CadernoDoAluno_2014_2017_Vol2_Baixa_MAT_Matematica_EF_8S_9A

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8a SÉRIE 9oANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Volume 2
MATEMÁTICA
CADERNO DO ALUNO
MAT 8 SERIE 9ANO_CAA.indd 1 09/04/14 17:20
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO 
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
8a SÉRIE/9o ANO
VOLUME 2
Nova edição
2014-2017
governo do estado de são paulo
secretaria da educação
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
Dione Whitehurst Di Pietro
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o 
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre, 
você encontrou desafios que exigiram dedicação e muito estudo para construir os conhecimentos e 
desenvolver as habilidades compreendidas no curso. Parabéns pelo empenho!
Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, você explorará a ideia de semelhança 
entre figuras planas quando uma delas é obtida a partir de ampliação ou de redução de outra. Para 
isso, você terá contato com dois procedimentos: o primeiro, que recebe o nome de “homotetia” –
palavra que significa “mesma forma” –, e o segundo, que trata da representação de figuras na malha 
quadriculada e como a semelhança de figuras planas é aplicada no cotidiano.
Estudará também os cálculos métricos envolvendo o círculo e o cilindro. Para tanto, será pre-
ciso recordar um número que está diretamente relacionado à medida do perímetro, da área e do 
volume de figuras circulares: o número pi, representado pela letra grega π.
Além disso, com as atividades do Caderno você resolverá problemas envolvendo o número π. 
Em uma das Situações de Aprendizagem, os cálculos métricos estarão relacionados ao cilindro na 
qual você, mais uma vez, terá a oportunidade de verificar as aplicações práticas desse estudo.
Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo seu professor e, com isso, 
possa aprender cada vez mais. Será de suma importância que você se aproprie destes conhecimentos, 
pois está encerrando seu percurso no Ensino Fundamental e todos os conceitos estudados contri-
buirão para o seu melhor desempenho no Ensino Médio. O objetivo é contribuir para que o estudo 
da Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!
Equipe Curricular de Matemática 
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
5
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS
!
?
VOCÊ APRENDEU?
Ampliação e redução: o que se altera e o que não se altera?
 1. A Figura 2 foi obtida pela ampliação da Figura 1:
Figura 1
A B
C
Figura 2
A’ B’
C’
 Assinale X ao lado do conjunto de medidas iguais nas duas figuras:
 ( ) Segmento AB e segmento A’B’.
 ( ) Segmento BC e segmento B’C’.
 ( ) Perímetro da Figura 1 e perímetro da Figura 2.
 ( ) Área da Figura 1 e área da Figura 2.
 ( ) Medida do ângulo CAB e medida do ângulo C’A’B’.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 2. Observe a estrela de seis pontas desenhada na malha quadriculada. Desenhe, ao lado, duas 
ou tras estrelas de seis pontas, de modo que uma delas seja uma redução e a outra seja uma 
ampliação da estrela inicial, ambas de um fator 2. 
B
C
D
E
F
A
 3. Observe nos desenhos que o retângulo (III) tem o triplo da largura de (I), o retângulo (II) tem 
o dobro da largura de (I) e os três têm a mesma medida de altura. 
(I) (II) (III)
 a) É correto afirmar que os ângulos nos três retângulos são correspondentemente congruentes? 
Por quê?
 b) Podemos dizer que uma dessas figuras é redução ou ampliação da outra? Por quê?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 4. Observe o pentágono FATOS. Por meio de um processo de ampliação, desenhou-se 
outro pentágono: F’A’T’O’S’. Para construir o segundo pentágono, desenhamos linhas re-
tas partindo de um ponto fixo que chamamos de H. Essas linhas, como mostra o desenho, 
passam pelos vértices do pentágono FATOS. Para desenhar o pentágono maior, foi preciso 
respeitar a regra de que as razões entre os segmentos HA’ ____ HA , 
HF’ ____ HF , 
HT’ ____ 
HT 
 , e assim por diante, 
devem ser iguais.
A
A’
T
T’
O’
F
F’
S
S’
O
 Esse processo recebe o nome de “homotetia”, palavra que significa “mesma forma”. Veja outros 
dois desenhos produzidos por homotetia, com o ponto H colocado em outros lugares em rela-
ção às figuras.
H
L
U
A
A’
L’
U’
H
E’
EB’
B
L’
LA’
A
 Podemos usar homotetia para, por exemplo, ampliar uma figura por um fator 2, isto é, dese-
nhar uma figura com medidas de lados iguais ao dobro das medidas dos lados da figura original. 
Fazemos assim: desenhamos a figura inicial, começamos o processo de homotetia e deixa-
mos para você terminar. Sobre a figura iniciada, desenhe uma figura que seja ampliação de 
fator 2 do losango ABCD.
O
D
A
B
C
H
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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Razão de semelhança
 5. Observe a figura que representa a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas 
linhas convergentes a um ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante de B e 9 cm de B’. 
F
B
E
C’
D’
A’
C
D
A
B’
E’
 a) Se AB = 2 cm, quanto mede ÄÄÄÄ A’B’ ?
 b) Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são semelhantes e a razão de semelhança é um valor k, 
tal que FB’ = k ⋅ FB. Qual é a razão de semelhança nesse caso?
 6. Considere que o triângulo ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e que 
AB = 2 cm. Nesse caso:
B
A
C
D
E
 a) calcule a área de ABC;
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
9
 b) calcule a área de A’B’C’;
 c) quantas vezes a área de A’B’C’ é maior do que a área de ABC?
 7. Desenhe, na figura, um polígono A’’B’’C’’D’’E’’ que seja semelhante a ABCDE, com razão de 
semelhança 2,0.
F
B
E
C
D
A
Ampliações e reduções: perímetros e áreas
 8. O triângulo GIL é uma ampliação do triângulo SAM.
4 cm6 cm
27º
S
A
M
L
8 cm
65º
G
I
65º
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
10
 Sendo assim, escreva a medida de:
 a) LI 
 b) SÂM 
 c) SM̂A 
 d) LĜI 
 e) GL̂I 
 9. Reduzindo proporcionalmente o trapézio isósceles TUBA de um fator 2,5, obtemos o quadrilátero 
NECO. Suponha que cada quadrícula da malha tenha lados de 1 cm e faça o que se pede a seguir.
UT
A B
 a) Desenhe o quadrilátero NECO sobre o quadrilátero TUBA. 
 b) Qual tipo de quadrilátero é NECO?
 c) Quanto mede a altura de TUBA? E quanto mede a altura de NECO? 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
11
 d) Quais são as medidas das bases de NECO?
 e) Em relação ao perímetro de NECO, quantas vezes é maior o perímetro de TUBA?
 f ) Em relação à área de NECO, quantas vezes é maior a área de TUBA?
Semelhança entre prismas representados na malha quadriculada
 10. Quais dos seguintes prismas retos de base triangular, representados na malha quadriculada, são 
semelhantes? Em cada caso, qual é o fator de ampliação?
(3)
(4) (5)
(2)
(1)
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 11. Faça o que se pede:
 a) amplie o prisma de base hexagonal representado na malha quadriculada considerando o 
fator de ampliação igual a 1,5. 
 b) reduza o prisma de base hexagonal representado na malha quadriculada considerando o fa-
tor de redução igual a 2.
 12. Observe oprisma oblíquo representado na malha quadriculada. Desenhe um prisma seme-
lhante a ele, com razão de semelhança 1 __ 3 
.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
13
 13. Represente dois cubos de volumes diferentes na malha quadriculada e responda: os cubos de-
senhados são ou não semelhantes? Por quê?
 Resposta: 
 14. Considere dois cubos semelhantes na razão 1 : 4. Complete a tabela com as medidas da aresta, 
da área da base, da área total e do volume do maior sólido em função de x, y, z e w.
Medida Aresta Área da base Área total Volume
Menor sólido x y z w
Maior sólido
LIÇÃO DE CASA
Semelhança entre figuras planas: contexto e aplicações
A prefeitura de uma cidade pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre as 
ruas Alfa e Beta. Observando a planta do lugar, pode-se perceber que os dois parques terão formato de 
trapézios semelhantes (ABCD e EFGH). Os ângulos internos de um serão, correspondentemente, 
de mesma medida que os ângulos internos do outro. Além disso, há uma proporcionalidade entre as 
medidas correspondentes dos lados das figuras. Acontece, entretanto, que apenas a medida da base 
maior de cada trapézio foi definida, sendo 180 m em um deles e 60 m no outro. As demais medidas 
dependerão de desapropriações a serem realizadas no local. 
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Rua Alfa
Rua Beta
Parque 2
Parque 1
180 m
C
B
A
D
E
F
G
H
60 m
 15. As medidas de CB e de FG são fixas e valem, respectivamente, 180 m e 60 m, enquanto 
as demais medidas podem variar, mantendo-se, todavia, a semelhança entre as duas figuras. 
Com base nisso, responda:
 a) Se a medida de EH for igual a 25 m, qual será a medida de DA ?
 b) Se DA = 18 m, quanto medirá EH ?
 c) Se EH = k, quanto medirá DA em função de k?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 16. No final das negociações e desapropriações, chegou-se à conclusão de que as medidas de EF e 
HG serão, respectivamente, 15 m e 18 m. Qual será a medida de:
 a) CD ? b) AB ?
 17. O construtor dos parques sabe que precisará de 309 m de cerca para fechar todo o parque maior. 
Nessas condições, adotando os resultados calculados no problema anterior, quanto mede DA ?
 18. Complete a tabela a seguir com as medidas dos lados de cada trapézio:
Trapézio ABCD BC DA AB CD 
Trapézio EFGH FG EH EF GH 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
TRIÂNGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANÇA
!
?
VOCÊ APRENDEU?
Triângulos semelhantes: reconhecimento
 1. Utilize a malha quadriculada para desenhar triângulos semelhantes. Um dos triângulos possui dois ân-
gulos internos medindo 45º cada um. Outro triângulo tem um lado que mede 4 unidades da malha.
 2. Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, forma-se uma série de pares de 
ângulos congruentes. No desenho seguinte, em que duas retas paralelas r e s são cortadas por 
uma transversal t, identifique as medidas dos ângulos assinalados.
t
f̂
d̂
ê
ĝ
b̂
â
ĉ
58º s
r
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 3. No problema anterior, você reconheceu vários pares de ângulos congruentes. Escreva-os 
novamente, apresentando, em cada caso, a justificativa para a congruência.
 4. As retas a e b são paralelas. Quais são as medidas dos ângulos internos dos triângulos BCA 
e DEA?
83º
32º
A
a
b
C
B
D
E
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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Triângulos semelhantes: contexto e aplicações
 5. O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU. 
M
E U
2 cm
10 cm
5,2 cm
100o
G
I L
58o
 Observe as medidas assinaladas nos desenhos anteriores e responda:
 a) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo MEU?
 b) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo GIL?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 c) Qual é a medida do lado IG do triângulo GIL?
 6. Observe a representação das ruas Alfa e Beta e dos parques 1 e 2. Os terrenos dos parques têm 
formato de trapézio e, além disso, as bases de um parque são paralelas às do outro. São conhe-
cidas as seguintes medidas:
Parque 1 BC 180 AD 30 AB 45 CD 54
Parque 2 FG 60 EH 10 EF 15 GH 18
Rua Alfa
Rua Beta
Parque 2
Parque 1
180 m
60 m
C
B A
D
ES
T
F
G
H
 Os triângulos SAD e SBC são semelhantes, isto é, têm ângulos internos correspondentes 
de mesma medida e lados correspondentes cujas medidas obedecem a uma proporcionalidade. 
Observe-os desenhados separadamente da figura inicial. O lado AD do triângulo SAD é cor-
respondente do lado BC do triângulo SBC. 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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S
C
D A
B
30 m
54 m
45 m
180 m
 a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?
 b) Que proporção podemos estabelecer entre as medidas dos lados dos triângulos SAD e SBC?
 c) Calcule as medidas dos lados de cada triângulo e escreva-as na tabela a seguir.
Triângulo SAD (m) SA AD SD 
Triângulo SBC (m) SB BC SC 
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 d) Separe os triângulos TEH e TFG da figura inicial, desenhando-os novamente. Em segui-
da, calcule a medida dos lados de cada triângulo, registrando na tabela a seguir os valores 
corres pondentes.
Triângulo TEH (m) TE TH EH 
Triângulo TFG (m) TF TG FG 
LIÇÃO DE CASA
 7. Usando seu transferidor, um aluno desenhou um ângulo. Em seguida, com régua e esquadro, 
traçou três segmentos de reta paralelos, obtendo três triângulos (OBE, OCF e ODG).
G
DCBO
E
F
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 Medindo os lados do triângulo OBE, ele encontrou: OB = 12 cm; BE = 8 cm; OE = 10 cm. 
Em seguida, mediu segmentos da linha horizontal e obteve: BC = 3 cm e CD = 5 cm. Então, 
percebeu que poderia determinar as medidas de todos os demais lados dos triângulos sem 
necessidade de fazer qualquer medição, apenas efetuando alguns cálculos. Calcule as demais 
medidas dos segmentos do desenho e escreva-as na tabela seguinte.
Segmento OB OC OD BE CF DG OE OF OG
Medida 
(cm)
 8. O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno, isto é, um triângulo 
em que não há dois lados de mesma medida, conforme o desenho a seguir. 
C
β
α
B
A
18 m
24 m
15 m
 Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base ( BC ), será colocada uma viga de madeira ( AD ), de 
modo que o ângulo ADB seja congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida 
dessa viga? 
β
β
γ
C
α
α
B
D
A
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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Semelhanças: cordas, arcos e ângulos
 9. Um arco AB de uma circunferência é “enxergado” sob um ângulo α cujo vértice C pertence à 
circunferência (Figura 1). 
C
B
A
Figura 1
α
 Deslocando o vértice do ângulo até outro ponto da circunferência, D, o arco AB passa a ser “en-
xergado” sob um ângulo de medida igual ao anterior, isto é, de medida igual a α (Figura 2). 
D
B
A
Figura 2
α
 Sobrepondo as Figuras 1 e 2, obtemos uma situação em que dois triângulos semelhantes se 
destacam: PBC e PAD (Figuras 3 e 4).
β
C α
D
B
P
A
Figura 3
α
PC
α
D
B
A
Figura 4
α
β
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 a) Identifique os ângulos correspondentes nos dois triângulos e escreva uma proporção entre 
as medidas de seus lados.
 b) Com base na proporção entre as medidas dos lados, verifique a validade da relação 
(PC) ⋅ (PA) = (PB) ⋅ (PD)
 10. Observe a figura em que duas cordas AC e BD se cruzam no ponto P. De acordo com as me-
didas indicadas na figura, quanto mede o segmento PA?
C
D
P
9
12
8
B
A
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 11. Um ponto P é o encontro de duas cordas de uma mesma circunferência (Figura 1). Unindo os 
pontos em que as cordas cruzam a circunferência, podemos observar dois triângulos (Figura 2).
C C
D D
B
P
A A
Figura 1 Figura 2
P
B
 a) Assinale na Figura 2 os ângulos internos dos triângulos PAD e PCB, atribuindo a eles letras 
iguais a ângulos congruentes. 
 b) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos PADe PCB.
 c) Com base na proporção escrita, verifique que é válida a relação (PA) ⋅ (PB) = (PC) ⋅ (PD).
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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 12. De acordo com as medidas indicadas na figura a seguir, qual é a medida x?
x
8
4
10
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS; 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
VOCÊ APRENDEU?
Triângulos retângulos: métrica e semelhança
 1. Traçando a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, são obtidos dois novos triân-
gulos retângulos, semelhantes entre si, como representado na figura:
α
a
h m
b
α + β = 90o
β
β
α n
β
α
A A
H
B BC C
 a) Um dos triângulos tem lados a, n e h, enquanto o outro tem lados b, m e h. Dese-
nhe separadamente os dois triângulos e escreva a proporção entre as medidas dos lados 
correspondentes.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
29
 b) Verifique que o quadrado da medida da altura traçada é igual ao produto das medidas das 
projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Em outras palavras, verifique que h2 = m ⋅ n.
 2. Determine as medidas x, y e z em cada figura:
a) 4
9
x
y
z
b) 
6
2
x
y
z
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
30
 3. Observe a figura com o triângulo retângulo maior I separado em dois triângulos retângulos 
menores (II e III) pela altura relativa à hipotenusa do triângulo maior. Os três triângulos são 
semelhantes, pois possuem ângulos correspondentemente congruentes.
a
n
mhh
a
b
b
c
β
β
β
α
α
α
α
I
III
II
β
 a) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e II.
 b) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa 
pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que a2 = c ⋅ n.
 c) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e III.
 d) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa 
pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que b2 = c ⋅ m.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
31
 4. Determine as medidas x e y em cada triângulo.
a) 
9
12
x
y
 b) 
 5. Considere novamente a semelhança entre os triângulos I e II, bem como entre os triângulos I 
e III, discutida na atividade 3.
Com base na semelhança entre esses pares de 
triângulos, foram obtidas as relações:
a2 = c ⋅ n
b2 = c ⋅ m
Adicionando essas duas expressões, termo a 
termo, e, em seguida, colocando c em evi-
dência, fazemos surgir uma expressão mate-
mática traduzida na linguagem cotidiana da 
seguinte forma:
8
4x
y
m
a
b
c
b
mh
h
a
n
α
α
α
α
β
β
β
β
I
III
II
Em todo triângulo retângulo, o quadrado 
da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
32
 Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras. Faça a verificação e escreva a sentença matemática 
do teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa (c) aos catetos (a) e (b).
LIÇÃO DE CASA
 6. Um quadrilátero ABCD pode ser separado em dois triân-
gulos retângulos ABD e BCD, sendo que BCD é isósceles, 
conforme representado na figura. AF é a altura relativa à 
hipotenusa de ABD e CE é a altura relativa à hipotenusa 
de BCD. Determine a medida de cada um dos segmentos:
 a) BD c) BF e) BC g) CE
 b) DF d) AF f ) BE h) FE
40 m
30 m
A
D E
F
C
B
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
33
 7. Duas rodovias retilíneas cruzam-se perpendicularmente na cidade A. Em uma das rodovias, a 
60 km de distância de A, encontra-se uma cidade B; na outra, a 80 km de A, encontra-se outra 
cidade, C. Outra rodovia, também retilínea, liga as cidades B e C. 
h
d
x
80 km
60 km
posto policia
l
B
C
A
 Pergunta-se:
 a) Qual é a distância entre B e C? 
 b) Qual é a menor distância de A até a rodovia que liga B a C? 
 c) Um posto policial deve ser construído na rodovia que liga B a C, devendo situar-se à mesma 
distância de B e C. Qual é a distância do posto policial até A?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
34
 8. Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 30 m e 40 m. Seu proprietário 
deseja construir uma casa na região retangular representada na figura a seguir, deixando livre o 
restante da área. 
40 m30 m
 Pergunta-se:
 a) Qual é a área total do terreno?
 b) Qual é a área da região retangular da construção?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
35
VOCÊ APRENDEU?
Pitágoras: significado, contextos
 9. O triângulo retângulo representado na figura é isósceles 
e está ins crito em uma circunferência de raio 4 cm. 
Quais são as medidas dos lados desse triângulo?
 10. Um balão de propaganda flutuava a 30 m de altura quando foi visto do solo, simultaneamente, 
por Maria e por João. Maria estava a 50 m do balão e João estava a 40 m dele, como represen-
tado na figura. Qual era a distância entre João e Maria no momento em que viram o balão?
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ria
l
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
36
 11. Para dar firmeza à estrutura de um por-
tão retangular ABCD, de lados 2 m 
e 3 m, devem ser fixadas duas barras 
rígidas – AC e BD – ao longo das dia-
gonais, conforme mostra a figura. Para 
isso, dispõe-se de uma barra de 6,5 m de 
comprimento, que será dividida em duas 
partes iguais. A barra será suficiente para 
as duas diagonais?
 12. Do centro de uma sala retangular de lados 
4 m e 6 m serão feitas canalizações inde-
pendentes em linha reta até os quatro can-
tos da sala e, também, até o ponto médio 
de cada um dos lados da sala, usando sem-
pre o mesmo tipo de conduíte (cano plásti-
co flexível). Quantos metros desse conduíte 
serão necessários?
BA
D C
3 m
2 m
6 m
4 m
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
37
 13. Nove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cm foram empilhadas conforme mostra 
a figura a seguir, em vista frontal. O ponto A é o vértice inferior esquerdo da caixa I. Cal-
cule a distância de A até:
 a) o vértice superior esquerdo da caixa VI;
 b) o vértice superior direito da caixa VIII;
 c) o centro da face visível da caixa IX.
LIÇÃO DE CASA
 14. Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma hexagonal regular de 3 cm de altura, 
tendo o lado do hexágono da base 18 cm.
18 cm
I II
VI
III
VII
IX
IV
VIII
V
A
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
38
 a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe na embalagem?
 b) Qual é a área de papelão necessária para construir a parte de baixo da caixa em que a pizza 
vem acomodada?
 15. Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo 
com todas as faces retangulares. Suas dimen-
sões são 20 cm, 30 cm e 40 cm. Com base 
nessas informações, calcule:
 a) o comprimento da maior das diagonais 
das faces;
 b) o comprimento da diagonal da caixa.
20 cm
30 cm
40 cm
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
39
VOCÊ APRENDEU?
Relações métricas em triângulos retângulos: composição e decomposição
 16. Conforme você pode observar na Figura 1, a área de CDEB é igual à soma das áreas de CAHI 
e de ABFG, ou seja, a2 = b2 + c2. Agora, você vai explorar outras relações entre as áreas com-
ponentes dessa figura. Para tanto, observe, na Figura 2, o segmento AJ e note que ele divide a 
hipotenusa em duas partes, m e n, e também divide o quadrado CDEB em dois retângulos. 
Figura 1
H
A
G
F
B
ED
C
b2
c2
a2
b c
a
I
Figura 2
J
H
I
A
G
F
B
ED
C
b c
b
a
aa
nK
h
m
 a) Calcule a área do retângulo CDJK e a área do retângulo JEBK. Mostre que a soma das duas 
áreas é igual a a2.
 b) Calcule a área do triângulo ABC de duas maneiras, usando os catetos b e c, bem como a 
hipotenusa a e a altura h. Mostre que bc = ah.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
40
 c) Mostre, na figura, que a área do quadrado ACIH é igual à área do retângulo CDJK.
 d) Mostre que a área do retângulo JEBK é igual à área do quadrado ABFG.
 17. Considere um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm.
 a) Calcule a altura relativa à hipotenusa dessetriângulo retângulo.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
41
 b) A altura relativa à hipotenusa divide esse triângulo em dois triângulos retângulos menores; 
calcule a área de cada um deles. 
 18. Um painel deve ser mantido na vertical com a ajuda de dois cabos de aço perfeitamente 
esticados, de 3 m e 4 m, um de cada lado, como mostra a figura. Os cabos estão situados 
em um plano vertical e a distância entre os pontos de fixação dos dois cabos de aço no solo é de 
5 m. A que altura do solo os cabos devem ser fixados no painel?
 
3 m4 m h
5 m
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
42
VOCÊ APRENDEU?
Ângulo de elevação: contexto e estimativas
 1. Em quase todas as cidades do mundo há ruas que cortam trechos planos, mas há também ruas 
com percursos íngremes, de subida ou de descida. Nos casos de ruas com fortes subidas, vamos 
refletir sobre a medida do ângulo de elevação. Inicialmente, veja estas figuras: 
α β θ
 Em sua estimativa, quantos graus medem os ângulos α, β e θ?
 2. Pegue um transferidor e meça os ângulos α, β e θ apresentados na atividade anterior. Registre 
aqui suas respostas:
 α = β = θ = 
 3. Pense em alguma rua que você conheça e que seja uma subida bastante íngreme. De quantos graus 
você avalia que seja a elevação dessa rua? Escreva aqui sua estimativa antes de ler o texto a seguir.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS AGUDOS
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
43
•	 	O	Departamento	Nacional	de	Infraestrutura	e	Transporte	(DNIT)	regulamenta	 
recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem, 
por intermédio de uma medida denominada inclinação. Por exemplo, em uma 
estrada com inclinação 0,15, ou 15%, sobem-se 15 m a cada 100 m de desloca-
mento horizontal.
15 m
100 m
Inclinação 0,15, ou 15%
•	 	Para	 pequenas	 inclinações,	 o	 deslocamento	 horizontal	 é	 praticamente	 igual	 ao	
deslocamento na rampa de subida, isto é, a medida do cateto é quase igual à 
medida da hipotenusa. Por isso, costuma-se dizer, por exemplo, que em uma subida 
de 10% percorrem-se 10 m em cada metro de subida.
1 m
10 m
Inclinação 10%
•	 	As	inclinações	máximas	recomendadas	
pelo DNIT dependem do tipo de es-
trada, mas variam de 5%, nas estradas 
de maior volume de tráfego, a 9%, nas 
estradas com baixo volume de tráfego.
•	 	Alguns	 trechos	de	 estradas	podem,	
excepcionalmente, atingir inclinações 
maiores do que as recomendadas, che-
gando a valores da ordem de 10%.
•	 	Uma	maneira	 de	 avaliar	 o	 grau	 de	
elevação de uma rua é efetuar medidas 
do deslocamento vertical (b), do des- 
locamento horizontal (a), e também, se possível, do deslocamento real sobre a 
rua (c). 
A inclinação da rua poderá ser obtida pelo resultado da divisão entre (b) e (a), 
ou entre (b) e (c). Com o resultado dessas divisões, podemos recorrer a uma tabela de 
Leitura e análise de texto
©
 C
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ex
ão
 E
di
to
ria
l
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
44
valores e encontrar o ângulo correspondente. Para tanto, precisamos saber que cada uma 
dessas divisões entre medidas de lados do triângulo retângulo recebe um nome. Por exem-
plo, a divisão entre (b) e (a) é a tangente do ângulo que se quer determinar. Para uma 
inclinação de 12%, resultante da comparação entre (b) e (a) na figura, o ângulo correspon-
dente é de, aproximadamente, 7º, pois a tangente de 7º é aproximadamente 0,122. 
VOCÊ APRENDEU?
 4. Em determinada rua, um pedestre caminha 50 m e percebe que se elevou 2 m em relação ao 
ponto onde iniciou a caminhada. Qual é a inclinação percentual dessa rua? E qual é a medida 
do ângulo de inclinação?
2 m
50 m
 5. O vendedor de uma loja de telhas afirma ao comprador que o tipo de telha escolhida exige que 
o madeiramento do telhado tenha inclinação de 30%. O que significa essa afirmação? Qual é, 
em graus, a inclinação desse telhado?
30 m
100 m
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
45
 6. Para avaliar o grau de inclinação de uma rua, um estudante usou um pedaço de papel, um lápis 
e um transferidor. Sua estratégia foi colocar o papel ao lado de um poste vertical fixado na rua e 
medir o ângulo entre o poste e o piso da rua (β no desenho). Se o ângulo medido pelo estudante 
foi de 82º, qual é o ângulo de inclinação da rua?
α
β
 7. Em uma estrada de rodagem há um trecho retilíneo X que sobe 8 m quando o veículo que o 
percorre desloca-se 100 m. Nessa mesma estrada, há outro trecho retilíneo, Y, em declive, no 
qual um veículo desce 20 m ao percorrer 500 m. Qual é:
 a) em graus, a medida do ângulo de inclinação do trecho X?
 b) em graus, a medida do ângulo de inclinação do trecho Y?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
46
 c) em metros, o deslocamento de um carro em Y enquanto ele desce 8 m?
Medindo ângulos e calculando distâncias inacessíveis
Atividades de investigação
Há inúmeras maneiras de construir um aparelho para realizar a medição aproximada de 
ângulos; apresentamos aqui um modelo que utiliza os seguintes materiais:
•	 copo	plástico	com	tampa;	
•	 xerox	de	um	transferidor	de	360º,	alinhado	e	colado	numa	base	quadrada	de	papelão;	
•	 pedaço	de	arame	de	aproximadamente	15	cm	e	um	cilindro	de	mesma	medida	 
 (tubo de caneta ou tubo de alumínio de antena de TV). 
©
 E
du
ar
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 S
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str
a/
Es
tú
di
o 
Pa
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ist
a
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
47
Base de rotação do teodolito
A tampa do copo servirá de base para a rotação do teodolito e deverá ser colada de ca-
beça para baixo, de modo que seu centro coincida com o centro do transferidor, o que dará 
mais precisão ao teodolito. 
Para encontrar o centro da tampa, trace nela dois diâmetros e faça um furo onde eles se 
cruzarem. Tampas desse tipo geralmente trazem ranhuras na borda que podem ajudá-lo a 
encontrar o ponto certo. Use o arame fino como guia para alinhar o centro da tampa com o 
centro do transferidor. 
A mira
O tubo de caneta ou de antena servirá de mira através da qual será possível identificar 
os pontos de medição. Cole o tubo na base do copo, de forma que ele fique paralelo ao 
ponteiro (arame fino). Para refinar essa mira, cole na extremidade do tubo dois pedaços 
de linha formando uma cruz (veja a imagem a seguir).
©
 E
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a/
Es
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Pa
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a
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Es
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Pa
ul
ist
a
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
48
Utilização
Finalize encaixando o copo na tampa. A versão simplificada funciona como o aparelho 
verdadeiro. Com ele, é possível medir, a partir de uma posição qualquer, o ângulo formado 
entre dois outros pontos. Na horizontal ou na vertical, basta alinhar a indicação 0° do trans-
feridor com um dos pontos e girar a mira até avistar o outro ponto. O ponteiro indicará de 
quantos graus é a variação.
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 E
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Es
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Pa
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a/
Es
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Pa
ul
ist
a
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
49
Medida da altura de um objeto quando se tem acesso à base
 8. Na representação seguinte, o ângulo α mede 23º e a distância d à base da árvore mede 12 m.
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ria
l
α
d
h
 a) Consulte uma tabela trigonométrica para descobrir os valores de seno, cosseno e tangente 
de 23º.
 b) Se for necessário escolher uma única razão trigonométrica (seno, cosseno ou tangente) para 
calcular a medida h da árvore, qual você escolheria? Por quê?
 c) Determine a medida de h.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
50
Medida da altura de um objeto quando não se tem acesso à base
 9. Observe a figura que representa a tentativa de medir a altura (h) de uma árvore, sem, todavia, 
conhecer a distância entre o vértice do ângulo de elevação e a base da árvore.
©
 C
on
ex
ão
 E
di
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l
α β
d m
h
 Supondo que α = 23º, β = 34º e d = 3 m, determine a altura da árvore. 
 10. Determinação da largura de uma rua.
α
n
m x
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
51
 Na vista superiorda situação representada na figura, as medidas m e n são obtidas com a fita 
métrica, e as medidas do ângulo de 90º e do ângulo α são realizadas com o “teodolito”. Conhe-
cendo a tangente de α, é possível calcular a largura x da rua.
 Qual é a medida da largura da rua no caso em que α = 40º, n = 12 m e m = 4 m?
 11. Determinação da distância entre dois pontos inacessíveis.
 Para medir a distância x entre dois pontos inacessíveis, um topógrafo posicionou-se em A e me-
diu o ângulo α, conforme representado na figura. Em seguida, andou até B e mediu m. Depois, 
continuou em linha reta até C, medindo n. Por fim, percorreu uma distância p até chegar a D, 
medindo o ângulo β.
m
α β
n
A B
P
C
Q
D
x
p
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
52
 Considere os dados a seguir e determine x.
 m = 3 m n = 4 m p = 4 m α = 30º β = 60º
 12. Para determinar a altura da montanha, um topógrafo mediu o ângulo de elevação da montanha 
a partir de A, obtendo 45º. Em seguida, caminhou 24 m até B e mediu novamente o 
ângulo de elevação, obtendo 37,5º. Com esses dados, ele conseguiu seu objetivo. Qual foi 
a medida da altura da montanha que o topógrafo determinou? 
©
 C
on
ex
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 E
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A B
53
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 
A NATUREZA DO NÚMERO Pi (π)
!
?
Leitura e análise de texto
(A história a seguir foi extraída do livro de Carl Sagan indicado no final do texto)
[...]
Na sétima série estavam estudando o “pi”. Era uma letra grega parecida com a arquite-
tura em Stonehenge, na Inglaterra: dois pilares verticais ligados por uma barra em cima – π. 
Se alguém media a circunferência de um círculo e depois a dividia pelo diâmetro desse círcu-
lo, isso era pi. Em casa, Ellie pegou a tampa de um vidro de maionese, passou um barbante 
em sua volta, esticou o barbante e, com uma régua, mediu a circunferência do círculo. Fez a 
mesma coisa com o diâmetro e, efetuando uma longa conta, dividiu um número pelo outro. 
Obteve 3,21. Aquilo pareceu bastante simples.
No dia seguinte, o professor, sr. Weisbrod, ensinou que pi era igual a aproximada-
mente 22 ___ 7 , ou cerca de 3,1416. Na verdade, porém, se a pessoa desejasse exatidão, era 
um número decimal que continuava crescendo a vida toda, sem parar, nunca repetindo a 
sequência de algarismos. A vida toda, pensou Ellie. Levantou a mão. Estavam no começo 
do ano letivo e ela não havia feito nenhuma pergunta naquela aula.
“Como é que se pode saber que os decimais continuam a vida toda, sem acabar?”
“É assim porque é”, disse o professor, com certa rispidez.
“Mas por quê? Como é que o senhor sabe? Como se pode contar casas decimais a 
vida toda?”
“Srta. Arroway.” O professor estava consultando a lista de chamada. “Essa pergunta é 
boba. Está nos fazendo perder tempo.”
Ninguém jamais dissera antes que uma pergunta de Ellie era boba, e ela rompeu em 
lágrimas. Billy Horstman, que se sentava ao seu lado, teve um gesto de simpatia e lhe segu-
rou a mão. Pouco tempo antes, seu pai havia sido processado por mexer nos hodômetros 
dos carros usados que vendia, de modo que Billy era sensível a humilhações públicas. Ellie 
saiu da sala aos prantos.
Depois de terminadas as aulas, ela foi de bicicleta à biblioteca de uma universidade 
próxima, a fim de consultar livros de matemática. Pelo que pôde discernir do que leu, a 
54
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
pergunta que fizera não era tão boba assim. Segundo a Bíblia, os antigos hebreus haviam 
considerado que pi era exatamente igual a três. Os gregos e romanos, que sabiam muitas 
coisas de matemática, não tinham nenhuma ideia de que os algarismos de pi prosseguissem 
eternamente, sem repetição. Na verdade, isso só havia sido descoberto há 250 anos. Como 
se poderia esperar que ela soubesse se não podia fazer perguntas? Entretanto, o sr. Weisbrod 
tinha razão com relação aos primeiros algarismos. Pi não era 3,21. Talvez a tampa do vidro 
de maionese estivesse um pouco amassada e não constituísse um círculo perfeito. Ou talvez 
ela não houvesse realizado a mensuração com o cuidado necessário. No entanto, mesmo que 
tivesse exercido todo o cuidado possível, não poderiam esperar que ela fosse capaz de medir 
um número infinito de decimais.
Havia, porém, outra possibilidade. Podia-se calcular pi com a exatidão que se desejas-
se. Conhecendo uma coisa chamada “cálculo”, podiam-se determinar fórmulas de pi que 
permitiriam calculá-lo com qualquer número de decimais que se desejasse, desde que hou-
vesse tempo para isso. O livro fornecia fórmulas de pi dividido por quatro. Algumas dessas 
fórmulas eram absolutamente ininteligíveis para Ellie. Outras, no entanto, a deixaram des-
lumbrada: π __ 4
 , dizia o livro, era o mesmo que 1 – 1 __ 3 + 
1 __ 5 – 
1 __ 7 ..., com as frações continuando 
eternamente. Rapidamente, ela procurou fazer o cálculo, somando e subtraindo as frações 
alternadamente. A soma saltava de um lado para outro, desde um pouco mais que π __ 
4
 até 
um pouco menos que π __ 4
 , mas depois de algum tempo ela pôde perceber que essa série de 
números seguia uma trilha lenta em direção à resposta correta. Nunca se poderia chegar 
exatamente ao objetivo, mas se podia chegar tão próximo quanto se desejasse, desde que se 
tivesse uma paciência enorme. Pareceu a Ellie um milagre que todos os círculos do mundo 
estivessem ligados a essa série de frações. Como era possível que os círculos conhecessem 
frações? Ellie tomou a resolução de aprender cálculo.
O livro dizia mais uma coisa: pi era chamado de número “transcendental”. Não existia 
nenhuma equação, contendo números comuns, que fosse capaz de dar pi, a menos que essa 
equação fosse infinitamente longa. Ellie já havia aprendido por si mesma um pouco de álge-
bra e sabia o que significava isso. E mais: pi não era o único número transcendental. Na reali-
dade, existia uma infinidade de números transcendentais. Mais ainda: existiam infinitamente 
mais números transcendentais do que números ordinários, mesmo que pi fosse o único deles 
de que ela já havia ouvido falar. Em mais de um sentido, pi estava ligado ao infinito. Ellie 
tinha captado um vislumbre de algo majestoso. Oculta entre todos os números ordinários, 
havia uma infinidade de números transcendentais de cuja presença uma pessoa jamais sus-
peitaria se não sondasse a matemática a fundo. A todo momento um deles, como pi, surgia 
inesperadamente na vida cotidiana. Entretanto, a maioria deles – um número infinito deles, 
ela frisou para si mesma – estava escondida, cuidando da própria vida, e quase certamente 
passava despercebida ao irascível sr. Weisbrod.
[...]
SAGAN, Carl. Contato. Tradução Donaldson M. Garschagen. São Paulo: Companhia de Bolso, 2008. p. 17-19.
55
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 1. Com base no texto apresentado na seção anterior e em seus conhecimentos matemáticos, 
responda às seguintes questões.
 a) Qual foi a definição de π que Ellie utilizou para realizar seu experimento? 
 b) O resultado encontrado por Ellie (3,21) estava um pouco acima do valor esperado para π 
(aproximadamente 3,14). O que pode ter provocado essa diferença? 
 c) O texto cita outro método para obter o valor de π, a partir de uma fórmula contendo infinitas 
adições e subtrações de frações. Qual é a principal diferença entre esse método e o método 
experimental realizado por Ellie?
 2. Usando-se a fórmula descrita no texto, foram obtidos os seguintes resultados parciais para o 
valor de π: 
•	 5 parcelas: π ≅ 4 ⋅ (1 – 1 __ 3 + 
1 __ 5 – 
1 __ 7 + 
1 __ 9 ) ≅ 3,339
•	 20 parcelas: π ≅ 4 ⋅ (1 – 1 __ 3 + 
1 __ 5 – 
1 __ 7 + 
1 __ 9 – ... + 
1 ___ 37 – 
1 ___ 39 ) ≅ 3,091
•	 100 parcelas: π ≅ 4 ⋅ (1 – 1 __ 3 + 
1 __ 5 – 
1 __ 7 + 
1 __ 9 – ... + 
1 ____ 197 – 
1 ____ 199 ) ≅ 3,131
•	 251 parcelas: π ≅ 4 ⋅ (1 – 1 __ 3 + 
1 __ 5 – 
1 __ 7 + 
1 __ 9 – ... – 
1 ____ 
499
 + 1 ____501 ) ≅ 3,145
 a) Sabendo que uma boa aproximação para o valor de π é 3,141, o que você pode concluir 
com base nos resultados obtidos anteriormente?
56
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) O gráfico a seguir ilustra a sequência de resultados obtidos por meio da fórmula descrita 
no texto.
2,5
1 51 101
3
3,1
3,2
3,5
4
Valor
Parcelas
 Destaque uma frase do texto que descreva os resultados representados no gráfico.
Leitura e análise de texto
O cálculo de π ao longo da história
O cálculo da razão entre a circunferência e seu diâmetro intrigou matemáticos e filóso-
fos desde a Antiguidade. No antigo Egito, acreditava-se que essa razão valia, aproximada-
mente, 256 ____ 81 
 . Na Mesopotâmia, os antigos babilônios usavam a fração 25 ___ 8 
 . Em Alexandria, 
por volta do século II d.C., o filósofo grego Ptolomeu aproximou o valor de pi da fração 
 377 ____ 120 
 . Contudo, é atribuída a Arquimedes (287-212 a.C.) uma das primeiras tentativas de 
se calcular rigorosamente o comprimento da circunferência e o valor de pi. 
57
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Em sua obra As medidas do círculo, ele desenvolveu um método de aproximações 
para o cálculo do comprimento da circunferência. 
Como não se conheciam fórmulas específicas para se calcular o perímetro de fi-
guras curvas, Arquimedes resolveu fazer aproximações por meio de polígonos regu-
lares inscritos e circunscritos à circunferência. A medida do comprimento da circun-
ferência estaria entre o perímetro do polígono inscrito e o perímetro do polígono 
circunscrito. Quanto maior o número de lados do polígono, mais ele se aproximaria da 
circunferência, por dentro e por fora.
Arquimedes dobrou sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 
96 lados. Dividindo o perímetro desse polígono pelo diâmetro da circunferência, obteve 
um valor entre 3,1408 e 3,1428, uma aproximação muito boa para a época.
L6
l6
Aproximação por hexágonos (6 lados)
L12
l12 L24l24
Aproximação por dodecágonos (12 lados) Aproximação por tetraicoságonos (24 lados)
58
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Essa metodologia mostrou ser possível obter aproximações do valor de π tão precisas 
quanto desejarmos, bastando aumentar, continuamente, o número de lados dos polígonos 
inscrito e circunscrito. O cálculo de Ptolomeu foi feito com base em um polígono de 720 
lados. No século III d.C., o chinês Liu Hui conseguiu obter o valor de 3,14159 com um 
polígono de 3 072 lados. No final do século V d.C., o matemático Tsu Chung-Chih, usan-
do polígonos com 24 576 lados, obteve um número entre 3,1415926 e 3,1415927. Muitos 
outros matemáticos aplicaram o método de Arquimedes para obter aproximações cada vez 
mais precisas do valor de π.
Embora essa razão seja conhecida desde a Antiguidade, o nome e o símbolo usa-
dos para representá-la só surgiram no século XVIII. A letra π, do alfabeto grego, foi 
escolhida por ser a primeira letra da palavra peripheria (πeWíjefWoV), cujo significado 
é circunferência, ou seja, o contorno de um círculo. Também foi nessa época que se 
fez uma das descobertas mais importantes sobre o π. O matemático francês Johann 
Lambert conseguiu provar que não há nenhuma razão de números inteiros cujo 
resultado seja igual a π. Ou seja, π é um número irracional, cuja representação decimal 
é infinita e não periódica.
A grande evolução no cálculo do valor de π aconteceu a partir do momento em que 
o computador entrou em cena. Para se ter uma ideia desse avanço, em 1873, William 
Shanks calculou o valor de π com 707 dígitos. Fazendo os cálculos manualmente, ele levou 
15 anos para realizar essa tarefa. Com o advento da computação, associado ao descobri-
mento de métodos de cálculo mais poderosos e eficientes, tornou-se possível calcular o 
valor de π com milhares de casas decimais em um tempo muito mais curto. Logo, o nú-
mero de dígitos de π obtidos saltou para a casa dos milhões. Um dos últimos recordes 
foi obtido pelos pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi que, em 2002, conseguiram 
obter o valor de π com mais de um trilhão de casas decimais. 
Além do desafio intelectual relacionado a essas pesquisas, o cálculo do π é usado, 
hoje em dia, para testar a eficiência dos novos computadores. Por exigir um alto grau de 
precisão, o cálculo de milhões de casas decimais do π serve de parâmetro para verificar a 
velocidade e a confiabilidade dos novos processadores.
Contudo, na prática, não precisamos conhecer o valor de π com tantas casas decimais. 
Na maioria das aplicações, uma aproximação do valor de π com uma ou duas casas deci-
mais é suficiente para garantir precisão em construções, desenhos etc. Em cálculos cientí-
ficos, uma aproximação com quatro casas decimais é mais do que suficiente. Por exemplo, 
o valor de π com 11 casas decimais permitiria calcular a circunferência da Terra com uma 
precisão de milímetros.
59
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 3. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, responda às seguintes questões.
 a) O texto cita alguns valores de π expressos na forma de fração. Transforme-as em números 
decimais e veja qual delas mais se aproxima de 3,1415.
 Resposta: 
 b) Qual foi a contribuição do método de Arquimedes para a determinação do valor de π?
 c) Qual é a origem do símbolo π, utilizado para indicar a razão entre o comprimento de uma 
circunferência e seu diâmetro?
 d) Atualmente, é possível calcular o valor de π com trilhões de casas decimais. Quais foram os 
principais fatores que possibilitaram a evolução desse cálculo? 
 e) Qual foi a importante descoberta feita pelo matemático francês Lambert a respeito de π? 
60
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
 4. Use o método de Arquimedes e descubra o valor aproximado de π (por excesso e por falta) 
a partir de hexágonos inscritos e circunscritos a uma circunferência de raio igual a 3 cm. 
Considere que as medidas dos lados dos hexágonos inscritos e circunscritos são, respectiva-
mente, 3 cm e 3,46 cm. 
R
 Resposta: 
VOCÊ APRENDEU?
 5. Observe a figura a seguir.
©
 C
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ex
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61
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 a) Você observa algum padrão de repetição na sequência de cores da figura?
 b) Cada cor da figura representa um algarismo do número π, começando no canto superior 
esquerdo. O vermelho corresponde ao 1; o verde, ao 2; o azul, ao 3; o amarelo, ao 4; 
o laranja, ao 5; o roxo, ao 6; o preto, ao 7; o cinza, ao 8; o marrom, ao 9 e o branco, ao 0. Com 
base na figura, escreva os algarismos do número π com 120 casas decimais. 
3,
 c) Agora você vai contar o número de vezes que cada algarismo aparece à direita da vírgula. 
Preencha a tabela de distribuição de frequência e calcule a frequência relativa de cada algarismo, 
em porcentagem. (Dica: para efetuar esses cálculos, use a calculadora.)
Algarismo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total
Frequência
Frequência 
relativa
 d) Qual é o algarismo que aparece com maior frequência relativa? 
 e) E com a menor frequência relativa?
 f ) Qual é a diferença entre a maior e a menor frequência relativa? 
 g) Se a distribuição fosse equilibrada entre todos os algarismos, qual deveria ser a frequência 
relativa de cada um?
62
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 6. Os pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi examinaram a frequência absoluta e relativa dos 
algarismos decimais de π em 200 bilhões de dígitos. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir. 
Algarismo Frequência Frequência relativa
0 20 000 030 841 10,00002%
1 19 999 914 711 9,99996%
2 20 000 136 978 10,00007%
3 20 000 069 393 10,00003%
4 19 999 921 691 9,99996%
5 19 999 917 053 9,99996%
6 19 999 881 515 9,99994%
7 19 999 967 594 9,99998%
8 20 000 291 044 10,00015%
9 19 999 869 180 9,99993%
Total 200 000 000 000 100%
 Compare as frequências relativas obtidas na tabela apresentada no item c da atividade anterior e as 
apresentadas na tabela anterior, e escreva uma conclusãosobre a distribuição dos algarismos de π. 
63
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
64
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 
A RAZÃO π NO CáLCULO DO PERíMETRO 
E DA áREA DO CíRCULO
!
?
VOCÊ APRENDEU?
O comprimento da circunferência
 1. Observe a sequência de imagens a seguir: 
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0 1 2 3 ≅3,14 4
 a) Sabendo que π vale aproximadamente 3,14, interprete a sequência de imagens. 
65
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) Qual seria a distância percorrida por uma circunferência de diâmetro igual a duas unidades? 
E por uma de diâmetro igual a 10 unidades?
 2. Escreva a fórmula do comprimento da circunferência C em função da medida do raio r e 
em função da medida do diâmetro D.
 C = C = 
Leitura e análise de texto
O problema da roda de um automóvel
Todo pneu de automóvel possui um código de identificação com informações a respeito 
de suas dimensões. Ele é escrito da seguinte forma: xxx/yy Rdd, em que:
•	 xxx	é	a	medida	da	largura	do	pneu,	em	milímetros;
•	 yy	é	a	razão	entre	a	altura	e	a	largura	do	pneu,	em	porcentagem;
•	 R é o tipo de pneu, radial;
•	 dd	é	o	diâmetro	da	roda,	em	polegadas	(uma	polegada	vale	aproximadamente	2,54	cm).
diâmetro 
 do pneu
altura do pneu
diâmetro da roda
largura do pneu
Exemplo: um pneu identificado com o código 205/65 R15 tem 205 mm (20,5 cm) de 
largura. Sua altura equivale a 65% da largura, ou seja, mede 20,5 ⋅ 0,65 = 13,325 cm. O diâ-
metro da roda mede 15 polegadas, ou 15 ⋅ 2,54 ≅ 38,1 cm. Assim, o diâmetro total do pneu 
do carro pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda com o dobro da altura do pneu. 
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 C
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66
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 3. Com base nas informações da seção Leitura e análise de texto, determine o diâmetro total desse pneu.
 Resposta: 
 4. Qual é a distância, em metros, que esse pneu percorre em um giro completo da roda?
Distância percorrida em uma volta completa
 Resposta: 
©
 C
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67
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
 5. Calcule a distância percorrida pelos pneus, em quilômetros, em 1 000 giros completos da roda. 
(Dica: use uma calculadora para facilitar os cálculos.)
 a) Roda de aro 15: 195/50 R15
 Resposta: 
 b) Roda de aro 16: 205/60 R16
 Resposta: 
 c) Roda de aro 17: 210/65 R17
 Resposta: 
68
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 6. Os automóveis contam com uma série de instrumentos que ajudam o motorista a con-
trolar o desempenho de seu carro, como o velocímetro e o indicador de combustível. 
O hodômetro mede a distância total, em quilômetros, percorrida pelo automóvel. Ele fun-
ciona com um conjunto de engrenagens ligadas ao eixo das rodas. Dependendo do tamanho 
das rodas, o hodômetro é regulado para registrar a quilometragem percorrida em função do 
número de giros do eixo.
 Em determinado automóvel, o hodômetro vem regulado de fábrica para registrar a distân-
cia percorrida para rodas de aro 15 (item a da atividade apresentada na seção Lição de casa). 
Vamos supor que a distância percorrida a cada giro da roda corresponda exatamente ao 
comprimento da circunferência do pneu, desprezando-se possíveis deslizamentos e frenagens. 
 Responda às seguintes questões:
 a) Quantos giros da roda são necessários para que o hodômetro registre 1 km rodado?
 Resposta: 
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 P
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s.c
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69
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) Quantos giros o eixo da roda realiza em uma viagem de 200 km? 
 Resposta: 
 c) Suponhamos que as rodas originais desse automóvel sejam trocadas por rodas maiores, de 
aro 17 (item c da atividade anterior apresentada na seção Lição de casa). O hodômetro pas-
sará a marcar mais ou menos quantos quilômetros em uma viagem de 200 km? Justifique 
sua resposta. 
 d) Determine quantos quilômetros o hodômetro do carro irá registrar para fazer a mesma 
viagem de 200 km com o pneu de aro 17. 
 Resposta: 
70
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
A área do círculo
 7. Um dos documentos mais importantes do antigo 
Egito é o Papiro de Rhind, encontrado no templo do faraó 
Ramsés II. Ele foi copiado pelo escriba Ahmés, por volta 
do ano 1650 a.C., e contém uma série de problemas 
matemáticos. Ao que tudo indica, era uma espécie de 
manual de matemática egípcia, transmitido de geração 
em geração. Acredita-se que esses conhecimentos exis-
tam desde a construção das grandes pirâmides, há quase 
5 mil anos. 
 Um dos problemas desse papiro tratava do cálcu-
lo da área de um círculo. Uma versão simplifica-
da do problema seria a seguinte: Calcule a área de 
um círculo inscrito em um quadrado de lado igual a 
3 unidades. A estratégia adotada consistia em aproximar a área do círculo por meio da área 
de um octógono inscrito dentro do quadrado, conforme mostram as figuras. 
 Bastaria, assim, calcular a área do octógono, subtraindo-se, da área do quadrado, as áreas dos 
quatro triângulos isósceles de seus cantos. 
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Fragmento do Papiro de Rhind
71
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 Calcule a área do octógono resultante. 
 Resposta: 
 8. Nesta atividade, você vai calcular a área de um círculo com base em aproximações por quadrados 
de lados iguais a 1 cm. 
 a) Aproximação por falta: pinte todos os quadrados inteiros que cabem no interior do círculo 
e calcule a área ocupada por eles. 
72
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) Aproximação por excesso: pinte todos os quadrados que fazem parte do círculo (mesmo que 
não totalmente) e calcule a área ocupada por eles.
 c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores e calcule a média entre eles. O que você conclui? 
LIÇÃO DE CASA
 9. Agora, você vai calcular a área do mesmo círculo, só que com base em quadrados menores, de 
lado igual a 0,5 cm. 
 a) Aproximação por falta: pinte todos os quadrados inteiros que cabem no círculo e calcule 
a área ocupada por eles. 
73
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) Aproximação por excesso: pinte todos os quadrados que fazem parte do círculo (mesmo 
que não totalmente) e calcule a área ocupada por eles. 
74
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores e calcule a média entre eles. O que 
você conclui? Compare também com os resultados da atividade 8.
VOCÊ APRENDEU?
 10. Acompanhe as etapas para a dedução da fórmula da área do círculo.
•	 1a etapa: dividir o círculo de raio r em n setores circulares iguais. 
C = 2 ⋅ π ⋅r
r
•	 2a etapa: “abrir” o círculo, deixando todos os n setores na mesma posição.
C = 2 ⋅ π ⋅r
•	 3a etapa: reposicionar metade dos n setores em sentido oposto, de modo que se encaixem.
π ⋅r π ⋅r
75
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 Quanto maior for o número de divisões do círculo, mais o setor circular se aproximará de um 
triângulo isósceles de lado r, e mais a figura obtida na 3a etapa se aproximará de um retângulo. 
 a) Calcule a área desse retângulo para um círculo de raio r e comprimento C = 2 ⋅ π ⋅ r.
 b) Escreva a fórmula da área do círculo. 
 11. Use a fórmula obtida na atividade anterior e recalcule a área do círculo nas condições do pro-
blema do Papiro de Rhind. Em seguida, compare-a com o resultado obtido na atividade 7. 
76
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 12. Calcule a área de um círculo de raio igual a 4 cm. Em seguida, compare-a com as médias 
obtidas nas atividades 8 e 9. 
LIÇÃO DE CASA
 13. Calcule a área do setor circular representado a seguir. 
60º
2 cm
 Resposta: 
77
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 14. Determine o raio do círculo a seguir, sabendo que o setor circular corresponde a 3 __ 
4
 desse cír-
culo e tem área igual a 108π cm2.
108 π cm2
 Resposta: 
 15. Determineo ângulo central que corresponde ao setor circular representado a seguir.
62,5 π cm2
10 cm
 Resposta: 
78
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 16. Ambas as figuras estão inseridas em um quadrado de lado L. Qual delas possui a maior área?
 setor circular de 90° círculo
 Resposta: 
VOCÊ APRENDEU?
 17. Na 7a série/8o ano, você estudou o teorema de Pitágoras. 
C
c
A
a
B
b
 a) Escreva a expressão algébrica do teorema para o triângulo retângulo ABC.
 b) Qual é a relação entre as áreas dos quadrados representados na figura? 
79
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 18. Na figura a seguir, os círculos foram construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. 
Verifique se, analogamente ao que ocorre no teorema de Pitágoras, a área do círculo cons-
truído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos sobre os catetos. 
 (Medidas: a = 5 cm; b = 3 cm; c = 4 cm.)
C
c
A
a
B
b
 Resposta: 
 19. Verifique se essa relação entre as áreas vale também para as figuras a seguir:
 a) Região complementar do quadrado em relação ao semicírculo. 
 (Medidas: a = 10 cm; b = 6 cm; c = 8 cm.)
C
c
A
a
B
b
 Resposta: 
80
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) Setor circular de 90º (faça o cálculo literal com as letras a, b e c).
C
c
A
a
B
b
 Resposta: 
Leitura e análise de texto
 As lúnulas de Hipócrates
Um dos desafios matemáticos que mais intrigaram os estudiosos desde a Antiguidade 
foi o problema da quadratura do círculo. Esse problema consistia em construir um quadrado 
de área igual à de um círculo com determinado diâmetro. Em termos práticos, o problema 
se reduz a encontrar uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro do círculo, o que 
envolverá o número π. 
Como sabemos hoje, esse problema só pode ser resolvido por meio de aproximações, 
pois π é um número irracional e não pode ser representado por uma razão entre inteiros. 
Contudo, consta que o matemático grego Hipócrates de Chios (460 a.C.) conseguiu re-
solver um problema de quadratura de uma figura curvilínea. Ele mostrou que a soma 
das áreas de duas lúnulas era igual à área de um triângulo retângulo (lúnulas são figuras 
curvilíneas delimitadas por dois arcos de circunferência). 
81
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 20. Com base nas instruções a seguir, você vai construir duas lúnulas. Para isso, será necessário o 
uso de uma régua e de um compasso. 
•	 1a etapa: construa um triângulo retângulo ABC com lados medindo a = 5 cm, b = 3 cm e 
c = 4 cm. Nomeie os vértices com as letras A, B e C. O vértice A deve ser oposto ao lado a; 
o vértice B, oposto ao lado b; e o vértice C, oposto ao lado c. 
•	 2a etapa: determine os pontos médios (Ma, Mb e Mc) dos lados desse triângulo. 
•	 3a etapa: construa um semicírculo, voltado para fora do triângulo, com centro nos pontos 
médios dos catetos b e c.
•	 4a etapa: construa um semicírculo com centro no ponto médio da hipotenusa, voltado para 
o interior do triângulo.
•	 5a etapa: pinte levemente com um lápis a região formada entre os semicírculos dos catetos e 
o semicírculo da hipotenusa. Essas regiões são chamadas lúnulas. 
82
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Desafio!
21. Prove, algebricamente, que a soma das áreas das lúnulas é igual à do triângulo retân-
gulo ABC representado a seguir. 
a c
b
B
A
C
83
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
84
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 
CILINDROS
VOCÊ APRENDEU?
 1. Observe atentamente os sólidos geométricos. 
 a) Classifique-os quanto à forma (nas lacunas abaixo das imagens).
 I. II. 
Observação!
Em ambos os casos, os planos das bases são perpendiculares à superfície lateral.
 b) Descreva as principais semelhanças e diferenças entre os dois sólidos.
85
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 c) Localize, nos sólidos, os seguintes elementos: vértice, aresta, face, base e geratriz.
 d) Com relação ao sólido I, determine:
•	 o número de vértices: 
•	 o número de arestas: 
•	 o número de faces: 
•	 o polígono que forma a base: 
•	 o polígono que forma a face lateral: 
 e) Com relação ao sólido II, determine:
•	 a figura plana que forma a base: 
•	 o polígono que corresponde à superfície lateral planificada: 
 2. A figura a seguir é uma planificação de um cilindro. Sabendo que a altura do cilindro mede 
5 cm, e o diâmetro das bases, 6 cm, determine o comprimento do retângulo correspondente à 
superfície lateral. Considere π ≅ 3,14.
 Resposta: 
86
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
 3. Agora, você vai construir um cilindro com base nas medidas da planificação da atividade anterior.
 Material necessário:
•	 folha de papel sulfite tamanho A4; 
•	 tesoura; 
•	 régua; 
•	 fita adesiva;
•	 compasso. 
Etapas da construção
1a etapa: desenhe os segmentos r e s 
que dividem a folha ao meio, 
na largura e no comprimento. 
r
s
2a etapa: desenhe dois segmentos, 
m e n, paralelos ao segmento s, 
distando 2,5 cm deste.
m
n
3a etapa: construa dois círculos de 6 cm de 
diâmetro, tangentes aos segmentos m e n, e 
com centro no segmento r. 
m
n
4a etapa: desenhe o retângulo corresponden-
te à superfície lateral planificada. 
m
n
87
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
5a etapa: recorte a planificação do cilindro 
do papel A4. 
m
n
6a etapa: usando fita adesiva, construa o 
cilindro com base na planificação.
 4. Com base nas medidas do cilindro montado na atividade anterior, calcule:
 a) as áreas das bases;
 b) a área da superfície lateral;
 c) a área total do cilindro.
 d) Compare a área do cilindro com a da folha A4 utilizada. Qual foi a porcentagem de papel 
utilizada na construção do cilindro? 
 5. Escreva uma fórmula para o cálculo da área da superfície de um cilindro reto, com base no raio 
r das bases e na altura h do cilindro. 
88
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 6. Calcule o volume do cilindro que construíram por meio da planificação sugerida na atividade 2.
h
r
VOCÊ APRENDEU?
 7. Preencha a tabela a seguir com as fórmulas usadas para cálculos métricos em figuras circulares. 
 a) 
Comprimento da 
circunferência C =
Área do círculo A =
Área da superfície 
do cilindro A =
Volume do cilindro V =
 b) Descreva as principais características das fórmulas da tabela. 
89
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 8. Sabendo que 1 dm3 equivale a 1 ℓ, calcule a capacidade (em litro ou seus submúltiplos) de um 
cubo cujos lados medem:
 a) 10 cm 
 b) 1 cm 
 c) 1 m
 9. Calcule a capacidade do cilindro, em mℓ, construído na atividade 3 (use π ≅ 3,1).
 Resposta: 
90
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
 10. As latas de refrigerante são confeccionadas com folhas de alumínio. O Brasil é um dos países que 
mais reciclam esse tipo de material no mundo. Segundo a Associação Brasileira dos Fabricantes 
de Latas de Alta Reciclabilidade (Abralatas), o Brasil produziu aproximadamente 10 bilhões de 
latas de alumínio em 2005 e reciclou aproximadamente 96% desse total. Considerando que o 
formato da lata assemelha-se a um cilindro reto, determine:
6 cm
12 cm
 a) a capacidade, em mℓ, da lata de alumínio representada (use π ≅ 3,1);
 
91
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) quantos centímetros quadrados de uma folha de alumínio são necessários para confeccionar 
uma lata; 
 
 c) quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa de alumínio de 1 m de compri-
mento por 1,72 m de largura.
 
92
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 
PROBABILIDADE E GEOMETRIA
Leitura e análise de texto
 O π e a agulha de Buffon
O estudo da probabilidade, aparentemente, não tem uma ligação direta com a Geome-
tria. A probabilidade trata da razão entre eventos, ao passo que a Geometria relaciona-se ao 
estudo das formas. Uma interseção entre esses dois assuntos parece um tanto improvável, 
dada a natureza distinta de cada um. Contudo, ao analisarum problema aparentemente 
banal, um naturalista francês do século XVIII, conhecido como Conde de Buffon, descobriu 
uma curiosa ligação entre esses dois assuntos. 
À primeira vista, o problema parece ser um tanto despretensioso. Ele consistia na ob-
servação e contagem de agulhas sobre um plano formado por linhas paralelas. Jogando ao 
acaso um punhado de agulhas de comprimento menor que a largura entre as linhas parale-
las, o Conde de Buffon anotava quantas delas caíam sobre as retas e quantas caíam entre os 
espaços, sem tocar as linhas. Seu intuito era descobrir qual a probabilidade de uma agulha 
jogada ao acaso no tabuleiro cair sobre uma das linhas. 
caso favorável
caso desfavorável
Pode-se fazer isso por meio de sucessivas experimentações, contando-se os casos favo-
ráveis e comparando-os ao total de lançamentos. Contudo, o Conde desejava obter uma 
fórmula que determinasse essa probabilidade teoricamente. Usando cálculos simples en-
volvendo ângulos e áreas de figuras planas, ele chegou à seguinte fórmula:
P = 2a
π ⋅ d
Nela, P é a probabilidade de a agulha cortar uma das linhas do tabuleiro, a é o com-
primento da agulha e d é a distância entre as linhas paralelas. No entanto, o fato mais
93
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
surpreendente da fórmula de Buffon é a presença da constante π. Algo que geralmente é usado 
para calcular o comprimento ou a área de um círculo aparece no cálculo de probabilidade. 
Para o caso particular em que a distância entre as linhas é o dobro do comprimento da 
agulha (d = 2a), a fórmula de Buffon pode ser escrita como P = 1 __ π . Isso nos leva a outra 
possibilidade de uso da fórmula. Fazendo uma série de lançamentos de agulhas e calculando 
o valor de P experimentalmente, pode-se determinar o valor aproximado de π. De fato, 
essa estratégia, quando aplicada em um grande número de lançamentos, resulta em uma 
aproximação bastante aceitável para o valor de π. Alguns pesquisadores dedicaram-se a 
esses experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproxi-
mação de 3,1415929 para π após 3 408 lançamentos. 
Entretanto, pode-se questionar o significado prático de tais procedimentos ou fórmu-
las. Para que saber a probabilidade de uma agulha cair sobre um feixe de linhas paralelas? 
Por que determinar o valor de π por meio do lançamento de agulhas, se ele pode ser calcu-
lado de inúmeras maneiras mais simples? 
De fato, à primeira vista, a fórmula de Buffon não tem utilidade prática alguma. Todavia, 
anos mais tarde, ela serviu de base para uma das invenções mais importantes do século XX: 
o aparelho de tomografia computadorizada. Mas em vez de empregar linhas paralelas sobre 
um tabuleiro, esse aparelho trabalha com feixes de radiações paralelas. Usando a fórmula 
de Buffon, é possível determinar as dimensões de um objeto a partir de um feixe desse tipo, 
o que, de forma bastante simplificada, está por trás do funcionamento desse aparelho. 
O exemplo da agulha de Buffon é bastante ilustrativo para relativizar o argumento de 
que alguns assuntos de Matemática não têm aplicações práticas na vida real. Quando co-
meçaram os estudos sobre os fenômenos eletromagnéticos, no início do século XIX, muitos 
pensavam que se tratava de uma pesquisa inútil, sem nenhum interesse prático. Hoje em 
dia ninguém pode se imaginar vivendo em um mundo sem eletricidade, não é mesmo?
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Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 1. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, responda:
 a) Qual era o intuito original do experimento do Conde de Buffon?
 b) O que ele acabou descobrindo nessa experiência?
 c) Como obter um valor aproximado de π com base na experiência do Conde de Buffon?
 d) Como você avalia a questão da utilidade prática do experimento realizado pelo Conde de Buffon?
95
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 2. Responda as questões a seguir.
 a) Use a fórmula do Conde de Buffon e calcule a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair 
sobre uma linha de um tabuleiro formado por linhas paralelas distantes 3  cm umas das 
outras. Use uma calculadora e expresse o resultado em porcentagem (use π ≅ 3,14).
 Resposta: 
 b) O que acontece com essa probabilidade se a distância entre as linhas do tabuleiro for o dobro 
do comprimento da agulha? 
 Resposta: 
96
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 c) Qual deve ser a distância entre as linhas de um tabuleiro para que a probabilidade de uma 
agulha de 3 cm cair sobre uma das linhas seja de 50%?
 Resposta: 
VOCÊ APRENDEU?
 3. Considere uma roleta circular com um ponteiro central móvel. Ao girarmos livremente esse 
ponteiro, ele vai parar em uma determinada região da roleta. 
 a) Na roleta representada a seguir, o ângulo correspondente ao setor I mede 60° e o corres-
pondente ao setor III, 180°. Calcule a probabilidade de o ponteiro da roleta, ao ser girado 
livremente, parar na região II. 
III
II
I
 Resposta: 
97
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) Na roleta da figura, os ângulos correspondentes aos setores circulares coloridos variam em se-
quência crescente, de 10 em 10 graus. O menor ângulo mede 10°. Qual é a probabilidade de o 
ponteiro parar em um setor azul? 
 Resposta: 
 c) Qual é a cor da região em que o ponteiro central tem a maior probabilidade de parar? Justifique 
sua resposta. 
 Resposta: 
98
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 4. A figura a seguir mostra um alvo usado em um jogo de dardos. O círculo central tem raio igual 
a 10 cm, e os anéis (coroas circulares) estão igualmente espaçados, de 10 em 10 cm. 
 a) Calcule a área de cada uma das regiões coloridas do alvo. 
•	 Região vermelha: 
•	 Região azul: 
•	 Região amarela: 
•	 Região verde: 
•	 área total: 
99
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
 b) Qual é a região do alvo (cor) com a maior probabilidade de acerto no lançamento de um 
dardo ao acaso? E a região com menor probabilidade de acerto?
Observação!
Vamos considerar que o jogador esteja com os olhos vendados, para que a intenciona-
lidade não interfira no lançamento do dardo. Faça o cálculo da probabilidade para cada 
uma das regiões.
 Resposta: 
100
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Desafio!
5. O alvo “democrático”– Você é capaz de construir um alvo circular em que as quatro 
regiões coloridas permitam a mesma probabilidade de acerto? Faça os cálculos literais 
e desenhe o alvo “democrático”, usando régua e compasso. 
101
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
102
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA 
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora 
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento 
Curricular de Gestão da Educação Básica 
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental 
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação 
Profissional – CEFAF 
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo 
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica 
Roberto Canossa 
Roberto Liberato 
Suely Cristina de Albuquerque Bomfim
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens 
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos 
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli 
Ventrella.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria 
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, 
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto 
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e 
Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula 
de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro 
e Neide Ferreira Gaspar.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria 
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos 
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, 
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli 
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática 
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, 
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio YoshioYamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira 
Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione. 
Área de Ciências da Natureza 
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth 
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e 
Rodrigo Ponce. 
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, 
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e 
Maria da Graça de Jesus Mendes. 
Física: Anderson Jacomini Brandão, Carolina dos 
Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata 
Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da 
Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos 
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João 
Batista Santos Junior, Natalina de Fátima Mateus e 
Roseli Gomes de Araujo da Silva.
Área de Ciências Humanas 
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e 
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, 
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria 
Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas 
Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de 
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO 
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens 
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine 
Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel 
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes 
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali 
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da 
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, 
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves 
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia 
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, 
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana 
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela 
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba 
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina 
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, 
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista 
Bomfim, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia 
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, 
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena 
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato 
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de 
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene 
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves 
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. 
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, 
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina 
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda 
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, 
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar 
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e 
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática 
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis 
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, 
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, 
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, 
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan 
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes 
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, 
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina 
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, 
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, 
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares 
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda 
Meira de Aguiar Gomes. 
Área de Ciências da Natureza 
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro 
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende 
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara 
Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio 
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline 
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto 
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson 
Luís Prati. 
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula 
Vieira Costa, André Henrique Ghelfi Rufino, 
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes 
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio 
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael 
Plana Simões e Rui Buosi. 
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila 
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. 
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura 
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko 
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. 
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus. 
Área de Ciências Humanas 
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson 
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio 
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio 
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, 
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, 
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, 
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de 
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, 
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato 
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos 
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete 
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina 
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso 
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana 
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de 
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, 
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria 
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas. 
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, 
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e 
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação 
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Plural Indústria Gráfica Ltda.
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri-
dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de 
Direitos Autorais.
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. 
Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites 
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos 
(escala, legenda e rosa dos ventos).
Ciências Humanas 
Coordenador de área: Paulo Miceli. 
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís 
Martins e Renê José Trentin Silveira. 
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, 
Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, 
Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos 
Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza 
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. 
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, 
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso 
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, 
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, 
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo 
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,