Livro de Cálculo Diferencial e Integral I

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
AULA 16
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
FUNÇÕES 
FUNÇÕES ELEMENTARES 
LIMITES 
LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 
CONTINUIDADE 
DERIVADAS
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR E DERIVAÇÃO 
IMPLÍCITA 
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
FÓRMULA DE TAYLOR
FUNÇÕES PARAMÉTRICAS
DERIVADAS DE FUNÇÕES PARAMÉTRICAS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS
DERIVADAS PARCIAIS
REGRA DA CADEIA E MÁXIMOS E MÍNIMOS DE 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
05
13
22
31
37
44
49
57
63
71
77
81
85
91
96
101
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INTRODUÇÃO
Olá, aluno(a). É com prazer que apresento a você o livro de “Cálculo Diferencial e Integral I”. 
Sou a professora Rebecca Manesco Paixão, graduada em Engenharia Ambiental e Sanitária 
e licenciada em Matemática, especialista em Segurança do Trabalho, mestre em Engenharia 
Química e atualmente cursando o doutorado em Engenharia Química. 
Preparei este material com o objetivo de apresentar a você os conceitos básicos do Cálculo 
Diferencial e Integral para que eles sejam aplicados em diversas áreas do conhecimento 
que fazem uso desta teoria.
Os assuntos abordados neste livro são limite e derivada de funções de uma variável real 
e também de funções de várias variáveis reais.
A organização do livro encontra-se dividida em 16 aulas. O conjunto dos números reais e as 
funções de uma variável real são os objetos de estudo das primeiras aulas em que teremos 
a oportunidade de nos debruçarmos sobre as noções de domínio, contradomínio e imagem. 
Também veremos algumas características das funções e os principais tipos de funções.
Para estas funções definiremos os conceitos de limite e continuidade e de derivadas. O 
conceito de limite é uma ideia central que distingue o cálculo da álgebra e da trigonometria. 
Enquanto que as derivadas são usadas para medir a variação de quantidades.
Dando sequência ao estudo das funções conheceremos as funções paramétricas e suas 
derivadas.
Finalizaremos nossos estudos com as funções de várias variáveis. Estas funções surgem 
a todo o momento no nosso dia a dia mesmo que não percebamos. Um estudo semelhante 
ao do cálculo de funções de apenas uma variável será feito às funções de várias variáveis, 
estendendo todos aqueles conceitos de limites e continuidade, e de derivadas para tais 
funções.
A escolha dos temas pertencentes a este livro foi com o propósito de lhe auxiliar em seus 
estudos. Sugiro que você acompanhe com cuidado os diversos exemplos apresentados e 
resolva os exercícios. A leitura das referências bibliográficas indicadas também é fundamental.
Bons Estudos!
Professora Me. Rebecca Manesco Paixão
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AULA 1
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Caro(a) aluno(a), nesta nossa primeira aula, referente à disciplina de Cálculo Diferencial 
e Integral I, vamos definir e relembrar o conjunto dos números reais, seus subconjuntos, 
intervalos e inequações.
Vamos iniciar imaginando uma régua que a utilizaremos para medir o comprimento de 
um determinado objeto. Lembrando que uma régua comum é baseada em um comprimento 
padrão de 1 cm, como a representada na Figura 1.1:
Figura 1.1: Régua. Fonte: https://br.123rf.com/stockphoto/ruller.html?oriSearch=r%C3%A9gua&sti=m9bjyrp5rg6d1psqa9|&mediapopup=105350661
Se a medida do objeto couber em um número exato vezes 1 cm, então, por definição, o 
comprimento do objeto será expresso como sendo um número denotado por natural (ℕ), por 
exemplo, 0,1 ,2, 3, e assim por diante. Lembrando que os números naturais são os inteiros 
positivos e o número zero.
Se nós incluirmos números inteiros negativos, então, obteremos o conjunto dos números 
inteiros (ℤ). Neste caso, temos os números ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... pertencentes a este conjunto.
Se a medida do nosso objeto couber em uma fração de números inteiros de certa 
quantidade do tamanho base de 1 cm, então o comprimento será um número pertencente 
ao conjunto dos números racionais (ℚ). Relembre, caro(a) aluno(a), que neste conjunto estão 
os números naturais, os inteiros negativos, os números decimais (0,1; 0,25), as dizimas 
periódicas (0,333...;0,6161...) e todo número que possa ser escrito como uma divisão de 
números inteiros, números fracionários (-1/3;2/5).
Perceba que, em ambos os casos, é possível determinar o comprimento do objeto utilizando 
a régua; no entanto, existem casos em que não é possível determinar exatamente quantas 
medidas de 1 cm cabem no comprimento.
https://br.123rf.com/stockphoto/ruller.html?oriSearch=r%C3%A9gua&sti=m9bjyrp5rg6d1psqa9|&mediapopup=105350661
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Assim, números irracionais são aqueles que não podem ser escritos como um número 
inteiro, decimal, dizima periódica ou fração de dois números inteiros.
O número √5 = 2,236067978... é um número, cuja representação decimal tem infinitas 
casas não-periódicas depois da vírgula. Assim, pensando na nossa régua, embora a mesma 
utilize uma medida muito menor que 1 cm como base jamais poderíamos encontrar um 
número inteiro capaz de representar quantas vezes a medida do objeto cabe em √5.
O número π = 3,141592654... também é um número que possui infinitas casas decimais 
não-periódicas.
Ambos estes números, √5 e π, são exemplos de números irracionais. O conjunto de números 
irracionais (IR) contém todos aqueles que não podem ser escritos como uma razão de 
números inteiros.
A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais 
é denominada de conjunto dos números reais (ℝ). A Figura 1.2 representa os conjuntos 
numéricos abordados, observe:
Figura 1.2: Conjuntos numéricos. Fonte: a autora, adaptado de https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
Perceba, caro(a) aluno(a), que no conjunto dos números reais estão todos os possíveis 
números que podem ser marcados em uma reta contínua. Ou seja, se nós marcarmos em 
uma reta todos os números racionais e também os irracionais, então teremos toda a reta 
preenchida. Esta reta é chamada de reta real.
https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
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Figura 1.3: Reta real. Fonte: a autora.
Quanto às propriedades algébricas do conjunto dos números reais, elas estão relacionadas 
à capacidade de somar, subtrair, multiplicar e dividir números reais, com vistas a produzir 
novos números reais.
Anote isso
Ao longo do nosso estudo, caro(a) aluno(a), alguns símbolos universais serão utilizados, 
como:
= igual
≠ diferente
∈ pertence
∉ não pertence
⊂ contido
∀ para todo
Ǝ existe
> maior
< menor
≥ maior ou igual
≤ menor ou igual
Ø vazio
∞ infinito
Por sua vez, quanto às propriedades de ordem, de acordo com Flemminge Gonçalves 
(2006), no conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números 
positivos, de modo que:
a) Se a ∈ℝ, então a=0 ; a é positivo; - a é positivo;
b) A soma de dois números positivos é positiva;
c) O produto de dois números positivos é positivo.
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Sejam a, b, c, d ∈ℝ, então:
• Se a>b e b>c , então a>c;
• Se a>b e c>0, então a.c>b.c
• Se a>b e c<0, então a.c<b.c
• Se a>b então a+c>b+c para todo real c
• Se a>b e c>d , então a+c>b+d
• Se a>b>0 e c>d>0, então a.c>b.d
1.1 Intervalos
Intervalos são subconjuntos especiais da reta real utilizados para representar todos os 
números reais que se encontram entre dois números predeterminados. É importante destacar, 
caro(a) aluno(a), que os intervalos surgem naturalmente na solução de inequações que 
aparecem em diferentes contextos.
As notações para cada um dos possíveis intervalos encontram-se representadas na Tabela 
1.1, observe:
Notação Intervalo
Intervalo aberto (a,b) ou ]a,b[ { x∈ℝ|a < x < b}
Intervalo fechado [a,b] {x∈ℝ|a ≤ x ≤ b}
Intervalo fechado à 
esquerda e aberto à direita
[a,b) ou [a,b[ {x∈ℝ|a ≤ x < b}
Intervalo aberto à esquerda 
e fechado à direita
(a,b] ou ]a,b] {x∈ℝ|a < x ≤ b}
Intervalos infinitos (a,+∞) ou ]a,+∞[ {x∈ℝ|x > a}
[a,∞) ou [a,+∞[ {x∈ℝ|x ≥ a}
(-∞,b) ou ]-∞,b[ {x∈ℝ|x < b}
(-∞,b] ou ]-∞,b] {x∈ℝ|x ≤ b}
 Tabela 1.1: Intervalos. Fonte: a autora.
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Repare, caro(a) aluno(a), que na notação para os intervalos utilizam-se parênteses e 
colchetes, tal que os intervalos abertos podem ser expressos de duas formas: como (...) ou 
como ]...[, enquanto que intervalos fechados são expressos como [...]. Ainda, o intervalo (-∞, 
+∞) diz respeito a todo o conjunto dos reais. Atente-se que os símbolos de ±∞ só podem 
vir acompanhados de parênteses.
Uma representação gráfica dos intervalos pode ser feita da seguinte forma:
Além disso, caro(a) aluno(a), alguns subconjuntos específicos da reta real são representados 
de uma forma especial, observe:
• O conjunto dos números reais não-negativos, {x∈ℝ|x ≥ 0} é representado por ℝ≥0=[0,∞);
• O conjunto dos números reais positivos, {x∈ℝ|x > 0} é representado por ℝ>0= (0, ∞);
• O conjunto dos números reais não-positivos, {x∈ℝ|x ≤ 0} é representado por ℝ≤0= (-∞,0];
• O conjunto dos números reais negativos, {x∈ℝ|x < 0} é representado por ℝ<0= (-∞,0).
1.2 Inequações
Aqui no nosso estudo, caro(a) aluno(a), as desigualdades surgirão em alguns problemas 
em que precisamos encontrar o domínio de uma função, ou ainda, esboçar o seu gráfico.
Exemplo 1.1: Seja a inequação - x + 2 < 3x - 1, vamos determinar o seu conjunto solução, 
ou seja, todos os valores para os quais a desigualdade se mantém:
- x+2<3x-1
-x+2+x<3x-1+x ➙adicione x em ambos os lados
2<4x-1
2+1<4x-1+1 ➙adicione 1 em ambos os lados
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3<4x
3 4 ➙divida ambos os lados por 4_ < _ x
4 4
3_ < x
4
Isto significa que para que a desigualdade seja sempre satisfeita é necessário que os 
valores de x sejam maiores do que 3/4; portanto, o conjunto solução é dado por
 3S = {x |x > _ }
 4
Vamos agora ver um exemplo de inequação com fração.
Exemplo 1.2: Seja a inequação , neste caso, para que a desigualdade seja 
respeitada o número 2x - 4 deve ser maior do que zero, ou seja:
2x-4>0
2x>4
 4x > _
 2
x>2
E além disso:
 .2x-4≥3.2x-4 (multiplique ambos os lados por 2x - 4)
1≥6x-12
1+12≥6x-12+12 (adicione 12 em ambos os lados)
13≥6x
13 6 
__ ≥ _ x (divida por 6 ambos os lados)
6 6
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Isto significa que, para que a desigualdade seja sempre satisfeita, os valores de x devem 
ser maiores do que 2, e ainda, menores ou iguais a 13/6; portanto, o conjunto solução é 
dado por
 13S = {x |2 < x ≤ ___ }
 6
Exemplo 1.3: Seja a inequação 4 < 5x + 3 ≤ 8 , vamos determinar o seu conjunto solução:
4<5x+3≤8
4-3<5x+3-3≤8-3 ➙ subtraia 3 em ambos os lados
1<5x<5
 1 5 5 _ < _ x ≤ _ _ ➙ divida por 5 ambos os lados
5 5 5
1_ < x ≤ 1
5
Logo, o conjunto solução é dado por
 1S = {x |_ < x ≤ 1}
 5
Para finalizarmos, caro(a) aluno(a), quando temos um valor absoluto existem duas regras 
básicas. Considerando u uma expressão algébrica em x e a um número real, tal que a ≥ 0, 
então:
1. Se |u| < a, então u está no intervalo ]-a,a[. Isto significa que |u| < a se, e somente se, -a 
< u < a;
2. Se |u| > a, então u está no intervalo ]-∞, -a[ ou ]a, +∞[. Isto significa que |u| > a se, e 
somente se, u < -a ou u > a.
Exemplo 1.4: Seja |8x - 4| < 2, então, o conjunto solução será encontrado da seguinte forma:
-2<8x-4<2
-2+4<8x-4+4<2+4 ➙ adicione 4 em ambos os lados
2<8x<6
 2 8 6 ➙ divida por 8 ambos os lados
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2 6_ < x < _
8 8
1 3 ➙ simplifique por 2
Assim, o conjunto solução é dado por
 1 3S = {x | _ < x < _}
 4 4
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AULA 2
FUNÇÕES
Caro(a) aluno(a), as funções são utilizadas para o estabelecimento de relações entre 
quantidades físicas ou matemáticas. Algebricamente falando, uma função é uma regra de 
associação de dois conjuntos, um de entrada e um de saída, tal que a cada entrada executada 
só é possível uma única saída (STEWART, 2007; THOMAS et al., 2012).
Definição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe o nome 
de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x ∈ A existir um só y ∈ B, 
tal que (x,y) ∈ f. As seguintes notações são utilizadas:
 (lê-se: f de A em B)
 (para cada x há um valor f(x) associado)
Isto significa que uma função é um conjunto de pares ordenados, determinados por uma 
sentença, y = f(x), que expressa a correspondência entre as duas variáveis, (x e y). Definimos 
a notação de função como:
 
Exemplo 2.1: Na conversão de graus Celsius para graus Fahrenheit, utilizamos a seguinte 
fórmula:
9 32
5
F C= +
 
Repare que, neste caso, F (Fahrenheit) é função de C (Celsius), uma vez que C é a variável 
independente, a qual podemos atribuir qualquer valor, tal que a este valor, corresponderá 
um único valor de F.
Se tomarmos a temperatura de 20 ºC, por exemplo, então, a temperatura correspondente 
em Fahrenheit será de 68 ºF:
 9F= __ .20+32
 5
= 180 ____+32
 5
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= 36+32
= 68
Pensando em um diagrama de flechas, caro(a) aluno(a), existem duas condições a serem 
respeitadas, para que tenhamos uma função:
1. Deve partir uma flecha de cada elemento do conjunto A;
2. Não deve partir mais de uma flecha de um elemento do conjunto A.
 
Figura 2.1: O diagrama em (a) retrata uma relação de X em Y, que é uma função. O diagrama em (b) retrata uma relação de X em Y, que não é uma função. Fonte: Demana 
et al. (2009, p. 62).
Atente-se, caro(a) aluno(a), que uma função frequentemente é dada por uma fórmula 
que nos auxilia no cálculo do valor da variável dependente, a partir do valor da variável 
independente. Além das fórmulas também existem outras formas de representar as funções, 
como a partir de uma descrição verbal, gráficos e tabelas tal que, geralmente, é útil ir de 
uma representação a outra a fim de um entendimento adicional. 
2.1 Gráfico de uma função
O gráfico de uma funçãof consiste dos pontos no plano cartesiano (x, f(x)) onde x pertence 
ao domínio de f,
 
Exemplo 2.2: Seja a função f(x)=x+1, podemos elaborar uma tabela, escolhendo alguns 
valores de x, que nos darão uma boa ideia de como se comportarão os demais pares ordenados. 
Lembrando que o correspondente y é obtido substituindo o valor de x na fórmula dada:
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Tabela 2.2: Valores tabelados para y = x + 1. Fonte: a autora.
Se representarmos graficamente apenas os pares (-1,0), (0,1) e (1,2), obteremos alguns 
pontos da função no plano; no entanto, se aumentarmos o número de pares calculados, 
então, conseguiremos nos aproximar do gráfico de sua função.
 
Figura 2.2: Representação gráfica da função f(x) = x + 1. Fonte: a autora.
2.2 Domínio e contradomínio de uma função
Seja f : A ➙ B uma função, então:
1. O conjunto A é denominado domínio da função f, denotado por D(f). Representa os 
valores que a variável independente assume;
2. O conjunto B é denominado contradomínio da função f, denotado por CD(f). Representa 
os valores que a variável dependente pode assumir;
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3. O subconjunto B dado por todos os valores produzidos pela associação f é denominado 
conjunto imagem de f, denotado por Im(f). Representa os valores que a variável dependente 
assume, tal que:
 
Dessa forma, caro(a) aluno(a), no diagrama de flechas, nem todos os elementos do 
contradomínio (conjunto de chegada das flechas) necessitam receber uma flecha, ou seja, 
nem todo elemento do contradomínio precisa estar associado a um elemento do domínio. 
Mas, os elementos do domínio, necessariamente, precisam estar associados a um elemento 
do contradomínio para que seja uma função. Ao conjunto desses elementos y∈B que estão 
associados a algum x∈A chamamos de imagem, conforme representado na Figura 2.3:
Figura 2.3: Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Fonte: a autora.
Exemplo 2.3: Seja a função f: A ➙ B dada por f(x)=2x-1 , em que A={1,2,3} e B={0,1,3,5,7}, 
então, pela definição que vimos, temos que:
D(f)=A={1,2,3}
CD(f)=B={0,1,3,5,7}
Im(f)={1,3,5}
Isto porque, ao substituirmos os valores do conjunto A em f(x) = 2x-1, obtemos:
f(1) = 2.(1)-1=2-1=1
f(2) = 2.(2)-1=4-1=3
f(3) = 2.(3)-1=6-1=5
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Figura 2.4: Domínio, contradomínio e imagem da função ( ) 2 1f x x= - . Fonte: a autora.
Neste estudo, caro(a) aluno(a), estamos interessados em trabalhar com funções, mas 
não qualquer função. Ou seja, queremos aquelas que possuem subconjuntos de números 
reais como domínio e contradomínio. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 2.4: Seja a função dada por 5 10( )
3
xf x
x
-=
-
. Neste caso, precisamos que os 
números dentro da raiz quadrada sejam não-negativos e também que o denominador seja 
diferente de zero.
Para a raiz quadrada, temos que:
5x-10≥0
5x≥10
 10x≥___
 5
x≥2
E para o denominador, temos que:
x-3≠0
x≠3
Logo, para que a função esteja bem definida, temos que o domínio será D={x∈ℝ|x≥2 e 
x≠3}, ou ainda, em notação de intervalo D= [2,3)∪(3, +∞). 
 
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2.3 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Definição. Uma função f é dita injetora se, para todo x1∈D(f) e x2∈D(f), com x1≠x2, tivermos 
f (x1)≠f( x2).
Isto significa que uma função é injetora quando elementos distintos do domínio estão 
associados a elementos distintos do contradomínio. Pensando no diagrama de flechas, a 
condição de injetividade se caracteriza pelo fato de nenhum elemento do contradomínio 
receber duas flechas. 
Definição. Uma função f é dita sobrejetora se, para todo y∈CD(f), existe x∈D(f), tal que y= 
f(x). Ou seja, f é sobrejetora se, e somente se, Im(f)= CD(f) .
No diagrama de flechas de uma função sobrejetora nenhum elemento do contradomínio 
fica sem receber uma flecha. No entanto, note, caro(a) aluno(a), que essa condição de 
sobrejetividade não impede que um elemento do contradomínio receba mais do que uma 
flecha, e assim, uma função pode ser sobrejetora sem que seja injetora.
Definição. Uma função f é dita bijetora se for injetora e sobrejetora simultaneamente. 
Isso é equivalente a dizer que uma função f: A➙B é bijetora se, e somente se, para qualquer 
elemento y∈B, existe um único elemento x∈A tal que f(x)= y.
Uma função bijetora representa uma relação biunívoca, também conhecida como relação 
um-a-um, entre o domínio e o contradomínio. 
Isto acontece na prática
Por meio da representação cartesiana é possível identificar quando uma função é 
injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isto, precisamos analisar o número de pontos de 
interseção das retas paralelas ao eixo das abcissas, conduzida por cada ponto (0,y) 
em que y∈CD(f). O teste é conhecido como Teste da reta horizontal, e:
- se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então a função é injetora;
- se toda reta corta o gráfico, então a função é sobrejetora;
- se toda reta corta o gráfico uma única vez, então a função é bijetora. 
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2.4 Simetria
Uma função é chamada de par se a função f satisfaz f(-x)= f(x) para todo número x em 
seu domínio. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Por outro lado, 
se f satisfaz f(-x)= -f(x) para cada número x em seu domínio, então a função é chamada de 
ímpar. Neste caso, o gráfico é simétrico com relação à origem.
 
Figura 2.5: (a) função par. (b) função ímpar. Fonte: Stewart (2013, p. 17)
Exemplo 2.5: Seja a função f(x)= x2-2 , temos que:
f(-x)= (-x)2-2 
 = x2-2
 = f(x)
Portanto, a função é par.
 
Figura 2.6: Representação gráfica da função f(x) = x² - 2. Fonte: a autora.
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2.5 Funções crescentes e decrescentes
Definição. A função f: A ➙ B, definida por y= f(x) é crescente no conjunto A1⊂A se, para 
dois valores quaisquer, x1 e x2 de A1, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2). Quando f é crescente em 
todo seu domínio, dizemos apenas que f é crescente.
Definição. A função f: A ➙ B, definida por y= f(x) é decrescente no conjunto A2⊂A se, para 
dois valores quaisquer, x1 e x2 de A2, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2). Quando f é decrescente 
em todo seu domínio, dizemos apenas que f é decrescente.
Definição. A função f: A ➙ B, definida por y= f(x) é constante no conjunto A3⊂A se, para 
dois valores quaisquer, x1 e x2 de A3, com x1<x2, tivermos f(x1)=f(x2). Quando f é constante em 
todo seu domínio, dizemos apenas que f é constante.
2.6 Obtenção de novas funções
Caro(a) aluno(a), para finalizarmos esta aula é importante lembrá-lo que da mesma forma 
que podemos fazer operações com números, as funções também podem ser adicionadas, 
subtraídas, multiplicadas e divididas com vistas a produzir novas funções.
Definição. Sejam as funções f e g, então, temos que:
(f+g).(x)=f(x)+g(x)
(f-g).(x)=f(x)-g(x)
(f.g).(x)=f(x).g(x)
(f/g).(x)=f(x)/g(x)
Outra forma de construir uma função a partir de outras é utilizando a composição de 
funções. Veja a definição abaixo:
Definição. Sejam as funções f: A ➙ B e g: B ➙ C. Chama-se função composta de g e f a 
função h: A ➙ C, em que h(x)= g(f(x)) para todo x ∈ A. Denotamos a composta de g e f por 
g O f (lê-se “g composta com f”).
Exemplo 2.6: Sejam as funções f(x) = 4x +1 e g(x) = x2 - 8x + 6, então:
(fOg)=f(g(x))=f(x2-8x+6)=4•(x2-8x+6)+1=4x2-32x+25
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Para concluir, caro(a) aluno(a), considerando y= f(x) uma função de A em B, se para cada 
y∈B existir exatamente um valor y∈A tal que y= f(x), então podemos definir uma função g: B 
➙ A de modo que x= g(y). Esta função é a inversa de f,denotada por f -1.
Para encontrar a função inversa de uma função injetora existe um passo a passo (STEWART, 
2013):
1. Escreva y= f(x)
2. Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y (se possível)
3. Para expressar f -1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y= f -1(x) 
Exemplo 2.7: Vamos encontrar a função inversa de f(x) = x3 + 1, utilizando os passos 
descritos anteriormente:
y=x3+1
x3=y-1 ➙ isole o x na equação
x = 3√y-1
y = 3√x-1 ➙ troque o x por y 
Logo, a inversa de f(x) = x3 + 1 é f -1(x) = 3√x -1.
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AULA 3
FUNÇÕES ELEMENTARES
Nesta aula, caro(a) aluno(a), veremos as funções elementares da matemática representadas 
por uma única fórmula, do tipo y= f(x). Lembrando que estas funções elementares podem 
ser classificadas de duas formas: algébricas e transcendentes. 
As funções algébricas são aquelas que incluem as funções polinomiais, racionais e 
irracionais. Enquanto que as funções transcendentes incluem as funções exponenciais, 
logarítmicas e trigonométricas.
3.1 Função constante
Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma f(x)= k, com k∈ℝ, é uma função constante.
Isto significa que uma função é dita constante quando a cada elemento x do seu domínio, 
associa-se um mesmo elemento k do seu contradomínio. 
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0,k). 
Dessa forma, o domínio da função é o conjunto dos números reais, D(f)=ℝ, enquanto que 
sua imagem é o conjunto unitário Im(f)= k. 
3.2 Função polinomial
Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma f(x) = a0xn + a1x(n-1) + ... + a(n-1)x + an, é uma função 
polinomial de grau n, em que a0,a1,...,a(n-1),an≠0 são os coeficientes.
O grau de uma função polinomial é determinado por meio do grau do polinômio que a 
representa. O Quadro abaixo apresenta algumas funções polinomiais, observe:
Nome Forma Grau 
Função zero f(x)= 0 Indefinido
Função constante f(x)= k (k≠0) 0
Função do primeiro grau f(x)= ax+b (a≠0) 1
Função do segundo grau f(x)= ax2+bx+c (a≠0) 2
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Função do terceiro grau f(x)= ax3+bx2+cx+d (a≠0) 3
 
Quadro 3.1: Funções polinomiais. Fonte: a autora, adaptado de Demana et al. (2013, p. 94)
3.3 Função afim
Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma f(x)= ax+b, em que a e b são constantes reais, e 
a≠0, é uma função afim. Sua lei de formação é baseada em um polinômio do primeiro grau 
na variável x. 
O gráfico da função afim ou da função do primeiro grau é a reta que passa pelo ponto 
(0,b), paralela à reta y= ax. O domínio da função é o conjunto dos números reais, D(f)=ℝ, bem 
como a sua imagem, Im(f)=ℝ. 
Para a função afim a constante a é o coeficiente angular e representa a variação de y 
correspondente a um valor de x igual a 1. Quando a>0 tem-se uma função crescente, enquanto 
que quando a<0 a função é decrescente.
A constante b é o coeficiente linear e no gráfico representa a ordenada do ponto de 
intersecção da reta com o eixo y, ou seja, no ponto (0,b). 
Para a função afim a raiz da função (ou zero da função) representa o valor de x para o 
qual a função intercepta o eixo das abcissas. Para obtê-lo em y= ax+b, fazemos y=0, de onde 
segue que bx
a
= - .
 
Exemplo 3.1: Para a função f(x) = x - 2, a raiz é igual a ( 2) 2
1
x -= - = . Logo, a intersecção 
com o eixo x ocorre no ponto (2,0). 
 
Figura 3.1: Representação gráfica da função f(x) = x - 2. Fonte: a autora.
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Anote isso
A função linear e a função identidade são casos particulares da função afim. 
Quando b=0 e a>0 tem-se uma função linear:
Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma f(x)= ax é uma função linear.
E, quando b=0 e a=1 tem-se uma função identidade:
Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma f(x)= x é uma função identidade.
3.4 Função quadrática
Definição. Toda função f: ℝ➙ ℝ na forma f(x)= ax2+bx+c, em que a, b e c são constantes 
reais, e a≠0, é uma função quadrática. Sua lei de formação é baseada em um polinômio do 
segundo grau na variável x. 
A representação gráfica da função quadrática é uma parábola de concavidade para cima 
ou para baixo que intercepta o eixo y no ponto (0,c). Os pontos em que a parábola intercepta 
o eixo x são as raízes da função quadrática.
E para encontrar o valor de x que é raiz da função precisamos fazer y=0 em y= ax2+bx+c, 
e resolver por Bhaskara a equação do segundo grau:
• Quando ∆>0 a função tem duas raízes reais distintas
• Quando ∆=0 a função tem uma raiz real
• Quando ∆<0 a função não possui raiz real
Além disso, de acordo com o sinal do coeficiente a é possível determinar a concavidade 
da parábola, tal que para a>0 a concavidade é voltada para cima e para a<0 a concavidade 
é voltada para baixo.
Como toda parábola é simétrica em relação à reta paralela ao eixo y que passa pelo seu 
vértice este pode ser encontrado da seguinte forma:
Lembrando que quando a concavidade está voltada para baixo, o vértice é o ponto máximo 
da parábola, enquanto que quando sua concavidade está voltada para cima, o vértice é o 
ponto mínimo.
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O domínio da função quadrática é o conjunto dos números reais, D(f)= ℝ, enquanto que 
sua imagem é definida a partir da concavidade da parábola:
• Para a>0, a imagem é Im(f)=
 
• Para a<0, a imagem é Im(f)= 
Exemplo 3.2: Vamos esboçar o gráfico da função f(x)= -x2+10x-14; para isto é importante 
conhecermos alguns de seus pontos.
Já sabemos que o gráfico é uma parábola que passa pelo ponto (0,-14). 
Para encontrar as raízes da função fazemos:
 
Logo, a função tem duas raízes reais e distintas, uma vez que ∆>0:
 
De posse do valor ∆, é possível determinar o vértice:
 
Assim, podemos concluir que a representação gráfica da função f(x)= x2+10x-14 é uma 
parábola com concavidade para baixo, uma vez que a<0, que intercepta o eixo x em dois 
pontos: (1,68,0) e (8,32,0) e cujo ponto máximo está em (5,11), conforme apresentado na 
Figura 3.2:
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Figura 3.2: Representação gráfica da função x² + 10x - 14. Fonte: a autora.
3.5 Função potência
Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma f(x)=k.xn, em que k e n são constantes diferentes 
de zero é uma função potência. k é a constante de proporção e n é a potência.
3.6 Função exponencial
Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma f(x) = ax, em que a é uma constante positiva e 
x é o expoente variável é uma função exponencial. 
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Isto acontece na prática
Ambas as funções, potência e exponencial, envolvem uma base e uma potência, no 
entanto, apresentam características diferentes.
Sejam as funções f(x) = x2 e g(x) = 2x temos que:
Em f(x) = x2 a base é a variável x e o expoente é a constante 2. f é uma função potência.
Em f(x) = 2x, a base é a constante 2 e o expoente é a variável x. g é uma função 
exponencial.
Para a função exponencial, se a>0, então f(x) = ax está bem definida, e tem um valor real 
para cada valor real de x, assim D(f)= ℝ. Já a imagem é dada por Im(f)=(0,+∞), uma vez que 
o gráfico da função decresce em direção a zero (sem nunca atingi-lo) e cresce sem parar à 
medida que o percorremos em um sentido. 
Dentre as bases das funções exponenciais a base e tem um importante papel no Cálculo. 
Trata-se de um número irracional, cujo valor até a quinta casa decimal é dado por e≈2,71828.
 
 
Figura 3.3: Representação gráfica da função f(x) = ex. Fonte: a autora.
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3.7 Função logarítmica
Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma f(x) = logax, em que a é uma constante positivae a≠1 é uma função logarítmica.
Se a>0 e a≠1, então, a função logarítmica é a inversa da função exponencial, uma vez que 
de acordo com a definição de logaritmos, temos que logax = y ↔ ay = x.
Logo, para a função logarítmica, D(f)=(0,+∞), enquanto que a imagem é Im(f)=ℝ.
Assim como para a função exponencial, o logaritmo mais importante é o de base e, 
conhecido como logaritmo natural. Comumente, logex é escrito como In x (lê-se: logaritmo 
natural). Além disso, logaritmos com base 10 são muito utilizados na ciência da computação, 
e, comumente, log10x é escrito como log x (lê-se: logaritmo comum). 
 
Figura 3.4: Representação gráfica da função f(x) = In x. Fonte: a autora.
3.8 Função seno
Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ que a cada x∈ℝ faz corresponder o número real y=sen x 
é uma função seno. 
A função seno é contínua, limitada e periódica (com período igual a 2π). Seu domínio é 
D(f)=ℝ, enquanto que sua imagem é Im(f)={y∈ℝ|-1≤y≤1}.
O estudo do sinal e da monotonicidade da função seno, no intervalo de 0 a 2π encontra-
se no Quadro abaixo:
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Intervalo 
Sinal Positiva Positiva Negativa Negativa 
Monotonicidade Crescente Decrescente Decrescente Crescente
Quadro 3.2: Estudo do sinal e da monotonicidade da função seno. Fonte: a autora.
 
Figura 3.5: Representação gráfica da função f(x) = sen x. Fonte: a autora.
3.9 Função cosseno
Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ que a cada x∈ℝ faz corresponder o número real y=cos x 
é uma função cosseno.
Analogamente à função seno, a função cosseno é contínua, limitada e periódica (com 
período igual a 2π). Seu domínio é D(f)=ℝ, enquanto que sua imagem é Im(f)={y∈ℝ|-1≤y≤1}.
O estudo do sinal e da monotonicidade da função cosseno, no intervalo de 0 a 2π encontra-
se no Quadro abaixo:
Intervalo 
Sinal Positiva Negativa Negativa Positiva
Monotonicidade Decrescente Decrescente Crescente Crescente
Quadro 3.3: Estudo do sinal e da monotonicidade da função cosseno. Fonte: a autora.
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Figura 3.6: Representação gráfica da função f(x) = cos x. Fonte: a autora.
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AULA 4
LIMITES 
O objetivo desta aula, caro(a) aluno(a), é darmos uma definição de limite de uma função, 
de uma maneira intuitiva e também de uma maneira formal.
Primeiramente, precisamos entender que o termo limite é utilizado para descrever como é 
que uma função se comporta quando a variável independente tende a um determinado valor.
Seja a função f(x) = x2 - x + 1 podemos construir uma tabela para observarmos que quando 
x está próximo de 2, tanto à esquerda como à direita os valores de f(x) se aproximam de 3. 
Isto significa que o limite de f(x) = x2 - x + 1 é 3 quando x tende a 2, ou seja,
 
x 1,0 1,5 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,5 3
( )f x 1,0 1,75 2,71 2,97 ? 3,03 3,31 4,75 7,0
Tabela 4.1: Valores tabelados para 2( ) 1f x x x= - + .Fonte: a autora.
Assim, caro(a) aluno(a), de maneira informal ou intuitiva dizemos que uma função f tem 
limite L quando x tende para a, desde que possamos fazer o valor de f(x) tão próximo quanto 
queiramos de L, tomando x suficientemente próximo de a (mas não igual a a). Simbolicamente, 
escrevemos como
 
Em que se lê que “o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L”.
Agora que definimos o limite de uma função de forma intuitiva, vamos à definição formal:
Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a (com a possível 
exceção em x = a), e seja L um número real, escrevemos . Isto significa que 
para todo ε>0, existe um número δ>0 , tal que |f(x)-L|<ε se 0<|x-a|<δ. 
Exemplo 4.1: Utilizando a definição de limite, vamos provar que .
Precisamos mostrar que para ε>0 existe δ>0, tal que se 0<|x-2|<δ, então |(2x-3)-1|<ε.
Primeiramente, devemos determinar um valor de δ que verifique a afirmação e, na sequência, 
mostrar que a afirmação é válida para aquele δ. Observe que:
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|2x-3-1|<ε
|2x-4|<ε
|2.x-2|<ε
2.|x-2|<ε
 ε|x-2|< ___
 2
A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Fazendo δ=ε/2 e observando que se a 
última desigualdade da lista é verdadeira, então a primeira também é, e assim, temos que 
se 0<|x-2|<δ, então |(2x-3)-1|<ε. Isto significa que . 
4.1 Limites laterais
Dizemos que o limite da função f é L quando x tende a a pela direita, desde que tomemos 
os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a). Simbolicamente, 
escrevemos 
 
Dizemos que o limite da função f é L quando x tende a a pela esquerda, desde que tomemos 
os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a). Simbolicamente, 
escrevemos 
 
Os limites laterais podem ser observados na Figura abaixo:
 
Figura 4.1: Limites laterais. Fonte: Stewart (2013, p. 85).
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Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto ]a,b[ e seja L um número 
real, escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um δ>0, tal que |f(x)-
L|<ε se a<x<a+δ.
Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto ]a,b[ e seja L um número 
real, escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um δ>0, tal que |f(x)-
L|<ε se a-δ<x<a.
Anote isso 
O limite bilateral existe se, e somente se, ambos os limites laterais (à esquerda e à 
direita) existem e são iguais, ou seja:
 se, e somente se =
4.2 Calculando limites
Anteriormente, caro(a) aluno(a), nós utilizamos a definição de limite para provar que um 
determinado número era limite de uma função. Agora, veremos que ao utilizarmos algumas 
propriedades podemos encontrar os limites de uma maneira muito mais simples.
Supondo que k seja uma constate e que os limites e existam e possuam 
valores L e M, respectivamente:
 e =M 
Então, são válidas as seguintes propriedades:
1. Soma: 
2. Diferença: 
3. Multiplicação por constante: 
4. Produto: 
5. Quociente: 
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6. Potência: 
7. Raiz: 
Além dessas propriedades, caro(a) aluno(a), devemos nos atentar para três casos específicos:
• Se f é a função identidade f(x) = x, então: 
• Se f é a função constante f(x) = k, então: 
• Se f é a função potência f(x) = xn, então: 
Exemplo 4.2: Utilizando as propriedades de limites, vamos calcular 4x2 +2x -1:
 4x2 +2x -1 = 4. (2)2+2.(2)-1
 =4. 4+4-1
 =16+3
 =19
Perceba, caro(a) aluno(a), que o limite da função f(x) = 4x2 + 2x - 1 foi obtido a partir da 
substituição direta. Esta propriedade é enunciada da seguinte forma:
Propriedade de substituição direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver 
no domínio de f , então f(a) . 
Exemplo 4.3: Utilizando as propriedades de limites vamos calcular :
 
Essas funções que possuem a propriedade de substituição direta são chamadas de 
contínuas e serão estudadas com mais profundidade na Aula 5. No entanto, atente-se, caro(a) 
aluno(a), que nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta.
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4.3 Cálculo de limites com expressões indeterminadas
Algumas expressões como:
 
São chamadas de indeterminadas. E, quando nos deparamos com tais expressões, a 
priori, nada podemos concluir acerca delas.
Exemplo 4.4: Sejam f(x) = x3 e f(x)= x2 por definição temos que, e que 
A partir do exemplo anterior, caro(a) aluno(a) podemos perceber que a definição do limite 
do quociente entre as funções foi possível, apenas a partir do conhecimento dos valores 
específicos de cada função.
Vamos agora ver um exemplo em que é necessário cálculos algébricos.
Exemplo 4.5: Seja a função , se quisermos encontrar o limite quando x➙ -2, 
então, primeiramente, precisamos fatorar numerador e denominador, e na sequência fazer 
as possíveis simplificações:
 
4.4 Teorema do Confronto
O Teorema do Confronto nos diz que se f(x)≤g(x)≤h(x) para todo x em um intervalo aberto 
contendo a, exceto em x = a, e , então, .
Exemplo 4.6: Vamos provar que , utilizando o Teorema do Confronto. Para 
isto, precisamos encontrar uma função f(x) menor que e uma função h(x) maior 
que .
Sabendo que a função seno é limitada, então:
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Tomando os limites de f(x) e de h(x) quando x➙0, obtemos que:
 
Isto significa que:
 
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AULA 5
LIMITES INFINITOS E LIMITES NO 
INFINITO
Caro(a) aluno(a), até o momento estudamos situações de limite de uma função quando 
x se aproxima de um número real a. Agora, vamos conhecer os limites infinitos e limites no 
infinito.
5.1 Limites infinitos e assíntotas verticais
As expressões e significam que os valores de f(x) vão ficando 
cada vez maiores quando x tende a a pela esquerda ou pela direita. E, se ambas forem 
verdadeiras, então .
Analogamente, as expressões e significam que os valores 
de f(x) vão ficando cada vez menores quando x tende a a pela esquerda ou pela direita. E, 
se ambas forem verdadeiras, então .
Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a (exceto 
possivelmente no próprio a), escrevemos . Isto significa que para todo N>0, 
existe um δ>0, tal que 0<|x-a|<δ se f(x) > N. 
Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a (exceto 
possivelmente no próprio a), escrevemos . Isto significa que para todo N<0, 
existe um δ>0, tal que 0<|x-a|<δ se f(x) < N. 
A Figura abaixo representa graficamente o que acontece quando ocorrem as situações 
descritas acima. Note, caro(a) aluno(a), que a reta x = a é denominada de assíntota vertical 
da curva y = f(x).
 
Figura 5.1: Limites infinitos. Fonte: Anton et al. (2007, p. 110).
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Definição. A reta x=a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se ou 
 .
Exemplo 5.1: Encontre e .
Para a primeira função temos que se x está próximo a 3, mas é maior que 2, então 
 .
Para a segunda função temos que se x está próximo a 3, mas é menor que 2, então 
 .
A Figura 5.2 ilustra a curva 2( )
3
xf x
x
=
-
. Note, caro(a) aluno(a), que a reta x= 3 é uma 
assíntota vertical, uma vez que é a reta vertical da qual o gráfico se aproxima ao mesmo 
tempo que aumenta ou diminui sem limite. 
 
Figura 5.2: Representação gráfica de 2( )
3
xf x
x
=
-
 . Fonte: a autora.
5.2 Limites no infinito e assíntotas horizontais
Até o momento, caro(a) aluno(a), estudamos limites de uma função quando x se aproxima 
de um número real a. No entanto, existem casos em que queremos verificar como é que 
uma determinada função se comporta quando x cresce ou decresce infinitamente.
Dizemos que quando podemos obter valores para f(x) tão próximos de L 
quanto quisermos, à medida que x cresce sem parar.
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Analogamente dizemos que quando podemos obter valores para f(x) tão 
próximos de L quanto quisermos, à medida que x decresce sem parar.
Definição. Seja f uma função definida em algum intervalo (a,+∞). Então ; 
significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente 
grande.
Definição. Seja f uma função definida em algum intervalo (-∞,a). Então ; 
significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente 
grande em valor absoluto, mas negativo.
 Especificamente, no cálculo de limites no infinito, precisamos nos atentar para dois casos:
• , uma vez que ao tomarmos x grande o suficiente, f(x) tende a zero;
• , uma vez que ao tomarmos x grande o suficiente, f(x) tende a infinito. Analogamente, 
.
Definição. Se f é uma função definida em um intervalo ]a,∞[, e seja L um número real, 
escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um N>0, tal que L-ε<f(x)<L+ε 
se x>N.
Exemplo 5.2: Para determinarmos , precisamos manipular a função ( )
1
xf x
x
=
+
 
algebricamente, dividindo todos os termos por x:
 
Na representação gráfica de 
1
xy
x
=
+
 é possível notar uma assíntota horizontal em y=1 
e uma assíntota vertical em x= -1:
 
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Figura 5.3: Representação gráfica de ( )
1
xf x
x
=
+
. Fonte: a autora.
Definição. A reta y=b é uma assíntota horizontal do gráfico da função f, se 
 ou . 
Anote isso
“O comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do 
termo de maior grau do numerador dividido pelo termo de maior grau do denominador”.
Fonte: Anton et al. (2007, p. 127).
Exemplo 5.3: Seja a função 
22 1( )
3 5
xf x
x
+=
-
 vamos determinar as assíntotas horizontais 
e verticais: 
 
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Isto significa que a reta 2
3
y = é uma assíntota horizontal.
No cálculo do limite quando x➙ -∞, devemos nos lembrar que para x<0, temos que
√x2 = |x| = -x. Assim, quando dividimos o numerador por x, para x<0, obtemos: 
2 2
2
2
1 12 1 2 1
1 = 2
x x
x x
x
+ = - +
- +
 
Logo,
 
Isto significa que a reta 
2
3
y = - também é uma assíntota horizontal.
Quanto à assíntota vertical a mesma deve ocorrer quando o denominador for igual a 
zero, tal que 3x-5=0➙x= 53 5 0
3
x x- = Þ = . Se x estiver próximo de 
53 5 0
3
x x- = Þ = e 5
3
x > , então o denominador está 
próximo de 0 e 3x - 5 é positivo. O numerador √2x2 + 1 é sempre positivo e, portanto, f(x)é 
positivo. Assim:
 
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Se x estiver próximo de 53 5 0
3
x x- = Þ = e 5
3
x < , então 3x - 5 é menor que zero e, portanto, f(x) é muito 
grande em valor absoluto (porém negativa). Assim:
 
Isto significa que a assíntota vertical é 5
3
x = .
As assíntotas encontram-se ilustradas na Figura abaixo:
 
Figura 5.4: Representação gráfica de 
22 1( )
3 5
xf x
x
+=
-
 . Fonte: a autora.
5.3 Limites infinitos no infinitoA notação é utilizada para indicar que os valores de f(x) se tornam grandes 
quando x se torna grande. Para os seguintes símbolos significados análogos são dados: 
 , e .
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Exemplo 5.4: Vamos encontrar o limite da função 
2
( )
3
x xf x
x
+=
-
 quando x➙∞.
 
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AULA 6
CONTINUIDADE
Em funções contínuas nós assumimos que os valores de saída variam continuamente, 
de acordo com os valores de entrada. Isto significa que os valores não saltam de um para 
o outro.
Informalmente, dizemos que uma função é contínua quando formos capazes de traçar o 
seu gráfico sem levantar o lápis do papel.
Definição. Uma função f(x) é contínua em um número a se .
Assim, uma função f é dita contínua em x = a, se f(a) está definida e existe. Além 
disso, de acordo com Thomas et al. (2012), para definirmos a continuidade em um ponto 
do domínio de uma função é necessário definirmos a continuidade em um ponto interior e 
em um ponto extremo:
• Ponto interior: uma função y = f(x) é contínua em um ponto interior a, se 
• Extremidade: uma função y = f(x) é contínua na extremidade esquerda ou é contínua na 
extremidade direita, se ou , respectivamente.
Definição. Uma função f é contínua à direita em um número a se e f é 
contínua à esquerda em a se .
É importante destacar, caro(a) aluno(a), que se uma função f não for contínua em um ponto 
a, então dizemos que a função é descontínua em a, em que a é o ponto de descontinuidade.
A Figura abaixo ilustra alguns casos de pontos de descontinuidade, observe:
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 Figura 6.1: Alguns pontos de descontinuidade. Fonte: Demana et al. (2013, p. 74).
Exemplo 6.1: Se existirem vamos determinar os pontos nos quais as funções são 
descontínuas:
i) 
 
ii)
 
Para verificarmos em quais pontos as funções são descontínuas precisamos calcular o 
limite da função 
2 1( )
1
xf x
x
-=
-
 quando x➙1:
 
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Ao plotarmos os gráficos é possível notar que em i) ; isto significa que a 
função é descontínua no ponto x = 1. Por outro lado, em ii) ; logo a função 
é contínua em todos os pontos.
 
Figura 6.1: Representação gráfica de 
2 1( )
1
xf x
x
-=
-
 para os casos i) e ii). Fonte: a autora.
6.1 Propriedades da continuidade
As propriedades da continuidade são resultantes das propriedades dos limites discutidas 
nas aulas anteriores.
Se f e g são funções contínuas no ponto a, e k é uma constante, então as seguintes 
funções também serão contínuas no ponto a:
• Uma das funções multiplicadas pela constante k : k.f(x) : 
• A soma das funções: f(x) + g(x)
• A diferença das funções: f(x) - g(x)
• O produto das funções: f(x).g(x) 
• O quociente das funções: ( )
( )
f x
g x
, desde que g(x)≠0 
Isso implica que as funções polinomiais são contínuas para qualquer valor de x e que as 
funções racionais são contínuas em todos os pontos de seu domínio.
Teorema. a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em 
ℝ= (-∞,∞). b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida, ou seja, é 
contínua em seu domínio. 
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Exemplo 6.2: Vamos encontrar .
A função 
3 25 4( )
5 3
x xf x
x
+ +=
-
 é racional e por definição é contínua em seu domínio
 .
Assim, 
Teorema. Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então, a função composta gOf é 
contínua no ponto a.
Exemplo 6.3: Vamos verificar onde a função h(x) = cos(1+x2) é contínua.
Temos que h(x) = f(g(x)), em que g(x) = 1 + x2 e f(x) = cos x. Mas f é uma função polinomial, 
logo, é contínua em ℝ e g é uma função trigonométrica, também contínua em ℝ. Portanto, 
implica que h(x) = cos(1+x2) é contínua em ℝ.
6.2 Teorema do valor intermediário
Definição. Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e N for um número 
qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a)≠f(b), então existe um número c em (a,b), tal que f(c) = N.
O Teorema do valor intermediário encontra-se ilustrado na Figura abaixo, em que observamos 
que o valor N pode ser assumido uma vez (a) ou mais de uma vez (b). 
 
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Figura 6.2: Teorema do Valor Intermediário. Fonte: Stewart (2013, p. 115).
Exemplo 6.4: Vamos mostrar que existe uma raiz da equação 4x3 - 6x2 + 3x -2 = 0 entre 
1 e 2.
Considerando a função f(x) = 4x3 - 6x2 + 3x -2 estamos interessados em um número c 
entre 1 e 2, tal que f(c) = 0. Tomando a = 1, b = 2 e N = 0, temos que:
f(1)=4.(1)3 - 6.(1)2 + 3.(1) - 2 = 4 - 6 + 3 - 2 = - 1 < 0
f(2)=4.(2)3 - 6.(2)2 + 3.(2) - 2 = 32 - 24 + 6 - 2 = 12 > 0
Logo, f(1) < 0 < f(2), ou seja, N = 0 é um número entre f(1) e f(2).
Como a função f é contínua por ser um polinômio, então, de acordo com o Teorema do 
Valor Intermediário, existe um número c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0, ou seja, a equação 4x3 
- 6x2 + 3x -2 = 0 tem ao menos uma raiz c no intervalo (1,2).
Uma vez que 
f(1,2)=4.(1,2)3 - 6.(1,2)2 + 3.(1,2) - 2 = 6,912 - 8,64 + 3,6 - 2 = -0,128 < 0
f(1,3)=4.(1,3)3 - 6.(1,3)2 + 3.(1,3) - 2 = 8,788 - 10,14 + 3,9 - 2 = 0,5418 > 0 
Então, uma raiz deve estar entre 1,2 e 1,3.
Por meio de tentativa e erro, uma calculadora fornece: 
f(1,22)=4.(1,22)3-6.(1,22)2+3.(1,22)-2=7,2634-8,9304+3,66-2=-0,007<0
f(1,23)=4.(1,23)3-6.(1,23)2+3.(1,23)-2=7,4435-9,0774+3,69-2=0,0561>0
Isto significa que uma raiz está no intervalo (1, 22, 1, 23). 
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AULA 7
DERIVADAS
Caro(a) aluno(a), vamos iniciar nossos estudos sobre derivadas com um problema 
geométrico que motivou muitas das ideias básicas do Cálculo, conhecido como problema 
da Reta Tangente, o qual consiste na determinação da reta tangente em um ponto específico 
de uma curva.
Considerando a curva representada na Figura 7.1, dada pela equação y = f(x), a inclinação 
da reta secante PQ será dada por:
( ) ( )
PQ
f x f am
x a
-=
-
 
 
Figura 7.1: Reta tangente à curva ( )y f x= . Fonte: Stewart (2013, p. 131).
Se a inclinação mPQ da reta secante por P e Q tender a um limite quando x➙a, então, esse 
limite será considerado como a inclinação mPQ da reta tangente em P.
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Definição. A reta tangente à curva y = f(x) no ponto P (a,f(a)) é a reta que passa por P com 
inclinação , sempre que o limite existir.
A equação da definição acima, caro(a) aluno(a), também pode ser expressa como 
 , se h = x - a.
Anote isso
A equação da reta que passa por um ponto P (x0, y0) com inclinação m é da forma 
y-y0=m.(x-x0).
Fonte: Swokowski (1983).
Exemplo 7.1: Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = x2 - 4 no ponto 
P(3,5). Para isto vamos considerar a = 3 e f(x) = x2 - 4, tal que:
 
Logo, a equação da reta tangente à curva y = x3 - 4 no ponto P(3,5) é:
y-5=6.(x-3)
y-5=6x-18
y=6x-13
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A parábola e sua tangente encontram-se ilustradas na Figura 7.2, observe:
 
Figura 7.2: Reta tangente à curva y = x² - 4 no ponto P (3,5) . Fonte:a autora.
Definição. A função f ' definida pela fórmula é denominada de 
derivada de uma função f em relação a x, se o limite existir.
A derivada de f em a representa geometricamente a inclinação da reta tangente ao gráfico 
de f no ponto de abcissa de a. Uma segunda interpretação é que a derivada f '(a) é a taxa 
instantânea de variação de y = f(x) em relação x a quando x = a. 
Exemplo 7.2: Vamos encontrar a derivada da função f(x) = x3 - x:
 
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7.1 Outras notações para as derivadas
Denomina-se de derivação ou diferenciação o processo de encontrar a derivada de uma 
função y = f(x). Quando a variável independente for x, a operação costuma ser denotada por:
[ ]'( ) ' ( ) ( )x
df dy df x y f x D f x
dx dx dx
= = = = =
 
Em grande parte do texto, vamos utilizar a notação f '(x) para representar a derivada. 
Embora, em algumas situações, até mesmo por questões didáticas, utilizaremos também 
a notação 
df
dx . 
Atente-se, caro(a) aluno(a), que os símbolos D e 
d
dx são chamados de operadores diferenciais, 
uma vez que eles indicam a operação de diferenciação, ou seja, o processo de cálculo de 
uma derivada.
Além disso, lembre-se que “uma função f é dita derivável ou diferenciável em a, se f '(a)
existir. É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto (a,b) [ou (a,∞) ou (-∞,a) ou (-∞,∞)] 
se for diferenciável em cada número do intervalo” (STEWART, 2013, p. 143).
Anote isso
Funções contínuas não são necessariamente deriváveis! É possível construir uma função 
que é contínua em todos os pontos, mas que não é derivável em nenhum deles. Como 
exemplo, podemos citar as funções de Weierstrass (HARDY, 1916) e também o floco 
de neve de Koch.
Fonte: Addison (1997).
7.2 Técnicas de diferenciação
Caro(a) aluno(a), conforme vimos no Exemplo 7.2, o cálculo da derivada de uma função 
como um limite pode ser um tanto quanto trabalhoso na prática por isso, existem algumas 
técnicas de diferenciação que nos possibilitam calcular a derivada de uma função de uma 
forma muito mais simples, observe:
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Derivada da função constante
Se ( ) , [ ] 0df df x k k
dx dx
= = = 
Derivada da função potência 
Se 1( ) , [ ]n n ndf df x x x n x
dx dx
-= = = × n . x n-1
Derivada de uma constante multiplicada por uma função 
Se [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x
dx dx
= × = × = × . [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x
dx dx
= × = × = ×
 
. [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x
dx dx
= × = × = × . [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x
dx dx
= × = × = ×
Derivada da função soma 
Se [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) g( )dh d d dh x f x g x f x g x f x x
dx dx dx dx
= + = + = + 
Derivada da função diferença 
Se [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) g( )dh d d dh x f x g x f x g x f x x
dx dx dx dx
= - = - = - 
Exemplo 7.3: Vamos encontrar a derivada de y = x4 + 3x2 + 5x - 3, utilizando as técnicas 
de diferenciação estudadas até o momento:
 ( )
4 2
3
' 3 5 3
 4 6 5
dy x x x
dx
x x
= + + -
= + +
Regra do produto
Se [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x
dx dx dx dx
= × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x
dx dx dx dx
= × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x
dx dx dx dx
= × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x
dx dx dx dx
= × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x
dx dx dx dx
= × = × = × + × 
Exemplo 7.4: Vamos encontrar a derivada de y=(x5-x) . (2x+3) utilizando a regra do produto:
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Regra do quociente
Se 
Exemplo 7.5: Vamos encontrar a derivada de 
24 1
2
xy
x
-=
+
 utilizando a regra do quociente:
 
Regra da cadeia
Se 
Exemplo 7.6: Seja y = cos(x2), vamos encontrar a sua derivada utilizando a regra da cadeia:
 
Perceba, caro(a) aluno(a), que a regra da cadeia é utilizada quando queremos obter a 
derivada de funções compostas. De forma equivalente, na notação de Leibniz, se y = f(u) e 
u = g(x) forem funções deriváveis, então:
 
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Exemplo 7.7: Vamos encontrar a derivada de y = √x2 + 2 utilizando a regra da cadeia com 
a notação de Leibniz, considerando y = √u em que u = x2 + 2:
 
7.3 Derivadas de funções logarítmicas e funções exponenciais
 Caro(a) aluno(a), lembra-se que na Aula 2 nós trabalhamos com as funções exponenciais 
e logarítmicas? Por definição, as suas derivadas são dadas por:
• Se 
• Se 
• Se 
• Se 
• Se 
Exemplo 7.8: Vamos encontrar a derivada de y = e3x. Para isto, precisamos considerar 
y=eu em que u = 3x, logo, utilizando a regra da cadeia, obtemos:
 
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7.4 Derivadas das funções trigonométricas
Para as funções trigonométricas, que também estudamos na Aula 2, as derivadas são 
dadas por:
• Se ( ) , [ ] cosdf df x sen x sen x x
dx dx
= = = 
• Se ( ) cos , [cos ] df df x x x sen x
dx dx
= = = - 
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AULA 8
DERIVADAS DE ORDENS 
SUPERIORES E DERIVAÇÃO 
IMPLÍCITA
Caro(a) aluno(a), dando continuidade às derivadas, nesta aula vamos estudar as derivadas 
de ordens superiores e a derivação implícita. Vamos lá?
8.1 Derivadas de ordens superiores
Por definição, a derivada f ' de uma função f é uma nova função que pode ter sua própria 
derivada. 
Definição. Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a sua derivada 
é chamada de derivada segunda de f e é representada por f "(x) ou 
2
2
d f
dx
.
 
Assim, a derivada de f ' é f " (segunda derivada de f); a derivada de f " é f "' (terceira derivada 
de f); e assim por diante até que possamos obter uma derivada de enésima ordem, denotada 
por:
 [ ]( ) ( ) ( )
n n
n
n n
d y d yf x f x
dx dx
= =
Exemplo 8.1: Vamos obter a quinta derivada de f(x) = x4 +2x3 - 4x2 + 2x - 8:
 ( )
4 3 2
3 2
'( ) 2 4 2 8
 4 6 8 2
df x x x x x
dx
x x x
= + - + -
= + - +
 
 ( )
3 2
2
''( ) 4 6 8 2
 12 12 8
df x x x x
dx
x x
= + - +
= + -
 
 ( )
2'''( ) 12 12 8
 24 12
df x x x
dx
x
= + -
= +
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( )''''( ) 24 12
 24
df x x
dx
= +
=
 
( )'''''( ) 24
 0
df x
dx
=
=
 
Atente-se, caro(a) aluno(a), que as derivadas de ordem superior também podem ser 
expressas das seguintes formas:
 
 
E assim por diante.
Exemplo 8.2: O exemplo mais famoso de uma derivada de segunda ordem é a aceleração. 
Sabendo que se derivarmos a função horária da posição de um objeto que se move em uma 
reta encontramos a velocidade, e se derivarmos novamente, encontramos a aceleração, 
então, significa que a aceleração é a segunda derivada da posição:
 
 
Dessa forma, considerando uma partícula se movendo sobre um eixo horizontal, cuja 
posição é dada por: 
 S(t) = t2 
Então, a aceleração no instante t é dada por:
 
Significa que a aceleração é constante e igual a 2.
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8.2 Derivação implícita
Caro(a) aluno(a), antes de nós estudarmos a derivação implícita precisamos definir uma 
função na forma implícita. Considerando a equação F(x,y) = 0, dizemos que a função y=f(x) é 
definida implicitamente pela equação, se aosubstituirmos y por f(x) em F(x,y) = 0, a equação 
se transformar em uma identidade. 
Até o momento, caro(a) aluno(a), estudamos as funções deriváveis da forma y = f(x), em 
que a variável y estava explicitamente expressa em termos da variável independente x. No 
entanto, também pode haver casos em que a variáve y está implicitamente expressa em 
termos da variável x. Veja os exemplos abaixo:
x3 + y3 + 2xy = 1, 
2
2 4
2
x y+ = ou tg(xy) = x + y
 
Sempre que não for possível reescrever a variáve y = y(x), diremos que para essas equações, 
define-se uma relação implícita entre as variáveis x e y. Nestes casos, seremos capazes de 
determinar a derivada dy
dx
 baseados nessas equações, mesmo sem reescrevermos uma 
variável em função da outra. 
dy
dx é o que chamaremos de derivada implícita.
O método da derivação implícita, caro(a) aluno(a), consiste em derivar os dois lados da 
equação com relação a variável x, e ao final, resolver a equação resultante para ' dyy
dx
= . 
Veja os exemplos abaixo: 
Exemplo 8.3: Utilizando a derivação implícita, vamos obter a derivada de y2-x=1, 
primeiramente, derivando os termos da equação em relação a x:
2
2
2
( ) (1)
( ) ( ) (1)
( ) 1 0
d dy x
dx dx
d d dy x
dx dx dx
d y
dx
- =
- =
- =
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Considerando que y = y(x), então, podemos calcular a derivada 2( )d y
dx
, usando a regra 
da cadeia, ou seja: 
( )2 1 0
2 1 0
2 1
1
2
d dyy
dy dx
dyy
dx
dyy
dx
dy
dx y
- =
- =
=
=
 
Exemplo 8.4: Utilizando a derivação implícita, vamos obter a derivada de x5 + y4 + 9xy, da 
mesma forma como fizemos no Exemplo anterior:
 
Exemplo 8.5: A curva cúbica x3 + y3 + 4xy é conhecida como Folium de Descartes. Utilizando 
a derivação implícita podemos determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto 
(-2, -2):
 
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Figura 8.1: Equação da reta tangente a essa curva cúbica 3 3 4 0x y xy+ + = no ponto (-2,-2). Fonte: a autora.
A partir da Figura acima é fácil notar que o ponto (-2, -2) está sobre a curva, uma vez que:
x3+y3+4xy=0
(-2)3+(-2)3+4.(-2).(-2)=0
-8-8+16=0
0=0
Para determinarmos a inclinação da reta tangente à curva no ponto (-2, -2), precisamos 
utilizar a derivação implícita, tal que:
 
Substituindo as coordenadas do ponto (-2, -2) na derivada acima encontrada temos que:
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Desta forma, a equação da reta tangente é dada por:
 
y-y0=m.(x-x0)
y-(-2)=-1.(x-(-2))
y+2=-x-2
y=-x-2-2
y=-x-4
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AULA 9
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
Nesta aula, veremos algumas das aplicações das derivadas, como encontrar os pontos 
extremos de uma função e também a regra de L’Hôpital, que nos auxilia no cálculo de limites.
9.1 Máximos e mínimos de uma função
Em várias situações cotidianas queremos saber quando é que uma função y = f(x) atinge 
o seu máximo ou o seu mínimo. Para exemplificar, vamos supor que uma determinada 
empresa produz calculadoras; claramente ela quer fabricar seu produto no menor custo 
possível e vendê-lo ao maior lucro possível.
Dizemos que uma função f(x) tem um ponto de máximo local no ponto c se f(c)≥f(x) para 
todo x próximo a c, ou seja, próximo ao ponto c não tem nenhum outro ponto x de tal forma 
que a função f(x) seja maior que f(c). Por outro lado, se f(c)≤f(x) para todo ponto x próximo 
a c dizemos que c é um ponto de mínimo local, uma vez que perto do ponto c a função não 
terá nenhum outro ponto x de forma que f(x) seja menor que f(c).
Atente-se, caro(a) aluno(a), que se o ponto c é um ponto de máximo ou mínimo local da 
função f(x), então, dizemos que este ponto é um extremo local da função.
Considerando a função dada por f(x) = - x4 + 4x2 - 1, a partir da sua representação gráfica 
(Figura 9.1), é possível perceber que a mesma apresenta dois pontos de máximo local e um 
de mínimo local.
 
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Figura 9.1: Pontos de máximo e mínimos locais da função 4 2( ) 4 1f x x x= - + - . Fonte: a autora.
Os pontos de máximo local ocorrem em x = ±√2, enquanto que o ponto mínimo local 
ocorre em x = 0. 
Nos casos em que o extremo da função (seja ele máximo ou mínimo) é o maior (ou o 
menor) valor da função em todo o seu domínio, então o ponto será chamado de máximo 
(ou mínimo) global.
Mas você sabe encontrar os pontos extremos de uma função? Veremos ao longo do 
texto que nos pontos extremos locais e globais das funções deriváveis, a inclinação da reta 
tangente é nula, ou seja, se c é um ponto de máximo (ou mínimo), então f '(c) = 0.
Teorema de Fermat: Se f tiver um máximo ou um mínimo local em c e se f '(c) existir, 
então f '(c) = 0.
Vamos voltar à função que vimos anteriormente: f(x) = - x4 + 4x2 - 1.
A sua derivada é dada por:
f '(x)= 4x3 + 8x
Para encontrarmos as raízes, precisamos igualar a derivada a zero e assim:
-4x3+8x=0
x.(-4x2+8)=0 
Para que o produto seja nulo ou x = 0 ou -4x2 + 8 = 0. Para este segundo caso, temos que:
-4x2+8=0➙x=±√2 
Isto significa que os pontos x = 0 e x = ±√2 são os zeros da função derivada e, portanto, 
os extremos locais da função.
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Definição. Os pontos no qual f '(c) = 0 são chamados de pontos críticos da função f e 
são possíveis candidatos à extremos da função.
No entanto, atente-se,caro(a) aluno(a), que “os únicos pontos do domínio em que uma 
função pode assumir valores extremos são os pontos críticos e as extremidades (...) Uma 
função pode ter um ponto crítico em x = c sem apresentar um valor extremo local nesse 
ponto” (THOMAS et al., 2012, p. 215).
 
9.1.1 Teste da primeira e da segunda derivada
Por definição, a primeira e a segunda derivadas de uma função podem nos trazer importantes 
informações sobre seu comportamento. A primeira derivada se relaciona com o crescimento 
da função, enquanto que a segunda derivada se relaciona com a concavidade.
Teste da primeira derivada: dada uma função f(x) com primeira derivada contínua; se 
a primeira derivada é positiva, f '(x) > 0, para todo x pertencente a um intervalo qualquer Ι, 
então a função é crescente neste intervalo. Além disso, se a derivada é negativa, f '(x) > 0, 
para todo x∈J, então, a função é decrescente em J.
Exemplo 9.1: Vamos determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de 
f(x)=x3 - 2x2 + x + 2. Para isto, primeiramente, precisamos derivar a função:
 ( )3 2 2'( ) 2 2 3 4 1df x x x x x x
dx
= - + + = - + 
Fazendo f '(x) = 0, obtemos que:
3x2-4x+1=0➙x= 2 13 4 1 0 ; 1
3
x x x x- + = Þ = = ;x=1 
Ou seja, 1
3
x = e x = 1 são os pontos críticos da função.
Fazendo um estudo da variação do sinal de f ' temos que:
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Isto significa que f é crescente em -∞ 1
3
x- ¥ < < , decrescente em 1 1
3
x< < e crescente 
em 1<x<∞. 
Teste da primeira derivada – Extremos: seja c um ponto crítico da função f(x), então:
• Se o sinal de f ' mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo local em c;
• Se o sinal de f ' mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo local em c;
• Se f ' não mudar de sinal em c (isto é, f 'é positivo ou negativo em ambos os lados de 
c), então f não tem máximo ou mínimo locais em c.
Exemplo 9.2: Para a função f(x) = x3 - 2x2 + x + 2 do exemplo anterior, observando a 
variação do sinal de f ' e aplicando o teste da primeira derivada, podemos examinar os dois 
pontos críticos de f para um extremo local:
• Para o ponto crítico 1
3
x = , verificamos que f '(x) muda de sinal de positivo para negativo 
quando passamos por 1
3
x = da esquerda para a direita; logo,um máximo local ocorre em 
1
3
x = ;
• Para o ponto crítico x = 1, verificamos que f '(x) muda de sinal de negativo para positivo 
quando passamos por x = 1 da esquerda para a direita; logo, um mínimo local ocorre em x = 1;
A Figura 9.2 representa graficamente estas conclusões:
 
Figura 9.2: Representação gráfica da função 3 2( ) 2 2f x x x x= - + + . Fonte: a autora.
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Teste da segunda derivada - Concavidade: dada uma função f(x) com segunda derivada 
contínua; se a segunda derivada é positiva, f n(x)>0 para todo x pertencente a um intervalo 
qualquer Ι, então a função é côncava para cima em Ι. Além disso, se a derivada é negativa, 
f n(x)<0, para todo x∈J, então, a função possui concavidade para baixo em J. 
Exemplo 9.3: Vamos estudar a concavidade da função f(x) = x3 + 5x2 - 1. Para isto, 
precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada:
 
( )
( )
3 2 2
2
'( ) 5 1 3 10
''( ) 3 10 6 10
df x x x x x
dx
df x x x x
dx
= + - = +
= + = +
Fazendo f n(x) = 0, obtemos que:
6x+10=0➙x= 56 10 0
3
x x+ = Þ = -
 
Fazendo um estudo da variação do sinal de f n temos que:
 
Isto significa que f tem a concavidade para baixo em -∞<x< 5
3
x- ¥ < < - e f tem a concavidade 
para cima em 5
3
x- < < ¥ ∞.
Quando 5
3
x = - a concavidade de f muda de sentido e assim, é um ponto 
de inflexão. 
Anote isso
Quando a segunda derivada da função no ponto c é nula, ou seja, f n(c) = 0 então, 
dizemos que c é um ponto de inflexão, um ponto em que se muda a concavidade.
Fonte: Thomas et al. (2012). 
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Teste da segunda derivada - Extremos: supondo que f n seja contínua em um intervalo 
aberto que contenha x = c:
• Se f '(c) = 0 e f ''(c) < 0, então c é um ponto de máximo local;
• Se f '(c) = 0 e f ''(c) > 0, então c é um ponto de mínimo local;
• Se f '(c) = 0 e f ''(c) = 0, então nada se pode concluir sobre o ponto c. Isto significa que 
a função f pode ter uma máximo local, um mínimo local ou nenhum dos dois. 
Exemplo 9.4: Vamos encontrar os extremos locais de f(x) = x3 + 5x2 - 1, aplicando o teste 
da segunda derivada. Já sabemos que f '(x) = 3x2 + 10x, logo, f '(x) é nulo quando:
3x2+10x = 0➙x= 2 103 10 ; 0
3
x x x x+ Þ = - = ;x=0
 
Ou seja, 10
3
x = - e x = 0 são os pontos críticos da função.
Também já sabemos que a segunda derivada da função é dada por f ''(x) = 6x + 10. 
Calculando seus valores nos pontos críticos, concluímos que:
 ; significa que f tem um máximo local 
em 10
3
- 
( ) ( )'' 0 6 0 10 10 0f = × + = >. ( ) ( )'' 0 6 0 10 10 0f = × + = > ; significa que f tem um mínimo local em 0.
A Figura 9.3 representa graficamente estas conclusões:
 
Figura 9.3: Representação gráfica da função 3 2( ) 5 1f x x x= + - . Fonte: a autora.
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9.2 Regra de L’Hôpital
A Regra de L’Hôpital nos permite facilmente resolver limites de formas indeterminadas, 
dos tipos 0
0
 e .
Regra de L’Hôpital: sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto Ι que contém a 
(exceto possivelmente em a), se g'(x)≠0 para todo x≠a, e se ( )
g( )
f x
x
 toma a forma indeterminada 
0
0 
ou em x = a, então:
 
Desde que 
'( )
g'( )
f x
x
 tenha um limite ou torne-se infinito quando x➙a.
Exemplo 9.5: Utilizando a regra de L’Hôpital, vamos determinar : 
 
 
Como visto no Exemplo anterior, atente-se, caro(a) aluno(a), que quando usamos a regra 
de L’Hôpital nós derivamos numerador e denominador separadamente, ou seja, não usamos 
a regra do quociente. Veja mais um Exemplo abaixo:
Exemplo 9.6: Utilizando a regra de L’Hôpital, vamos determinar : 
 
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No Exemplo acima, tínhamos uma indeterminação do tipo , e tivemos de aplicar a 
regra de L’Hôpital várias vezes, com vistas a determinar .
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AULA 10
FÓRMULA DE TAYLOR
Caro(a) aluno(a), a fórmula de Taylor é um método de aproximação de uma função por 
um polinômio, com um erro possível de ser estimado.
Definição. Considerando f: I➙ℝ uma função que admite derivadas até ordem n em um 
ponto c do intervalo Ι, o polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto c, denotado por Pn(x)
é dado por:
 
( )
2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( )
2! !
n
n
n
f c f cP x f c f c x c x c x c
n
= + × - + × - + + × -
 
. 
( )
2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( )
2! !
n
n
n
f c f cP x f c f c x c x c x c
n
= + × - + × - + + × - . 
( )
2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( )
2! !
n
n
n
f c f cP x f c f c x c x c x c
n
= + × - + × - + + × -
 
. 
( )
2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( )
2! !
n
n
n
f c f cP x f c f c x c x c x c
n
= + × - + × - + + × -
Observe, caro(a) aluno(a), que no ponto x = c, Pn(c) = f(c). 
Exemplo 10.1: Vamos determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x) = ex 
no ponto c = 0. Para isto, precisamos encontrar as derivadas de f(x), e também seus valores 
quando x = 0, ou seja:
 
Portanto, 
 
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Considerando o polinômio de Taylor de grau n de uma função f(x), Rn(x) é a diferença entre 
f(x) e Pn(x) , ou seja, Rn(x) = f(x) - Pn(x), conforme representado na Figura 10.1:
 
Figura 10.1: ( ) ( ) ( )n nR x f x P x= - Fonte: Flemming e Gonçalves (2006, p. 318).
Dessa forma, temos que f(x) = Pn(x) + Rn(x), ou ainda: 
 
( )
2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
2! !
n
n
n n
f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x
n
= = + × - + × - + + × - +.
( )
2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
2! !
n
n
n n
f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x
n
= = + × - + × - + + × - +. 
( )
2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
2! !
n
n
n n
f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x
n
= = + × - + × - + + × - +.
( )
2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
2! !
n
n
n n
f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x
n
= = + × - + × - + + × - +
Rn(x) é denominado de resto, uma vez que para os valores de x nos quais Rn(x) é “pequeno”, 
o polinômio Pn(x) dá uma boa aproximação de f(x).
Proposição. Considerando f: [a,b] ➙ ℝ uma função definida em um intervalo [a,b], e supondo 
que as derivadas f ', f ", ..., f(n) existam e são contínuas em [a,b], e que f(n+1) exista em (a,b). 
Considerando c um ponto qualquer fixado em [a,b], então, para cada
x∈[a,b], com x≠c, existe um ponto z entre c e x, tal que:
 
( ) ( 1)
1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( )
! ( 1)!
n n
n nf c f zf x f c f c x c x c x c
n n
+
+= + × - + + × - + × -
+
. 
( ) ( 1)
1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( )
! ( 1)!
n n
n nf c f zf x f c f c x c x c x c
n n
+
+= + × - + + × - + × -
+
. 
( ) ( 1)
1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( )
! ( 1)!
n n
n nf c f zf x f c f c x c x c x c
n n
+
+= + × - + + × - + × -
+
.
( ) ( 1)
1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( )
! ( 1)!
n n
n nf c f zf x f c f c x c x c x c
n n
+
+= + × - + + × - + × -
+
No caso particular em que c = 0:
 
( ) ( 1)
1(0) ( )( ) (0) '(0) ...
! ( 1)!
n n
n nf f zf x f f x x x
n n
+
+= + × + + × + ×
+
.
( ) ( 1)
1(0) ( )( ) (0) '(0) ...
! ( 1)!
n n
n nf f zf x f f x x x
n n
+
+= + × + + × + ×
+
.
( ) ( 1)
1(0) ( )( ) (0) '(0) ...
! ( 1)!
n n
n nf f zf x f f x x x
n n
+
+= + × + + × + ×
+
.
( ) ( 1)
1(0) ( )( ) (0) '(0) ...
! ( 1)!
n n
n nf f zf x f f x x x
n n
+
+= + × + + × + ×
+
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A fórmula de Taylor recebe o nome de fórmula de MacLaurin.
Exemplo 10.2: Vamos determinar