Métodos Matemáticos Aplicados - Tópico 3

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MÉTODO DOS 
ELEMENTOS 
FINITOS E DOS 
RESÍDUOS 
PONDERADOS 
 
 
 
 
Renato de Marchi Vieira dos Santos 
 
 
 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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 Olá aluno(a) Unifacear, seja bem-vindo(a) à aula sobre Método dos elementos 
finitos e dos resíduos ponderados. A descrição das leis da física para problemas 
dependentes do espaço e do tempo são geralmente expressas em termos de equações 
diferenciais parciais. Para a grande maioria das geometrias e problemas, essas equações 
não podem ser resolvidos com métodos analíticos. Em vez disso, uma aproximação das 
equações pode ser construída, normalmente com base em diferentes tipos de 
discretização. Esses métodos de discretização aproximam as equações diferenciais 
parciais com equações de modelos numéricos, que podem ser resolvidas por métodos 
numéricos. As soluções das equações do modelo numérico são, por sua vez, uma 
aproximação da solução real das equações diferenciais parciais. O método dos elementos 
finitos é usado para computar tais aproximações. 
 O método do resíduo ponderado é uma técnica para estimar a solução de uma 
equação diferencial com coeficientes desconhecidos usando uma combinação linear de 
tentativas ou funções de forma. A equação diferencial governante é então resolvida 
usando a solução aproximada, fornecendo um erro ou resíduo. Finalmente, o resíduo é 
forçado a desaparecer em pontos médios ou reduzidos ao máximo para encontrar os 
coeficientes desconhecidos dependendo das funções de peso. Veremos então esses 
conceitos nos textos a seguir. 
 
Fonte: Pixabay. 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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1. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
 De um modo geral, o método dos elementos finitos é um método numérico usado 
para realizar uma análise de elementos finitos de qualquer fenômeno físico para prever o 
comportamento de uma estrutura. 
 Para a grande maioria das geometrias e problemas, as equações diferenciais 
parciais não podem ser resolvidas com abordagens analíticas. Em vez disso, podemos 
aproximar essas equações usando métodos de discretização que podem ser resolvidos 
usando métodos numéricos. 
 Portanto, as soluções que obtemos também são uma aproximação da solução real 
para essas equações diferenciais parciais. O método dos elementos finitos é um método 
de aproximação que subdivide um espaço ou domínio complexo em um número de partes 
pequenas, contáveis e finitas (daí o nome elementos finitos) cujo comportamento pode 
ser descrito com equações comparativamente simples. 
 
 O método foi originalmente desenvolvido para análise de engenharia para modelar 
e analisar sistemas complexos em engenharia mecânica, civil e aeronáutica. Os 
fundamentos do método podem ser derivados das leis do movimento de Newton, da 
conservação de massa e energia e das leis da termodinâmica. 
 O método dos elementos finitos pode ser usado, por exemplo, para determinar a 
mecânica estrutural de diferentes partes de um carro sob diferentes condições de carga, o 
fluxo de calor através da peça do motor ou a distribuição da radiação eletromagnética de 
uma antena. 
 
 
Subdivisão em 
pequenas 
partes
Elementos 
finitos
Método de 
aproximação
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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 Um aspecto importante do método dos elementos finitos é como o modelo de 
desenho assistido por computador (CAD) é preparado para a análise e está sendo 
subdividido durante a geração da malha (discretização em elementos menores). 
 O software CAD, pode ser usado para definir formas 3D de um objeto e, em 
seguida, importado para uma ferramenta de análise de elementos finitos separada que 
subdivide o objeto em elementos de tamanho apropriado de acordo com as condições de 
contorno ou malha desejadas. 
 
 
 Fonte: Pixabay. 
 O termo Elemento Finito foi introduzido em 1960 por Ray William Clough em 
seu artigo " The Finite Element Method in Plane Stress Analysis ". No início dos anos 60 
este método foi utilizado por vários engenheiros para análise de tensões, transporte de 
fluidos, transporte de calor e outros assuntos. 
 O primeiro livro do Método dos Elementos Finitos foi publicado por Olgierd 
Zienkiewicz , Richard Lawrence Taylor e Jianzhong Zhu. No final dos anos 60 e 70, o 
campo de aplicação do método dos elementos finitos se expandiu e se tornou uma 
aproximação numérica líder em um amplo campo de problemas de engenharia. 
 A maioria dos softwares comerciais como os da Autodesk, ANSYS, ABAQUS, 
Adina e vários outros tem sua origem na década de 1970. John Swanson lança a primeira 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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versão de sua ferramenta de software método dos elementos finitos chamada AN alysis 
SYS tems (ANSYS) em 1970. 
 Os engenheiros usam o método dos elementos finitos por várias boas razões. Uma 
delas é que os modelos analíticos são limitados em sua aplicação. Entre as razões: 
 
 
 Em geral, existem três métodos de como os engenheiros são capazes de resolver 
problemas de engenharia: 
• Métodos Clássicos; 
• Métodos numéricos; 
• Métodos experimentais. 
 Sempre que os engenheiros resolvem problemas complexos envolvendo 
geometrias complexas, condições de carregamento ou leis de materiais, eles não podem 
usar abordagens analíticas clássicas usando métodos de forma fechada. Portanto, os 
métodos numéricos oferecem uma maneira de resolver um problema onde não existe uma 
solução analítica. 
 
Elaboração de geometrias 
ou deformações complexas 
(por exemplo, teste de 
colisão)
Teste de cargas 
complexas (por 
exemplo, aplicação 
de força 
dependente do 
tempo)
Lei dos materiais 
anisotrópicos (plástico 
reforçado com fibra ou 
material cristalino)
Propriedades de materiais 
não homogêneos (módulo 
de Young...)
Materiais hiperelástico Entre outros...
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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 Uma solução de forma fechada é uma expressão para uma solução exata dada com 
uma quantidade finita de dados. 
 
 
Fonte: Pixabay 
 A descrição da natureza e as leis da física para problemas dependentes do espaço 
e do tempo são geralmente expressas com equações diferenciais parciais. Estas equações 
são resolvidas de forma aproximada pelo método dos elementos finitos que se baseia em 
equações de métodos clássicos como a Teoria da Elasticidade. 
 As equações diferenciais parciais são equações para uma função desconhecida de 
duas ou mais variáveis independentes que envolvem derivadas parciais. Abaixo está um 
exemplo de uma equação diferencial parcial, ou seja, a equação tridimensional de Laplace 
onde ϕ é a variável dependente, e x, y e z são as variáveis espaciais independentes: 
𝜕²∅
𝜕𝑥²
+
𝜕²∅
𝜕𝑦²
+
𝜕²∅
𝜕𝑧²
= 0 
 Para resolver esta equação, ela deve ser submetida às chamadas condições iniciais 
e condições de contorno. Um problema de valor de fronteira inicial consiste na Equação 
Diferencial Parcial, nas Condições Iniciais bem como nas Condições de Fronteira. 
 De um modo geral, as condições de contorno são restrições necessárias para a 
solução de um problema de valor de contorno. 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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 Um problema de valor de contorno é uma equação diferencial (ou sistema de 
equações diferenciais) a ser resolvida em um domínio em cujo limite um conjunto de 
condições é conhecido. Em comparação com o "problema de valor inicial", em que apenas 
as condições em um extremo do intervalo são conhecidas. Problemas de valor de contorno 
são extremamente importantes, pois modelam uma grande quantidade de fenômenos e 
aplicações, desde a mecânica dos sólidos até a transferência de calor, desde a mecânica 
dos fluidos até a difusão acústica. Eles surgem naturalmente em todos os problemas 
baseados em uma equação diferencial a ser resolvidano espaço, enquanto os problemas 
de valor inicial geralmente se referem a problemas a serem resolvidos no tempo. 
 
 
Fonte: Pixabay. 
 
 Do ponto de vista matemático, os cinco passos a seguir são essenciais para 
entender como o método dos elementos finitos está trabalhando: 
• Passo 1: 
Criar geometria (modelo CAD); 
Definir propriedades do material; 
Escolha as condições iniciais e de contorno; 
Definir outras condições, como comportamento de contato; 
Discretização da geometria "Meshing”; 
 Formulação de elementos: desenvolvimento de equações para elementos. 
Configure a equação diferencial parcial em sua forma fraca. 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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 O pré-processamento, também chamado de preparação do modelo, geralmente é 
a etapa mais trabalhosa da FEA. 
• Passo 2: 
Montagem: configurar o problema global obtendo equações para todo o sistema a 
partir das equações para um elemento. 
• Passo 3: 
 Resolver o sistema de equações lineares. 
• Passo 4: 
 Pós-processamento: determinar quantidades de interesse, como tensões e 
deformações e obter visualizações da resposta. 
 Uma característica do método dos elementos finitos é que ao invés de buscar a 
aproximação sobre toda a região, a região é dividida em partes menores, chamadas de 
elementos finitos e a aproximação é então realizada sobre cada elemento. 
 Uma vez escolhido o tipo de aproximação (a aplicar sobre cada elemento), pode-
se então determinar o comportamento correspondente de cada elemento. Tendo 
determinado o comportamento de todos os elementos individuais, os elementos podem 
então ser remendados, o que nos permite obter uma solução aproximada de todo o corpo 
em todo o domínio. 
 É preciso aproximar uma solução sobre os elementos para determinar o 
comportamento. Esta aproximação é geralmente um polinômio e é, de fato, alguma 
interpolação sobre o elemento. 
 
Fonte: Freepick 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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 Isso significa que conhecemos alguns valores em determinados pontos dentro do 
elemento, mas não em todos os pontos. Esses “certos pontos” são chamados de pontos 
nodais e geralmente estão localizados no limite do elemento. A precisão com que a 
variável muda é expressa pela aproximação, que pode ser linear, quadrática, cúbica, etc. 
 Grades equidistantes podem desperdiçar muitos nós em áreas onde a solução não 
é importante ou as mudanças nas quantidades (gradientes) são insignificantes. 
 
2. MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS 
 
 O método do resíduo ponderado consiste em encontrar uma solução aproximada 
para uma dada equação diferencial. Se esta solução aproximada não satisfaz a equação 
em todos os pontos, o erro de aproximação produz resíduos. Portanto, quanto menores os 
resíduos, melhor o ajuste. Ou seja, se a função ajustada for igual à função que satisfaz a 
equação diferencial em todos os pontos, o resíduo é zero. 
 Em muitos casos, as equações diferenciais não têm soluções analíticas exatas. Se 
existirem equações diferenciais, sua determinação se torna complicada ou requer 
procedimentos matemáticos muito tediosos. Considerando esta situação, vários métodos 
de aproximação para resolver equações diferenciais foram desenvolvidos. Isso inclui 
métodos residuais ponderados. O método do resíduo ponderado consiste em minimizar o 
erro residual na aproximação da solução de uma equação diferencial válida no domínio 
por uma soma de N funções de formas linearmente independentes e arbitrárias. 
 
Fonte: Freepick 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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 O método de Galerkin é o método mais comumente usados baseado em resíduos 
ponderados. Este método pode ser usado para analisar o problema linear de uma viga 
submetida a uma carga móvel de velocidade variável no tempo. Também se utiliza este 
método para analisar oscilações não lineares em membranas hiperelásticas. A principal 
característica deste método é que se escolhe a própria função de aproximação como a 
função de ponderação. 
 
 
Fonte: Freepick 
 
 Como o problema analisado é um raio de comprimento infinito e uma região finita 
é necessária para aplicar o método de Galerkin, define-se uma região finita longa o 
suficiente para conter a maior parte da energia do sistema. 
As funções de ponderação devem formar conjuntos linearmente independentes. 
Dependendo do conjunto de funções de ponderação assumidas, um esquema 
correspondente de resíduos ponderados é obtido. 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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3. RESUMO 
 
 Caro aluno, nessa aula você viu os 
fundamentos dos elementos finitos e 
como são largamente empregados em 
estruturas. O conhecimento aliado aos 
resíduos ponderados fará com que se 
tenha um estudo completo relacionado 
à detalhes estruturais. Tenha bons 
estudos! 
 Fonte: Freepick 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos elementos finitos e dos resíduos ponderados 
 
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