Atividade Produto Escalar - Laura Helena de Melo Passoni

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Atividade Produto Escalar – Laura Helena de Melo Passoni 
 
 
 
 
1) Dados os vetores �⃗� = (1, 𝑎 , −2𝑎 − 1), 𝑣 ⃗⃗⃗ = (𝑎, 𝑎 − 1,1) 𝑒 �⃗⃗� = (𝑎, −1, 1 ), 
determinar a de modo que �⃗� . 𝑣 = (�⃗� + 𝑣 ⃗⃗⃗ ). �⃗⃗� . 
 
𝑣 . �⃗� = 1𝑎 + 𝑎(𝑎 − 1) + (−2𝑎 − 1) .2 
𝑣 . �⃗� = 𝑎 + 𝑎 ² − 𝑎 − 2𝑎 − 2𝑎 − 1 
𝑣 . �⃗� = 𝑎² − 2ª − 1 
 
�⃗� + 𝑣 = (𝑎 + 1, 2𝑎 − 1, 2𝑎) 
 
(𝑎 + 1, 2ª − 1, 2𝑎) . (𝑎 − 1,1) 
�⃗� + 𝑣 = 𝑎² + 𝑎 − 2ª + 1 − 2ª 
�⃗� + 𝑣 = −3ª + 𝑎² + 1 − 3ª + 𝑎² + 1 
= 𝑎² − 2ª – 1 
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 
 
−𝑎 = −2 
𝑎 = 2 
 
6) Determinar o valor de 𝑛 para que o vetor 𝑣 = (𝑛,
2 
5
,
4
5
) seja unitário 
 
 
Para que um vetor seja definido como unitário a sua norma deve ser igual a 1. 
Assim, para calcular a norma de um vetor, temos de calcular a raiz quadrada da soma 
dos quadrados das ordenadas do vetor. 
 
. 
 
 
𝑛2 +
4 
25
+
16
25
= 1 
 
 
𝑛2 +
20
25
= 1 
 
 
𝑛² = 1 − 
20
25
 
 
 
𝑛2 =
5
25
 
 
 
𝑛 = 
√5
5
𝑜𝑢 𝑛 = −
√5
5
 
 
 
Portanto 
 
𝑣 = (
√5
5
,
2
5
,
4
5
)𝑜𝑢 𝑣 = (−
√5
5
,
2
5
,
4
5
) 
 
 
 
17) Calcular 𝑛 para que seja de 30º o ângulo entre os vetores �⃗� = (1, 𝑛 2) 𝑒 𝑗 
 
 
Para resolver o exercício proposto deve ser utilizado o conceito de Produto 
Escalar entre dois vetores, portanto, seguindo o modelo temos 
 
 
𝑢 ⃗⃗ ⃗. 𝑗 = (1, 𝑛, 2) . (0, 1, 0) = 1 . 0 + 𝑛 . 1 + 2 . 0 = 0 + 𝑛 + 0 = 𝑛 
 
|�⃗� | = √(12 + 𝑛2 + 22) = √(1 + 𝑛2 + 4) = √(𝑛2 + 5) 
 
|𝑗| = √(02 + 12 + 02) = √(1) = 1 
 
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(30) =
(√3)
2
 
 
 
𝑢 . 𝑗 = |�⃗� | . |𝑗| . 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
 
𝑛 = √(𝑛2 + 5). 1
2
 
 
𝑛 = √(𝑛2 + 5). (√3)
2
 
 
𝑛 = √3(𝑛2 + 5)
2
 
 
2𝑛 = √(3. (𝑛2 + 5)) 
 
 
2𝑛 = √(3𝑛2 + 15) 
 
(2𝑛)2 = (√(3𝑛2 + 15))
2
 
 
4𝑛2 = 3𝑛2 + 15 
 
4𝑛2 − 3𝑛2 = 15 
 
𝑛² = 15 
 
𝑛 = ±√15 
 
 
19) Determinar o vetor 𝑣 , paralelo ao vetor �⃗� (1,−1,2) tal que 𝑣 . �⃗� = −18 
 
 
𝑣 //�⃗� 𝑠𝑒 = 𝑘. (1,−1,2) 
𝑣 = (𝑘, −𝑘, 2𝑘) 
 
𝑣 . �⃗� = 1𝑘 + (−1). (−𝑘) + 4𝑘 
 𝑣 . �⃗� = 6𝑘 
6𝑘 = −18 – 𝑘 =
−18 
6
 
 
𝐾 = −3 
 
𝑣 = (−3,3,−6) 
 
 
33) Determinar o vetor projeção do vetor �⃗� = (1,2,−3) na direção de 𝑣 =
 (2,1,−2) 
 
𝑃𝑟𝑜𝑗�⃗� �⃗� =
 �⃗� . 𝑣 ⃗⃗⃗ 
|𝑣 2|
 . 𝑣 ⃗⃗⃗ 
 
�⃗� . 𝑣 ⃗⃗⃗ = 1.2 + 2.1 + (−3). (−2) 
 
 �⃗� . 𝑣 ⃗⃗⃗ = 2 + 2 + 6 
 
�⃗� . 𝑣 ⃗⃗⃗ = 10 
 
 
|𝑣 | = √2² + 1² + (−2) 
 
|𝑣 | = √4 + 1 + 4 
 
|𝑣 | = √9 
 
|𝑣 |2 = 32 
 
|𝑣 |2 = 9 
 
Portanto 
 
𝑃𝑟𝑜𝑗�⃗� �⃗� =
10 
9
. (2,1,−2) 
 
 
𝑃𝑟𝑜𝑗�⃗� �⃗� = (
20 
9
,
10 
9
, −
20 
9
)