MATEMÁTICA_EsPCEx-39

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Substituir uma equação do sistema pela soma dela 
com alguma outra equação; 
Trocar a posição das equações do sistema. 
Multiplicar por K, com K ∈ ℝ∗, ambos os lados de 
uma equação; 
Substituir uma equação do sistema pela soma dela 
com alguma outra equação; 
Trocar a posição das equações do sistema. 
Escalonando um sistema linear 
{
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
 
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −4
 
Regra de Cramer 
Um processo de resolução de sistemas lineares em 
o número de equações é igual ao número de 
incógnitas é conhecido como Regra de Cramer, 
baseado no cálculo de determinantes. 
Vamos considerar um sistema com duas equações e 
duas incógnitas: 
 {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 
Vamos considerar 𝛥 o determinante da matriz 
formada pelos coeficientes das incógnitas 
𝛥 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| 
se 𝛥 ≠ 0, então o sistema é possível e determinado 
(SPD) e a solução será: 
𝑥 =
𝛥𝑥
𝛥
 e 𝑦 =
𝛥𝑦
𝛥
 
Onde: 𝛥𝑥 = |
𝑒 𝑏
𝑓 𝑑
| e 𝛥𝑦 = |
𝑎 𝑒
𝑏 𝑓| 
Exemplo: 
Determine a solução do sistema usando a Regra de 
Cramer: 
{
3𝑥 − 5𝑦 = −9
2𝑥 + 3𝑦 = 13
 
(Sistemas Lineares Parte II) 
SISTEMAS LINEARES 
Discussão de um sistema linear 
Discutir um sistema linear em função de um ou mais 
parâmetro significa dizer para quais valores do(s) 
parâmetros(s) o sistema é possível determinado 
(SPD), sistema possível indeterminado (SPI) ou o 
sistema impossível (SI). 
 
Para o sistema do tipo 2 x 2, podemos usar um 
método prático. 
 
𝑎
ⅆ
≠
𝑏
ⅇ
 (SPD) 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
 
𝑎
ⅆ
=
𝑏
ⅇ
≠
𝑐
𝑓
 (SI) 
𝑎
ⅆ
=
𝑏
ⅇ
=
𝑐
𝑓
 (SPD) 
Exemplo: 
Discuta o sistema linear em função do parâmetro K: 
{
3𝑥 + 𝑘𝑦 = 2
−𝑥 + 𝑦 = −1
 
Para discutir um sistema linear em que o número de 
equações é igual ao número de incógnitas vamos 
usar a Regra de Cramer. 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
ⅆ𝑥 + ⅇ𝑦 = 𝑓
 
Vamos considerar 𝛥 o determinante da matriz 
formada pelos coeficientes das incógnitas 
𝛥 = |
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
| 
Se: 𝛥 ≠ 0, então o sistema é possível e determinado 
(SPD) 
𝛥 = 0, então o sistema é possível indeterminado (SPI) 
ou sistema impossível (SI) 
Exemplos: 
1 - Discuta o sistema linear em função do parâmetro: 
{
𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 + 𝑘𝑦 = 2
 
2 - Determine o valor de k para que o sistema admita 
infinitas soluções. 
{
𝑥 + 2𝑦 = 0
−3𝑥 + 𝑘𝑦 = 0
 
3 - Discuta o sistema linear em função do parâmetro 
m 
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{
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 6
𝑚𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 9
 
 
4 - Discuta o sistema linear em função do parâmetro 
m 
{
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 6
𝑚𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 13
 
(Progressão Aritmética) 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
Uma sequência é um conjunto em que seus 
elementos estão em determinada ordem. Uma 
sequência numérica pode ser representada 
colocando os seus elementos ou termos entre 
parênteses e separando-os por vírgula ou ponto 
vírgula. Genericamente representamos os elementos 
por letras minúsculas e um índice numérico que 
indica a posição do elemento: 
𝑎1 → ”𝑎 índice 1” (primeiro termo); 
𝑎2 → ”𝑎 índice 2” (segundo termo); 
𝑎3 → ”𝑎 índice 3” (terceiro termo); 
𝑎𝑛 → ”𝑎 índice n” (enésimo termo); 
Observação: Uma sequência numérica pode ser finita 
quando possuir um último termo ou um número exato 
de termos, caso contrário, será infinitiva. 
Progressão aritmética 
Progressão aritmética (PA) é toda sequência 
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é 
igual à soma do termo antecedente com uma 
constante 𝒓. O número 𝒓 é chamado de razão da 
progressão aritmética. 
Propriedades das progressões aritméticas 
Em uma PA finita, a soma de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual à soma dos 
extremos. 
𝑃𝐴( 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20) 
Observação: 𝒂𝒎 + 𝒂𝒏 = 𝒂𝒑 + 𝒂𝒒 ⇔ 𝒎 + 𝒏 = 𝒑 + 𝒒 
Exemplo 
Sabendo-se que uma P.A. de 101 termos ocorre a1 + 
a101= 42, então 
𝑎51
7
+
𝑎15+𝑎87
6
 vale: 
a) 9 
b) 10 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
Em uma PA, o termo médio de três termos 
consecutivos é igual à média aritmética entre os 
outros dois. 
Exemplo 
𝑃𝐴( 2, 5, 8, 11, 14 … . . ) 
PA de 3 termos 
A melhor forma de representar uma PA de três 
termos de maneira genérica, para agilizar resoluções 
de problemas é a seguinte: 
𝑃𝐴 𝑑𝑒 𝑡𝑟ê𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠: (𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟) 
Exemplo 1: 
Na PA (a, b, c) temos 
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9
𝑎𝑏𝑐 = 15
 
Calcular a PA 
Exemplo 2: 
Os lados de um triângulo retângulo estão em PA de 
razão 2. Qual o perímetro desse triângulo? 
Fórmula do termo geral de uma PA 
Numa 𝑃𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 … 𝑎𝑛 … . ) de razão 𝒓, temos: 
 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏) ⋅ 𝒓 
Exemplo 1: 
Calcular o 15° e 20° da PA (3, 7, 11......) 
Exemplo 2: 
Calcular o primeiro termo de uma PA em, 𝑎7 = 1 e 
𝑎10 = 16 
Exemplo 3: 
Se inserirmos vinte meios aritméticos entre os 
números 15 e 120 obteremos uma progressão 
crescente cujo décimo sétimo termo é: 
a) 105 
b) 95 
c) 85 
d) 75 
e) 65 
Soma dos termos de uma PA 
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Somar os naturais de 1 a 100 
(1, 2, 3, 4, … .98, 99, 100) 
Esse raciocínio pode ser generalizado pela seguinte 
fórmula: 
𝒔𝒏 =
(𝒂𝟏+𝒂𝒏)⋅𝒏
𝟐
 
Exemplo 1: 
Calcular a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 5, 
8...) 
Exemplo 2: 
Calcular 3 + 6 + 9 +.........+120 
(Progressão Geométrica) 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Progressão geométrica (PG) é toda sequência 
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é 
igual ao produto do termo anterior por uma constante 
q. O número q é chamado de razão da progressão 
geométrica, essa sequência pode ser representada 
pela seguinte fórmula. 
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 ⋅ 𝒒; ∀ 𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 ≥ 𝟐 
Razão 
Em qualquer P.G. não nula, a Lei de Recorrência, 
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 ⋅ 𝒒 , permite deduzir a seguinte 
expressão. 
𝑞 =
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
Ou seja: 
Razão =
𝒂𝟐
𝒂𝟏
= 
𝒂𝟑
𝒂𝟐
= ⋯ = 
𝒂𝒏
𝒂𝒏−𝟏
= 𝒒 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆) 
Classificação: 
Uma progressão geométrica de razão q pode ser de 
quatro tipos. 
Crescente – Quando cada termo é maior que o 
anterior; 
Constante ou estacionária – Quando todos os 
termos são iguais entre si (q=1) 
Decrescente - Quando cada termo é menor que o 
anterior; 
Alternante – Quando cada termo tem sinal contrário 
ao do anterior ( q < 0) 
Observação: 
Na P.G. de três termos (𝑎, 𝑏, 𝑐) o termo central é 
média geométrica dos extremos: P.G. (𝑎, 𝑏, 𝑐) ⇒ 𝑏 = 
√𝑎𝑐 
Veja: Razão = 
𝒂𝟐
𝒂𝟏
= 
𝒂𝟑
𝒂𝟐
 ⇒ 
𝒃
𝒂
=
𝒄
𝒃
 ⇒ 𝒃𝟐 = 𝒂 ∙
𝒄, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒃 = √𝒂𝒄 
Exemplo 1: 
Determine x de modo que a sequência (3, x+2, 3x) 
seja uma P.G. Crescente. 
Exemplo 2: 
Para dois números positivos a e c, a sequência (a, 4, 
c) é P.A. e a sequência (c+2, 4, a) é PG. Determine 
a e c 
P.G. de 3 termos 
A melhor forma de representar uma P.G. de três 
termos de maneira genérica, para agilizar resoluções 
de problemas é a seguinte: 
(
𝒙
𝒒
, 𝒙, 𝒙 ⋅ 𝒒) 
Exemplo: 
Determine a PG de três termos sabendo que o 
produto desses termos é 8 e que a soma do 2° com 
3° termo é 14. 
Fórmula do termo geral de uma P.G. 
Numa 𝑃𝐺(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 … 𝑎𝑛 … . ) de razão 𝒒, temos: 
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ⋅ 𝒒
𝒏−𝟏 
Exemplo 
Determine o quinto termo de uma P.G. cuja a razão e 
o primeiro termo são iguais a 3. 
Propriedade das progressões geométricas 
P1 - Em toda P.G., o quadrado de cada termo, a partir 
do segundo, é o produto entre o antecedente e o 
consequente. 
Exemplo 
𝑃𝐺( 2, 4, 8, 16, 32, 64) 
P2 - Em toda P.G., finita, o produto de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual ao produto dos 
extremos. 
Exemplo 
𝑃𝐺( 1, 2, 4, 8, 16, 32) 
P3 - Em toda P.G., o produto de dois termos 
quaisquerserá igual ao produto de dois outros 
termos, desde que a soma dos índices dos dois 
primeiros seja igual à soma dos índices dos outros 
dois. 
𝒂𝒎 ⋅ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒓 ⋅ 𝒂𝒔 ⇔ 𝒎 + 𝒏 = 𝒓 + 𝒔 
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