Pratique Unidade 2

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TEOREMA DA CONVOLUÇÃO E TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Olá, estudante!
Este é o momento em que você colocará a mão na massa. Na proposta a seguir, você será convidado(a) a realizar uma atividade prática aplicando os conteúdos estudados até aqui. Você irá desenvolver habilidades e competências importantes para seu desenvolvimento profissional. Preparado(a)?
Antes de iniciar, veja, a seguir, as habilidades contempladas nesta atividade prática:
	conceituar a operação de convolução de dois sinais;
	compreender e aplicar as Transformadas de Laplace em sistemas lineares.
Nos estudos sobre sinais e sistemas, elencamos um conjunto de ferramentas matemáticas necessárias para a resolução da análise dos sinais capturados e processados pelos sistemas. Nesse sentido, a convolução é um recurso matemático utilizado para o cálculo da saída de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT). A saída de um SLIT pode ser calculada por meio da convolução entre a entrada e resposta do sistema ao impulso unitário.
Para a resolução de equações diferenciais e integrais, torna-se necessário um estudo sobre o Teorema das Transformadas de Laplace. Os métodos matemáticos de Laplace nos auxiliam nas resoluções e na análise de sinais. Aliás, podemos entender que a convolução nada mais é que o produto de duas transformadas, o que resulta em uma função.
VAMOS PRATICAR
Dessa forma, de acordo com o apresentado, realize um estudo sobre a convolução e sua interação com as Transformadas de Laplace. Apresente suas descobertas e a necessidade de utilizar essas transformadas para a resolução das equações diferenciais da convolução. Além disso, responda: seria possível resolver sem a utilização das transformadas? Ao final, disponibilize seu trabalho no fórum da seção.
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Caro(a) estudante,
Espera-se que, com a atividade, você se aprofunde quanto ao estudo da Convolução e das Transformadas de Laplace, entendendo como as ferramentas da convolução são elementos da matemática que o auxiliam nas análises de sinais, lançando mão das transformadas para essa análise. Podemos concluir que a relação da convolução com as Transformadas de Laplace seria que a convolução facilita, por meio do produto de duas funções no tempo, a transformação das funções em uma função do domínio da frequência. Assim, aplicando as transformadas, transformamos essas funções em equações polinomiais, tirando a complexidade da equação para uma possível solução, aplicando o ferramental laplaciano.
Dentro desse contexto, verifica-se que não seria possível a resolução de duas equações diferenciais concluídas sem as Transformadas de Laplace, pois os processos analítico e algébrico se tornariam muito custosos do ponto de vista matemático. Em alguns casos, seria até de difícil solução. Portanto, o Teorema de Laplace surgiu para facilitar e simplificar a solução analítica.
Observe a figura a seguir.
 
Figura 2.1 - Cálculo de convolução discreta
           Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a figura apresenta seis gráficos em duas colunas. Os dois gráficos da direita apresentam dois botões de entradas dos sinais. O primeiro é "x1 (k) = Pulso", apresentado antes do primeiro gráfico; e o segundo é "x2 (k) = Exponencial", apresentado antes do segundo gráfico. Após, temos uma forma computacional de cálculo da convolução da função y(k) = x1(k)*x2(k), em que podemos realizar as escolhas de sinais em xn(k), variando os dados e tipos de entradas de dados. O primeiro gráfico da segunda coluna apresenta "x1 (n)", o segundo gráfico traz "x2 (8 - n)", o terceiro gráfico apresenta "x1 (n) x2 (8 - 2) e o quarto indica "y (k)".
Conforme o exemplo expresso pela equação de convolução na figura anterior, sem o uso do ferramental do Teorema de Laplace, fica evidente que, algebricamente, é complexo o cálculo. Desse modo, recorremos à ferramental computacional. Logo, é possível entender que a resolução das equações diferenciais, sem as transformadas, torna-se custosa do ponto de vista analítico e matemático, talvez até impossível.
Resposta :
A convolução e as Transformadas de Laplace são conceitos fundamentais na matemática aplicada e na engenharia, frequentemente utilizados na análise e resolução de equações diferenciais. Vamos explorar a relação entre esses dois conceitos e a necessidade de usar as Transformadas de Laplace na resolução de equações de convolução.
Convolução: A convolução é uma operação matemática que combina duas funções para criar uma terceira função que representa a média ponderada da superposição das duas funções originais
Esta operação é comumente usada em processamento de sinal, sistemas lineares e em muitos outros campos da engenharia e da física. Uma das áreas em que a convolução é extensivamente usada é na solução de equações diferenciais lineares.
Transformadas de Laplace: As Transformadas de Laplace são uma técnica matemática que transforma funções do domínio do tempo em funções do domínio da frequência complexa
A principal utilidade das Transformadas de Laplace é que elas simplificam a resolução de equações diferenciais lineares. Ao aplicar a Transformada de Laplace a uma proposta diferencial, você obtém uma busca algébrica no domínio da frequência complexa. Após resolver essa solução, você pode aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar uma solução no domínio do tempo.
Interação entre Convolução e Transformadas de Laplace: A convolução tem uma propriedade importante no contexto das Transformadas de Laplace: a convolução de duas funções no domínio do tempo corresponde à multiplicação das Transformadas de Laplace dessas funções no domínio da frequência complexa. 
Essa relação facilita a resolução de equações diferenciais envolvendo a convolução usando as Transformadas de Laplace. Em vez de resolver a questão no domínio do tempo, onde as equações podem ser mais complexas, podemos transformá-la no domínio da frequência complexa e resolver equações algébricas mais simples. Após obter a solução nesse domínio, podemos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para obter a solução no domínio do tempo.
Necessidade das Transformadas de Laplace: A utilização das Transformadas de Laplace em problemas de convolução simplifica significativamente a resolução de equações diferenciais lineares complexas. Portanto, a necessidade de utilizar essas transformadas é a capacidade de transformar problemas temporais complexos em problemas de álgebra mais simples, o que economiza tempo e facilita a análise.
Embora seja possível resolver equações de convolução sem o uso das Transformadas de Laplace, essa abordagem frequentemente resulta em soluções mais complexas e demoradas, especialmente quando se lida com equações diferenciais não lineares ou sistemas de equações acopladas. As Transformadas de Laplace fornecem uma ferramenta poderosa para simplificar o processo de resolução e, em muitos casos, tornam uma solução viável.
Em resumo, a convolução e as Transformadas de Laplace estão interligadas, com as Transformadas de Laplace sendo uma ferramenta poderosa para resolver equações de convolução de maneira mais eficiente e simplificada. Embora seja possível resolver tais equações sem as transformadas, a abordagem se tornaria consideravelmente mais complexa em muitos casos. Portanto, as Transformadas de Laplace desempenham um papel essencial na análise e resolução de equações de convolução em diversos campos da matemática e da engenharia.