AD2-Q2-2023-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 2 (2,5 pontos) Um produto está próximo de ser lançado no mercado. Seu fabricante
encomendou uma pesquisa de mercado que indicou que, com o preço de P reais, seu produto
provavelmente venderia 80− P milhões de unidades.
(a) Confiando nesta pesquisa, calcule o valor total das vendas do produto, em milhões de reais e em
função de P , que provavelmente seria obtido com o preço de P reais.
(b) Sabendo que o custo de produção de cada unidade do produto é de 30 reais, determine o custo
total de produção, em milhões de reais e em função de P , de todas as unidades que provavelmente
seriam vendidas ao preço de P reais.
(c) Determine a expressão do lucro do fabricante, em milhões de reais e em função de P , provavel-
mente obtido com a venda de todas as unidades ao preço de P reais.
(d) Confiando na pesquisa, determine todos os valores de P para os quais o lucro é maior ou igual
a 400 milhões de reais.
Solução:
(a) Com o preço unitário de P reais, seriam vendidas 80−P milhões de unidades, resultando portanto
em um valor total de vendas de V = P · (80− P ) milhões de reais.
(b) Como cada unidade tem custo de produção de 30 reais e, ao preço de P reais, seriam vendidas
80 − P milhões de unidades, o custo total de produção seria de C = 30 · (80 − P ) milhões de
reais.
(c) O lucro do fabricante seria a diferença
L = V − C = P · (80− P )− 30 · (80− P ),
que pode ser escrito como
L = 80P − P 2 − 30 · 80 + 30P = −P 2 + 110P − 2400,
em milhões de reais.
(d) O lucro será maior ou igual a 400 milhões de reais se, e somente se,
L ≥ 400⇔ −P 2 + 110P − 2400 ≥ 400⇔ −P 2 + 110P − 2800 ≥ 0.
As ráızes de −P 2 + 110P − 2800 = 0 são dadas por
P =
−110±
√
1102 − 4 · (−1) · (−2800)
2 · (−1)
=
−110±
√
900
−2
=
−110± 30
−2
,
logo P =
−140
−2
= 70 ou P =
−80
−2
= 40. Assim,
−P 2 + 110P − 2800 = −(P − 40)(P − 70),
e, portanto, temos o quadro de sinais
(−∞, 40) 40 (40, 70) 70 (70,+∞)
P − 40 − 0 + + +
P − 70 − − − 0 +
−1 − − − − −
−(P − 40)(P − 70) − 0 + 0 −
Assim, L > 400 se, e somente se, 40 6 P 6 70.