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TEOREMA MILITAR LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES PROF. CESAR ANNUNCIATO NÍVEL 1 – ESA/EEAR 1. (EEAR 2009) Uma lanchonete tem em sua dispensa 5 espécies de frutas. Misturando 3 espécies diferentes, pode-se preparar quantos tipos de suco? a) 24 b) 15 c) 10 d) 8 2. (EEAR 2013) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecionados para comporem uma comissão de formatura. O número de formas distintas de se compor essa comissão é: a) 56 b) 48 c) 46 d) 38 3. (EEAR 2017) De um grupo de 10 pessoas, 5 serão escolhidas para compor uma comissão. Ana e Beatriz fazem parte dessas 10 (dez) pessoas. Assim, o total de comissões que podem ser formadas, que tenham a participação de Ana e Beatriz, é a) 24 b) 36 c) 48 d) 56 4. (EEAR 2017) Em um campeonato de tênis estão inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares podem formar__________ duplas diferentes. a) 34 b) 35 c) 44 d) 45 5. (ESA 2013) Um colégio promoveu numa semana esportiva um campeonato interclasses de futebol. Na primeira fase, entraram na disputa 8 times, cada um deles jogando uma vez contra cada um dos outros times. O número de jogos realizados na 1ª fase foi a) 8 jogos b) 13 jogos c) 23 jogos d) 28 jogos e) 35 jogos 6. (ESA – 2009) Uma obra necessita de vigilantes para o turno da noite durante exatamente 36 noites. Se para cada noite são necessários 2 vigilantes, quantos devem ser contratados de modo que o mesmo par de vigilantes não se repita? a) 16 b) 8 c) 18 d) 14 e) 9 7. (ESA 2012) Para o time de futebol da ESA, foram convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. O número de times diferentes que a ESA pode montar com esses jogadores convocados de forma que o time tenha 1 goleiro, 4 zagueiros, 5 meios de campo e 1 atacante é igual a a) 84 b) 451 c) 981 d) 17.640 e) 18.560 NÍVEL 2 – OFICIALATO 1. (Famema 2020) Em uma classe há 9 alunos, dos quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos dessa classe deverão formar 3 grupos com 3 integrantes em cada grupo, de modo que em cada um dos grupos haja um menino. O número de maneiras que esses grupos podem ser formados é a) 30. b) 60. c) 120. d) 90. e) 15. 2. (EsPCEx 2020) O Sargento encarregado de organizar as escalas de missão de certa organização militar deve escalar uma comitiva composta por um capitão, dois tenentes e dois sargentos. Estão aptos para serem escalados três capitães, cinco tenentes e sete sargentos. O número de comitivas distintas que se pode obter com esses militares é igual a a) 630. b) 570. c) 315. d) 285. e) 210. TEOREMA MILITAR LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES PROF. CESAR ANNUNCIATO 3. (Fgv 2020) Dez pessoas, entre elas Gilberto e Laura, pretendem formar uma comissão com quatro membros escolhidos entre os dez. Quantas comissões são possíveis se Gilberto e Laura podem ou não comparecer mas nunca juntos na mesma comissão? a) 182 b) 45 c) 240 d) 100 e) 70 4. (G1 - ifce 2019) Certo departamento de uma empresa tem como funcionários exatamente oito mulheres e seis homens. A empresa solicitou ao departamento que enviasse uma comissão formada por três mulheres e dois homens para participar de uma reunião. O departamento pode atender à solicitação de ______ maneiras diferentes. a) 840. b) 720. c) 401. d) 366. e) 71. 5. (Efomm 2019) De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres? a) 210 b) 250 c) 371 d) 462 e) 756 6. (Ueg 2019) Um ovo de brinquedo contém no seu interior duas figurinhas distintas, um bonequinho e um docinho. Sabe-se que na produção desse brinquedo, há disponível para escolha 20 figurinhas, 10 bonequinhos e 4 docinhos, todos distintos. O número de maneiras que se pode compor o interior desse ovo de brinquedo é a) 15.200 b) 7.600 c) 3.800 d) 800 e) 400 7. (EsPCEx 2019) Considere o conjunto de números naturais {1, 2, ,15}. Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é a) 168. b) 196. c) 224. d) 227. e) 231. 8. (Unioeste 2019) Uma empresa possui 10 diretores, dos quais, 3 são suspeitos de corrupção. Foi resolvido se fazer uma investigação composta por uma comissão de 5 diretores da empresa. A única condição imposta é que a comissão de investigação selecionada tenha a maioria de diretores não suspeitos. Selecionada, ao acaso, uma comissão para apuração das suspeitas formada por diretores desta empresa, é CORRETO afirmar que a probabilidade de que esta comissão atenda à condição imposta está no intervalo: a) (0,01; 0,50). b) (0,50; 0,70). c) (0,70; 0,80). d) (0,80; 0,90). e) (0,90; 0,99). 9. (Upe-ssa 2 2018) A turma de espanhol de uma escola é composta por 20 estudantes. Serão formados grupos de três estudantes para uma apresentação cultural. De quantas maneiras se podem formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes não podem pertencer a um mesmo grupo? a) 6.840 b) 6.732 c) 4.896 d) 1.836 e) 1.122 TEOREMA MILITAR LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES PROF. CESAR ANNUNCIATO 10. (AFA 2020) Um pisca-pisca usado em árvores de natal é formado por um fio com lâmpadas acopladas, que acendem e apagam sequencialmente. Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por vários blocos, com lâmpadas em formato de flores, com o seguinte padrão: - Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma com 5 lâmpadas circulares, de cores distintas (A, B, C, D, E), como na figura: - Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acendem e apagam juntas, por vez, ficando as outras duas apagadas. - Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam juntas. - Em duas flores consecutivas, nunca acendem e apagam as mesmas 3 cores da anterior. Assim, considere que uma composição possível para um bloco acender e apagar corresponde à figura abaixo: O número de maneiras, distintas entre si, de contar as possibilidades de composição para um bloco desse pisca-pisca é a) 510 b) 49 10 c) 59 d) 59 10 11. (AFA 2015) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações: I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria nenhum dos dois. Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para a situação II, nessa ordem, é a) 11 26 b) 13 25 c) 13 24 d) 11 24 12. (Esc. Naval 2014) Qual a quantidade de números inteiros de 4 algarismos distintos, sendo dois algarismos pares e dois ímpares que podemos formar, usando algarismos de 1 a 9? a) 2400 b) 2000 c) 1840 d) 1440 e) 1200 13. (AFA 2013) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-losé igual a a) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240 TEOREMA MILITAR LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES PROF. CESAR ANNUNCIATO 14. (AFA 2011) Um colecionador deixou sua casa provido de R$5,00 , disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a seguir. • 5 diferentes miniaturas de carros, custandoR$4,00 cada miniatura; • 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$1,00 cada miniatura; • 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$3,00 cada miniatura. O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é a) 15 b) 21 c) 42 d) 90 15. (EsPCEx 2011) Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, que as substâncias 1 2S , S e 3S não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano é a) 16 b) 24 c) 25 d) 28 e) 56 GABARITO NÍVEL 1 1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. E 7. D GABARITO NÍVEL 2 Resposta da questão 1: [D] Existem três modos de escolher o primeiro menino e 6 6! 15 2 2! 4! = = modos de escolher as duas meninas que formarão o primeiro grupo. Ademais, temos duas possibilidades para a escolha do segundo menino e 4 4! 6 2 2! 2! = = modos de escolher as meninas que irão compor o segundo grupo. Dessa forma, o terceiro grupo fica univocamente determinado. Portanto, observando que alguns grupos foram contados mais de uma vez, segue que a resposta é 3 15 2 6 90. 3! = Resposta da questão 2: [A] Existem = 3 3 1 maneiras de escolher o capitão, = = 5 5! 10 2 2! 3! modos de escolher os tenentes e = = 7 7! 21 2 2! 5! maneiras de escolher os sargentos. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é =3 10 21 630. Resposta da questão 3: [A] Número total de comissões possíveis (escolha de quaisquer quatro pessoas dentre as dez): 10 4 10! 10 9 8 7 C 210 6!4! 4 3 2 = = = Número de comissões em que Gilberto e Laura estão ambos presentes (escolha das outras duas pessoas dentre as oito que sobraram): 8 2 8! 8 7 C 28 6!2! 2 = = = Portanto, a quantidade de comissões possíveis é de: 210 28 182− = Resposta da questão 4: [A] TEOREMA MILITAR LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES PROF. CESAR ANNUNCIATO Calculando todas as possibilidades de escolha de três mulheres, temos: 8,3 8! C 56 3! 5! = = Calculando todas as possibilidades de escolha de dois, temos: 6,2 6! C 15 2! 4! = = Logo, departamento pode atender à solicitação de 56 15 840 = maneiras diferentes. Resposta da questão 5: [C] A escolha poderá ser feita das seguintes maneiras: [I] 2 mulheres e 4 homens: 4,2 7,4 4! 7! C C 6 35 210 2! 2! 4! 3! = = = [II] 3 mulheres e 3 homens: 4,3 7,4 4! 7! C C 4 35 140 3! 1! 3! 4! = = = [III] 4 mulheres e 2 homens: 4,4 7,2 4! 7! C C 1 21 21 4! 0! 2! 5! = = = Logo, o número de maneiras de se escolher 6 pessoas, com pelo menos duas mulheres, será dado por: 210 140 21 371.+ + = Resposta da questão 6: [B] Há 20 20! 190 2 2! 18! = = modos de escolher 2 figurinhas, 10 maneiras de escolher um bonequinho e 4 modos de escolher um docinho. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 190 10 4 7600. = Resposta da questão 7: [C] No conjunto há 7 números pares e 8 números ímpares. Para que a soma de três destes números seja um número ímpar deveremos ter duas possibilidades, ou seja, três números ímpares ou dois números pares e um ímpar. I) Total da grupos com 3 números ímpares. 8,3 8! C 56 3! 5! = = II) Total da grupos com dois números pares e 1 número ímpar. 7,2 8,1 7! 8! C C 21 8 168 2! 5! 1! 7! = = = Resposta: 56 168 224.+ = Resposta da questão 8: [E] Calculando inicialmente o número total de comissões com 5 diretores: 10,5 10! C 252 5! 5! = = Comissões sem diretores suspeitos: 7,5 7! C 21 5! 2! = = Comissões com apenas 1 diretor suspeito: 7,4 3,1 7! 3! C C 105 4! 3! 1! 2! = = Comissões com apenas 2 diretores suspeitos: 7,3 3,2 7! 3! C C 105 3! 4! 2! 1! = = Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 21 105 105 231 P 9,92 (0,90; 0,99). 252 252 + + = = Resposta da questão 9: [E] Sejam A e B os estudantes que não podem pertencer a um mesmo grupo. Vamos supor que queiramos calcular quantas são as possibilidades para formarmos exatamente um grupo. Assim, temos 20 20! 1140 3 3! 17! = = possibilidades, dentre as quais A e B estão presentes em 18. A resposta é 1140 18 1122.− = Resposta da questão 10: [B] Total de escolhas possíveis de 3 lâmpadas em cada uma das flores. Como temos 5 lâmpadas em cada uma das flores e precisamos acender 3, temos: 5,3 5! C 10 3! (5 3)! = = − Sabemos que em duas flores consecutivas, nunca acendem e apagam as mesmas 3 cores da anterior. O TEOREMA MILITAR LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES PROF. CESAR ANNUNCIATO número de maneiras, distintas entre si, de contar as possibilidades de composição para um bloco desse pisca-pisca é 410 9 9 9 9 10 9 = Resposta da questão 11: [A] Para a situação I, existem 11 11! 55 2 2! 9! = = escolhas possíveis. Para a situação II, o número de possibilidades é dado por 10 10! 10 10 130. 3 3! 7! + = + = Em consequência, a resposta é 55 11 . 130 26 = Resposta da questão 12: [D] Nos algarismos de 1 a 9 tem-se 4 algarismos pares e 5 algarismos ímpares. Deve-se escolher 2 algarismos ímpares e 2 pares, permutando-os. Assim, pode-se escrever: 2 2 5 4 5 4 3! 4 3 2! C C 4! 4! 1440 3! 2! 2! 2! = = Resposta da questão 13: [B] 1º caso: Soldados A e B na barraca I Barraca I: C8,2 = 28 Barraca II: C6,3 = 20 Barraca III: C3,3 = 1 Total(1) = 28 20 1 = 560. 2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II Barraca I: C8,3 = 56 Baraca II CC5,2 =10 Barraca III: C3,3 = 1 Total(2) = 56 10 1 = 560. Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 560 + 560 = 1120. Resposta da questão 14: [B] Só poderá comprar: 1 carro e 1 livro ----------------------------- 5,1 3,1C C 5 3 15 = = 2 livros e 1 bicho--------------------------- 3,1 2,1C C 3 2 6 = = Somando: 15 + 6 = 21. Resposta da questão 15: [C] Há = = 8 8! 28 2 2!6! modos de escolher duas substâncias dentre as 8 disponíveis. Por outro lado, = 3 3 2 dessas escolhas recaem em duas das três substâncias 1 2S , S e 3S . Portanto, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano, é − =28 3 25.