05 - Flexão simples

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5 Flexão simples 
 
CONCEITUAÇÃO 
 
 Seja uma uma viga de seção transversal qualquer, constante ao longo de toda a viga. 
O eixo da viga e as forças verticais que nela atuam são coplanares, ou seja, o eixo de 
solicitação (ES) passa pelo CG da seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passando, agora, um plano de corte imaginário  na viga e representando o lado 
esquerdo da viga com o carregamento externo. Para que esta parte esquerda da viga continue 
em equilíbrio, é necessário indicar as forças internas resultantes da seção de corte, ou seja, o 
momento fletor M, o esforço cortante V e o esforço normal N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não existem cargas externas na viga na direção horizontal, a resultante de força 
interna N é nula. 
Porém, existem tensões internas normais na seção, devido à ação do momento fletor M, 
como será demonstrado a seguir. 
Seja a viga abaixo com seção transversal com pelo menos um eixo de simetria. Ao ser 
solicitada pelo carregamento externo o eixo longitudinal se deforma, transformando-se numa 
curva de grande raio. 
Imaginando, agora, duas seções transversais AC e BD, distantes x uma da outra. 
 
 
 
 
 ( = raio de curvatura) 
 
 
 
 
 
 
CG
S
E
B
P1 P2 Pn
A


H
A
V
A V
B
Eixo
longitudinal
P1 P2
A


H
A
V
A
N=0
M
V
q
O

x
A B
C D
A’ B’
C’ D’
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Hipótese 1 da flexão simples: o plano de atuação do momento fletor é um plano de simetria. 
 
 
 O eixo de solicitação (ES) 
das cargas externas passa pelo CG 
da seção transversal simétrica (o 
eixo de solicitação coincide com o 
eixo de simetria vertical). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótese 2 da flexão simples: seções transversais planas e perpendiculares ao eixo 
longitudinal permanecem planas e perpendiculares ao eixo de deformação após a flexão 
(Jacques Bernoulli, 1705). 
 
Com o uso de espelhos colados na face de um prisma submetido à flexão, o professor 
Augusto Föppl comprovou que uma seção transversal plana, perpendidicular ao eixo de uma 
viga submetida à flexão, permanece plana após a deformação da peça. 
 
 
• Após a deformação do prisma, os 
espelhos giram todos com o mesmo 
ângulo. 
• Logo, a seção , originalmente 
plana, permaneceu plana após a 
deformação. 
 
Limitação: a hipótese 2 da flexão simples é válida para viga com pequena altura em 
relação ao seu comprimento. 
 
Analisando novamente o trecho da viga compreendido entre as seções AC e BD. Após a 
flexão, sob a ação do momento fletor M, a seção plana AC gira e passa para posição A’C’. Da 
mesma forma, a seção BD gira no sentido contrário e passa para a posição B’D’. 
 
 
• Durante a deformação, a fibra ab não 
sofre modificação em seu comprimento; 
• Na fibra ab, a deformação específica é 
x = 0, portanto x = 0; 
• Fibras livres de deformação existem 
continuamente ao longo da largura e do 
comprimento do prisma. 
 ESPELHOS
LUZ
LUZ
A' B'
C' D'
M M
A B
C D
a b
A B
C D
CG
x
A' B'
C' D'
O
O'
MM
S
E
 LINHA ELÁSTICA
(EIXO LONGITUDINAL
 DEFORMADO)
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Seja o trecho de prisma compreendido entre as seções 00 e  distantes x entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por semelhança de triângulos: 
 
 G’ BB’ = G’ DD’ 
 
 
 
𝐵𝐵'
𝑦0
=
𝐷𝐷'
𝑦
⇒
𝐵𝐵' 𝐴𝐵⁄
𝑦0
=
𝐷𝐷' 𝐶𝐷⁄
𝑦
 
 
⇒
𝐵𝐵' Δ𝑥⁄
𝑦0
=
𝐷𝐷' Δ𝑥⁄
𝑦
 
 
 
𝜀𝑥0
𝑦0
=
𝜀𝑥
𝑦
= 𝑘(𝑐𝑜𝑛𝑠 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑒) 
 
Assim, as deformações são proporcionais aos afastamentos da linha neutra: 
 
𝜀𝑥 = 𝑘. 𝑦 
 
Se AB = x e BB’ = u, tem-se: 
 
dx
du
x
u
lim
x
u
x
0x
xx =


=


=
→
 (deformação específica) 
 
Considerando deformações no regime elástico linear (onde é válida a Lei de Hooke): 
 
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
 ⇒ 
𝜎𝑥0 𝐸⁄
𝑦0
=
𝜎𝑥 𝐸⁄
𝑦
 
𝜎𝑥0
𝑦0
=
𝜎𝑥
𝑦
= 𝐾 (constante) 
 
LEI DE NAVIER – as tensões nas diversas fibras de um prisma submetido à flexão são 
diretamente proporcionais às distâncias destas fibras à linha neutra. 
E
S
L N
SUPERFÍCIE NEUTRA
( = 0; = 0)
LINHA NEUTRA
A
C D
B B'
D'
G G'
x u
yy0
x
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EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO SIMPLES 
 
Considerando um prisma submetido à flexão simples: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na linha neutra, x = 0 e x = 0 
 
 
Equilíbrio das forças internas na seção transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que a seção esteja em equilíbrio, ela deve preencher as seguintes condições: 
 
Fx = 0; My = 0; Mz = 0 
 
a) Fx = 0 (N = 0) 
 
  =
S
x 0dA 
Pela Lei de Navier: x = K.y 
 
Então: 
∫ 𝐾. 𝑦. 𝑑𝐴 = 0 ∴ 𝐾 ∫ 𝑦𝑑𝐴 = 0 
 
Como K ≠ 0 (se houver tensões tensões na viga): 
 
  = 0ydA (momento estático é nulo) 
 
Portanto, a LN passa pelo CG da seção transversal. 
Para determinar a posição da Ln (linha neutra), determina-se a posição do CG da seção. 
 
 
MM
x
E
S
L N
compressão
tração
yz
x dA
x
y
z
N
L
M
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b) My = 0 
 
Porque não existe momento aplicado em torno de y. 
A seção é simétrica em torno do ES. 
 
 
∫𝑧. 𝜎𝑥𝑑𝐴 = 0
𝑆
 ⇒ ∫ 𝑧. 𝐾. 𝑦𝑑𝐴 = 0 ⇒ 𝐾 ∫ 𝑦𝑧𝑑𝐴 ∴ ∫ 𝑦𝑧𝑑𝐴 = 0 
 
∅𝑦𝑧 = ∫ 𝑦𝑧𝑑𝐴 = 0 
 (o produto de inércia é nulo) 
 
Portanto, o eixo de solicitação (ES) e a linha neutra (LN) são eixos principais de inércia e 
ortogonais entre si. 
 
 
c) Mz = 0 
 
∫ 𝑦. 𝜎𝑥𝑑𝐴 + 𝑀 = 0 ⇒ ∫ 𝑦. 𝐾. 𝑦𝑑𝐴 = −𝑀 ⇒ 𝐾 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 = −𝑀 
 
Onde ∫ 𝑦2𝑑𝐴 é o momento de inércia baricentral (ILN) 
 
Assim: 𝐾 = −
𝑀
𝐼𝐿𝑁
. 
 
Da Lei de Navier sabe-se que : x = K.y 
 
LN
x
I
My
−= 
 
(equação geral da flexão simples) 
 
• Para M > 0 e y > 0 → x < 0 (compressão) 
• Para M > 0 e y < 0 → x > 0 (tração) 
 
As tensões máximas ocorrem nas fibras mais afastadas da LN (ysup e yinf). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO DE RESISTÊNCIA (W) 
 
 
SUP
LN
SUP
y
I
W −= 
INF
LN
INF
y
I
W −= 
 
 
 
 
INF
xINF
INF
LN
INF
LN
xINF
W
M
y
I
M
y.
I
M
−=






−=−= 
 
 
y
CG
ysup
yinf
SUP
xSUP
SUP
LN
SUP
LN
xSUP
W
M
y
I
M
y.
I
M
−=






−=−=