Avaliação I - Individual Analise Matemática

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13/12/2023 08:09 Avaliação I - Individual
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Prova Impressa
GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:886286)
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Prova 75229240
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm 
propriedades que muito intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história. Por este motivo, 
várias são as possibilidades dentro da analise matemática para comprovar que um conjunto é infinito. Para 
concluir que um conjunto é infinito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas, em 
seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B F - V - V - F.
C V - V - F - F.
D V - V - V - F.
Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser 
bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de 
anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas 
matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números naturais, analise 
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as sentenças que são provadas matematicamente:
I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número natural m.
II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n).
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e II estão corretas.
B Somente a sentença I está correta.
C As sentenças I, II e IV estão corretas.
D As sentenças II e III estão corretas.
Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da análise matemática, faz-se 
necessário construir os raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais 
complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, 
propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que a soma 1 + 3 + 5 + ... + 2n -1 = n² para todo 
n natural, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
A Absurdo.
B Contradição.
C Indução.
D Prova Direta.
Na adição, existe uma propriedade relacionada à existência de um elemento inverso para cada número.
Supondo que o número 130 seja somado ao número x e que o resultado dessa soma seja zero, assinale a 
alternativa CORRETA:
A É impossível que a soma seja igual a zero, pois, sempre que se somam dois números, o resultado deve
ser maior que eles.
B É possível que a soma obtenha zero como resultado, bastando, para isso, que x seja o inverso aditivo
de 130.
C É impossível que a soma seja igual a zero, pois, dados os números x e y, com x menor que y, o menor
resultado possível para essa soma é o próprio x, quando y = 0. Assim, x + 0 = x.
D É possível que a soma seja igual a zero, bastando, para isso, que x seja o elemento neutro da adição.
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Quando conhecemos as propriedades de um conjunto X, por muitas das vezes, podemos aferir 
condições existentes para quaisquer subconjuntos não-vazios de X. Pois os subconjuntos carregam as 
propriedades e características do conjunto em que estão contidos. Sobre as propriedades que qualquer 
subconjunto X não-vazio dos naturais possuem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
( ) X é infinito.
( ) X é limitado.
( ) X possui elemento neutro.
( ) X possui um maior elemento.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - V - F - F.
C F - F - V - V.
D V - F - V - V.
Deve-se a Giussepe Peano (1858-1932) a constatação de que se pode elaborar toda a teoria dos números 
naturais a partir de quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os axiomas de Peano. Em sua 
linguagem direta e objetiva, ele diria que o conjunto N dos números naturais é caracterizado por certas 
propriedades. Sobre essas propriedades, analise as sentenças a seguir:
 
I- Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
 
II- Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
 
III- Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. Esse número é representado pelo 
símbolo 1 e é chamado de "número um".
 
IV- Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um 
de seus elementos, então, esse conjunto coincide com N, isso é, contém todos os números naturais.
 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as sentenças I e III estão corretas.
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B Somente as sentenças I e IV estão corretas.
C Somente as sentenças II e IV estão corretas.
D As sentenças I, II, III e IV estão corretas.
Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da matemática 
são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Sobre a sentença que pode ser 
provada pelo método da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA:
A Teorema de Tales.
B Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
C Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
D Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto 
dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em 
qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais, 
analise as sentenças a seguir:
I- As propriedades do conjunto dos números naturais podem ser demonstradas a partir dos axiomas de 
Peano.
II- Todo número natural n tem sucessor e é sucessor de alguém, salvo o número 0, que não tem esta 
segunda propriedade.
III- O conjunto dos números naturais é bem ordenado, através do conceito de 'maior que'.
IV- Ao compararmos dois números naturais, obrigatoriamente, ou um é menor do que o outro, ou eles são 
iguais (propriedade da tricotomia).
A As sentenças I, II e IV estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C As sentenças I e IV estão corretas.
D As sentenças I e III estão corretas.
Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e 
intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você 
deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que 
a negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. 
Baseado nesta técnica, analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo:
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I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV- Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e IV estão corretas.
B As sentenças I, II e IV estão corretas.
C As sentenças II e III estão corretas.
D As sentenças I e II estão corretas.
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos 
números naturais. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do 
campo da Matemática, pois entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os 
números naturais. A respeito dos procedimentos do método indutivo, analise as sentenças a seguir:
I- Verificar se P(1) é verdadeira.
II- Negar P(n).
III- Supor válida P(n).
IV- Concluir P(n+1) válida.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I, III e IV estão corretas.
B As sentenças I e IV estãocorretas.
C As sentenças III e IV estão corretas.
D As sentenças I, II e III estão corretas.
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