Lista_6 (2)

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Cálculo 2
Lista de Exercícios - Semana 06
1. Determine o valor de r de modo que y = erx seja uma solução de y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0.
2. Se t > 0, determine r para que y = tr seja solução de t2y′′ − 4ty′ + 4y = 0.
3. Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a) xdx+ ydy = 0
(b) y4dx− xdy = 0
(c) xdx− y3dy = 0
(d) (t+ 1)dt =
1
y2
dy
(e)
dx
dt
= x2t2
(f) y′ = cos2(x) cos2(2y)
(g)
dy
dt
= 3 + 5y
(h)
dy
dx
= y2
(i) dx− 1
y2 − 6y + 13
dy = 0
(j) y′ =
xex
2y
(k) y′ =
y
x2
(l)
4
y − 3
dx− x
y
dy = 0
(m) y′ =
x2
y(1 + x3)
(n) y′ + y2sen(x) = 0
(o) (y3+y)dx = (−y2+1)xdy
(p)
dx
dt
=
x
t
(q)
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
(r) (1 + ex
2
)dy = 2xyex
2
dx
(s) xy′ =
√
1− y2
(t)
dy
dx
=
x2
1 + y2
4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) sen(x)dx+ ydy = 0, y(0) = −2
(b) (x2 + 1)dx+
1
y
dy = 0, y(−1) = 1
(c) xex
2
dx+ (y5 − 1)dy = 0, y(0) = 0
(d) y′ =
x2y − y
y + 1
, y(3) = −1
5. Mostre que cada equação a seguir é exata e determine sua solução
(a) (y + 2xy3)dx+ (1 + 3x2y2)dy = 0
(b) ex
3
(3x2y − x2)dx+ ex3dy = 0
(c) 3x2y2dx+ (2x3y + 4y3)dy = 0
(d) ydx+ xdy = 0
(e) (ysen(x) + xy cos(x))dx+ (xsen(x) + 1)dy = 0
(f) −y
2
t2
dt+
2y
t
dy = 0
(g) −2y
t3
dt+
1
t2
dy = 0
(h) (4t3y3 − 2ty)dt+ (3t4y2 − t2)dy = 0
(i) 2xe2tdt+ (1 + e2t)dx = 0
(j) (cos(x) + x cos(t))dt+ (sen(t)− tsen(x))dx = 0
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Departamento de Matemática
GABARITO
1. r = 0 ou r = 1 ou r = 2.
2. r = 1 ou r = 4.
3. (a) x2 + y2 = C
(b) y =
1
3
√
C − 3 ln(x)
(c) y = ± 4
√
2x2 − C
(d) y =
−2
t2 + 2t− C
(e) −1
x
=
t3
3
+ C
(f) 2 tan(2y) = 2x+ sen(2x) + C
(g) y = Ce5t − 3
5
(h) y =
−1
x+ C
(i) y = 2 tan(2x− C) + 3
(j) y = ±
√
(x− 1)ex + C
(k) y = Ce−1/x
(l) ln(x4y3) = y + C
(m) 3y2 = 2 ln(1 + x3) + C
(n) y =
1
1− cos(x)
(o) xy2 + x = Cy
(p) x = tC
(q)
y2
2
+ ey =
x2
2
+ e−x + C
(r) y = C(1 + ex
2
)
(s) y = sen(ln(x) + C)
(t) y3 + 3y = x3 + C
4. (a) y = −
√
2 + 2 cos(x)
(b) y = e−
1
3
(x3+3x+4)
(c) 3ex
2
+ y6 − 6y = 3
(d) y + ln |y| = x
3
3
− x− 7
5. (a) xy + x2y3 + y = C
(b) (3y − 1)ex3 = 3C
(c) x3y2 + y4 = C
(d) xy = C
(e) (xsen(x) + 1)y = C
(f) y2 = tC
(g) y = Ct2
(h) t4y3 − t2y = C
(i) xe2t + x = C
(j) t cos(x) + xsen(t) = C