ANÁLISE DE ESTRUTURAS II

Prévia do material em texto

CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2002 
Segunda Prova – 22/05/2002 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, ob-
ter o diagrama de momentos fletores para o quadro 
ao lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm 
a mesma inércia à flexão EI = 3,6x104 kNm2, com 
exceção da barra horizontal da esquerda que é infi-
nitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com uma inércia à flexão 
EI constante. Utilizando a Analogia da Viga Con-
jugada (vide tabela ao lado), determine o diagrama 
de momentos fletores. 
 
A B C
 
 
 
 
 
Analogia da Viga 
Conjugada 
VIGA 
REAL 
VIGA 
CONJUGADA 
Carregamento q(x) qc(x) = M(x)/EI 
Esforço Cortante Q(x) Qc(x) = θ(x) 
Momento Fletor M(x) Mc(x) = v(x) 
Rotação θ(x) 
Deslocamento 
Transversal v(x) 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas 
as barras. 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
1 
2 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
β10 = – 16 kNm 
β20 = + 83 kN 
[kNm] 
–16+16–16
M0
0
0
0
0
0 –54
(16÷2=8)
(ΣFy=0)⇒
(12·6·(5/8)=45)
0
 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
K21 = +EI/4 
0 
K11 = +2EI 
x D1
M1 
(ΣFy=0)⇒
0 
0
0 
0 0
+4EI 
4 
+3EI 
3 2EI 
4·2 
–2EI 
4 
+2EI 
4 D1 = 1 
 
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
M2 
D2 = 1 θ2 = 1/2 
(ΣFy=0)⇒
+4EI 
4 
·θ2 –4EI 
5 
+2EI 
4 
·θ2 
+3EI 
5 
·θ2 
4EI 
5·2 
3EI 
63 
K12 = +EI/4 
K22 = +149EI/360
0
0
0 
0 
+3EI 
62 
x D2
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
0
0
360/1494/1
4/12
83
16
2
1
D
D
EI 





⋅−=−=
⋅+=+=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10171.6142.222
10994.0768.35
 
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
M [kNm]
–66.6 
+143.8 –77.2 –35.8 
+35.8 
–72.5
0 
0 
0
0 
 
M [kNm]
 
 
 
 
2ª Questão 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL 
VIGA CONJUGADA 
–MB
–
MB/EI 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC = 0
QC = θC
c 
c 
c 
c c 
c 
c 
MB = 0 ⇒ – (MB/EI)·(6/2)·2 + (36/EI)·6·(2/3)·3 + VC·6 = 0 
c 
MB = 27 kNm ∴∴∴∴
(MB/EI)·(3/2) 
A
B
C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vC = 0 
θC ≠ 0 
MA = 0 ⇒ – (MB/EI)·(3/2)·2 – (MB/EI)·(6/2)·5 + 
c 
9 36
A
B
C 
MB/EI 
36/EI 
9/EI 
A
B
C 
(MB/EI)·(6/2)
(9/EI)·3·(2/3) VC
c 
c 
(9/EI)·3·(2/3)·1.5 + (36/EI)·6·(2/3)·6 + VC·9 = 0 
c 
1.5 
2 1 2 
+
1.5 3 3 
(36/EI)·6·(2/3)
 
 
3ª Questão 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
 
 
X1 
 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 M0 [kNm] T0 [kNm] 
20 
20 20
20 
120 
120 
0 0 
0 
20
20 20 
20 
+120
0 
0 
0 
0 
 
 
caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
1/2 
0 0 
0 0 
M1 T1
x X1X1 = 1 X1 = 13 +3 
1/2 3 
3 3 
+3
1/2
1/2
 
 
Equação de Compatibilidade: 
[ ]
EIGJEI t
36010161203
6
1
10 −=⋅+⋅




 ⋅⋅⋅−=δ
[ ]
EIEIEIGJEI t
81
3
815416)3()3(3)3()3(1633
3
12333
3
1211 +=+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅++⋅










 ⋅⋅⋅⋅+




 ⋅⋅⋅⋅=δ 
011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +4.4 kN 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
 
M [kNm] T [kNm] 
120 
120 
+120
0 
0 
110 XMMM += 110 XTTT +=
13.3 13.3 
13.3
13.3 
+13.3
+13.3