Apostila4Calculodiferencialfuv12020

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FACULDADE PENTÁGONO 
Funções Unovariáveis 
Prof. MSc Thiago Abraão 
Limites e Derivadas 
2 
 
Caro Aluno, 
Este material foi elaborado para servir de apoio durante as aulas da 
disciplina Função de Uma Variável do curso de Engenharia de Produção. Conforme 
o plano de aula da disciplina será abordado temas fundamentais do Cálculo 
Diferencial, a saber: Limites de funções de uma variável, derivada de funções de 
uma variável e suas propriedades. Para tanto, é fundamental a compreensão sobre 
funções elementares e, ainda conhecimento elementar de álgebra e de conjuntos 
numéricos. 
O curso de Função de Uma Variável é um conteúdo essencial para o aluno 
que pretende seguir carreiras nas áreas de Tecnologia ou nas Engenharias, sua 
importância é verificada em problemas onde há aplicação da modelagem 
matemática, por exemplo, na Física, estatística, elaboração de projetos, cálculo de 
estruturas, projetos de máquinas, entre outros. Há estudos que apontam o 
surgimento das ideias centrais do cálculo diferencial e integral no antigo império 
Egípcio (cerca de 2000 a.C.) com o objetivo de encontrar a solução de problemas 
em cálculo de áreas e volumes. No entanto, tais ideias ganharam rigor e 
sistematização somente no sec. XVII, através dos trabalhos de Isaac Newton e 
Gottfried Wilhelm Leibniz1. Essas contribuições vão desde a notação simbólica, 
comumente usada, até as demonstrações de teoremas fundamentais bem como a 
aplicação em problemas da mecânica clássica (Isaac Newton). 
Atualmente, o cálculo diferencial e Integral é uma ferramenta poderosa e, 
indispensável para engenheiros, tecnólogos, técnicos e cientistas, de uma maneira 
geral, sua aplicação vai desde o lançamento de satélites até a construção de 
pontes. Aplicações em diversas áreas das ciências, tais como: Termodinâmica, 
Mecânica Clássica, Eletromagnetismo, Microeletrônica, Óptica de Raios, Óptica 
Ondulatória, Física Nuclear, Cinética Química, e Resistência dos Materiais, etc. 
As motivações para aprofundar os estudos do cálculo diferencial e integral, 
são inúmeras, certamente os ganhos também são imensuráveis, uma vez que se 
amplia a capacidade de raciocínio lógico quantitativo e o desenvolvimento de 
 
1
 Embora Newton tenha utilizado o cálculo na solução de problemas da Física, a notação e o rigor de algumas 
demonstrações são creditados a Leibniz. 
3 
 
habilidades na modelagem matemática dos mais diversos sistemas (mecânicos, 
térmicos, elétricos, estruturais, entre outros). 
É com imensa satisfação, que elaboro este material e espero que o 
aproveite, que lhe sirva de ganho pessoal, intelectual e profissional, servindo de 
apoio na sua trajetória acadêmica. 
Ainda, para complementar os seus estudos não deixe de consultar livros, 
vídeos e outras boas referências encontradas na web. 
Há ainda recursos adicionais, como softwares e aplicativos disponíveis para 
facilitar o entendimento e expandir o seu conhecimento. Citando alguns deles, 
como o Wolfram Alpha (https://wolframalpha.com) e software como o Geogebra 
(https://www.geogebra.org/?lang=pt). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Tenho a impressão de ter sido 
uma criança brincando à beira-mar, 
divertindo-me em descobrir uma 
pedrinha mais lisa ou uma concha mais 
bonita que as outras, enquanto o imenso 
oceano da verdade continua misterioso 
diante de meus olhos.” 
Sir. Isaac Newton 
https://www.wolframalpha.com/
https://www.geogebra.org/?lang=pt
4 
 
Sumário 
1. Introdução ao Cálculo .......................................................................................................5 
1.1. Limite de uma Função de uma variável .....................................................................5 
1.2. Vizinhança de um ponto ............................................................................................7 
1.3. Definição de limite de uma função ............................................................................8 
1.3.1. Limite de uma função constante (𝑦 = 𝑘 ou 𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ) ........................8 
1.3.2. Limite de uma função do 1ºgrau ........................................................................9 
1.3.3. Exercícios Propostos ...........................................................................................9 
1.4. Propriedades dos Limites .........................................................................................10 
1.4.1. Unicidade do Limite ..........................................................................................10 
1.4.2. Limite da soma das funções .............................................................................10 
1.4.3. Limite da diferença das funções .......................................................................10 
1.4.4. Limite do produto das funções .........................................................................10 
1.4.5. Limite do quociente das funções ......................................................................10 
1.4.6. Exercícios Propostos .........................................................................................11 
1.5. Indeterminação do tipo 00 no cálculo de limites ...................................................11 
1.5.1. Exercícios Propostos .........................................................................................12 
2. Derivada de uma Função em um ponto. .........................................................................13 
2.1. Exercícios Propostos ................................................................................................16 
2.2. Derivada de potência. ..............................................................................................16 
2.2.1. Exercícios Propostos .........................................................................................17 
2.3. Derivada do produto de duas funções ....................................................................17 
2.4. Derivada do quociente de duas funções .................................................................17 
2.4.1. Exercícios Propostos .........................................................................................18 
3. Referências Bibliográficas ...............................................................................................19 
 
Lista de Figuras 
Figura 1 - Gráfico de uma Função Constante. .......................................................... 8 
Figura 2 - Gráfico de uma Função do 1°Grau ........................................................... 9 
Figura 3 - Reta Secante .......................................................................................... 13 
Figura 4 - Representação Geométrica da Derivada ................................................ 14 
Lista de Tabelas 
Tabela 1 - Variação dos Valores de x e f(x) ara valores a esquerda de 3. ................ 5 
Tabela 2 - Variação dos Valores de x e f(x) ara valores a direita de 3. ..................... 6 
https://ufabcedubr-my.sharepoint.com/personal/thiago_asilva_ufabc_edu_br/Documents/PENTAGONO/2019_2Semestre/TECNOLOGIA_MECATRONICA_INDUSTRIAL_3LMTPIA-S409/FUV_FUNCAO_UMA_VARIAVEL_2019/Apostila_Calculo_diferencial.docx#_Toc23178354
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5 
 
1. Introdução ao Cálculo1.1. Limite de uma Função de uma variável 
 
A noção de limite de uma função nos ajuda a compreender o que ocorre com 
uma função quando o valor do seu domínio tende ao infinito ou até mesmo a um 
determinado valor em particular. Para termos uma ideia, vamos considerar a 
função abaixo: 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 3
 (1) 
Analisando a função dada em (1) verifica-se que o seu domínio NÂO ESTÁ 
DEFINIDO PARA “3”, uma vez que, caso “𝑥” seja igual a “3”, teremos 
imediatamente o denominador igual “0”. Assim, temos que o domínio é dado por: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ 3} 
 No entanto, caso quiséssemos entender qual o comportamento da função 
para valores próximos de “3”, poderíamos tomar dois caminhos, o primeiro 
considerando a vizinha a esquerda de “3”, ou seja, considerando valores menores 
que “3”, o segundo, considerando os valores da vizinhança a direita, ou seja, 
tomando valores maiores que “3”, em ambos os casos pode-se verificar alguns 
padrões. (STEWART, 2009) 
Este tipo de análise nos permite compreender o comportamento da função, 
quando o domínio tende a valores próximos “3”. Vejamos o que acontece com a 
função conforme apresentado na tabela 1, encontramos os respectivos valores de 
𝑥 e 𝑓(𝑥) considerando valores da vizinhança a esquerda de “3”. 
 
Tabela 1 - Variação dos Valores de x e f(x) ara valores a esquerda de 3. 
𝒙 1 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 
𝒇(𝒙) 2 3 3,5 3,9 3,99 3,999 3,9999 
 
6 
 
Agora, vejamos o que acontece com a função quando tomamos valores na 
vizinhança do lado direito de 3, na tabela 2 encontramos os respectivos valores de 
𝑥 e 𝑓(𝑥). 
Tabela 2 - Variação dos Valores de x e f(x) ara valores a direita de 3. 
𝒙 5 4 3,5 3,1 3,01 3,001 3,0001 
𝒇(𝒙) 6 5 4,5 4,1 4,001 4,001 4,0001 
 
Comparando as duas tabelas, percebemos que quando os valores de “ x ” 
tendem a 3 pela direita ou pela esquerda os valores da função tendem a valores 
próximos de 4. Ainda, verifica-se que quão mais próximo o valor de “ x ” for 3 o 
valor de f(x) será mais próximo de 4. 
Esta análise pode ser representada matematicamente utilizando o conceito 
de limite, assim, as abordagens tomadas para valores a esquerda e a direita de 3 
podem ser representadas da seguinte maneira: 
Resumidamente, temos que o limite da função f(x) quando x tende a valores 
a direita de 3 é igual a 4. 
lim
𝑥→3+
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 3
= 4 
Resumidamente, temos que o limite da função f(x) quando x tende a valores 
a esquerda de 3 é igual a 4. 
lim
𝑥→3−
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 3
= 4 
Os símbolos “+” e “-” representados sobre o número 3 indicam o sentido da 
variação dos valores (maiores ou menores) de 3. Essa abordagem é conhecida 
como limites laterais da função, quando os resultados dos limites são iguais nos 
dois sentidos, diz-se que o limite existe e é único. Assim, concluímos: 
lim
𝑥→3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 3
= 4 
A importância do uso dos limites é fundamental para compreender o que 
ocorre com uma função quando os valores tendem ao infinito ou há valores nos 
quais o domínio da função não está definido. O uso deste recurso é crucial para 
7 
 
elaboração dos gráficos de funções mais complexas. Em épocas remotas, quando 
não havia a disponibilidade de computadores e calculadoras gráficas, a construção 
de gráficos era possível através de uma análise do seu limite. 
1.2. Vizinhança de um ponto 
 
Sabemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números 
reais e os pontos de uma reta, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único 
número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um ponto da reta. 
Assim, devido a essa correspondência usa-se indistintamente as palavras 
número e ponto. Considerando um intervalo aberto: 
𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 𝑜𝑢 ] 𝑎, 𝑏 [ 
Onde a e b são reais e distintos. 
Se �̅� ∈ 𝐼 o intervalo é chamado de vizinhança do ponto �̅�. 
 
Assim: 
 
 
No caso particular de �̅� ser o ponto médio de ] 𝑎, 𝑏 [, dizemos que o 
intervalo é uma vizinha simétrica de �̅�. 
 
 
 
Note que nesse caso x̅ = (a + b)/2. 
Assim: 
Dessa forma, 
Vizinhança de �̅� é qualquer intervalo aberto ao qual �̅� pertence. 
 
 
𝑥 
𝑏 �̅� 𝑎 
𝑥 
𝑏 �̅� 𝑎 
Vizinhança simétrica de �̅� é qualquer intervalo aberto do qual �̅� é ponto médio. 
 
 
8 
 
1.3. Definição de limite de uma função 
O limite de 𝒚 = 𝒇(𝒙) é 𝑏 quando 𝑥 tende 𝑎 se, para qualquer 
vizinhança 𝑽𝒃 𝒅𝒆 𝒃, existir em correspondência com uma vizinhança 
𝑽𝒂 𝒅𝒆 𝒂 tal que para qualquer 𝒙 ∈ 𝑽𝒂 com 𝒙 ≠ 𝒂 se tenha 𝒇(𝒙) ∈ 𝑽𝒃. 
1.3.1. Limite de uma função constante (𝑦 = 𝑘 ou 𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ) 
 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x. 
 
 
Digite a equação aqui. 
 
 
 
 
 
Assim, para qualquer 𝑎 ∈ ℝ temos: 
 
 
 
Como exemplo: 
a) lim𝑥→1 12 = 12 
b) lim𝑥→−2 √2 = √2 
c) lim𝑥→0 [sen
𝜋
4
] =
√2
2
 
 
 
𝒚 
𝒙 
 
𝒌 
 
𝒚 = 𝒌 
𝒂 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 
 
𝟎 
 
Figura 1 - Gráfico de uma Função Constante. 
9 
 
1.3.2. Limite de uma função do 1ºgrau 
 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, para qualquer 𝑎 ∈ ℝ temos: 
 
 
Como exemplo: 
a) lim𝑥→5(3𝑥 + 5) = 3 ∙ 5 + 5 = lim𝑥→5(3𝑥 + 5) = 20 
b) lim𝑥→−1 (
3
4
𝑥 −
5
4
) =
3
4
∙ (−1) −
5
4
→ lim
𝑥→−1
(
3
4
𝑥 −
5
4
) = −2 
1.3.3. Exercícios Propostos 
 
1. Determine os limites: 
 
 
 
 
𝒙 
 
𝒚 
𝒇(𝒂) 
 
𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒏 
𝒂 
 
𝟎 
 
lim
𝑥→𝑎
(𝑚𝑥 + 𝑛) = 𝑓(𝑎) 
 
a) lim𝑥→0 [sen
3𝜋
4
] 
b) lim𝑥→4 √−27
3
 
c) lim𝑥→−0,5(3 − 2𝑥) 
 
d) lim𝑥→0,5(0,2𝑥 − 0,5) 
e) lim𝑥→3 (𝑎𝑥 −
3
5
) =
1
4
 
f) lim𝑥→−2 (
3
4
 − 5𝑎𝑥) = 4 
 
Figura 2 - Gráfico de uma Função do 1°Grau 
10 
 
1.4. Propriedades dos Limites 
 
As propriedades dos limites são importantes, pois ajudam a encontrar a 
solução dos limites para demais casos. 
1.4.1. Unicidade do Limite 
 
O valor de lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥), se existir, é único. 
Assim, temos que se lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 e lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑐, então 𝑏 = 𝑐. 
Todas as propriedades estão relacionadas com duas funções. Sejam, 
portanto, 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) tais que: 
 
 
1.4.2. Limite da soma das funções 
 
 
 
1.4.3. Limite da diferença das funções 
 
 
 
 
1.4.4. Limite do produto das funções 
 
 
1.4.5. Limite do quociente das funções 
 
 
 
 
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿1 e 
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿2 
lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) =
𝐿1 + 𝐿2 
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
 =
𝐿1
𝐿2
 (𝑠𝑒 𝐿2 ≠ 0) 
lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) =
𝐿1 − 𝐿2 
lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) =
𝐿1 ∙ 𝐿2 
11 
 
1.4.6. Exercícios Propostos 
 
2. Determine o valor de m nos casos seguintes: 
 
 
 
 
 
3. Utilizando as propriedades dos limites já estudadas, calcule: 
 
1.5. Indeterminação do tipo 
𝟎
𝟎
 no cálculo de limites 
 
Tomamos como exemplo o seguinte limite: 
lim
𝑥→3
𝑥2 + 2𝑥 − 15
𝑥2 − 9
 (2) 
Substituindo 𝑥 por 3 verifica-se uma indeterminação do tipo 
0
0
, neste caso, 
para encontrar a solução do limite é necessário fatorar, sendo realizado este 
processo até eliminar a indeterminação. 
Encontrando a raízes de 𝑥2 + 2𝑥 − 15, temos que 𝑥1 = −5 𝑒 𝑥2 = 3. Assim, 
podemos escrever que 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = (𝑥 + 5) ∙ (𝑥 − 3). 
Ainda, usando diferença entre dois quadrados 𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦). 
Dessa forma, 𝑥2 − 9 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 3). Reescrevendo o limite (2), temos; 
a) lim𝑥→4[𝑥 ∙ (𝑥 + 3)] 
b) lim𝑥→0
3𝑥−4
𝑥+2
 
c) lim𝑥→−0,5
1
3
−𝑥
𝑥−
1
4
 
 
 
 
 
 
a) lim𝑥→10 𝑓(𝑥) = 5𝑚 − 3 𝑒 lim
𝑥→10
𝑓(𝑥) =
3𝑚
4
 
b) lim𝑥→𝜋
2
 𝑔(𝑥) = 𝑚
2 + 𝑚 − 40 𝑒 lim𝑥→𝜋
2
𝑔(𝑥) =
40 − 𝑚 
 
 
 
121.5.1. Exercícios Propostos 
 
1. Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→3
𝑥2 + 2𝑥 − 15
𝑥2 − 9
 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
(𝒙 + 𝟓) ∙ (𝒙 − 𝟑)
(𝒙 + 𝟑). (𝒙 − 𝟑)
 = lim
𝑥→3
 
𝑥 + 5
𝑥 + 3
=
4
3
 
 
Agora não existe indeterminação do tipo 
𝟎
𝟎
, dessa 
forma o limite pode ser resolvido 
 
a) lim𝑥→1
𝑥3−1
𝑥−1
 
b) lim𝑥→−2
𝑥3+4𝑥2+3𝑥−2
𝑥2−4
 
c) lim𝑥→2
𝑥3−8
𝑥−2
 
d) lim𝑥→1
𝑥4−1
1−𝑥2
 
e) lim𝑥→−5
𝑥3+8𝑥2+15𝑥
𝑥2−25
 
 
 
 
13 
 
2. Derivada de uma Função em um ponto. 
 
Uma grande quantidade de problemas de cálculo podem ser resolvidos se 
encontrarmos a reta tangente a uma curva, em um ponto especifico da curva. Se a 
curva é uma circunferência, sabemos da geometria plana que a reta tangente em 
um ponto 𝑃 da circunferência é definida como a reta que intercepta a circunferência 
somente no ponto 𝑃. 
Conforme a Figura 3, seja 𝑓(𝑥) uma função, de uma variável, contínua no 
intervalo entre os pontos 𝑃 e 𝑄 definida por 𝑓(𝑥); 
 
 
Digite a equação aqui. 
 
 
 
 
A reta "𝑟" é chamada de secante a curva, pois intercepta a curva 𝑓(𝑥) em 
dois pontos (𝑃 𝑒 𝑄). 
Conforme a Figura 4, temos que o ponto 𝑥2 pode ser representando por; 
 
 
Considerando que o ponto 𝑄 percorra a curva até encontrar o ponto 𝑃, e 
ainda, sabendo que a inclinação da reta “r” é dada por; 
 
𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) 
 
 𝒚 
𝒙 
 
𝟎 
 
𝑓(𝑥1) 
 
𝑓(𝑥2) 
 𝑓(𝑥) 
 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) 
𝑥1 
 
𝑥2 
 
𝑟 
Figura 3 - Reta Secante 
𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) 
𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 
 
tg 𝜃 =
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
=> 𝐭𝐠 𝜽 =
𝒇(𝒙𝟏 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏)
∆𝒙
 
 
14 
 
Ao fazer o ponto 𝑄 se aproximar do ponto 𝑃 pela curva, temos que cada vez 
mais ∆𝑥 será menor. Assim, podemos dizer que quando ∆𝑥 → 0 o ponto 𝑄 tenderá 
ao ponto 𝑃 de tal forma que a reta tocará um único ponto da curva 𝑓(𝑥), dizemos 
que a reta será tangente a curva no ponto 𝑃. Simbolicamente de forma 
generalizada, obtemos; 
 
 
 
Assim, definimos que a derivada é a inclinação da reta tangente em 
relação ao eixo das abcissas. Simbolicamente, temos; 
 
 
 
 
 
Digite a equação aqui. 
 
 
 
 
 
 
 
𝒚 
𝒙 
 
𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) 
𝟎 
 
𝑓(𝑥1) 
 
𝑓(𝑥2) 
 
𝑻 
𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) 
𝑥1 
 
𝑥2 
 
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
 
𝜃 
Figura 4 - Representação Geométrica da Derivada 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 
 
lim
∆𝑥→0
tg 𝜃 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 
𝒅𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
 (𝟑) 
 
15 
 
Exemplos; 
a) 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟒 
Primeiro encontramos 𝑓(𝑥 + ∆𝑥); 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 3(𝑥 + ∆𝑥) + 4 
Em seguida, substituindo 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) em (3), temos; 
 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
3(𝑥 + ∆𝑥) + 4 − (3𝑥 + 4)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
3𝑥 + 3∆𝑥 + 4 − 3𝑥 − 4
∆𝑥
= 3 
 
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 
 
Primeiro encontramos 𝑓(𝑥 + ∆𝑥); 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 + 2(𝑥 + ∆𝑥) 
Em seguida, substituindo 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) em (3), temos; 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)2 + 2(𝑥 + ∆𝑥) − (𝑥2 + 2𝑥)
∆𝑥
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2 + 2𝑥 + 2∆𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥
∆𝑥
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2 + 2∆𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥(2𝑥 + ∆𝑥 + 2)
∆𝑥
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2𝑥 + ∆𝑥 + 2 
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 
 
 
16 
 
2.1. Exercícios Propostos 
 
1. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Derivada de potência. 
 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, uma função real, de uma variável. A sua derivada pode ser 
encontrada usando a equação 3. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥𝑛] = 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)𝑛 − 𝑥𝑛
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
[𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1∆𝑥 +
𝑛(𝑛 − 1)
2! 𝑥
𝑛−2∆𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑥∆𝑥𝑛−1 + ∆𝑥𝑛] − 𝑥𝑛
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
𝑛𝑥𝑛−1∆𝑥 +
𝑛(𝑛 − 1)
2! 𝑥
𝑛−2∆𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑥∆𝑥𝑛−1 + ∆𝑥𝑛
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
[𝑛𝑥𝑛−1 +
𝑛(𝑛 − 1)
2!
𝑥𝑛−2∆𝑥 + ⋯ + 𝑛𝑥∆𝑥𝑛−2 + ∆𝑥𝑛−1] 
= 𝑛𝑥𝑛−1 +
𝑛(𝑛 − 1)
2!
𝑥𝑛−2∆𝑥 + ⋯ + 𝑛𝑥∆𝑥𝑛−2 + ∆𝑥𝑛−1 
= 𝑛𝑥𝑛−1 + 0 + ⋯ + 0 + 0 
= 𝑛𝑥𝑛−1 
𝒅
𝒅𝒙
[𝒙𝒏] = 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
 
 
a) 𝑓(𝑥) = 10 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 4 − √𝑥 
e) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
 
 
∆𝑥𝑛−2 ∆𝑥𝑛−1 
17 
 
2.2.1. Exercícios Propostos 
 
1. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. Derivada do produto de duas funções 
 
Seja ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), uma função real, de uma variável. A sua derivada 
pode ser encontrada usando a equação: 
 
 
 
2.4. Derivada do quociente de duas funções 
 
Seja ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, uma função real, de uma variável. A sua derivada pode ser 
encontrada usando a equação: 
 
 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 4 − √𝑥 
e) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
 
 
 
𝒅
𝒅𝒙
[
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
] = 𝒉′(𝒙) =
𝒇′(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′(𝒙)
𝒈(𝒙)𝟐
 
 
𝒅
𝒅𝒙
[𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] = 𝒉′(𝒙) = 𝒇′(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′(𝒙) 
 
18 
 
2.4.1. Exercícios Propostos 
 
1. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥 
b) 𝑢(𝑥) = 𝑥2 cos 𝑥 + 2𝑥 
c) 𝑦(𝑥) = √𝑥 sen 𝑥 
d) 𝑔(𝑥) =
√𝑥
𝑥2
 
e) 𝑡(𝑥) =
𝑥
sen 𝑥
 
f) 𝑡(𝑥) = tg 𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 
 
 
 
 
 
19 
 
3. Referências Bibliográficas 
 
ANTON, H. (2007). Cálculo: um novo horizonte (Vol. 1). Rio de Janeiro: Bookman. 
BOULOS, P. (1999). Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Markon. 
GUIDORIZZI, H. L. (2001). Um curso de Cálculo. São Paulo: LTC. 
LARSON, R., HOSTETLER, R. P., & EDWARDS, B. (2000). Cálculo, 8º Edição. São Paulo: McGraw-Hill. 
LEITHOLD. (1994). O Cálculo com Geometria Analítica (Vol. I). São Paulo: Habra. 
Silva, T. A. (2011). Non Linear Dynamics. Em T. A, Non Linear Control (pp. 50-70). São Paulo: AIP. 
STEWART, J. (2009). Cálculo. Rio de Janeiro: Thomson. 
Da Silva, T. A. D. A., Meza, M. E. M., Fenili, A., Balthazar, J. M. & Da Fonseca Brasil, R. M. L. R. A 
nonlinear model and force control of a robotic claw. AIP Conf. Proc. 1637, 988–997 (2014). 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
TABELAS DE DERIVADAS 
21 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS