Introdução à Estática dos Fluidos

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DESCRIÇÃO
Conceitos fundamentais de Fenômenos de Transporte (FENTRAN), propriedades dos fluidos, unidades mais comuns, análise dimensional e
estática dos fluidos.
PROPÓSITO
Compreender os Fenômenos de Transporte, a metodologia da análise dimensional e semelhança – bastante utilizada em diversas disciplinas de
Engenharia – e a estática dos fluidos – fundamental para o projeto de diversas estruturas, como reservatórios, comportas e barragens.
PREPARAÇÃO
Calculadora científica, papel e caneta para a resolução dos exercícios.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos fundamentais de FENTRAN e as principais propriedades dos fluidos
MÓDULO 2
Aplicar métodos de análise dimensional e semelhança para cálculo de estimativas
MÓDULO 3
Identificar a resolução de problemas com fluidos em condição estática
O QUE SÃO FENÔMENOS DE TRANSPORTE?
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos fundamentais de FENTRAN e as principais propriedades dos fluidos
DEFINIÇÃO DE FLUIDO, CONCEITOS E UNIDADES
CONCEITO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Uma das perguntas que você pode estar se fazendo agora é: O que são Fenômenos de Transporte? Essa é uma dúvida comum aos alunos que
iniciam esse estudo, tendo em vista o título genérico.
A intenção é justamente essa, pois FENTRAN (simplificação frequentemente adotada) trata do transporte de grandezas que têm naturezas físicas
muito diferentes, mas mantêm entre si um aspecto em comum: o mecanismo. Em outras palavras, são os fenômenos que, apesar de parecerem
não ter nenhuma correlação, podem ser explicados pelos mesmos princípios e tratados por equações análogas.
APLICAÇÕES DE FENTRAN NA ENGENHARIA
A explicação dada sobre o que é FENTRAN ainda está um pouco vaga? Então, vamos especificar o que será “transportado” para você aqui:
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
No escoamento de fluidos, pode ocorrer “atrito” (tensão cisalhante) entre partículas. Por meio dessa força, é transferida a quantidade de
movimento (produto entre velocidade e massa).
PRODUTO ENTRE VELOCIDADE E MASSA
Da mecânica clássica:
CALOR
Conforme você provavelmente aprendeu no ensino médio, calor é a transferência de energia térmica que pode ocorrer por condução, convecção e
radiação. Em FENTRAN, aprofundaremos mais esse conhecimento.
MASSA
Quando uma substância é liberada em um meio fluido (como, por exemplo, gás metano na atmosfera e lançamento de efluentes em um rio), há a
tendência de ela se espalhar, seja pelo movimento do meio (como, por exemplo, o vento na atmosfera ou a corrente do rio), seja pela agitação
microscópica (como, por exemplo, a molecular).
EFLUENTES
Q = m ∙ v
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Resíduos provenientes de atividade humana, como redes de esgotos e atividades industriais.
Todos esses casos envolvem fluidos, ou seja, líquidos e gases. Assim, o conhecimento sobre eles é fundamental, desde seu comportamento
mecânico até suas propriedades físicas.
 RESUMINDO
FENTRAN trata do transporte de quantidade de movimento, calor e massa. E isso constitui um tema muito vasto. Portanto, separamos aqui
apenas os tópicos que são mais relevantes e necessários para a formação básica de um engenheiro, mas indicaremos fontes de informações
adicionais, caso você tenha interesse por mais detalhes.
A seguir, apresentaremos diversas aplicações de FENTRAN, principalmente na Engenharia, enfatizando os tipos de transporte envolvidos.
METEOROLOGIA E OCEANOGRAFIA
Nesses dois campos de estudo, são abordados tanto o movimento de fluidos (vento no ar da atmosfera e corrente e onda nos mares) quanto a
transferência de calor.
Foto: Shutterstock.com
Foto: Shutterstock.com
CIRCULAÇÃO SANGUÍNEA (BIOMEDICINA)
O sangue é um fluido, enquanto as artérias e veias são condutos por onde ele flui. O coração, por sua vez, é uma máquina de fluxo, que provoca
escoamento, caracterizado pela circulação sanguínea.
Imagem: Shutterstock.com adaptado por Danielle Ribeiro
 Circulação do sangue.
GERAÇÃO DE ENERGIA – TURBINAS HIDRÁULICAS E EÓLICAS
O objetivo das turbinas é converter a energia do fluido em energia mecânica, que, posteriormente, é transformada em energia elétrica por um
gerador. No caso de hidrelétricas, a energia disponível do fluido é a potencial gravitacional, correspondente à altura da barragem. Já a energia
eólica é obtida a partir da energia cinética oriunda da velocidade do vento.
Foto: Shutterstock.com
 Turbina hidráulica e eólica
Foto: Shutterstock.com
 Turbina hidráulica e eólica
AERODINÂMICA
Há mais de um século, a aerodinâmica tem sido objeto de estudo, principalmente na aeronáutica. Mas, há pouco tempo, os mesmos conceitos são
utilizados no projeto de drones.
Foto: Shutterstock.com
 Aerodinâmica
Foto: Shutterstock.com
 Aerodinâmica
LAZER – JET SKI E FLYBOARD
Os conhecimentos abordados em FENTRAN são utilizados até para o lazer. Os projetos de motos aquáticas (jet ski) e, mais recentemente, os
flyboards se baseiam na mecânica dos fluidos para seu dimensionamento, como, por exemplo, a potência requerida pelo motor.
Foto: Shutterstock.com
 Jet ski (moto aquática) e flyboard
Foto: Shutterstock.com
 Jet ski (moto aquática) e flyboard
LAZER
Talvez você não saiba, mas FENTRAN vai continuar acompanhando você mesmo após as atividades comentadas anteriormente. Os princípios de
transferência de calor estão presentes no churrasco que você prepara, na pizza que vai ao forno e até no hambúrguer grelhado na chapa.
Foto: Shutterstock.com
 Lazer e transferência de calor
Foto: Shutterstock.com
 Lazer e transferência de calor
Foto: Shutterstock.com
 Lazer e transferência de calor
CONSTRUÇÃO CIVIL: PONTE
O colapso da ponte de Tacoma, em 1940, foi um marco para a construção civil, pois ela havia sido projetada para resistir a velocidades de vento
superiores à velocidade no dia do acidente. Percebeu-se que a ação do vento pode provocar Vibrações Induzidas por Vórtices (VIVs) e levar a
estrutura ao colapso devido à ressonância.
Foto: Domínio Público/Wikimedia commons/licença(CC BY 3.0...)
 Ponte de Tacoma (1940)
A. Placzek/Wikimedia commons/licença (CC BY-SA 3.0)
 Vibração Induzida por Vórtice (VIV)
TÚNEL DE VENTO – AERODINÂMICA AUTOMOTIVA E DE AVIAÇÃO
Túneis de vento são amplamente utilizados no projeto de veículos e aeronaves. O principal objetivo é medir a força de arrasto (resistência) e a
sustentação.
Foto: Shutterstock.com
 Túnel de vento
Foto: Shutterstock.com
 Túnel de vento
Foto: Shutterstock.com
 Túnel de vento
ENGENHARIA NAVAL
Seja em pequenos barcos de pesca, grandes cargueiros, petroleiros e cruzeiros ou até submarinos: é necessário garantir a flutuabilidade e o
equilíbrio em todos os tipos de embarcações. Além disso, existe a força de arrasto, que impacta diretamente na velocidade e na autonomia. Esses
conceitos também são abordados em mecânica dos fluidos.
Foto: Shutterstock.com
 Submarino e cargueiro
Foto: Shutterstock.com
 Submarino e cargueiro
ESPORTES
Nos esportes, também tem FENTRAN! Os motivos pelos quais a bola faz curva em chutes mais fortes e os ciclistas se abaixam para alcançar
maiores velocidades são explicados por conceitos abordados em mecânica dos fluidos.
Foto: Shutterstock.com
 Esportes
Foto: Shutterstock.com
 Esportes
HIDRÁULICA, IRRIGAÇÃO E DRENAGEM
A hidráulica é uma das principais aplicações de FENTRAN para a maioria das engenharias, tanto em tubulações quanto em canais. Como
desdobramento, outras disciplinas se baseiam na mesma teoria básica, como irrigação, drenagem, saneamento, instalações hidráulicas prediais e
hidráulica marítima.
Foto: Shutterstock.com
 Hidráulica e irrigação
Foto: Shutterstock.com
 Hidráulica e irrigação
ÓLEO E GÁS
A indústria de óleo e gás é um ótimo exemplo para aplicação de FENTRAN, pois utiliza, praticamente, todos os tópicos abordados.
Foto: Shutterstock.com
 Engenharia de Óleo e Gás
Foto: Shutterstock.com
 Engenharia de Óleo e Gás
REFRIGERAÇÃO
Geladeiras, freezers e sistemas de ar-condicionado funcionam com princípios abordados em transferênciade calor.
Foto: Shutterstock.com
 Refrigeração
Foto: Shutterstock.com
 Refrigeração
DISPERSÃO DE POLUENTES
Há uma preocupação cada vez maior com o meio ambiente, o que inclui o impacto do lançamento de poluentes. A maneira como substâncias se
dispersam na atmosfera ou em corpos hídricos é avaliada com base em conhecimentos da transferência de massa.
Foto: Shutterstock.com
 Poluição
Foto: Shutterstock.com
 Poluição
SUSTENTABILIDADE
Um dos termos mais valorizados na engenharia moderna é a sustentabilidade. Essa é a característica que os melhores projetos devem buscar,
seja no aproveitamento da radiação solar, seja no aproveitamento das baixas temperaturas submarinas.
Foto: Shutterstock.com
 Painel solar – sustentabilidade
Foto: Microsoft Corp
 Data center submarino – sustentabilidade
SÓLIDO X FLUIDO
Neste momento, já é possível ter uma boa noção do que é FENTRAN e perceber que fluido é o tipo de matéria de nosso interesse. Por isso, é
importante defini-lo.
O que você lembra sobre a diferença entre sólido e fluido aprendida no ensino médio?
Provavelmente, um ou mais dos itens listados a seguir estarão em sua resposta:
SÓLIDO
Moléculas mais próximas
Maior atração molecular
Tem formato definido

LÍQUIDO
Moléculas mais distantes
Menor atração molecular
Adequam-se ao ambiente
 Quadro: Diferenças entre sólido e líquido.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento.
Essas características, obviamente, continuam válidas no curso superior. Porém, na Engenharia, precisamos de mais detalhes para representar a
matéria do ponto de vista mecânico, ou seja, em termos de tensões e deformações.
Quando aplicamos uma tensão cisalhante (letra grega
) em um sólido, ele se deforma e resiste a ela, com um ângulo de distorção
, entrando em equilíbrio. Já o fluido não é capaz de resistir em equilíbrio. Então, o ângulo de distorção continua aumentando pelo tempo que a
tensão cisalhante for aplicada, ou seja, ele “escoa”, conforme demonstra a imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Diferença entre sólido e fluido
Como a distorção aumenta ao longo do tempo, não é conveniente falar em ângulo
, mas sim em taxa de cisalhamento
.
Isaac Newton (1643-1727) mostrou que, para fluidos mais comuns (como, por exemplo, água, óleos e ar), a tensão cisalhante é proporcional à
taxa de cisalhamento, ou seja:
τ
δθ
δθ
dθ/dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é uma constante chamada de viscosidade dinâmica.
Apesar de ser claro para entendimento, o termo taxa de cisalhamento (
) não é prático para se medir ou calcular em um escoamento. Por isso, vamos trocar por outro termo equivalente, conforme a dedução a seguir.
Vamos recortar apenas uma porção retangular infinitesimal de um fluido que escoa, com dimensões
e
. Transcorrido um tempo
, o retângulo (linha tracejada) passa a ser um losango (linha contínua), conforme mostra a figura seguinte:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Taxa de cisalhamento e gradiente de velocidade
O deslocamento do topo será
. No triângulo retângulo à esquerda, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o ângulo é muito pequeno (infinitesimal),
. Portanto:
τ = μ     (i)
dθ
dt
μ
dθ/dt
δx
δy
δt
δx2 = δu δt
tan δθ =     (ii)
δu δt
δy
tanδθ ≅senδθ ≅δθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação representa a Lei da Viscosidade de Newton, válida para os fluidos então chamados de newtonianos.
 SAIBA MAIS
Algumas substâncias possuem comportamento ambíguo, ou seja, dependendo da condição, classificam-se como sólidos ou fluidos. Como
exemplos, podemos citar o vidro, que escoa muito lentamente (leva centenas de anos para perceber), e o solo, que, em desmoronamentos aéreos
ou submarinos, pode se comportar como fluido.
HIPÓTESE DO CONTÍNUO: ABORDAGENS EULERIANA E
LAGRANGIANA
Quando observamos a correnteza de um rio ou qualquer outro escoamento, é natural pensarmos que se trata de algo contínuo, ou seja, que
preenche todo o espaço. Mas, lembrando da Química, sabemos que a água, assim como qualquer outro fluido, é composta por moléculas.
Vamos avaliar o efeito desse distanciamento por meio da relação entre massa e volume ocupado, chamado de massa específica:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Para denotar volume, adotaremos , com o intuito de diferenciar de velocidade
δθ =    →       =       (iii)
δu δt
δy
dθ
dt
du
dy
(i)
τ = μ     (iv)
du
dy
ρ =  (v)
m
V
V
V
.
Partindo de um volume pequeno, mas que já engloba uma molécula (esfera 1 da imagem a seguir), teremos uma massa elevada, conforme o
ponto 1 do gráfico a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Hipótese do contínuo
Aumentando o tamanho do volume, a massa específica diminui até o ponto 2 do gráfico, na iminência de incluir mais uma molécula, quando a
massa específica dá um salto (ponto 3). Esse processo se repete, mas os saltos diminuem gradativamente, pois a quantidade de moléculas
adicionadas no aumento do volume perde cada vez mais proporção em relação às já incluídas.
Portanto, a partir de determinado volume limite, comumente aceito como 10-12 cm³ para líquidos e gases nas condições normais de temperatura e
pressão (CNTPs), essa oscilação passa a ser desprezível, e o gráfico tem comportamento contínuo.
As dimensões tratadas na Engenharia são, praticamente, sempre muito superiores a esse volume limite. Portanto, daqui em diante,
consideraremos o fluido como uma matéria contínua.
Assim temos:
HIPÓTESE
As dimensões mínimas estudadas na Engenharia envolvem um número muito grande de moléculas, o que possibilita considerar o fluido como um
meio contínuo, sem distinção entre moléculas e vazios.

CONSEQUÊNCIA
Em qualquer ponto no espaço, haverá uma partícula fluida que possui todas as grandezas inerentes a um fluido, como massa (
), volume ( ), velocidade (
) e temperatura (
). A massa específica, por exemplo, será calculada por: .
 Tabela: Tratamento dos fluidos na Engenharia.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
δm
δ  V
→V
T
ρ = δm
δ V
Antes de começar a desenvolver equações, é necessário decidir qual abordagem será adotada – aquela que segue a matéria (lagrangiana) ou
aquela que se mantém fixa ao espaço (euleriana), conforme mostra a imagem a seguir:
EULERIANA
Lê-se: “óileriana”.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Abordagem lagrangiana versus abordagem euleriana
Essa decisão se resume ao que mediremos ou calcularemos em termos das grandezas físicas (ex.: velocidade, pressão e temperatura), conforme
a tabela a seguir:
Onde as grandezas físicas são
medidas/calculadas?
Lagrangiana Euleriana
Em determinadas partículas de interesse, que
são acompanhadas ao longo de sua trajetória no
tempo.
Nas partículas que passam nas posições
de interesse (domínio de análise) ao longo
do tempo.
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Quadro: Abordagens lagrangiana e euleriana de acordo com as grandezas físicas.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Então, qual é a melhor abordagem?
Depende. Se estamos falando de sólidos, como na análise de estruturas (por exemplo, aço e concreto), os deslocamentos fazem com que
posições em que antes havia a matéria de interesse, em um momento posterior, passe a não haver nada (apenas ar) ou outro tipo de material.
Isso dificulta a aplicação da abordagem euleriana, que monitora as posições do espaço.
Em contrapartida, em se tratando de fluido, os deslocamentos são grandes. Normalmente, há entrada por um contorno e saída pelo outro, o que
dificulta o acompanhamento das partículas, feito pela abordagem lagrangiana.
 DICA
De maneira geral, concluímos que, para sólidos, a abordagem lagrangiana é maisapropriada, enquanto, para fluidos, a euleriana se adequa
melhor.
javascript:void(0)
Foto: Shutterstock.com
 EXEMPLO
O velocímetro de um automóvel se enquadra na abordagem lagrangiana ou euleriana?
O velocímetro mede a velocidade do automóvel, ou seja, acompanha a “partícula” enquanto se move. Essa situação corresponde à definição da
abordagem lagrangiana.
E o radar?
Foto: Shutterstock.com
Os radares medem a velocidade dos veículos que passam em determinado local, ou seja, não acompanham a “partícula”. Nesse caso, temos uma
situação correspondente à abordagem euleriana.
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, GRANDEZAS FÍSICAS E SUAS
PRINCIPAIS UNIDADES
A seguir, serão apresentadas e comentadas as principais propriedades dos fluidos estudadas em FENTRAN.
MASSA ESPECÍFICA:
É definida como a razão entre a massa e o volume de uma partícula fluida:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por depender do volume ocupado,
pode variar com a temperatura e a pressão. Por definição, fluidos incompressíveis não sofrem variação de volume para uma mesma quantidade
de massa. Portanto, nesse caso, a massa específica
é constante, o que pode ser considerado para os líquidos na maioria das situações e, em alguns casos, até mesmo para gases.
UNIDADES
kg/m³
lb/ft³
1 lb/ft³ = 16,02 kg/m³
lb/in³
1 lb/in³ = 27.679,9 kg/m³
oz/gal
1 oz/gal = 7,49 kg/m³
 SAIBA MAIS
Em inglês, o termo correspondente à massa específica é density.
PESO ESPECÍFICO:
É definido pela razão entre o peso e o volume de uma partícula:
ρ
ρ = dm
d V
ρ
ρ
→
→
→
γ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo-se
, teremos . Como :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
UNIDADES
N/m³ (S.I.)
kN/m³
1 kN/m³ = 1000 N/m³
DENSIDADE:
OU
É a razão entre a massa específica do fluido (
) e a de referência (
). Portanto, é adimensional:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
γ = dP
d V
P = mg
γ =
dm⋅g
d V
ρ = dm
d V
γ = ρg
→
d
δ
ρ
ρref
d =
ρ
ρref
Normalmente,
é adotada como a maior massa específica da água (
), que ocorre em 4°C.
 SAIBA MAIS
Algumas vezes, encontramos o termo densidade referindo-se à massa específica. A maneira de se assegurar do que se trata é observar a
unidade que acompanha o valor. Densidade é traduzida para inglês por specific gravity (S.G.) ou relative density.
VISCOSIDADE (DINÂMICA):
Conforme já vimos, viscosidade é uma constante que aparece na Lei da Viscosidade de Newton, dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quanto maior a viscosidade, maior será a tensão cisalhante (viscosa) necessária para manter a mesma velocidade.
Imagine que, entre duas chapas metálicas, seja colocada uma camada fina de óleo. Ao deslizar as superfícies, uma tensão cisalhante será
gerada, e a força necessária para manter o movimento será
, conforme mostrado a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Deslizamento entre placas
Quanto mais viscoso for o óleo, maior será essa força. É por isso que, para óleos lubrificantes, desejamos os que possuem a menor viscosidade.
Por um lado, a viscosidade sofre pouca influência da pressão. Por outro, a temperatura, além de ter influência significativa, causa efeito
diferenciado em gases e líquidos:
ρref
ρágua = 1.000kg/m³
μ
τ = μ
du
dy
F = τA
GASES
+ temperatura
+ viscosidade
LÍQUIDOS
+ temperatura
- viscosidade
A imagem a seguir ilustra essa influência:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Influência da temperatura na viscosidade de gases e líquidos
Esse comportamento diferenciado em líquidos tem um efeito benéfico em muitos equipamentos e motores, pois o aumento da temperatura, que
ocorre durante seu uso, causa diminuição da viscosidade do óleo lubrificante, redução da força resistente e, consequentemente, da potência
dissipada.
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades dos fluidos:
Fluido
(20°C e 1atm)
(Pa.s) (kg/m³)
Hidrogênio 9,05 x 10-6 0,0839
Ar 1,80 x 10-5 1,20
Gasolina 2,92 x 10-4 680
Água 1,00 x 10-3 998
Álcooletílico 1,20 x 10-3 789
Mercúrio 1,56 x 10-3 13.550
Óleo SAE10 W 1.04 x 10-1 870
→
→
μ ρ
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Fluido
(20°C e 1atm)
(Pa.s) (kg/m³)
Óleo SAE30 W 2.90 x 10-1 891
Água domar 1,07 x 10-3 1.025
Glicerina 1,49 1260
Gáscarbônico 1,48 x 10-5 1,82
Azeitede oliva 84,0 x 10-3 890
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Propriedades dos fluidos mais comuns.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
UNIDADES
kg/m.s (S.I.)
Pa.s: 1 Pa.s = 1 kg/m.s
P (Poise): 1 P = 0,1 kg/m.s
cP (Centipoise): 1 cP = 0,001 kg/m.s
Viscosidade cinemática:
UNIDADES
m²/s (S.I.)
St (Stokes): 1 St = 10-4 m²/s
cSt (Centistoke): 1 cSt = 10-6 m²/s
PRESSÃO:
Embora a pressão não seja uma propriedade do fluido, e sim uma condição, seu conceito e a quantidade de unidades adotadas na Engenharia
fazem valer mencioná-la aqui.
Antes de falar de pressão, vamos relembrar de uma grandeza física parecida: a tensão normal (
μ ρ
ν =
μ
ρ
p
σ
), que representa a força aplicada por unidade de área (
). Trata-se de uma grandeza vetorial, pois tem direção e sentido, além da intensidade (módulo).
Em uma partícula, que podemos representar como um prisma infinitesimal, pode haver uma tensão normal com valor diferente para cada face,
conforme mostra a imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Tensões normais em uma partícula fluida
A pressão, por sua vez, é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ela constitui, então, uma grandeza escalar, ou seja, tem apenas um valor para cada partícula. A pressão também pode ser calculada pela média
das tensões normais nas três direções (
,
e
):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outro detalhe importante é que a tensão normal tem referencial de tração, ou seja, é positiva quando a superfície está sendo “puxada”. Para a
pressão, é o contrário: Um valor positivo significa compressão. Como fluidos não resistem à tração (eles se separam se tracionados), a pressão
passa a ser uma grandeza mais adequada para avaliar a condição dos fluidos, pois estão sempre comprimidos.
σ = d →F /dA
p =
dF
dA
x
y
z
p =
σx + σy + σz
3
UNIDADES
N/m²
1 N/m² = 1 Pa (Pascal)
mca (metro de coluna d’água)
1 mca = 9,81 kPa
kgf/cm²
1 kgf/cm² 98,1 kPa
bar
1 bar = 100 kPa
atm
1 atm = 101,32 kPa
psi (pound per square inch)
1 psi = 6,89 kPa
mmHg
1 mmHg = 133,32 Pa
 SAIBA MAIS
Muitos engenheiros dizem, simplificadamente, “quilos” para se referir a kgf/cm². Portanto, se você ouvir que a pressão de projeto deve ser de “8
quilos”, não pense em uma balança, pois o valor é 8 kgf/cm².
Os manômetros são instrumentos que medem a pressão e indicam a diferença entre a pressão (absoluta) (
) no interior da tubulação ou reservatório e a pressão no ambiente externo (
). Por isso, chamamos de pressão manométrica (
), calculada por:
→
→
→
→
→
→
→
p
pamb
pm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Normalmente, o ambiente externo é a atmosfera padrão. Portanto:
.
 SAIBA MAIS
A letra “g”, colocada após a unidade da pressão, refere-se a gauge, o que significa pressão manométrica, assim como a letra “a” remete à pressão
absoluta. Por exemplo, se você ler em um relatório de inspeção que a pressão medida foi de 5,2 kgf/cm²g, significa que essa é a pressão
manométrica.
TEORIA NA PRÁTICA
OS DISCOS RÍGIDOS OU HARD DRIVES (HDS) SÃO DISPOSITIVOS DE
ARMAZENAMENTO UTILIZADOS EM COMPUTADORES.
Foto: Shutterstock.com
CONSIDERE QUE O DISCO TENHA DIÂMETRO DE 2,5”, QUE GIRE A 500 ROTAÇÕES
POR SEGUNDO, E QUE HAJA UMA FOLGA DE 1MM ENTRE CADA UMA DE SUAS
SUPERFÍCIES (SUPERIOR E INFERIOR) E AS FACES INTERNAS DA CAIXA,
PREENCHIDA COM AR À TEMPERATURAAMBIENTE (24°C).
pm = p − pamb
pamb = patm
CONSIDERANDO TODAS AS SIMPLIFICAÇÕES NECESSÁRIAS, CALCULE O
TORQUE REQUERIDO PARA MANTER O DISCO GIRANDO.
QUAL A POTÊNCIA REQUERIDA PARA MANTER O DISCO GIRANDO?
QUAL A CONSEQUÊNCIA DO AUMENTO DA TEMPERATURA PARA A
VISCOSIDADE DE GASES?
RESOLUÇÃO
O EFEITO DA VISCOSIDADE NA RESISTÊNCIA AO MOVIMENTO
MÃO NA MASSA
O QUE É ESTUDADO EM FENÔMENOS DE TRANSPORTE (FENTRAN)?
A) A capacidade de fluxo em diferentes modais de transporte, como o rodoviário, ferroviário e aquaviário.
B) Os fenômenos decorrentes do transporte de partículas sólidas, como o carregamento de grãos e areia em vagões e caminhões.
C) A transferência de quantidade de movimento, energia térmica e massa.
D) O fluxo de tensões em estruturas como edifícios e pontes.
E) Os fenômenos decorrentes da transferência de dados em fibra óptica e ondas eletromagnéticas.
QUAL SUBSTÂNCIA TEM COMPORTAMENTO AMBÍGUO ENTRE SÓLIDO E FLUIDO?
A) Água
B) Ar
C) Aço
D) Vidro
E) Espuma
QUAL DOS EXEMPLOS A SEGUIR CORRESPONDE À REPRESENTAÇÃO LAGRANGIANA?
A) Termômetro fixado em uma tubulação de gás
B) Sonda lançada em uma adutora
C) Medidor ultrassônico de vazão
D) Manômetro
E) Detector de fumaça
QUAL DAS UNIDADES A SEGUIR PODE SER UTILIZADA PARA VISCOSIDADE?
A) kg/m
B) Pa
C) m.kg/s
D) Pa.s
E) m/s²
QUAL DAS ALTERNATIVAS A SEGUIR REPRESENTA O FLUIDO DE MENOR VISCOSIDADE?
A) Água congelada
B) Ar a 60°C
C) Água a 20°C
D) Ar a 0°C
E) Água a 90°C
UM FLUIDO OCUPA UM VOLUME DE 1,5M³, E SUA MASSA É 3.000KG. DETERMINE SUA MASSA ESPECÍFICA:
A) 1.000 kg/m³
B) 1
C) 2.000 kg/m³
D) 500 kg/m³
E) 2
GABARITO
O que é estudado em Fenômenos de Transporte (FENTRAN)?
A alternativa "C " está correta.
A disciplina FENTRAN se refere ao transporte decorrente do movimento de fluidos (transporte de quantidade de movimento), da transferência de
energia térmica (transporte de calor) e de massa.
Qual substância tem comportamento ambíguo entre sólido e fluido?
A alternativa "D " está correta.
O vidro tem um comportamento peculiar, pois escoa muito lentamente, levando muitos anos para que se observe a evolução da deformação
decorrente da tensão cisalhante aplicada. Portanto, analisando-os em um curto prazo, os vidros são classificados como sólidos, mas, a longo
prazo, têm um comportamento de fluido.
Qual dos exemplos a seguir corresponde à representação lagrangiana?
A alternativa "B " está correta.
Na representação lagrangiana, o referencial de coordenadas acompanha a matéria (fluido), enquanto, na euleriana, permanece fixo no espaço.
Assim, a única alternativa que se enquadra na definição lagrangiana é a “sonda lançada em uma adutora”, que será levada junto com o fluido,
realizando as medições (como, por exemplo, temperatura e pressão) das partículas próximas que a acompanham.
Qual das unidades a seguir pode ser utilizada para viscosidade?
A alternativa "D " está correta.
O QUE É VISCOSIDADE E QUAIS SÃO SUAS UNIDADES USUAIS?
Qual das alternativas a seguir representa o fluido de menor viscosidade?
A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, devemos excluir a água congelada (gelo), pois não se trata de um fluido, mas sim de um sólido. Entre os restantes, temos água e
ar. A viscosidade de gases é muito inferior à viscosidade de líquidos devido à maior distância e, consequentemente, à interação entre moléculas.
Resta decidir entre ar a 0°C e 60°C.
Em líquidos, o aumento da temperatura causa diminuição da viscosidade, enquanto, em gases, o efeito é o contrário. Portanto, um gás (nesse
caso, ar) com maior temperatura terá maior viscosidade.
Um fluido ocupa um volume de 1,5m³, e sua massa é 3.000kg. Determine sua massa específica:
A alternativa "C " está correta.
A massa específica é definida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ρ = = = 2000 kg/m³m
V
3000
1,5
EM UMA ATIVIDADE DE LABORATÓRIO, SEU GRUPO VERIFICOU COM UMA BALANÇA DE PRECISÃO QUE A
QUANTIDADE DE GASOLINA QUE PREENCHEU UM RECIPIENTE DE 25ML PESAVA 17G. QUAL É A MASSA
ESPECÍFICA DESSA AMOSTRA DE GASOLINA, NO S.I.?
A) 0,680 kg/m³
B) 0,340 g/mL
C) 340 kg/m³
D) 0,680 g/mL
E) 680 kg/m³
(PETROBRAS - ENGENHEIRO DE PETRÓLEO - 2012)
USANDO UM DINAMÔMETRO, VERIFICA-SE QUE UM CORPO DE DENSIDADE
E DE VOLUME
POSSUI UM PESO QUE É O TRIPLO DO “PESO APARENTE” QUANDO COMPLETAMENTE MERGULHADO EM UM
LÍQUIDO DE DENSIDADE
. QUAL A RAZÃO
?
A) 1/6
B) 1/3
C) 1
D) 2/3
E) 3/2
GABARITO
Em uma atividade de laboratório, seu grupo verificou com uma balança de precisão que a quantidade de gasolina que preencheu um
recipiente de 25mL pesava 17g. Qual é a massa específica dessa amostra de gasolina, no S.I.?
A alternativa "E " está correta.
A massa específica de um material é calculada pela razão massa por volume:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A massa medida é 17 g, que, convertida para o S.I., corresponde a:
dC
V = 1, 0 litro
dL
dC/dL
ρ = m
V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O volume medido é :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(Petrobras - Engenheiro de Petróleo - 2012)
Usando um dinamômetro, verifica-se que um corpo de densidade
e de volume
possui um peso que é o triplo do “peso aparente” quando completamente mergulhado em um líquido de densidade
. Qual a razão
?
A alternativa "E " está correta.
A massa específica do corpo será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E pode ser substituída pela definição de densidade
:
m = 0, 017 ⋅ 10−3 kg = 0, 017 kg
V = 25 mL = 25 ⋅ 10−3 L
V = 25 ⋅ 10−3 dm3 = 25 ⋅ 10−3 ⋅ (10−1)
3
 m3 = 25 ⋅ 10−6 m3
ρ = = 680 kg/m3
0, 017
25 ⋅ 10−6
dC
V = 1, 0 litro
dL
dC/dL
ρC = = =
mC
V
P/g
1
P
g
dC = ρC/ρágua → ρC = dCρágua
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O peso aparente (
) será o peso medido pelo dinamômetro quando o corpo está mergulhado, ou seja, o peso real (
) descontado do empuxo (
):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com o enunciado,
. Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como V = 1 L:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando as equações (i) e (ii):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
dCρágua = → P = dCρáguag (i)
P
g
P ′
P
E
P ′ = P − E = P − ρLg V = P − dLρáguag V
P = 3P ′
= P − dLρáguag V → P = dLρáguag V
P
3
2
3
→     P = dLρáguag       (ii)
3
2
dCρáguag = dLρáguag → =
3
2
dC
dL
3
2
 Aplicar métodos de análise dimensional e semelhança para cálculo de estimativas
SIMPLIFICANDO PROBLEMAS E EXPANDINDO HORIZONTES
GRUPOS ADIMENSIONAIS
O conteúdo deste módulo é adotado para resolução de muitos problemas, não só em FENTRAN, mas em diversas disciplinas de Engenharia.
Com esse conhecimento, podemos simplificar a análise dos fenômenos e extrapolar resultados para condições além daquelas em que há dados
disponíveis.
A análise do escoamento, da transferência de calor e de massa pode envolver cálculos complexos, normalmente com equações diferenciais
parciais que não têm solução analítica para condições reais.
Já os grupos adimensionais podem nos dizer muito sobre o fenômeno estudado, de maneira muito prática e simples, e até ajudar na solução de
problemas. Eles são formados pela combinação de grandezas dimensionais, de modo que o resultado não tenha unidade.
Abordaremos, a seguir, os principais adimensionais utilizados em FENTRAN.
NÚMERO DE REYNOLDS (
)
É o adimensional mais conhecido de FENTRAN, relevante em quase todos os tópicos dessa disciplina. O número de Reynolds (Re) é definido
como a razão entre forças de inércia e forçasviscosas e calculado por:
Re
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
= massa específica
= velocidade do escoamento
= dimensão de referência (por exemplo, largura ou comprimento)
= viscosidade dinâmica
A força inercial, proporcional a
, representa a tendência que o fluido tem de manter sua velocidade, enquanto a força viscosa, proporcional a
, representa o que procura resistir ao escoamento. Portanto, quanto menor o denominador (viscosidade), maior é o valor de
e menos “controlado” é o escoamento. Esse é o caso dos escoamentos turbulentos, ao contrário dos laminares.
Então, para que valor de
há uma mudança no comportamento do escoamento?
Depende do tipo de escoamento ao qual estamos nos referindo. O escoamento no interior de tubulações é um dos fenômenos de maior interesse
na Engenharia. O número de Reynolds auxilia na escolha e no cálculo das equações utilizadas para prever a perda de pressão que o fluido sofre
ao longo do duto.
tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:
Classificação Imagem
< 2300
Laminar
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
2300 <
< 4000
Transição
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
4000 < Turbulento
Re =
ρV L
μ
ρ
V
L
μ
ρVL
ν
Re
Re
Re
Re
Re
Re
Classificação Imagem
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento no interior de tubulações.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento e Gabriel Burlandy Mota de Melo
Quando um fluido atravessa, transversalmente, um sólido (como, por exemplo, a corrente oceânica em um duto submarino), pode ocorrer o
desprendimento de vórtices (recirculações do escoamento), que, por sua vez, tendem a ocasionar a vibração do corpo. O número de Reynolds
nos permite verificar se há susceptibilidade de desprendimento de vórtices, além do cálculo da força de arrasto.
A tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:
Classificação Imagem
< 40
Esteira laminar e permanente
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
40 <
< 150
Esteira laminar e periódica
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
150 <
< 300
Transição
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
300 <
Esteira turbulenta
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento ao redor de cilindros.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento e Gabriel Burlandy Mota de Melo
NÚMERO DE EULER (
)
Re
Re
Re
Re
Re
Re
Eu
Quando um fluido incide, perpendicularmente, uma superfície sólida, a velocidade
(energia cinética) é convertida em acréscimo de pressão (
) pela relação
. Em outros termos, esse é o máximo incremento de pressão que pode ocorrer em um escoamento, desconsiderando a gravidade.
O número de Euler (
) representa a razão entre o incremento de pressão, até determinado ponto, e o máximo valor que ele pode ter, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
= diferença entre a pressão local e a pressão na corrente livre (afastado da superfície sólida)
= massa específica
= velocidade do escoamento
NÚMERO DE FROUDE (
)
O número de Froude (
) é definido pela razão entre forças de inércia e gravitacionais, sendo calculado por:
V
Δp
Δp = ρV 2
1
2
Eu
Eu =
Δp
ρV 212
Δp = p −  p0
ρ
V
Fr
Fr
Fr =  
V
√gL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
= velocidade do escoamento
= dimensão característica (como, por exemplo, a profundidade de canais e o comprimento de navios)
= gravidade
O valor de
tem relevância em escoamentos em que a gravidade exerce influência significativa, como em rios, em ondas e ao redor de navios.
O número de Froude é utilizado para classificar o escoamento em canais, conforme a tabela a seguir:
Classificação
< 1 Subcrítico ou fluvial
= 1 Crítico
> 1 Supercrítico ou torrencial
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Froude.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Essa classificação é importante para prever diversos aspectos do comportamento do escoamento. Na transição de um escoamento torrencial (
) para fluvial (
), ocorre um fenômeno chamado ressalto hidráulico, conforme ilustra a imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Ressalto hidráulico
NÚMERO DE WEBER (
V
L
g
Fr
Fr
Fr > 1
Fr < 1
We
)
O número de Weber (
) é definido pela razão entre forças de inércia e de tensão superficial, sendo calculado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
= massa específica
= velocidade do escoamento
= dimensão característica
= tensão superficial
O valor de
indica se a tensão superficial tem influência significativa no escoamento e é relevante quando é da ordem de grandeza de 1 (100) ou menos.
Foto: PxHere/Creative Commons Zero (CC0) license
 Ondas com influência da tensão superficial
Se você reduzir demais o tamanho do modelo físico (
), a tensão superficial passa a exercer uma influência que não há no tamanho original. Consequentemente, o modelo não representará, de forma
adequada, o protótipo.
We
We =
ρV 2L
Γ
ρ
V
L
Γ
We
L
NÚMERO DE MACH (
)
É definido pela razão entre forças de inércia e de compressibilidade. Conforme vimos em adimensionais anteriores, sabemos que a inércia é
proporcional à velocidade
. A compressibilidade, por sua vez, está relacionada à velocidade do som (
), que nada mais é do que uma onda de pressão que propaga por compressão de dilatação do fluido. Portanto, o número de Mach é equivalente à
razão entre
e
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O escoamento pode ser classificado com base no valor de
, conforme a tabela a seguir:
Classificação
< 1 Escoamento subsônico
= 1 Barreira do som
> 1 Escoamento supersônico
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Mach
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Escoamentos supersônicos, como em aviões a jato, apresentam uma complexidade maior para sua análise, pois os efeitos de compressibilidade
devem ser considerados nos cálculos. A imagem a seguir ilustra esses tipos de escoamentos:
Ma
V
c
V
c
Ma =
V
c
Ma
Ma
Imagem: Rchisena92/Wikimedia Commons/Licença (CC BY-SA 3.0)
 Escoamento subsônico (subsonic) e supersônico (supersonic)
COEFICIENTE DE ARRASTO E SUSTENTAÇÃO (
E
)
É definido pela razão entre forças de arrasto ou sustentação (
ou
) e forças inerciais, sendo calculado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
e
= força de arrasto (drag) e de sustentação (lift)
= massa específica
= velocidade do escoamento
CD
CL
FD
FL
CD/L =  
FD/ L
ρV 2A1
2
FD
FL
ρ
V
A
= área de referência
Os coeficientes de arrasto e sustentação são muito úteis, por exemplo, quando há dados na literatura para seus valores sob determinada
condição, como escoamento ao redor de uma esfera. Nesse caso, basta explicitar a força das equações e calcular.
A área a ser considerada como referência varia com as características do problema. Quando o arrasto causado pela força de pressão é mais
significativo, utiliza-se a área de projeção frontal. Se a força de “atrito” (cisalhante) é preponderante, adota-se a área que inclua a superfície ao
longo da qual a tensão é aplicada, como a área planiforme (vista superior) da asa de avião. A imagem a seguir apresenta essas áreas de
referência:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Área frontal para cálculo do arrasto
ANÁLISE DIMENSIONAL
Imagine que você quer desenvolver um gráfico ou ábaco que forneçaa força de arrasto (
) em um corpo com determinada geometria, como, por exemplo, um novo equipamento que deve ser anexado ao casco de um submarino. Devido
à complexidade do fenômeno (escoamento turbulento), é provável que utilize um modelo físico reduzido: Uma reprodução simplificada do
problema em laboratório.
ÁBACO
Instrumento que permite substituir cálculos numéricos por cálculos gráficos.
Primeiramente, devemos avaliar as grandezas dimensionais que influenciarão no resultado. Devemos considerar a velocidade do escoamento (
), a massa específica e a viscosidade do fluido (
e
), e a dimensão de referência da geometria (
FD
V
ρ
μ
javascript:void(0)
). Desejamos, então, obter a grandeza de interesse a partir das demais:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se você deseja que seu gráfico tenha uma boa abrangência de possibilidades, é razoável assumirmos 10 valores diferentes para cada parâmetro
de entrada (
,
e fluido). Então, serão 10 x 10 x 10 = 1000 testes! O estagiário teria de morar no laboratório.
Para contornar isso, existe um método que reduz a quantidade de variáveis e, consequentemente, de testes necessários, conforme veremos a
seguir.
TEOREMA PI DE BUCKINGHAM
Seja um fenômeno que envolve
variáveis dimensionais (
), em que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com o Teorema Pi de Buckingham, é possível reduzir o número de variáveis dimensionais (
) a um número menor (
) de variáveis (grupos) adimensionais
:
L
FD = FD(L,  V ,  ρ,μ)
L
V
n
ui
G (u1,  u2,   … ,  un) = 0
n
k
πi
g (Π1, Π2,   … , Πk) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é o número mínimo de grandezas básicas – como, por exemplo, comprimento (
), massa (
), tempo (
) e temperatura (
) – necessário para formar as grandezas de todas as variáveis (
).
A metodologia pode ser descrita pelos passos a seguir:
1
Listar as grandezas dimensionais envolvidas (
)
Expressar cada uma delas em função das dimensões básicas. A velocidade, por exemplo, é definida como comprimento pelo tempo (
).
2
3
Determinar o número
de termos
necessários:
k  =  n  −  r
r
L
M
T
θ
ui
ui
L/T
k
Πs
.
Obter os
, escolhendo como
aquele que contém a variável de interesse.
4
5
Expressar o resultado como uma função dos demais adimensionais:
.
Agora, vamos voltar ao problema exemplificado da força de arrasto, seguindo esses passos. Já fizemos a listagem das grandezas dimensionais
(primeiro passo), contabilizando
(
,
,
,
e
).
Na tabela a seguir, realizaremos o segundo passo:
Grandeza dimensional Descrição pelas grandezas básicas
k = n − r
Πs
Π1
Π1 = f (Π2, … , Πk)
n = 5
FD
L
V
ρ
μ
FD ML/T 2
L L
V L/T
Grandeza dimensional Descrição pelas grandezas básicas
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Expressão das grandezas dimensionais em função das dimensões básicas
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento
Aqui, percebemos que a quantidade r de grandezas básicas necessárias é 3 (
,
e
). Então, a quantidade de adimensionais necessários será:
.
O próximo passo consiste em formar os dois adimensionais (
) a partir das grandezas dimensionais. Por praticidade, escolheremos os
a partir dos adimensionais mais conhecidos.
Observamos, rapidamente, que os adimensionais mais oportunos são o coeficiente de arrasto e o número de Reynolds. Como
, devemos escolher o que possui a variável dependente (de interesse), que é
. Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que substituímos a área A, do coeficiente de arrasto
, por
, pois ambos têm a mesma dimensão (comprimento ao quadrado).
ρ M/L3
μ M/LT
M
L
T
k = 5 − 3 = 2
Πs
Πs
Π1
FD
⎧⎪
⎨
⎪⎩
Π1 = CD =
Π2 = Re =
FD
ρV L2
1
2
ρV L
μ
CD
L2
Por fim, expressaremos por
, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, na formulação anterior, realizaríamos 1000 testes para variar 10 vezes cada parâmetro de entrada. Agora, temos um
parâmetro de entrada (
), e são necessários apenas 10 testes. O estagiário agradece!
Outra vantagem dessa metodologia é mostrar do que o resultado será dependente. No exemplo demonstrado, o coeficiente de arrasto (
) é função do número de Reynolds (
). Então, basta construir um gráfico
versus
, a partir dos resultados do experimento, para obter o que desejávamos desde o início: Um gráfico que pudesse ser utilizado para obter
em diversas condições.
Esse gráfico já existe na literatura para diversas geometrias como esfera, conforme mostra a imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Gráfico do coeficiente de arrasto (
) versus número de Reynolds (
) para uma esfera lisa
Π1 = f (Π2, … , Πk)
CD = f (Re)     →      = f ( )
FD
ρV L212
ρV L
μ
Re
CD
Re
CD
Re
FD
CD
Re
O procedimento final é: Calcule
de seu problema, obtenha
pelo gráfico e, por fim, calcule
a partir de
. São cálculos bastante simples para obter o resultado de um fenômeno complexo. Todavia, lembre-se de que isso só ajudará se você tiver o
gráfico.
 ATENÇÃO
O Teorema Pi de Buckingham auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione as variáveis, reduzindo a quantidade de repetições
necessárias, mas depende de dados experimentais.
TEORIA DA SEMELHANÇA
Muitas vezes, precisamos saber como se comportará um fenômeno, cujas dimensões ou características inviabilizam reproduzi-lo em condições de
projeto ou protótipo. Uma alternativa amplamente empregada na Engenharia é a utilização de modelos físicos em laboratório, que podem ter não
apenas a escala reduzida, mas também outras condições diferentes, como o fluido utilizado (por exemplo, se o fluido de projeto é perigoso ou
caro).
Mas, se medirmos a grandeza física de interesse no modelo, como saberemos qual seria o valor de protótipo necessário para o
desenvolvimento do projeto?
Para isso, aplicamos a Teoria da Semelhança, ilustrada na imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Relação entre modelo e protótipo – semelhança
O emprego da semelhança amplifica a aplicabilidade dos resultados experimentais, com base nos seguintes passos:
PASSO 1
Aplique a análise dimensional para determinar os
, lembrando que
é o grupo adimensional que possui a variável a ser medida (dependente).
PASSO 2
Seja
Re
CD
FD
CD
Πs
Π1
Πi
o grupo adimensional correspondente ao protótipo e
, ao modelo.
PASSO 3
Faça com que, a partir do segundo, os adimensionais do modelo sejam iguais ao do protótipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa condição é obtida durante o planejamento do experimento, quando determinamos a dimensão, a velocidade, o fluido etc.
PASSO 4
Se a condição anterior é garantida, a semelhança é dita completa e, consequentemente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que o
é o que contém a variável de interesse – por exemplo, força de arrasto (
). Isso significa que a medição feita no modelo pode ser utilizada para calcular o
e, por fim, o valor da variável de protótipo.
Exemplo
Você está planejando medir a força de arrasto da água em uma peça do sonar a ser instalado na parte externa do submarino nuclear brasileiro. O
teste será feito em laboratório, em um canal de corrente que comporta um modelo reduzido na escala 1:2. Considere que será utilizado o mesmo
fluido (água do mar) e na mesma temperatura.
Qual deve ser a velocidade aplicada no tanque de corrente para que haja semelhança completa ao submarino navegando a 12m/s?
Qual será a força de resistência (arrasto) adicionada ao submarino se a medida no modelo reduzido é 250N?
SOLUÇÃO
A partir da análise dimensional, o que fizemos no tópico anterior foi:
Πim
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
Π2m = Π2
Π3m = Π3
⋯
Πkm = Πk
Π1 =  Π1m
Π1
FD
Π1m
javascript:void(0) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para haver semelhança completa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluido e a temperatura do modelo são os mesmos do protótipo, as propriedades (
e
) também serão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a escala é de 1:2,
, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a condição necessária para que haja a semelhança completa neste problema. De acordo com a Teoria da Semelhança, teremos:
Π1 = CD
Π2 = Re
Π2m = Π2  →    Rem = Re    →    =
ρmVmLm
μm
ρV L
μ
ρ
μ
VmLm = VL  →      Vm = V ( )
L
Lm
L/Lm = 2
Vm = 12 (2) = 24 m/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a fórmula de
e substituindo
por
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
UM GRUPO DE ESTUDANTES ESTÁ DESENVOLVENDO UMA TURBINA EÓLICA DE
5,0 KW. O LOCAL ONDE SERÁ INSTALADA TEM VELOCIDADE DE VENTO MÉDIA DE
5M/S.
Π1 = Π1m    →         CD = CDm 
CD
A
L2
  =
FD
ρV 2L212
FDm
ρmV
2
mL
2
m
1
2
→     =        →             FD = FDm( )
2
( )
2
FD
V 2L2
FDm
V 2mL
2
m
V
Vm
L
Lm
FD = 250( )
2
(2)
2
= 250 N
12
24
APÓS DIVERSAS ANÁLISES EM COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS (CFD), OU
FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL, O GRUPO DECIDE VALIDAR OS RESULTADOS
OBTIDOS ATÉ ENTÃO, TESTANDO O DESENHO ELABORADO COM UM MODELO
REDUZIDO EM TÚNEL DE VENTO, QUE TEM TAMANHO SUFICIENTE PARA TESTAR
UM MODELO REDUZIDO COM 1:5 DO TAMANHO DO PROTÓTIPO (ESCALA DE
PROJETO). FOI ADOTADA A MESMA VELOCIDADE DE ROTAÇÃO (
).
Foto: Shutterstock.com
CONSIDERANDO QUE, ALÉM DAS VARIÁVEIS JÁ MENCIONADAS, A MASSA
ESPECÍFICA DO AR TAMBÉM É RELEVANTE PARA A ANÁLISE:
QUAIS OS ADIMENSIONAIS NECESSÁRIOS PARA ANÁLISE DO REFERIDO
FENÔMENO FÍSICO?
PARA QUE HAJA SEMELHANÇA COMPLETA, QUAL DEVE SER A VELOCIDADE
NO TÚNEL DE VENTO?
RESOLUÇÃO
MODELO REDUZIDO APLICADO PARA ENERGIA EÓLICA
ω
MÃO NA MASSA
QUAL DOS ADIMENSIONAIS A SEGUIR CORRESPONDE A UMA RELAÇÃO ENTRE FORÇAS INERCIAIS E FORÇAS
VISCOSAS?
A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
C)
D)
E)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
EM UM PROBLEMA EM QUE AS GRANDEZAS DIMENSIONAIS RELEVANTES SÃO
,
,
,
E
Eu = Δp/(0, 5ρV 2)
Fr = V /√gL
Re = ρV L/μ
We = ρV 2L/σ
CD = FD/(0, 5ρV
2A)
ρ
μ
V
L
, DE ACORDO COM O TEOREMA PI DE BUCKINGHAM, QUANTOS ADIMENSIONAIS SÃO NECESSÁRIOS?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
QUAL DOS ADIMENSIONAIS A SEGUIR CORRESPONDE A UMA RELAÇÃO ENTRE FORÇA INERCIAL E FORÇA
GRAVITACIONAL?
A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
C)
D)
E)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
QUANTOS ADIMENSIONAIS SÃO NECESSÁRIOS PARA AVALIAR A PERDA DE PRESSÃO CAUSADA POR UMA
VÁLVULA?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
PARA O PROBLEMA DA QUESTÃO ANTERIOR (PERDA DE CARGA EM UMA VÁLVULA), QUAL(IS) É (SÃO) O(S)
ADIMENSIONAL(IS) NECESSÁRIO(S)?
F
Eu = Δp/(0, 5ρV 2)
Fr = V /√gL
Re = ρV L/μ
We = ρV 2L/σ
CD = FD/(0, 5ρV
2A)
A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
SE O EXPERIMENTO FOR REALIZADO EM ESCALA 1:10 COM O MESMO FLUIDO, NA MESMA PRESSÃO E
TEMPERATURA, QUAL DEVE SER A RAZÃO ENTRE A VELOCIDADE DO ESCOAMENTO DE MODELO PARA O
PROTÓTIPO, CONSIDERANDO SEMELHANÇA COM O NÚMERO DE REYNOLDS?
A) 10
B) 0,1
C) 2
D) 0,5
E) 1
GABARITO
Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre forças inerciais e forças viscosas?
A alternativa "C " está correta.
Ao analisarmos a alternativa C (número de Reynolds), observamos que há a divisão de
  ,          e     
Δp
0, 5ρV 2
V
√gL
ρVD
μ
  e  
V
√gL
Δp
0, 5ρV 2
Δp
0, 5ρV 2
   e   
Δp
0, 5ρV 2
ρVD
μ
ρVD
μ
ρVL
por
. O primeiro (
) pode ser interpretado pelo produto entre “massa” e velocidade, o que remete à inércia, enquanto o segundo (
) é a viscosidade do fluido, diretamente relacionado à força viscosa. Portanto, nesse adimensional, há a divisão entre força inercial e força viscosa.
Em um problema em que as grandezas dimensionais relevantes são
,
,
,
e
, de acordo com o Teorema Pi de Buckingham, quantos adimensionais são necessários?
A alternativa "B " está correta.
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será
, em que
é a quantidade de grandezas dimensionais, e
é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais
grandezas.
No problema em questão, temos
grandezas dimensionais, que podem ser formadas com
grandezas básicas (comprimento, massa e tempo). Portanto, a quantidade de adimensionais será
.
Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre força inercial e força gravitacional?
A alternativa "B " está correta.
Ao analisarmos a alternativa B (número de Froude), observamos que é a divisão entre a velocidade, diretamente relacionada com a inércia
(quantidade de movimento), e a raiz da gravidade. Esse adimensional é relevante em problemas em que a gravidade tem influência no
comportamento do fluido, como escoamentos com superfície livre (como, por exemplo, rios).
Quantos adimensionais são necessários para avaliar a perda de pressão causada por uma válvula?
A alternativa "B " está correta.
μ
ρVL
μ
ρ
μ
V
L
F
k = n − r
n
r
n = 5
r = 3
k = 5 − 3 = 2
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será
, em que
é a quantidade de grandezas dimensionais, e
é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais
grandezas. No problema em questão, são relevantes as seguintes variáveis dimensionais:
Perda de pressão (
);
Velocidade ou vazão de escoamento (
ou
);
Diâmetro de conexão da válvula (
);
Massa específica do fluido (
);
Viscosidade do fluido (
).
Portanto, temos
grandezas dimensionais, que podem ser formadas com
grandezas básicas (comprimento, massa e tempo). Logo, a quantidade de adimensionais será
.
Para o problema da questão anterior (perda de carga em uma válvula), qual(is) é (são) o(s) adimensional(is) necessário(s)?
A alternativa "D " está correta.
APLICANDO A ANÁLISE DIMENSIONAL NA HIDRÁULICA
k = n − r
n
r
Δp
V
Q
D
ρ
μ
n = 5
r = 3
k = 5 − 3 = 2
Se o experimento for realizado em escala 1:10 com o mesmo fluido, na mesma pressão e temperatura, qual deve ser a razão entre a
velocidade do escoamento de modelo para o protótipo, considerando semelhança com o número de Reynolds?
A alternativa "A " está correta.
Para que haja semelhança completa, todos os adimensionais devem ter o mesmo valor no modelo e protótipo. Portanto, baseando-se no número
de Reynolds:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluido é o mesmo e na mesma pressão e temperatura, temos
e
. Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Rem = Rep
→   =
ρmVmLm
μm
ρpVpLp
μp
ρm = ρp
μm = μp
VmLm = VpLp →    = = = 10
Vm
Vp
Lp
Lm
10
1
PARA O CÁLCULO DA PERDA DE PRESSÃO POR COMPRIMENTO (
), CAUSADA PELA TENSÃO CISALHANTE COM AS PAREDES AO LONGO DE UM TUBO, SÃO NECESSÁRIOS
COMO DADOS DE ENTRADA:O DIÂMETRO DO TUBO (
);
A VELOCIDADE MÉDIA DO ESCOAMENTO (
);
A MASSA ESPECÍFICA (
);
A VISCOSIDADE DO FLUIDO (
);
A RUGOSIDADE DA PAREDE DO TUBO (
).
QUAL DAS ALTERNATIVAS A SEGUIR APRESENTA UM CONJUNTO MÍNIMO DE ADIMENSIONAIS SUFICIENTE
PARA A ANÁLISE DIMENSIONAL?
A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ΔpL
D
V
ρ
μ
ε
;   ;    ;   
εV ρ
μ
Δp
0, 5ρV 2
ε
D
ρVD
μ
;    ;   
Δp
0, 5ρV 2
ε
D
ρVD
μ
;   
Δp
0, 5ρV 2
ρVD
μ
C)
D)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
A FORÇA DE ARRASTO SOBRE UM MODELO DE AVIÃO EM ESCALA 1:20 MEDIDA EM LABORATÓRIO FOI DE
1,5N PARA UMA VELOCIDADE DE 50M/S. QUAL SERÁ A FORÇA SOBRE O PROTÓTIPO A 100M/S,
CONSIDERANDO QUE A PRESSÃO E A TEMPERATURA SERÃO AS MESMAS?
A) 120N
B) 30N
C) 2,4kN
D) 3,0N
E) 600N
GABARITO
Para o cálculo da perda de pressão por comprimento (
), causada pela tensão cisalhante com as paredes ao longo de um tubo, são necessários como dados de entrada:
O diâmetro do tubo (
);
A velocidade média do escoamento (
);
A massa específica (
);
A viscosidade do fluido (
);
;     ;     
V
√gD
Δp
0, 5ρV 2
ρVD
μ
;   
Δp
0, 5ρV 2
ε
D
ΔpL
D
V
ρ
μ
A rugosidade da parede do tubo (
).
Qual das alternativas a seguir apresenta um conjunto mínimo de adimensionais suficiente para a análise dimensional?
A alternativa "B " está correta.
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será
, em que
é a quantidade de grandezas dimensionais, e
é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais
grandezas.
No problema em questão, temos
(
,
,
,
,
e
), que podem ser formadas com
(comprimento, massa e tempo). Portanto:
. Entre as alternativas apresentadas, a única que possui 3 adimensionais, todos formados apenas com as variáveis envolvidas no problema, é a
letra B.
A força de arrasto sobre um modelo de avião em escala 1:20 medida em laboratório foi de 1,5N para uma velocidade de 50m/s. Qual será
a força sobre o protótipo a 100m/s, considerando que a pressão e a temperatura serão as mesmas?
A alternativa "C " está correta.
Contemplando a variável de interesse, ou seja, a força de arrasto (
), o adimensional mais conhecido é:
ε
k = n − r
n
r
n = 6
ΔpL
D
V
ρ
μ
ε
r = 3
k = 6 − 3 = 3
FD
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O adimensional com a variável de interesse deve ter o mesmo valor para modelo e protótipo. Portanto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a pressão e a temperatura são as mesmas, também será a massa específica (
):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a razão entre áreas é igual à razão entre o quadrado do comprimento de referência (
):
CD =
FD
0, 5ρV 2A
CDp = CDm
=
FDp
0, 5ρpV
2
p Ap
FDm
0, 5ρmV
2
mAm
ρp = ρm
=
FDp
V 2p Ap
FDm
V 2mAm
→    FDp = FDm( )
2
( )
Vp
Vm
Ap
Am
L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Identificar a resolução de problemas com fluidos em condição estática
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM FLUIDO ESTÁTICO
FLUIDO ESTÁTICO
Neste módulo, estudaremos o fluido quando ele se encontra imóvel (estático). Apesar de ser uma particularização expressiva, pois quase sempre
os fluidos têm algum movimento, ainda assim, há uma grande variedade de situações na Engenharia em que essa simplificação é válida.
Ao calcular a pressão da água do mar em determinada profundidade, por exemplo, sabemos que há correnteza e ondas, mas essa hidrodinâmica
tem efeito desprezível nas profundidades em que, normalmente, queremos calcular a pressão. Portanto, podemos considerar que a água do mar
está parada. O mesmo ocorre em barragens, aquários e eclusas.
ECLUSAS
Pequeno canal em águas onde há grandes desníveis a fim de possibilitar a descida ou a subida de embarcações.
 Fonte: Dicionário Houaiss eletrônico da língua portuguesa.
FDp = FDm( )
2
( )
2
Vp
Vm
Lp
Lm
→   FDp = 1, 5( )
2
( )
2
= 2, 4 kN
100
50
20
1
javascript:void(0)
PRESSÃO MANOMÉTRICA, PRESSÃO ATMOSFÉRICA E PRESSÃO
ABSOLUTA
Como já vimos no módulo 1, os manômetros informam a pressão manométrica (ou relativa) (p_m), que é definida por:
Equação 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
= pressão absoluta (real)
= pressão do ambiente, ou seja, pressão do meio externo
A pressão ambiente corresponde, normalmente, à pressão atmosférica (
), cujo valor varia ao longo da altitude, conforme a representação típica exemplificada no gráfico abaixo:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Pressão ao longo da atmosfera
De acordo com Porto (2006), para altitudes acima do nível do mar e até 2.000m, a pressão atmosférica pode ser estimada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
= altitude (em metros)
pm = p − pamb
p
pamb
patm
patm = 10, 8 ⋅ (9, 38 − )      (kPa)
h
1000
h
= pressão atmosférica (em kPa)
Exemplo
O manômetro instalado na “árvore de Natal” de um poço de produção de gás a 1.500m de profundidade mede 26,40barg de pressão. Se a água
do mar na região tem
= 1.026,5 kg/m³, qual é a pressão absoluta, em kgf/cm²?
SOLUÇÃO
A letra “g” ao final da unidade se refere a gauge, que significa pressão manométrica, e 1bar = 100kPa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A pressão ambiente, por sua vez, é calculada pela coluna de água acima do ponto considerado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Explicitando
da equação (1):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, basta converter para kgf/cm². Conforme vimos no primeiro módulo, 1kgf/cm² = 98,1kPa, ou seja, 1kPa = 1/98,1kgf/cm². Fazendo a
conversão do resultado anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A letra “a” ao final da unidade indica pressão absoluta.
patm
ρ
pm = 26, 4 ⋅ 100 kPa = 2640 kPa
pamb = ρgh = 1026, 5 ⋅ 9, 8 ⋅ 1500 = 15.090 kPa
p
p = pm + pamb = 2640 + 15090 = 17.730 kPa
p = 17.730 kPa =  kgf/cm2a = 181, 1kfg/cm2a
17.730
98, 1
javascript:void(0)
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA FLUIDOSTÁTICA, TEOREMA DE
PASCAL E TEOREMA DE STEVIN
Existem dois tipos de forças que podem atuar em um fluido:
FORÇAS DE CAMPO
Atuam em toda a massa fluida sem que haja necessidade de contato, como, por exemplo, a força gravitacional;
FORÇAS DE CONTATO
Atuam por meio de determinada superfície e se subdividem em força proveniente da tensão normal (
) e cisalhante (viscosa) (
).
A tensão viscosa (“atrito”) pode ser obtida pela Lei da Viscosidade de Newton, que estudamos no módulo 1, definida por
. Quando um fluido está estático, não há velocidade. Consequentemente, o gradiente de velocidade é nulo (
), e não há tensão cisalhante (
). Nessa condição, a pressão será igual à tensão normal (
). Portanto, nos próximos tópicos, adotaremos apenas pressão.
Uma partícula fluida pode ser representada por um elemento infinitesimal, conforme mostra a imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Elemento infinitesimal e pressões nas faces perpendiculares ao eixo
Adotando
como a pressão na face esquerda, a pressão na face oposta será
. Para calcular a força, devemos multiplicar a pressão pela área. As faces perpendiculares a
têm área
. Portanto, a força resultante da pressão na direção
será:
σ
τ
τ = μ du/dy
du/dy
τ = 0
p = σ
x
p(x)
p(x + dx)
x
dAx = dydz
x
javascript:void(0)javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Multiplicando e dividindo a expressão anterior por
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é o volume do elemento. O termo
significa
, que tende a zero. Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O termo entre colchetes dessa equação é a definição da derivada da função
. Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente:
dFpx = p (x) dAx − p (x + dx) dAx = [p (x) − p (x + dx)] dAx
dydz
dx
dFpx =[ ]dxdydz
d V
= −[ ]d Vp (x ) −p (x+dx )
dx
p (x+δ ) −p (x )
dx
d V
dx
δx
dFpx = −[ lim
δx→0
]d Vp (x+δ ) −p (x )
δx
p(x)
dFpx = − d V
∂p
∂x
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
dFpx = − d V
dFpy = − d V
dFpz = − d V
∂p
∂x
∂p
∂y
∂p
∂z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O vetor resultante pode ser expresso em uma única linha:
Equação 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A força gravitacional (força de campo), por sua vez, é calculada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A massa (
) pode ser obtida a partir da massa específica :
Equação 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somando as equações (2) e (3), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como não há movimento, a aceleração é nula e
:
Equação 4
d
→
F p = −∇p d V   →   = −∇p
d
→
F p
d V
d →F g = dm →g
dm
ρ = dm/d V   → dm = ρd V
d
→
F g = ρ d V  
→
g →    = ρ
→
g
d
→
F g
d V
∑ d →F = d →F p + d →F g = −∇p + ρ→g
∑ d →F = 0
∇p = ρ→g
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Normalmente, opta-se por alinhar o eixo
contrário à gravidade. Assim, o vetor da equação (4) não terá componentes nas direções
e
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A componente
será igual a
(eixo contrário à gravidade):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação mostra que, na condição estática, a pressão varia apenas na direção vertical, ou seja, pontos em uma mesma altura terão a mesma
pressão. Integrando-se à expressão anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
z
x
y
= ρgz
dp
dz
gz
−g
= −ρg  
dp
dz
→    dp = −ρgdz   →    ∫
p2
p1
p = − ∫
z2
z1
ρ g dz  →     p2 − p1 = − ∫
z2
z1
ρ g dz
p2 = p1 − ∫
z2
z1
ρ g dz
Lembrando que
:
Equação 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é conhecida como Equação Fundamental da Fluidostática, pois se aplica a qualquer fluido estático e é utilizada para desenvolver todas as
demais equações da Estática. Uma particularização importante ocorre para fluidos incompressíveis (
e
constantes), pois ocorre para maior parte dos problemas na Engenharia. Então:
Equação 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que, do ponto 1 ao 2, há um aprofundamento (
) de uma altura
, então,
ρg = γ
p2 = p1 − ∫
z2
z1
γ dz
ρ
γ
p2 = p1 − γ ∫
z2
z1
dz
→    p2 = p1 − γ (z2 − z1)
→ p2 − p1 = −γ (z2 − z1) → Δp = − γ
ρg
Δz
z2 < z1
h
:
Equação 7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme as considerações feitas no desenvolvimento, essa fórmula só se aplica para fluidos incompressíveis. Caso seu problema envolva um
fluido compressível, será necessário aplicar a equação 5.
TEOREMA DE STEVIN
O cálculo da pressão de um ponto que se encontra na profundidade h de um líquido (fluido incompressível) é um problema muito comum,
conforme mostra a imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Pressão em um ponto submerso na profundidade
Para resolvê-lo, podemos aplicar a equação 7, considerando
e
:
Δz = −h
Δp = p2 − p1 = ρgh
h
p1 = patm
p2 = p
p − patm = ρgh
Equação 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa fórmula é conhecida como Teorema de Stevin. Se quisermos calcular a pressão manométrica
, então:
Equação 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Dois pontos em um fluido incompressível
PRINCÍPIO DE PASCAL
Sejam dois pontos fixos no interior de um fluido incompressível, conforme mostra a imagem a seguir:
Imagine, agora, que a pressão no ponto 1 seja elevada de
para
, por um motivo qualquer, como, por exemplo, a atuação de um compressor. Aplicando a equação 7 para as duas situações, antes e depois da
elevação da pressão:
ANTES
DEPOIS
→ p =  patm + ρgh 
pm = p − patm
pm = ρgh
p1
p′1
p2 − p1 = ρgh
p′2 − p
′
1 = ρgh
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Lembre-se de que
(fluido incompressível), assim como a gravidade e a altura
. Subtraindo essas duas equações:
Equação 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação nos diz que, em um fluido estático e incompressível, a elevação de pressão em um ponto será igual à elevação em todos os demais
pontos, o que é conhecido como Princípio de Pascal, ilustrado na imagem a seguir:
Imagem: Anna Carollina Chaves Braz/Wikimedia Commons/Licença (CC BY-SA 4.0)
 Representação de uma prensa hidráulica – Princípio de Pascal
Exemplo
Uma prensa hidráulica manual é utilizada para romper corpos de prova (cp) de concreto com capacidade de até 15 toneladas. Se a razão das
áreas entre o êmbolo menor, em que é aplicada a força da haste, e o êmbolo maior, que aplica a carga dos cp, é 1/20, qual é a força requerida no
êmbolo menor?
ρ = cte
h
p2 − p
′
2
Δp2
− (p1 − p
′
1
Δp1
) = 0
→     Δp1 = Δp2
Foto: Shutterstock.com
SOLUÇÃO
Tendo em vista que o processo é realizado lentamente, podemos assumir condição estática. Consequentemente, é válido o Princípio de Pascal:
. Como
, considerando 1 o êmbolo maior, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além da compensação hidráulica, a haste funciona como um braço de alavanca, reduzindo ainda mais a força que o operador deve realizar.
MÚLTIPLOS FLUIDOS
Há situações em que mais de um fluido entra em equilíbrio estático em camadas diferentes, genericamente representados na imagem a seguir:
Δp1 = Δp2
p = F/A
=   →    ΔF2 = ΔF1 = 15 ton ⋅ = 0, 75 ton
ΔF1
A1
ΔF2
A2
A2
A1
1
20
javascript:void(0)
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Cálculo da pressão ao longo de um percurso com múltiplos fluidos
Para calcular a pressão
, vamos aplicar a equação 6 sucessivamente, partindo do ponto 0 e atravessando todas as camadas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em caso de descida, a diferença
no
-ésimo trecho será igual a
, pois
. Ao realizar essa substituição:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso o percurso seja de subida, a parcela resultante será negativa (
pn
pn = p0 − γ1Δz0,1
z1−z0
−h1
− γ2Δz1,2
z2−z1
−h2
− ⋯ − γnΔzn−1,n
zn−zn−1
−hn
Δzk−1,k = zk − zk−1
k
−hk
zk < zk−1
→  pn = p0 + γ1h1 + γ2h2 +   ⋯ + γnhn
−γkhk
). Portanto, a expressão anterior pode ser representada por:
Equação 11
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo
Em um reservatório contendo combustível adulterado, houve acúmulo de:
50cm de gasolina (
= 680 kg/m³);
10cm de etanol (
= 789 kg/m³);
20cm de água (
= 998 kg/m³).
Calcule a pressão manométrica no fundo do reservatório.
SOLUÇÃO
Esse é um problema típico para se resolver com a equação (11), pois se trata de múltiplos fluidos. Como ponto 0 (partida), definiremos a
superfície, em que a pressãomanométrica é nula (
), e n-ésimo ponto o fundo do tanque. Como esse trajeto (superfície até o fundo) é apenas de descida, todas as parcelas serão somadas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Embora a ordem das parcelas não altere a soma, os fluidos se estabilizarão de acordo com sua massa específica, ficando os mais densos em
baixo. Como
, então:
→ pn = p0 +
n
∑
k=1
±γkhk
⎧⎪
⎨
⎪⎩
↓ +γkhk
↑ −γkhk
γk = ρkg
ρ
ρ
ρ
p0m = 0
pn = 0 + γ1h1 + γ2h2 + γ3h3
γ = ρg
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com o Teorema de Stevin, um dispositivo que medisse a quantidade de gasolina pela pressão no fundo do tanque marcaria
de gasolina, quando, de fato, há apenas 50cm.
FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
Quando uma peça está submersa em um fluido estático, ela sofre a pressão ao longo de toda a sua superfície. É necessário calcular a força
resultante para avaliar o equilíbrio da peça e dimensionar seus apoios, o que pode ser feito por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para evitar essa integral, apresentaremos uma metodologia simplificadora.
Considere que uma placa plana é submersa em um fluido, conforme mostra a imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Placa plana submersa
De acordo com o Teorema de Stevin, a pressão variará linearmente do ponto mais alto até o mais baixo. Estamos interessados em saber qual é a
força (
) resultante dessa pressão, que é aplicada em determinado ponto da placa, chamado de Centro de Pressão (
), conforme mostra a imagem a seguir:
pn = 0 + 998 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 2 + 789 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 1 + 680 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 5 = 6, 1 kPa
h = = = 0, 91m = 91cm
p
ρg
6, 1 ⋅ 103
680 ⋅ 9, 8
F = ∫
s
p dA
→F
CP
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Força aplicada em uma superfície submersa
Posicionaremos a origem do sistema de coordenadas no Centro Geométrico (CG), também conhecido como Centroide da Geometria. As
coordenadas do centroide da superfície S são determinadas por:
Equação 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente, a profundidade do CG será:
Equação 13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o sistema de coordenadas adotado (origem coincidente com CG), teremos
e
.
A placa tem um ângulo
com a horizontal. A distância de um ponto qualquer na placa com coordenada (
⎧⎪
⎨
⎪⎩
xCG =
yCG =
∫
S
x dA
A
∫
S
y dA
A
hCG =
∫
S
h dA
A
xCG = 0
yCG = 0
θ
x
,
) até a linha d’água pode ser medida ao longo da direção da placa, por
, ou ao longo da vertical, por
.
Começando pela definição da força de pressão e aplicando o Teorema de Stevin (equação 8):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
é constante, pode ser retirada da integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando fluido incompressível (líquido), ou seja,
e
constantes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base na equação 13, a segunda parcela da equação anterior pode ser substituída por
:
y
ξ = ξ(x, y)
h = h(x, y)
F = ∫
S
p dA = ∫
S
(patm + γh) dA = ∫
S
patm dA + ∫
S
γh dA
patm
F =  patm ∫
S
dA + ∫
S
γh dA = patmA + ∫
S
γh dA
ρ
γ
F =  patmA + γ ∫
S
h dA
hCGA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lançando mão, mais uma vez, do Teorema de Stevin,
, então:
Equação 14
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo
Qual é a força que a água do mar (
= 1.025 kg/m³) faz em uma janela circular vertical de 40cm de diâmetro, cujo ponto mais alto está a 2,00m de profundidade e o mais baixo, a
2,40m?
SOLUÇÃO
A profundidade do CG de um círculo é em seu centro, que fica na profundidade média
.
A pressão manométrica no CG, por sua vez, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área da janela é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a equação 14:
F =  patmA + γhCGA = (patm + γhCG)A
patm + γhCG = pCG
F = pCGA
ρ
hCG = (2 + 2, 4) /2 = 2, 2m
pCGm = ρghCG = 1025 ⋅ 9, 8 ⋅ 2, 2 = 22, 1kPa
A = = = 0, 126m²
πD2
4
π(0, 4)
2
4
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso equivale a 2780/9,8 = 284 kgf.
De um lado da janela atua a pressão da água, enquanto, do outro, a pressão atmosférica. A diferença entre elas, que gera a força resultante, é
equivalente à pressão manométrica. Por isso, a pressão manométrica costuma ser adotada nesse tipo de problema.
Ainda não sabemos onde a força F é aplicada, ou seja, a posição do CP. Para isso, avaliaremos, em seguida, o momento. Assim como a
intensidade da força F deve ser igual à resultante da pressão distribuída ao longo da placa, o momento também.
Algumas dimensões devem ser destacadas, conforme mostra a imagem a seguir:
de um ponto qualquer na placa;
do Centro de Pressão (
);
= distância oblíqua medida ao longo da direção da placa, de um ponto qualquer até a superfície;
= distância oblíqua medida ao longo da direção da placa, do
até a superfície, igual a
;
Por relação trigonométrica, observamos que
.
F = pCG ⋅ A = (22, 1 ⋅ 103) ⋅ 0, 126 = 2, 78kN
y
yCP
CP
ξ
ξCG
CG
ξCG = y + ξ
h = ξsenθ
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Dimensões para dedução da posição do CP
O momento provocado pela força
deve ser igual ao da pressão distribuída ao longo da placa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desenvolvendo p pelo Teorema de Stevin:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que estamos assumindo fluido incompressível (
e
constantes), e que
é constante:
Fp
FyCP = ∫
S
y p dA
FyCP = ∫
S
y (patm + γh) dA = ∫
S
y patm dA + ∫
S
y γ h dA
ρ
γ
patm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com a equação 12, observamos que
pode ser substituído por
. Como o sistema de coordenadas adotado tem sua origem no
,
, portanto:
Equação 15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A profundidade
, por sua vez, pode ser substituída por
(imagem anterior):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
:
FyCP =  patm ∫
S
y dA + γ ∫
S
y h dA
∫
S
y dA
yCGA
CG
yCG = 0
∫
S
y dA = 0
h
ξsenθ
FyCP = γ ∫
S
y ξsenθ dA = γsenθ ∫
S
y ξ dA
ξ = ξCG − y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme a equação 15, a primeira parcela dessa expressão é nula. A segunda corresponde à definição do momento de inércia de área
. Por fim:
Equação 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resumo
Quando uma superfície plana está submersa, a intensidade e a posição da força resultante são obtidas pelas seguintes fórmulas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
FyCP = γsenθ ∫
S
y  (ξCG − y)  dA = γsenθ [∫
S
y ξCG dA − ∫
S
y2 dA]
= γsenθ [ξCG ∫
S
y  dA − ∫
S
y2 dA]
Ixx = ∫
S
y2dA
FyCP = −γsenθIxx
→   yCP = −
γsenθIxx
F
F = pCGA
yCP =   −
γsenθIxx
F
pCG
= pressão no centroide
= momento de inércia de área
A posição de CG e o cálculo de
para as geometrias mais comuns são mostrados na imagem a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Centroide (
) e fórmula do momento de inércia de área (
) para geometrias mais comuns
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Exemplo
A comporta AB da imagem a seguir tem 1,20m de largura, está articulada em A e tem o movimento limitado pelo ponto B. A água está a 20°C.
Calcule a força sobre o bloco B se a profundidade da água é h = 2,40m.
SOLUÇÃO