Lista 5 B2023 - casa gabarito

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MAE0116 – Noções de Estatística
Lista de exercícios 5 – Binomial – Casa (Gabarito)
Exercício 1 (2 pontos)
Discuta a validade do modelo binomial para as variáveis aleatórias mencionadas nos seguintes casos:
(a) (0,5) dos pacientes de um grande hospital, sorteamos 8 e contamos quantos se declaram
diabéticos.
Resolução.
O modelo binomial consiste na repetição de ensaios de Bernoulli de maneira independente
e com probabilidade de sucesso constante de ensaio para ensaio. Estamos interessados em
contar quantos sucessos obtemos de um experimento. Nesse exemplo, o sucesso é “declarar
ser diabético” e X é o número de pacientes que se declaram diabéticos entre os 8 sorteados,
n = 8 repetições. Podemos considerar a independência entre os ensaios, pois os pacientes
são independentes e a probabilidade de se declarar diabético pode ser considerada constante
para os pacientes. Nesse caso, a variável aleatória que representa o número de sucessos nas n
repetições do experimento de Bernoulli tem distribuição Binomial. Logo, o modelo binomial é
válido nesse exemplo.
(b) (0,5) da prateleira de biscoitos em um supermercado, escolhemos 30 pacotes de biscoitos,
ao acaso, sendo 15 de uma fábrica e 15 de outra. Contamos o número total de pacotes com
biscoitos quebrados.
Resolução.
Aqui o ensaio é o pacote e cada pacote pode ter ou não biscoitos quebrados. Então, sucesso =
pacote tem biscoito quebrado. Há n = 30 ensaios e podemos considerar independência entre os
pacotes, porém, a probabilidade de ter pacote com biscoitos quebrados pode ser diferente para
fábricas distintas, logo não é constante e, assim, não podemos considerar um modelo binomial.
(c) (0,5) selecionamos um habitante, ao acaso, de cada localidade em uma região com 80
localidades. Registramos o número de mulheres selecionadas.
Resolução.
Aqui o ensaio é o habitante. Há n = 80 ensaios e o sucesso é mulher ser selecionada. Há in-
dependência entre habitantes, porém como cada localidade pode apresentar uma probabilidade
diferente de selecionar uma mulher, o modelo binomial não se aplica.
1
(d) (0,5) um teste, que consiste em preencher um formulário no computador em menos de três
minutos, será aplicado a um candidato a funcionário de uma empresa. Em 10 tentativas,
contamos o número de vezes em que o candidato preencheu o formulário corretamente.
Resolução.
Nesse exemplo, o ensaio corresponde a fazer o teste. O sucesso é preencher o formulário
corretamente em 1 tentativa. Há n = 10 repetições, porém, como o mesmo candidato faz os
testes, ele pode acumular a experiência da vez anterior, portanto, não temos independência entre
os resultados do teste. Logo, não podemos considerar o modelo binomial.
Exercício 2 (2,5 pontos)
Considere a variável aleatória T definida como sendo o tempo (em quantidade de minutos) gasto por
um assistente de cozinha, na preparação de um pedido. Suponha que a distribuição de probabilidade
de T , seja como dada na tabela a seguir.
t(min.) 15 16 17 18 19 20
P (T = t) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
Para o preparo de cada pedido, o assistente recebe um valor fixo de 2,00 unidades monetárias
(u.m.). Caso termine o preparo antes de 18 minutos, ele recebe um extra de 1,00 u.m. para cada
minuto restante dentre os 18 minutos. Por exemplo, caso gaste 16 minutos no preparo, ele receberá
2,00 u.m. extras e, portanto, um total de 4,00 u.m. Caso gaste 18 minutos ou mais, nenhum valor
extra é concedido ao assistente.
(a) (0,5) Calcule o tempo médio gasto pelo assistente no preparo de um pedido (use 2 casas
decimais).
Resolução.
O tempo médio para que um pedido de um cliente seja atendido pelo assistente é dado por:
E(T ) = 15× 0, 1 + 16× 0, 1 + 17× 0, 2 + 18× 0, 3 + 19× 0, 2 + 20× 0, 1
= 1, 5 + 1, 6 + 3, 4 + 5, 4 + 3, 8 + 2
= 17, 7.
(b) (1,0) Encontre a distribuição de probabilidade da variável aleatória G, quantia ganha por
pedido, em unidades monetárias.
Resolução.
Se ele prepara o prato em 18, 19 ou 20 minutos, então o ganho é 2 u.m., logo, temos que:
2
P (G = 2) = P (T = 18) + P (T = 19) + P (T = 20) = 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 0, 6.
Se ele prepara o pedido em menos de 18 minutos, ganha 1,00 u.m. por cada minuto poupado.
Caso o tempo gasto seja de 15 minutos, o ganho é de 2 + 3 = 5 u.m.. Caso o tempo gasto no
preparo seja de 16 minutos, o ganho é de 2 + 2 = 4 u.m.. E caso o tempo gasto seja de 17
minutos, o ganho é de 2 + 1 = 3 u.m. Então temos a seguinte distribuição de probabilidade para
G:
g(u.m.) 5 4 3 2
P (G = g) 0,1 0,1 0,2 0,6
(c) (1,0) Encontre o ganho esperado por pedido e o desvio padrão de G.
Resolução.
O ganho esperado por pedido é dado por:
E(G) = 5× 0, 1 + 4× 0, 1 + 3× 0, 2 + 2× 0, 6
= 0, 5 + 0, 4 + 0, 6 + 1, 2
= 2, 7 u.m..
A variância é dada por:
V ar(G) = E(G2)− (E(G))2
= 25× 0, 1 + 16× 0, 1 + 9× 0, 2 + 4× 0, 6− (2, 7)2
= 2, 5 + 1, 6 + 1, 8 + 2, 4− 7, 29
= 1, 01 (u.m.)2.
O desvio padrão é dado por:
DP (G) =
√
1, 01 ≈ 1, 005 u.m.
Exercício 3 (2,5 pontos)
Suponhamos que 92% dos homens adultos e 86% das mulheres adultas de uma população sejam
alfabetizados. Suponhamos também que a população adulta seja constituída por 55% de homens e
45% de mulheres.
(a) (0,5) Qual é a proporção de pessoas adultas alfabetizadas na população? Use 3 casas
decimais.
Resolução.
3
Ao sortear aleatoriamente uma pessoa adulta dessa população, seja A o evento “a pessoa sor-
teada é alfabetizada”. Desta forma, a proporção de pessoas alfabetizadas é dada por P (A).
Abaixo apresentamos o diagrama em árvore para melhor entendimento do cálculo de P (A),
onde H e M denotam respectivamente os eventos "a pessoa sorteada é homem"e "a pessoa
sorteada é mulher”
Assim, temos que:
P (A) = P (A ∩H) + P (A ∩M)
= P (H)× P (A|H) + P (M)× P (A|M)
= 0, 55× 0, 92 + 0, 45× 0, 86
= 0, 893.
(b) (1,0) Se 12 pessoas adultas forem selecionadas ao acaso dessa população, qual é a probabi-
lidade de que pelo menos 10 sejam alfabetizadas? Utilize, como distribuição aproximada,
a distribuição binomial e faça uso do aplicativo.
Resolução.
O número X , de pessoas alfabetizadas, possui distribuição b(12; p = 0, 8930). Utilizando o
aplicativo, obtemos
P (X ≥ 10) = 0, 8706.
(c) (1,0) Em média, quantas pessoas alfabetizadas esperamos encontrar dentre as 12 sortea-
das? E qual é o desvio padrão do número de pessoas alfabetizadas? Novamente, utilize
como distribuição aproximada, a distribuição binomial. Use 2 casas decimais.
4
Resolução.
Vamos novamente considerar X ∼ b(12; 0, 8930). Desta forma, utilizando o fato de que, se
Y ∼ b(n; p), então E(Y ) = np e σY =
√
np(1− p), procedemos em nosso caso, com n = 12
e p = 0, 8930:
E(X) = np = 12× 0, 893 = 10, 71 pessoas.
σX =
√
V ar(X) =
√
np(1− p) =
√
12× 0, 893× (1− 0, 893) =
√
1, 146 = 1, 07.
Exercício 4 (3 pontos)
Uma prova de múltipla escolha é composta por oito questões com três alternativas cada, das quais
apenas uma é correta. Um aluno responde cada questão lançando um dado não viciado e marca a
primeira alternativa se sai 1 ou 2, a segunda alternativa se sai 3 ou 4 e a terceira alternativa se sai 5 ou
6. Calcule, com o auxílio do aplicativo ou do pacote Rcmdr,
(a) (0,5) a probabilidade de que o aluno responda corretamente todas as questões (use 3 casas
decimais).
Resolução.
Seja X o número de questões corretas. Temos que X ∼ b(n = 8; p = 1/3). Essa probabilidade
pode ser obtida no Rcmdr, seguindo os seguintes passos:
Distribuições → Distribuições Discretas → Probabilidades da binomial
Tomando o valor aproximado 1/3 ≈ 0, 333333 como probabilidade de sucesso (p), temos que:
Assim, temos que:
Probability
0 0.0390185984
1 0.1560741594
2 0.2731293693
3 0.2731289596
4 0.1707053437
5 0.0682820351
5
6 0.0170704832
7 0.0024386368
8 0.0001524146
Observe, na última linha, que para X = 8, a probabilidade é 0,0001524146. Em três casas
decimais, consideramos 0 como resposta.
(b) (1,0) a probabilidade de que o aluno obtenha exatamente seis respostas incorretas (use 3
casas decimais).
Resolução.
Seja Y o número de respostas incorretas. Temos que Y ∼ b(n = 8; p = 2/3).
Utilizandoo Rcmdr, seguimos os seguintes passos:
Distribuições → Distribuições Discretas → Probabilidades da binomial
Probability
0 0.0001524157
1 0.0024386511
2 0.0170705600
3 0.0682822501
4 0.1707056510
5 0.2731290825
6 0.2731291235
7 0.1560738083
8 0.0390184579
Observe na sexta linha que para Y = 6, a probabilidade é 0,2731291235. Note também que
a probabilidade de que o aluno obtenha exatamente seis respostas incorretas é equivalente à
probabilidade de que o aluno obtenha duas respostas corretas, isto é, P (X = 2), em que X é o
número de questões corretas. Observe na saída do item (a) que na terceira linha quando X = 2,
a probabilidade é 0,2731293693.
Aproximando por três casas decimais, consideramos 0,273 como resposta.
6
(c) (1,0) a probabilidade de que o aluno obtenha mais de duas e menos de sete respostas
corretas (use 3 casas decimais).
Resolução.
Novamente, seja X o número de questões corretas. Temos que X ∼ b(n = 8; p = 1/3).
Através do pacote Rcmdr, a obtensão da resposta é como segue. Veja que
P (2 < X < 7) = P (X ≤ 6)− P (X ≤ 2).
As probabilidades P (X ≤ 6) e P (X ≤ 2) podem ser calculadas no Rcmdr escolhendo no
menu as opções: Distribuições → Distribuições Discretas → Probabilidades das caudas da
binomial.
> pbinom(c(6), size=8, prob=0.333333, lower.tail=TRUE)
[1] 0.9974089
> pbinom(c(2), size=8, prob=0.333333, lower.tail=TRUE)
[1] 0.4682221
Portanto, temos que:
P (2 < X < 7) = P (X ≤ 6)− P (X ≤ 2) = 0, 997− 0, 468 = 0, 529.
(d) (0,5) o número esperado e o desvio padrão do número de respostas corretas (use 1 casa
decimal).
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Resolução.
Como acima, seja X o número de questões corretas. Temos que X ∼ b(n = 8; p = 1/3), logo,
temos que:
E[X] = np = 8× 1
3
= 2, 666667 ≈ 2, 7.
Portanto, o aluno acertará em média 2,7 questões.
O desvio padrão é dado por:
σX =
√
np(1− p) =
√
8× 1
3
× 2
3
=
4
3
≈ 1, 3.
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