6 1 Unibta

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Diferenciabilidade, aproximação 
linear e planos tangentes 
Desafio 6.1 CÁLCULO DIFERENCIAL 
II - UNIBTA 
 
As funções complexas aparecem frequentemente no estudo de vibrações, 
oscilações, dinâmica de fluidos, etc. No caso particular dos estudos da dinâmica 
e mecânica de fluidos, são comuns os estudos de porosidade, permeabilidade, 
impermeabilidade, viscosidade de um meio ou material. Algumas dessas 
propriedades são inatas do material ou do meio, dadas por constantes físico-
químicas, e outras podem ser funções definidas pela velocidade ou outras 
propriedades do escoamento ou pelas ligas que definem o material. 
 
Assim, responda: 
 
a) Para que o material seja impermeável, quais condições a função deve atender? 
 
b) Como analisar o fluxo, ou seja, a variação dessa função? 
 
c) A variação desse fluxo é representa por qual função? 
RESPOSTA: 
Quando essas propriedades dão dadas por funções complexas com representações do tipo f(z), 
onde z é um complexo da forma z=x+iy, haverá, assim, uma função que pode ser representada 
por f(z)=u(x,y)+iv(x,y), ou seja, uma função de duas variáveis, composta pelas funções u(x,y) e 
v(x,y), funções de variável real, representando, nessa ordem, a parte real e a parte imaginária 
da função f(z). 
 
Explicação passo a passo: 
a) Para que o material seja impermeável, quais condições a função deve atender? 
Para que o material seja impermeável, a função f(z) deve satisfazer a condição de que 
a sua parte imaginária v(x,y) seja igual a zero para todo z=x+iy no interior do material. 
Isso significa que não deve haver fluxo de fluido na direção perpendicular à superfície 
do material. 
b) Como analisar o fluxo, ou seja, a variação dessa função? 
 f'(z) = 2 - 1/2 z^(-1/2) 
O módulo dessa derivada é dado por: 
|f'(z)| = |2 - 1/2 z^(-1/2)| 
Podemos usar a notação polar para z, z = r exp(iθ), onde r é o módulo de z e θ é o seu 
argumento. Então, temos: 
z^(-1/2) = r^(-1/2) exp(-iθ/2) 
Substituindo isso em f'(z), obtemos: 
f'(z) = 2 - r^(-1/2) exp(-iθ/2) 
O módulo de f'(z) é então dado por: 
|f'(z)| = |2 - r^(-1/2) exp(-iθ/2)| 
Podemos interpretar o módulo de f'(z) como uma medida da taxa de variação da 
função f(z) em relação à distância e à direção do vetor tangente à curva de nível da 
função que passa por z. Se |f'(z)| é grande, isso indica que a função varia rapidamente 
na direção do vetor tangente e, portanto, que há um forte fluxo naquela direção. Por 
outro lado, se |f'(z)| é pequeno, isso indica que a função varia lentamente naquela 
direção e que há um fluxo fraco ou nulo. 
c) A variação desse fluxo é representa por qual função? 
A variação do fluxo é representada pela função f'(z), que é a derivada da função f(z). 
Note que f'(z) é uma função complexa que também pode ser escrita na forma f'(z) = 
u'(x,y) + iv'(x,y), onde u'(x,y) e v'(x,y) são as funções reais que representam a parte 
real e a parte imaginária de f'(z). A parte real u'(x,y) representa a taxa de variação da 
função f(z) na direção x (ou seja, na direção leste-oeste), enquanto que a parte 
imaginária v'(x,y) representa a taxa de variação da função f(z) na direção y (ou seja, 
na direção norte-sul). Assim, podemos interpretar as funções u'(x,y) e v'(x,y) como as 
componentes do vetor que representa a variação do fluxo em cada direção.