Progressões 2

Prévia do material em texto

# Progressões: Conceitos, Tipos e Aplicações em Concursos
As progressões são sequências matemáticas em que cada termo é obtido a partir do anterior, seguindo uma certa regra. Elas são fundamentais em matemática e têm diversas aplicações em problemas práticos. Neste artigo, vamos explorar os conceitos básicos das progressões, os diferentes tipos e suas aplicações em problemas de concursos. Compreender este tema é essencial para os estudantes que estão se preparando para exames de concursos nos quais habilidades matemáticas são frequentemente testadas.
## Conceitos Básicos
Uma progressão é representada como uma sequência finita ou infinita de números, onde cada termo segue um padrão ou uma regra específica para ser gerado a partir do termo anterior. O primeiro termo de uma progressão é geralmente denotado por \(a_1\), o segundo termo por \(a_2\), o \(n\)-ésimo termo por \(a_n\), e assim por diante.
Existem diferentes tipos de progressões, sendo as mais comuns:
1. **Progressão Aritmética (PA)**: Nessa progressão, cada termo é a soma do termo anterior com uma constante, chamada de razão aritmética. A fórmula geral para o termo \(n\) de uma PA é \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r\), onde \(a_1\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão aritmética.
2. **Progressão Geométrica (PG)**: Nessa progressão, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão geométrica. A fórmula geral para o termo \(n\) de uma PG é \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), onde \(a_1\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão geométrica.
## Aplicações em Concursos
As progressões são aplicadas em diversas áreas da matemática e têm várias aplicações em problemas de concursos, tais como:
1. **Problemas de Séries Numéricas**: Muitas vezes, problemas de concursos envolvem séries numéricas que podem ser representadas por progressões aritméticas ou geométricas.
2. **Análise de Algoritmos**: Em ciência da computação, as progressões são usadas para analisar o desempenho de algoritmos e determinar seu tempo de execução em diferentes situações.
3. **Problemas Financeiros**: Em problemas que envolvem juros compostos ou amortizações, as progressões são frequentemente usadas para modelar o crescimento ou o decréscimo de uma quantia ao longo do tempo.
## Estratégias para Resolução em Concursos
Ao enfrentar problemas de progressões em exames de concursos, é útil seguir algumas estratégias específicas:
1. **Identificar o Tipo de Progressão**: Determine se a sequência dada é uma progressão aritmética, geométrica ou outra.
2. **Encontrar os Termos Conhecidos**: Identifique os termos conhecidos da progressão, como o primeiro termo, a razão aritmética ou geométrica, e o termo desejado.
3. **Aplicar as Fórmulas Correspondentes**: Utilize as fórmulas gerais para os termos de uma PA ou PG para encontrar o termo desejado.
## Exemplo de Problema e Solução
**Problema**: Em uma progressão aritmética, o terceiro termo é 7 e o sétimo termo é 19. Qual é o primeiro termo da progressão?
**Solução**:
Podemos usar as informações dadas para encontrar a razão aritmética (\(r\)) entre os termos consecutivos. A diferença entre o sétimo e o terceiro termo é quatro vezes a razão aritmética.
Portanto, \(19 - 7 = 12 = 4r\). Assim, \(r = 3\).
Agora, podemos usar a fórmula do termo \(n\) de uma PA (\(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r\)) para encontrar o primeiro termo (\(a_1\)). Substituindo os valores conhecidos, temos:
\(7 = a_1 + (3 - 1) \cdot 3\) 
\(7 = a_1 + 2 \cdot 3\) 
\(7 = a_1 + 6\) 
\(a_1 = 7 - 6\) 
\(a_1 = 1