7 medidas de tendencia central amostragem Anadec

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Análise	de	decisão	1	
Heurís2ca	de	representa2vidade	
vieses	de	formulação	
Medidas	de	representação	e	
amostragem	
Considere	o	problema	1	
Na	próxima	estação	de	 chuvas,	espera-se	que	no	
DF,	 600	 pessoas	 irão	 contrair	 a	 dengue.	 Dois	
programas	 alterna2vos	 para	 combater	 a	 doença	
foram	 propostos.	 Se	 o	 programa	 A	 for	 adotado,	
200	 pessoas	 serão	 salvas	 e	 não	 serão	
contaminadas.	 Se	 o	 programa	 B	 for	 adotado,	 há	
um	 terço	 de	 probabilidade	 de	 que	 600	 pessoas	
sejam	 salvas	 e	 dois	 terços	 de	 probabilidade	 que	
ninguém	será	salvo.	Qual	programa	você	escolhe?	
Considere	o	problema	2	
Dentro	da	mesma	perspec2va	de	que	no	DF,	600	
pessoas	 irão	 contrair	 a	 dengue,	 outros	 dois	
programas	 alterna2vos	 para	 combater	 a	 doença	
foram	 propostos.	 Se	 o	 programa	 C	 for	 adotado,	
400	pessoas	contrairão	a	doença.	Se	o	programa	D	
for	adotado,	há	um	terço	de	probabilidade	de	que	
600	 pessoas	 não	 tenham	 a	 doença	 e	 dois	 terços	
de	 probabilidade	 que	 as	 600	 pessoas	 terão	 a	
doença.	Qual	programa	você	escolhe?	
Agora	
Uma	regra	simples	é	selecionar	a	alterna2va	com	
o	valor	esperado	mais	alto.	
	
Calcule	o	valor	esperado	de	cada	alterna2va	
Problema	1	
Uma	regra	simples	é	selecionar	a	alterna2va	com	o	
valor	esperado	mais	alto.	
Valor	esperado	de		
A:	x	*	p(x)è	200	*	1	=	200	
B:	Σ	x*	P(x)	è	(600	*	1/3)	+	(	0	*	2/3)	=	200	+	0	=	200	
	Problema	2	
Valor	esperado	de	
C:	x	*	p(x)è	400	*	1	=	400,	pelos	eventos	
complementares,	200	pessoas	não	terão	a	doença	
	D:	Σ	x*	P(x)	è	(600	*	1/3)	+	(	0	*	2/3)	=	200	+	0	=	200	
		
	
•  A	forma	como	o	problema	é	apresentado	pode	
mudar	a	perspec2va	que	as	pessoas	tem	dele.	
•  É	chamado	Viés	da	forma	
Examine	o	caso	Challenger	
A	nave	explodiu	em	1986,	73	segundos	depois	do	
lançamento.	A	explosão	aconteceu	devido	à	falha	de	
vedação	dos	anéis	de	borracha	da	nave	em	
temperaturas	baixas.	Quando	o	problema	em	
potencial	foi	levado	a	uma	reunião	pré-lançamento,	
os	tomadores	de	decisão	examinaram	as	
temperaturas	e	a	magnitude	dos	problemas	com	
anéis	de	borracha	nos	sete	lançamentos	anteriores	
que	2nham	2do	alguma	falha	com	anéis	de	borracha.	
Não	foi	detectado	qualquer	padrão	claro	com	relação	
aos	anéis,	e,	portanto,	tomaram	a	decisão	de	ir	em	
frente	com	o	lançamento.		
Examine	o	caso	Challenger	
Infelizmente	ninguém	decidiu	considerar	mais	
dezessete	lançamentos	anteriores	em	que	ocorreu	
falha	com	anéis	de	borracha.	Examinando	os	24	
lançamentos,	há	uma	clara	conexão	entre	a	
temperatura	e	a	falha	nos	anéis	de	borracha		
	
Medidas	de	tendência	central,	medidas	de	
dispersão	e	noções	de	amostragem	
Dos	dados	colhidos	em	sala	
IDADE	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 21.89	 22.29	 21.24	
MODA	 21	 19	 20	
MEDIANA	 21	 21	 21	
DESVIO	
PADRÃO	 3.7	 4.46	 1.63	
CV	 0.18	 0.2	 0.07	
AMPLITUDE		 21	 21	 6	
ALTURA	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 1.71	 1.76	 1.63	
MODA	 1.76	 1.75	 1.6	
MEDIANA	 1.73	 1.76	 1.62	
DESVIO	
PADRÃO	 10.87	 0.05	 0.07	
CV	 6.17	 0.03	 0.042	
AMPLITUDE		 0.32	 0.19	 0.26	
PESO	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 68.77	 78.41	 52.88	
MODA	 80	 80	 60	
MEDIANA	 70	 79.5	 52	
DESVIO	
PADRÃO	 15.81	 10.78	 8.04	
CV	 0.2	 0.14	 0.152	
AMPLITUDE		 67	 50	 30	
CORRELAÇÃ
O	PESO	X	
ALTURA	 0.85	 0.68	 0.62	
Caracterís2cas	numéricas	de	um	
conjunto	de	dados		
Medidas	de	posição	central	
•  MÉDIA	:	é	também	conhecido	como	Esperança	
Matemá2ca	ou	Valor	Esperado	dos	valores	da	
variável.	Nós	todos	temos	uma	idéia	já	bastante	
intui2va	de	média	e	é	uma	medida	muito	usada	
no	mundo	organizacional.	
	
•  para		amostra						ou			µ			para	população	
	
x
Média	
•  Para	dados	não	agrupados	
•  Para	dados	agrupados	
x =
xi
i=1
i=n
∑
n
onde	xi		=	valores	da	variável,	n=	quan2dade	
de	valores		
x =
xi fi
i=1
n
∑
fi
i=1
n
∑
xi 
fi 
n 
São	os	valores	da	variável	ou	os	pontos	
médios	das	classes	
	
Frequência	de	cada	classe,	e		
	
Somatório	das	frequências	
Média	
•  Usando	a	probabilidade,	conforme	já	foi	visto	
Usando	Excel	
•  Função	média	aritmé2ca	
•  ATENÇÃO:	o	excel	calcula	média	para	dados	não	
agrupados!!!	
E(X) = xi * p xi( )
i=1
n
∑
Outras	medidas		
de	posição	central	
Mediana	
•  é	o	valor	correspondente	ao	ponto	que	divide	o	conjunto	
de	dados	em	2	partes		de	igual	frequência	(50%	e	50%).	
	
Cálculo	para	dados	não	agrupados:	
•  organize	o	conjunto	de	dados	em	ordem	ascendente;	
•  verifique	a	quan2dade	de	valores:	se	for	ímpar	a	
mediana	é	o	valor	correspondente	à	ordem:			(n+1)/2,	
sendo	n	a	quan2dade	de	valores.	se	for	par,	a	mediana	é	
a	média	aritmé2ca	dos	valores	correspondentes	às	
ordens	(n/2)	e	(n/2)	+1	
	
Mediana	
Exemplo:	
•  n	ímpar:		2		3		5		6		7		9		11		a	mediana	é	o	valor	
correspondente	à	ordem	(n+1)/2,	ou	seja:		
•  n	=	7		então,		(n+1)/2	=	(7+1)/2	=	4	ª	ordem.	Md	=	6	
	
•  n	par	:	2		5		7		8		10		11	è		n/2	=	6/2	=	3			e			(n/2)	+	1	=	
(6/2)	+	1	=	4,	então	a		
•  mediana	é	a	média	entre	os	valores	7	e	8	è	Md	=	7,5	
Mediana	
•  Cálculo	para	dados	agrupados:	localizar	a	classe	cuja	frequência	
acumulada	abaixo	contém	o	somatório	de	50%	(	classe	da	mediana),	e	
calcular	segundo	a	fórmula:	
	
	
onde:		
•  Li	=	limite	inferior	da	classe	que	contém		a	mediana	
•  n	=	somatório	das	frequências	
•  Fab	=	soma	das	frequências	absolutas	(ou	simples)	das	classes	
anteriores	à	classe	que	contém	a	mediana		
•  h	=	amplitude	da	classe	que	contém	a	mediana	
•  Fmd	=	frequência	absoluta	ou	simples	da	classe	que	contém	a	
mediana		
•  Função	EXCEL:	MEDIANA	(sempre	para	dados	não	agrupados)	
Md = Li+ (n / 2)−Fab
Fmd
*h
Moda		
•  é	o	valor	ou	classe	de	valores		mais	freqüente.	
•  Cálculo	para	dados	não	agrupados:	basta	
observar	qual	o	valor	que	mais	ocorre.	Na	série:						
2		3		4		5		6		7		2		4		2		7		8		9		0	,	a	moda	é	2.	Já	na	
série	abaixo,	ocorrem	2	duas		modas:					2		3		2		4		
5		6		7		9		6		,	os	valores	2	e	6.	
Moda	
•  Cálculo	para	dados	agrupados:	localizar	a	classe	que	
contém	a	moda	(de	maior	freqüência),	e	calcular	
segundo	a	fórmula:	
Onde:		
•  Li	=	limite	inferior	da	classe	que	contém		a		moda	
•  d1	=	diferença	entre	a	freqüência	absoluta	ou	simples	da	
classe	modal		e		a	classe	imediatamente	anterior		
•  d2	=	diferença	entre	a	freqüência	absoluta	ou	simples		da	
classe	modal		e		a	classe	imediatamente	posterior	;	
•  	h	=	amplitude	da	classe	que	contém	a	moda.	
Mo = Li+ d1
d1 + d2
*h
Exemplos	de	cálculos	
Renda		dos	clientes	da	carteira	–	Julho	2015	
Média	
•  A	renda	média	dos	clientes	é	R$	8.675,00	
x = (5000*95)+ (7000*84)+ (9000*79)+ (11000*75)+ (13000*67)
(95+84+ 79+ 75+ 67)
x = 3470000
400
= 8675
Mediana	
Md = 8000+ (400 / 2)−179
79
*2000 =
Md = 8000+ 200−179
79
*2000 = 8531,64
Md = 8531,64
Moda		
Mo = 4000+ 95
95+11
*2000 = 4000+ 95
106
*2000
Mo = 4000+1792, 45= 5792, 45
Mo = 5792, 45
Análise	das	três	medidas	juntas	
A.  se	média	=	mediana	=	moda	è	a	curva	é	simétrica		
B.  se	média	>	mediana	è	a	curva	é	assimétrica	à	
direita	ou	posi2va	
C.  se	média	<	mediana	è	a	curva	é	assimétrica	à	
esquerda	ou	nega2va.	
Moda	mediana	média	 Média	mediana	moda	
A	 B	 C	
Dos	dados	colhidos	em	sala	
IDADE	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 21.89	 22.29	 21.24	
MODA	 21	 19	 20	
MEDIANA	 21	 21	 21	
DESVIO	
PADRÃO	 3.7	 4.46	 1.63	
CV	 0.18	 0.2	 0.07	
AMPLITUDE		 21	 21	 6	
Mediana	e	moda	menores	que	a	média	
Dos	dados	colhidos	em	sala	
PESO	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 68.77	 78.41	 52.88	
MODA	 80	 80	 60	
MEDIANA	 70	 79.5	 52	
DESVIO	
PADRÃO	 15.81	 10.78	 8.04	
CV	 0.2	 0.14	 0.152	
AMPLITUDE		 67	 50	 30	
CORRELAÇÃO	
PESO	X	ALTURA	 0.85	 0.68	 0.62	
Média	menor	que	a	mediana	e	que	a	moda	
Dos	dados	colhidos	em	sala	
ALTURA	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 1.71	 1.76	 1.63	
MODA	 1.76	 1.75	 1.6	
MEDIANA	 1.73	 1.76	 1.62	
DESVIO	
PADRÃO	 10.87	 0.05	 0.07	
CV	 6.17	 0.03	 0.042	
AMPLITUDE		 0.32	 0.19	 0.26	
Medidas	de	dispersão	
•  Amplitude	
•  Variância		e	Desvio-	padrão	
•  Coeficiente	de	Variação	
•  Alémde	detectar	o	grau	de	homogeneidade	e	
heterogeneidade,	servem	para	verificar	a	
representa2vidade	das	medidas	de	posição	ou	
seja,	auxiliam	as	medidas	de	posição	em	uma	
melhor	caracterização	de	um	conjunto	de	dados		
Medidas	de	dispersão	
Conjunto	de	dados	A:	60		120			140			160			220				è	a	média	é	
140	
Conjunto	de	dados	B:		140		140		140		140		140					è	a	média	é	
140	
Como	diferenciá-los?	Com	medidas	de	dispersão	
	
AMPLITUDE		(	A)	:		
•  A	=	X	máx	-	X	min		No	exemplo	dado	acima	tem-se:		
A.  X	máx	=	220		e	X	min	=	60,	logo			A	=	220	-	60	=	160	
B.  X	máx	=	140		e	X	min	=	140,	logo					A	=	140	-	140	=	0	
Medidas	de	dispersão	
•  Variância	-	(	σ2	)	-	é	uma	medida	de	dispersão	mais	
poderosa		e	mais	usada	que	a	amplitude.	Relaciona	o	
valor	de	cada	elemento	do	conjunto	de	dados	com	a	
média	dos	valores,	ou	seja,	reflete	a	dispersão	dos	dados	
em	torno	da	média.	
•  Desvio	Padrão	(σ)	É	a	raiz	quadrada	da	variância.	É	mais	
u2lizado	que	a	variância	porque	está	na	mesma	medida	
dos	valores	da	variável	em	análise.	Já	a	variância	tem	a	
desvantagem	de		estar	ao	quadrado		
•  COEFICIENTE	DE	VARIAÇÃO	(C.V.):	É	uma	medida	rela2va	de	
dispersão.	Caracteriza	a	dispersão	dos	dados	em	termos	
rela2vos	ao	seu	valor	médio.	É	muito	usado	para	
comparar	dois	grupos	diferentes	em	termos	de	
dispersão.	O	grupo	mais	homogêneo,	em	relação	a	uma	
variável	é	o	que	tem	menor	coeficiente	de	variação.		
Medidas	de	dispersão	–	Variância		
Dados	não	agrupados,	população	 Dados	agrupados,	população	
n = fi
i=1
n
∑ sendo fi = freqüência a cada classe
Xi = cada valor (para dados não agrupados)
Xi = ponto médio de cada classe (para dados agrupados)
X =média
Quando	se	tratar	de	amostras,	subs2tui-se	σ	por	S,	e	n	por	n-1	
C.V = σ
µ σ 2 =
xi − x( )
2
fi
i=1
n
∑
n
Medidas	de	dispersão	
Desvio− padrão 
σ = + σ 2 para populações
S = + S2 para amostras
S2 =
xi − x( )
i=1
n
∑
2
n−1
Nos	dados	anteriores	
σ = + 2729
 = 52, 24
σ = + 0 =
 = 0
caso a (60 120 140 160 220)
σ 2 =
(xi − x
i=1
i=n
∑ )2
n
 
σ 2 =
60−140( )2 + 120−140( )2 + 140−140( )2 + 160−140( )2 + 220−140( )2
5
σ 2 =
−80( )2 + −20( )2 + 0( )2 + 20( )2 + 80( )2
5
=
6400+ 400+ 0+ 400+ 6400
5
σ 2 =
13600
5
= 2720
caso b ( 140 140 140 140 140)
σ 2 =
(xi − x
i=1
i=n
∑ )2
n
 
σ 2 =
140−140( )2 + 140−140( )2 + 140−140( )2 + 140−140( )2 + 140−140( )2
5
σ 2 =
0( )2 + 0( )2 + 0( )2 + 0( )2 + 0( )2
5
=
0
5
σ 2 = 0
Em	relação	aos	dados		
colhidos	em	sala	
Qual	o	grupo	mais	homogêneo	em	relação	à	
idade?	Altura?	Peso?	
	
Dos	dados	colhidos	em	sala	
IDADE	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 21.89	 22.29	 21.24	
MODA	 21	 19	 20	
MEDIANA	 21	 21	 21	
DESVIO	
PADRÃO	 3.7	 4.46	 1.63	
CV	 0.18	 0.2	 0.07	
AMPLITUDE		 21	 21	 6	
ALTURA	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 1.71	 1.76	 1.63	
MODA	 1.76	 1.75	 1.6	
MEDIANA	 1.73	 1.76	 1.62	
DESVIO	
PADRÃO	 10.87	 0.05	 0.07	
CV	 6.17	 0.03	 0.042	
AMPLITUDE		 0.32	 0.19	 0.26	
PESO	
		 TOTAL	 HOMENS	 MULHERES	
MÉDIA	 68.77	 78.41	 52.88	
MODA	 80	 80	 60	
MEDIANA	 70	 79.5	 52	
DESVIO	
PADRÃO	 15.81	 10.78	 8.04	
CV	 0.2	 0.14	 0.152	
AMPLITUDE		 67	 50	 30	
CORRELAÇÃ
O	PESO	X	
ALTURA	 0.85	 0.68	 0.62	
Coeficiente	de	Variação	
•  Para	comparar	dois	grupos	diferentes,	usa-se	o	
coeficiente	de	variação.	Quanto	menor,	mais	
homogêneo	é	o	grupo.	
•  Em	relação	a	idade,	o	grupo	das	mulheres	é	
mais	homogêneo	
•  Em	relação	ao	peso	e	altura,	o	grupo	dos	
homens	é	mais	homogêneo	
C.V = σ
µ
O	Que	fazer		
•  Sempre	que	possível,	não	analisar	somente	a	
média.	
•  U2lizar	as	demais	medidas	de	tendência	central	
como	a	mediana	e	moda	
•  U2lizar	as	medidas	de	dispersão	em	conjunto	
para	se	ter	uma	ideia	melhor	do	conjunto	de	
dados