Questão 24 - Pág 115 - Equações Diferenciais - Zill

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Questão 24 – Página 115 AID: 20 | 15/08/2016
Enunciado:
Resolva o Problema 23 supondo que a solução seja drenada a uma taxa de 10 litros por minuto. Quando o tanque estará vazio?
Solução:
Se a solução do Problema 23 for drenada a uma taxa de 10 litros por minuto, então a solução se acumula a uma taxa de:
Depois de minutos há litros de solução no tanque. A taxa na qual o sal é drenado é portanto:
Com isso a equação torna-se:
Como o fator de integração é , podemos escrever a expressão da seguinte forma:
Integrando a expressão obtida, temos:
Quando , , logo encontramos . Finalmente, obtemos:
Portanto, para sabermos em quanto tempo o tanque estará vazio em devemos igualar a expressão acima a 500 litros e encontrarmos o valor de que nos dá minutos.
(
)
2
10 l/min x /
5005
10
 /min
5005
A
Rgl
t
A
l
t
æö
=
ç÷
-
èø
=
-
10
 10
5005
2
 10
100
2
10
100
dAA
dtt
dAA
dtt
dAA
dtt
=-
-
=-
-
+=
-
(
)
2
100
t
-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
232
22
2
10010010100
100
 100210010100
 10010100
dAA
ttt
dtt
tdAAttdt
dAttdt
---
---
--
-+×-=×-
-
-+×-=×-
éù
-=×-
ëû
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
21
2
2
 10010100
 10010100
 10100100
 100010100
dAttdt
Attc
Atct
Atct
--
--
éù
-=×-
ëû
-=×-+
=×-+-
=-+-
òò
0
t
=
0
A
=
1
10
c
=-
(
)
(
)
2
1
100010100
10
Attt
=---
t
100
t
=
(
)
105 l/min = 5 l/min
-
t
5005
t
-