [2,5 pts]: Calcule o volume do octaedro regular que está inscrito numa esfera cuja área
da superf́ıcie mede 36πm2.
Solução:
• Cálculo do raio da esfera:
Seja R o raio da esfera, como área da superf́ıcie da esfera vale 36πm2, temos:
A = 4πR2 = 36π ⇒ R2 = 36π
4π
= 9⇒ R = 3m.
• Cálculo da diagonal e lado do octaedro:
Como podemos ver na figura 4, a diagonal do octaedro vale Do = 2R = 6m e o lado do octaedro é:
Lo =
Do√
2
=
6√
2
= 3
√
2m.
• Cálculo do volume do octaedro:
Um octaedro é formado por 2 pirâmides cuja base é um quadrado de lado Lo e altura Do/2, logo:
V = 2× 1
3
× L2o ×
Do
2
=
1
3
× L2o ×Do =
1
3
×
(
3
√
2
)2
× 6 = 1
3
× 18× 6 = 36m3.
Fig. 4: Octaedro inscrito na esfera da questão 3.
3
Questão 4 [3,0 pts]: Uma firma vai utilizar recipientes cônicos de papel para colocar refresco. O
cone (sem a base) é feito dobrando um pedaço de papel na forma de um setor circular. Obtemos
exatamente 6 setores circulares (6 cones) cortando uma folha de papel cuja forma é um ćırculo
de raio 18cm. Sabendo que os copos são enchidos com refresco até o máximo e que uma folha
de papel circular custa R$ 0,18 e que 6,7 litros de refresco custam R$ 6,00 (1 litro = 1000
cm3), calcule o custo unitário do copo com o refresco (inclua o valor do papel). Considere
9π
√
35 = 3π
√
315 = 167, 5.
Solução:
• Cálculo da geratriz do cone:
A geratriz do cone é igual ao raio da folha de papel, g = 18cm.
• Cálculo do raio da base do cone:
A folha de papel é um ćırculo de raio 18cm logo o seu comprimento é igual a 2πR = 36πcm.
Como de uma folha de papel são feitos 6 cones temos que o comprimento do ćırculo da base de
um cone é igual a 36π6 = 6πcm (
1
6 do comprimento da folha de papel). Logo o raio da base do cone é:
2πr = 6π ⇒ r = 3cm
Podeŕıamos ainda observar que a área do cone deve ser um sexto da área do ćırculo de raio 18cm,
logo:
πrg =
1
6
π × 182 ⇒ πr × 18 = 1
6
π × 182 ⇒ r = 18
6
= 3cm.
• Cálculo da altura do cone:
No triângulo retângulo V OA da figura 5, onde g = V A, r = OA, h = V O, temos:
g2 = r2 + h2 ⇒ h2 = g2 − r2 = 182 − 32 = 324− 9 = 315⇒ h =
√
315 = 3
√
35cm.
• Cálculo do volume do cone:
V =
1
3
πr2h =
1
3
π32 × 3
√
35 = 9π
√
35 ≈ 167, 5cm3
• Cálculo do custo do copo de refresco:
Como a folha de papel custa R$ 0,18 e dá para fazer 6 cones, temos que o custo unitário de papel é
de R$ 0,03.
O volume de refresco no copo é de 167, 5cm3 e 6,7 litros = 6700 cm3 custam R$ 6,00. Dáı temos
que o custo do refresco é de R$ 6, 00× 167,56700 = 6, 00×
167,5
167,5×40 = 6, 00×
1
40 = 0, 15.
Logo o custo total é de R$ 0,03 + R$ 0,15 = R$ 0,18.
Fig. 5: Cone da questão 4.
4