Exercício - Retas e Planos

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1
O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a
capacidade de manobra e até mesmo a estética urbana. Considere as retas
 e como as equaçöes de reta de duas ruas que
se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:
A 30º
B 45º
C 60º
D 90º
r1 :
⎧⎪⎨⎪⎩ x = 3 + ty = tz = −1 − 2t r1 : x+2−2 = y − 3 = z Questão 1 de 8
E 120º
Resposta correta
Gabarito comentado
Sabemos que:
Do enunciado, tiramos:
Calculando o produto escalar:
Calculando os módulos:
cos θ =
→
r1 +
→
r2
→
r1
→
r2∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣→r1 = (1, 1, −2)→r2 = (−2, 1, 1)→r1 ⋅ →r2 = (1, 1, −2) ⋅ (−2, 1, 1) = 1 × (−2) + 1 × 1 + (−2) × 1 = −3Questão 1 de 8
Voltando, temos:
ângulo cujo cosseno é é 
2
Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os planos
 e , assinale o correto sobre a posiça
relativa dos planos .
A Paralelos concorrentes
→
r1 = √12 + 12 + (−2)2 = √6
→
r2 = √(−2)2 + 12 + 12 = √6∣ ∣∣ ∣cos θ = →r1 ⋅ →r2∣ r1||→r2 ∣ = |−3|√6 × √6 = 36 = 12∣ ∣−→12 60∘  Logo, θ = 60∘π1 : 2x − y + z− 1 = 0 π2 : x − 12 y + 12 z − 9 = 0π1eπ2 Questão 1 de 8
B Paralelos coincidentes
C Paralelos distintos
D Paralelos reversos
E Transversais
Resposta incorreta Resposta correta: C
Gabarito comentado
Comparando os coeficientes:
Questão 1 de 8
Como os três primeiros coeficientes säo proporcionais, os planos são paralelos
distintos.
3
A interpretaçäo das posiçöes relativas entre os planos vai depender dos coeficientes de
suas equações. Considerando os planos e
, os valores de e , de modo que os planos sejam paralelos
é, respectivamente:
A 3 e -5
B -1 e 5
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (2, −1, 1, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (1, −
1
2
,
1
2
, −9)
(2, −1, 1, −1) = α(1, − 1
2
,
1
2
, −9)
⎧⎪⎨⎪⎩ 2 = 1 ∝→ α = 2−1 = − 12 α → ∞ = 21 = 12 ∝→ α = 2−1 = −9 ∝→ ∞ = 19π1 : ax + by + 4z − 1 = 0π2 : 3x − 5y − 2z + 5 = 0 a bQuestão 1 de 8
C 6 e -10
D -6 e -10
E -5 e 3
Resposta correta
Gabarito comentado
Temos que:
Para serem paralelos, pelo menos 3 coeficientes devem ser proporcionais:
Igualando as coordenadas:
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (a, b, 4, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (3, −5, −2, 5)
(a, b, 4, −1) =∝ (3, −5, −2, 5)
Questão 1 de 8
Substituindo , nas expressöes encontradas, temos:
Para os planos serem paralelos, e , mas como 
sabemos que sào paralelos distintos.
4
Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, definida pelos pontos
A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano a, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das
seguintes alternativas representa a relação correta entre a reta r e o plano a:
A A reta r é paralela ao plano a
B A reta r é perpendicular ao plano a
x → a = 3α
y → b = −5α
z → 4 = −2 ∝→ α = −2
−1 =∝ 5
α = −2
a = −6
b = 10
−1 ≠ −10
a = −6 b = 10 −1 ≠ −10
Questão 1 de 8
C A reta r está contida no plano a
D A reta r intercepta o plano a em um único ponto
E A reta r e o plano a são coincidentes
Resposta correta
Gabarito comentado
Para determinar a telaçăo entre a reta r e o plano , podemos vetisicar se a reta
intercepta o plano em aigum ponte. Substituindo as coordenadas dos pontos
 e na equaçzo do plano , abtemos duas equaçües:
Simplificando, temos:
c
A(1, 2, 3) B(4, 5, 6) a
2x − y + 3z = 7
2(1) − z + 3(3) = 7
2(4) − 5 + 3(6) = 7
3 = 7(fatso)
19 = 7(falso)
Questão 1 de 8
Como nenhuma das equaçēes è verdadeira, canclaimos que a reta não está
contida no plano . Portanto, a reta r intercepta o plano a em um inico ponto.
5
Determine a distância entre a reta e o ponto 
A 4
B 3
C 2
D 1
E 0
r
α
x
2 =
y
2 =
z−1
1 P(0, 2, 0)
Questão 1 de 8
Resposta correta
Gabarito comentado
2
6
A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na matemática
em geral, e tem amplas aplicações em diversos campos, desde navegação e geografia
até física e engenharia. Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os
pontos A(2,−1,2) e B(k,1,−2) seja de 6.
A 6
B 5
C 4
Questão 1 de 8
D 3
E 2
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: 6
 
7
Sejam o plano    e o plano   . Sabe que
os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano.
Determine o valor de
( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.
π : ax + by + cz + d = 0 μ : 2x + y − z + 2 = 0
Questão 1 de 8
A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: 2
Questão 1 de 8
8
Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distăncia entre eles
é medida ao longo de uma linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da
reta mais próximo do plano. Considerando a retar e o plano
, determine .
A
B
C
D
E
Resposta correta
= {t(−1, 1, 2) ∣ t ∈ R)
α : x + y + z = 1 x ∩ α
r ∩ α = { 12 ,
1
2 , −1}
r ∩ α = { 12 ,
1
2 , 1}
r ∩ α = {− 12 ,
1
2 , −1}
r ∩ α = {− 12 , −
1
2 , −1}
r ∩ α = {− 12 ,
1
2 , 1}
Questão 1 de 8
Gabarito comentado
Igualando as equaçōes para determinar a interseçāo entre a reta e o plano:
Onde: .
Substituindo:
Voltando
Logo,
x = −t, y = t, z = 2t
(−t, t, 2t)
−t + t + 2t = 1
t = 1/2
(−t, t, 2t)
(− 1
2
,
1
2
, 1)
r ∩ α = {− 1
2
,
1
2
, 1}
Questão 1 de 8