10 - Continuidade II

Prévia do material em texto

Continuidade II
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Nesta aula, vamos abrir o assunto sobre alguns detalhes a respeito de continuidade,
que ainda não mencionamos e, feito isso, estaremos preparados para entrar em um
dos assuntos mais importantes de cálculo.
Esta aula será dividida em basicamente dois tópicos: o primeiro será continuidade
de funções compostas, e o segundo continuidade de funções trigonométricas.
Continuidade de Funções
Compostas
Primeiramente, vamos de�nir aqui uma função composta. Dada uma função f(x) e
outra g(x), poderemos incorporar g(x) em f(x) usando a simbologia abaixo.
Temos acima uma função composta. Simples assim. Vale comentar aqui sobre seu
domínio. O domínio de (f o g) é o conjunto de todos os números x no domínio de
g(x) tal que g(x) esteja no domínio de f(x).
Vamos utilizar as seguintes funções para ilustrar o que foi dito.
O domínio de g(x) é dado pelo intervalo (-∞,+∞) que está dentro do domínio de f(x)
que possui um intervalo [0,+∞). Portanto, podemos fazer (fog) que possui o  seguinte
intervalo [-3,3] de domínio, visto que .
Apresentada aqui a função composta, vamos a seus teoremas.
Se e se a função f(x) for contínua em b, poderemos escrever a
seguinte sentença.
Vamos testar com as funções dadas acima. Primeiro, calcula-se =
. Portanto, b=5, calculando f(b) temos que equivale à mesma coisa
que . Con�rmado o teorema.
(fog) (x) = f (g (x))
f (x) = √x
g (x) = 9 − x2
(fog) (x) = f (g (x)) = √9 − x2
9 − x2 ≥ 0
lim
x→a
g (x) = b
lim
x→a
(fog) (x) = f (b) = lim
x→a
f (g (x)) = f (lim
x→a
g (x))
lim
x→a
g (x) = b
lim
x→2
9 − x2 = 5 √5
lim
x→2
√9 − x2 = √5
Se a função g(x) for contínua em “a” e a função f(x) for contínua em g(a), então
a função composta (fog) será contínua em a.
Vamos agora para algumas de�nições.
Uma função é contínua em um intervalo aberto se e somente se ela for
contínua em todos os números do intervalo aberto.
A função f(x) será contínua à direita em um número “a” se – e somente se –
forem satisfeitas todas as condições seguintes.
 Deve existir
 Deve existir
A mesma coisa vale para veri�car se f(x) é contínua à esquerda de um número
“a”. Ou seja, as três condições acima com o ajuste para limite inferior devem
ser válidas.
Uma função cujo domínio inclui o intervalo fechado [a,b] será contínua em [a,
b] se e somente se ela for contínua no intervalo (a,b), contínua à direita em “a”
e contínua à esquerda em “b”.
Uma função cujo domínio inclui o intervalo semiaberto [a,b) será contínua em
[a,b) se e somente se ela for contínua no intervalo aberto (a,b) e contínua à
direita em “a”.
Vale o mesmo para (a, b] com as mudanças de referências cabíveis.
E, por �m, o teorema do valor intermediário.
Se a função f(x) for contínua no intervalo fechado [a,b], e se , então,
para todo número k entre f(a) e f(b) existirá um número c entre “a” e “b” tal
que f(c) = k.
f (a)
lim
x→apositivo
f (x)
lim
x→apositivo
f (x) = f (a)
f (a) ≠ f (b)
Continuidade das Funções
Trigonométricas
Agora, falaremos um pouco das funções trigonométricas. Só para fazer uma breve
introdução a respeito, vamos lembrar um pouco sobre algumas nomenclaturas. Aqui
falaremos de medidas de ângulos em radianos.
Só para deixar claro, o perímetro de uma circunferência é dado por 2πR. Em que R é
o raio da circunferência. Se dividirmos 2πR por R, �caremos com o que conhecemos
como 2π radianos, que signi�ca basicamente uma volta completa em uma
circunferência. Com isso chegamos à conclusão de que 360º equivalem a 2π
radianos, 180º equivalem a π radianos, 90º equivalem a π/2 radianos e 0º a 0 radiano.
Relembrado este conceito vamos ao que interessa em cálculo. Aqui será utilizada e
muito a seguinte operação.
Primeiro, vamos demonstrar a resposta usando a nossa famosa tabela. Lembrando
que “t” está em radianos. Use, portanto, sua calculadora em radianos e não em graus.
lim
t→0
[ ]
sent
t
Tabela 11 – Valores de x tendendo a 0
x
0,5 0,95885
0,4 0,97355
0,3 0,98507
0,2 0,99335
0,1 0,99833
0,01 0,99998
0,001 0,999999833
0,0001 0,999999998
Fonte: o autor.
f (x) = sent
t
Portanto, chegamos à resposta pelo simples teste na calculadora. O limite acima
quando “t” tende a 0 vale 1, mesmo que o ponto t=0 não exista. Vamos agora aos
teoremas.        
Suponha que as funções f(x), g(x), e h(x) estejam de�nidas em algum intervalo
aberto I contendo “a”, exceto, possivelmente, no próprio ponto a e que
f(x)≤g(x)≤h(x) para todo x em I, tal que x seja diferente de “a”. Suponha também
que e ambos existam e tenham o mesmo valor L. Então,
 existe e é igual a L. Este teorema é chamado popularmente como
teorema do “sanduíche”.
A função seno é contínua em 0.
A função cosseno é contínua em 0.
As funções seno e cosseno são contínuas em todos os números reais.
A tangente, cotangente, secante e cossecante são funções contínuas em seus
domínios.
Tabela 12 – Valores de x tendendo a 0
x
-0,5 0,95885
-0,4 0,97355
-0,3 0,98507
-0,2 0,99335
-0,1 0,99833
-0,01 0,99998
-0,001 0,999999833
-0,0001 0,999999998
Fonte: o autor.
f (x) = sent
t
lim
x→a
f (x) lim
x→a
h (x)
lim
x→a
g (x)
lim
t→o
[ ] = 0
1 − cos (t)
t
Exercícios
a) Determine os valores em que f(x) é contínua.
Resposta:    
Para fazer este exercício, primeiro devemos enxergar a função acima como a junção
de duas outras funções.
Feito isso, podemos dizer que f(x) = h(g(x)), assim como foi explicado nesta aula.
Agora analisaremos as funções separadamente.
A função g(x) é contínua em todo o seu domínio, pois ela é polinomial e toda função
polinomial é contínua.
A função h(x) é contínua para todo número real positivo.
Portanto, f(x) será contínua para todo g(x)>0.
Como resposta, temos que o intervalo onde a função f(x) é contínua é (-4,4).  
b) Ache o limite se existir.
Resposta:
Para funções trigonométricas, devemos modi�cá-las de tal forma que apareçam
limites conhecidos. Para isso devemos manipular a fração apresentada. Só temos
opção de multiplicarmos em cima por 3/3 e embaixo por 5/5. Aí teremos:
f (x) = √16 − x2
h (x) = √x
g (x) = 16 − x2
16 − x2 > 0
x2 < 16
|x| < 4
−4 < x < 4
lim
x→0
[ ]
sen (3x)
sen (5x)
Agora, para aparecer o x embaixo de cada uma delas sem alterar a sentença acima
faremos a seguinte multiplicação:
Arrumando, teremos a expressão abaixo:
Aplicando o limite de x tendendo a zero tanto para a fração de cima como para a
fração de baixo chegaremos à seguinte expressão:
Portanto, o limite será dado da seguinte forma:          
∗ sen (3x)33
∗ sen (5x)5
5
[ ∗ sen (3x)] ∗ [ ]3
3
1
x
[ ∗ sen (5x)] ∗ [ ]5
5
1
x
3 ∗
sen(3x)
3x
5 ∗
sen(5x)
5x
3 ∗ 1
5 ∗ 1
lim
x→0
[ ] =
sen (3x)
sen (5x)
3
5
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da
continuidade de funções trigonométricas.
https://go.eadstock.com.br/bmd
https://go.eadstock.com.br/bmd
NA PRÁTICA
Muitos problemas físicos ocorrem em formato de funções
trigonométricas. Em Cálculo II, estudaremos algumas delas. Um
exemplo de fenômeno que acontece sobre funções trigonométricas são
os fenômenos de vibração mecânica. A vibração nada mais é que um
movimento que se repete ao longo de um tempo. Esses movimentos
repetitivos �cam muito bem modelados a partir dos grá�cos de seno e
cosseno. Entender o comportamento dessas funções é fundamental
para modelar os problemas mencionados.