Instrumentação_do_Ensino_da_Aritmética_e_Álgebra_Vol2

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Ana Lúcia Vaz da Silva
Andreia Carvalho Maciel Barbosa
Marcelo Almeida Bairral
Rosana de Oliveira
 
Volume 2
Instrumentação do Ensino da 
Aritmética e Álgebra
Apoio:
2010/1 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO
Ana Lúcia Vaz da Silva
Andreia Carvalho Maciel Barbosa
Marcelo Almeida Bairral
Rosana de Oliveira
COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO 
INSTRUCIONAL
Cristine Costa Barreto
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL 
E REVISÃO
Anna Carolina da Matta Machado
Anna Maria Osborne
José Meyohas
COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM
Maria Angélica Alves
Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
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eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
S586i
Silva, Ana Lúcia Vaz da.
Instrumentação do ensino da aritmética e álgebra. v. 2 / 
Ana Lúcia Vaz da Silva et al. – Rio de Janeiro: Fundação 
CECIERJ, 2010.
266p.; 19 x 26,5 cm.
ISBN: 85-7648-139-1
1. Régua de Cuisenaire. 2. Jogos. 3. Equações. 4. 
Inequações. I. Barbosa, Andreia Carvalho Maciel. II. Bairral, 
Marcelo Almeida. III. Oliveira, Rosana de. V. Título. 
 CDD: 510.028
EDITORA
Tereza Queiroz
COORDENAÇÃO EDITORIAL
Jane Castellani
COPIDESQUE
Nilce Rangel Del Rio
REVISÃO TIPOGRÁFICA
Patrícia Paula
Luciana Nogueira Duarte
COORDENAÇÃO 
DE PRODUÇÃO
Jorge Moura
PROGRAMAÇÃO VISUAL
Alexandre d´Oliveira
André Freitas de Oliveira
Katy Araújo
Sanny Reis
ILUSTRAÇÃO
Fabiana Rocha
CAPA
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PRODUÇÃO GRÁFICA
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NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO
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RIO DE JANEIRO
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DO RIO DE JANEIRO
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DO RIO DE JANEIRO
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RIO DE JANEIRO
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UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Reitor: Roberto de Souza Salles
Universidades Consorciadas
Instrumentação do Ensino da 
Aritmética e Álgebra
SUMÁRIO
Volume 2
Aula 11 – Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, operações 
 com naturais e coisas mais ____________________________________7
Aula 12 – Vamos jogar sinuca? ______________________________________ 29
Aula 13 – Jogos com números _______________________________________ 63
Aula 14 – Resolvendo equações e inequações: para além da álgebra __________ 83
Aula 15 – Equação do 2º grau: para além da fórmula de Bhaskara... __________ 111
Aula 16 – Mais álgebra: multiplicando e fatorando casos notáveis! __________ 133
Aula 17 – Passeando sobre as curvas: uma interpretação gráfi ca! ___________ 155
Aula 18 – Vamos às progressões! ___________________________________ 175
Aula 19 – Movendo discos, formando torres e pensando indutivamente _______ 203
Aula 20 – Um relacionamento quase perfeito: funções 
 e proporcionalidades ______________________________________ 225 
Referências __________________________________________________ 247
Módulo Prático ______________________________________________ 253
Réguas de Cuisenaire: cores, 
combinações, operações 
com naturais e coisas mais
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
• Utilizar as réguas de Cuisenaire como recurso 
de aprendizagem.
• Desenvolver atividades para alunos a partir da 
5ª série pautadas no pensamento combinatório.
Pré-requisitos 
Para o bom desenvolvimento desta aula, é bom que você relembre 
o Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton – você poderá encontrar 
esses conteúdos em qualquer livro didático de Matemática do Ensino 
Médio. Disponha, também, de cartolinas coloridas para construir 
as réguas de Cuisenaire.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com as réguas de Cuisenaire.
11AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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É comum pensarmos que os recursos lúdicos (jogos, softwares educacionais, 
desafi os lógicos etc.) devem ser trabalhados apenas nas séries iniciais. Nesta aula, 
você verá que, dependendo do objetivo do professor, determinado recurso pode 
ser explorado em séries diversas. Para exemplifi carmos esta idéia, trabalharemos 
com as réguas de Cuisenaire.
INTRODUÇÃO
CONVERSANDO SOBRE HISTÓRIA: 
AS RÉGUAS DE CUISENAIRE
Este material tem esse nome devido ao seu criador: Emile Georges 
CUISENAIRE. 
CUISENAIRE (1891-1980)
Era professor de Matemática na Bélgica, e, ao se impressionar com uma cena de 
um aluno desesperado, em uma de suas salas de aula, decidiu criar um material que 
ajudasse no ensino dos conceitos básicos de Matemática. Então, cortou algumas 
réguas de madeira em 10 tamanhos diferentes e pintou cada peça de uma cor. 
Foi assim que surgiu a Escala de Cuisenaire.
Há meio século, quando Cuisenaire inventou este material, ele não 
sabia se daria certo, porém, na primeira aula em que o testou, constatou 
que sua intuição estava correta. Só mais tarde o professor fi cou conhecido 
fora do país, quando o educador egípcio CALEB GATEGNO, radicado na 
Inglaterra e famoso por suas pesquisas em Educação Infantil, recebeu 
de um amigo belga um convite para conhecer o homem que ensinava 
números com barras coloridas. Apesar de descrente, ele aceitou. 
Ao ver o material, encantou-se e disse: “esse homem mostra técnicas 
às crianças que são um milagre para a educação”. O egípcio passou 
a divulgar o trabalho de Cuisenaire – a quem chamava de Senhor Barrinhas. 
Cuisenaire e Gategno tornaram-se conhecidos em todo o mundo.
CALEB GATEGNO (1911-1988)
Foi um importante matemático e psicólogo criador de vários materiais e situações 
didático-pedagógicas, como o geoplano e as réguas de Cuisenaire. Entre 1944 e 
1988, publicou cerca de 120 livros e 500 artigos em revistas científi cas de vários 
países. Nasceu em Alexandria (Egito), trabalhou na Inglaterra e Estados Unidos, 
e morreu em Paris.
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Para acompanhar as atividades desta aula, você deverá confeccionar (colorir 
e recortar) as réguas de Cuisinaire planifi cadas conforme consta do Módulo 
Prático. Você poderá também utilizar o próprio material em madeira ou E.V.A. 
que existe no mercado. A seguir, apresentamos os tamanhos, cores e letras 
correspondentes a cada número:
!
Cor Letra Tamanho
branca b 1b
vermelha v 2b
verde-claro c 3b
roxa r 4b
amarela a 5b
verde-escuro e 6b
preto p 7b
marrom m 8b
azul z 9b
laranja l 10b
CONVERSANDO SOBRE O SEU LABORATÓRIO 
DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
As réguas de Cuisenaire, também conhecidas como escalas ou barras 
de Cuisenaire, constituem um material didático composto de várias barras, 
cada uma de cor e tamanho diferentes. As barras são paralelepípedos 
de mesma altura e mesma largura. A menor das barras tem 1cm de 
comprimento e representa uma unidade. A segunda tem 2cm e representa 
o número 2, e assim por diante, até a maior, de 10cm, que indica o 10. 
Para nomear uma peça
nas atividades, estare-
mos utilizando as co-
res. Por isso, uma alter-
nativa possível será 
recortar esta tabela do 
Módulo Prático. Esta 
alternativa não deve 
ser usada inicialmente 
com os alunos, visto 
que nada substitui a 
riqueza da manipulação 
do material original.
!
Para facilitaro manuseio, você pode aumentar o tamanho das 
peças. É só estabelecer proporcionalidade com a unidade utilizada. 
Manipulando as peças, o aluno aprende aspectos conceituais elementares 
relacionados com adição, subtração e outros elementos associados como 
o dobro de, a metade de uma quantidade etc. Inicialmente, vamos 
reconhecer as barras de Cuisenaire.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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Geralmente, quando iniciamos o trabalho com um recurso novo para os 
alunos, uma tarefa recomendável é a exploração e o reconhecimento, pelo 
próprio estudante, do material. Nesta familiarização, ele vai estabelecer 
códigos, falar do material e construir representações e formas variadas para 
explorar o recurso.
!
CONHECENDO O MATERIAL
Após a exploração inicial, veja como a professora Maria Amélia 
descreveu as réguas.
As réguas de Cuisenaire constituem um recurso composto 
por paralelepípedos com diferentes cores e tamanhos. São 10 tipos 
de réguas, cada tipo uma cor e tamanho diferentes. Tomando como 
unidade a menor peça ou régua (cor – marfi m), que é um cubo, o tamanho 
das outras é aumentado de um cubo gradualmente. Veja a seguir:
Peça 1: 1 cubo marfi m (branco);
Peça 2: 1 paralelepípedo vermelho equivalente a 2 peças marfi m;
Peça 3: 1 paralelepípedo verde-claro equivalente a 3 peças marfi m;
Peça 4: 1 paralelepípedo vinho equivalente a 4 peças marfi m;
Peça 5: 1 paralelepípedo amarelo equivalente a 5 peças marfi m;
Peça 6: 1 paralelepípedo verde-escuro equivalente a 6 peças marfi m;
Peça 7: 1 paralelepípedo preto equivalente a 7 peças marfi m;
Peça 8: 1 paralelepípedo marrom equivalente a 8 peças marfi m;
Peça 9: 1 paralelepípedo azul equivalente a 9 peças marfi m;
Peça 10: 1 paralelepípedo laranja equivalente a 10 peças marfi m.
Observe que a professora se orientou pelo rigor da linguagem 
geométrica, escrevendo paralelepípedos. Lembre-se de que o cubo é um 
tipo especial de paralelepípedo.
Pensamos que a nomenclatura deve ser introduzida naturalmente ao longo 
do trabalho, sem excessos de formalismos. Assim, não vemos problemas, 
nas séries iniciais, no fato de a criança utilizar os termos “quadradinhos” 
para cubos e dizer que eles têm a “cor branca”. O professor deve utilizar 
os termos corretamente, negociando o vocabulário com as crianças pequenas. 
Ele deve chamar a atenção dos alunos para este “erro lingüístico-conceitual”. 
Os nomes de objetos matemáticos trazem em si uma idéia conceitual. 
Esse alerta é uma boa oportunidade para inserir e relacionar atividades 
geométricas e aritméticas, como as realizadas com as réguas de Cuisenaire.
!
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Você deve ter observado que a utilização de letras é importante; 
por isso, o uso de uma simbologia comum a todos os alunos deve ser 
acordada previamente com a turma. 
Também podemos utilizar as réguas nas diversas séries e de 
maneiras diferentes, por exemplo, para ensinar conceitos de soma, 
subtração, multiplicação, divisão, frações, área etc. Veja, agora, como 
a professora Georgina pensou em utilizar as barrinhas em suas aulas.
ADIÇÕES, SUBTRAÇÕES, COMPARAÇÕES, 
COMBINAÇÕES ETC.
A professora verifi cou que este recurso didático pode ser utilizado 
desde as primeiras séries, aplicando-o às operações básicas. Deste modo, 
podemos iniciar o processo de contagem. Na soma, por exemplo, 
podemos perguntar ao aluno que peças formam a amarela.
Ao mesmo tempo que trabalhamos a adição, podemos trabalhar a 
subtração. Quando temos, por exemplo, 5
2 3
, ao mesmo 
tempo que visualizamos que 5 = 2 +3, podemos trabalhar também a 
subtração, pensando que se da barra do 5 retirarmos a barra do 2, fi camos 
com a barra do 3. 5
3
 → 3, ou seja, 5 - 2 = 3.
As réguas de Cuisenaire 
abordam apenas um 
aspecto conceitual da 
subtração: a idéia de 
quanto falta. O aspecto 
da diferença (tirar uma 
quantidade de outra) 
não faz sentido, pois, 
conforme percebeu 
muito bem a professora 
Georgina, não podemos 
quebrar peças. 
!
Observe que há vários conceitos com que lidamos no desenvolvimento de 
atividades como a exemplifi cada pela professora Georgina. Adição, subtração 
e combinação (com ou sem repetição de elementos). Neste processo 
de construção do conhecimento, que não é estanque nem seqüencial 
(adição subtração combinação), também são desenvolvidas diferentes 
formas de escrever (representar) quantidades, por exemplo, o 5 (2+2+1, 
1+1+1+1+1, 4 + 1, 1 + 4 etc.).
a
b b b b b
bv
v
v
b r
c
5
1 1 1 1 1
12 2
2
1 4
3
= branca / marfi m (unidade)
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1
Escolha uma régua e encontre todas as peças que, juntas, correspondem ao seu 
tamanho. 
Para esta atividade, é 
importante que você 
utilize as réguas de 
Cuisenaire compradas 
ou confeccionadas por 
você.
!
 COMENTÁRIO 
A primeira ilustração é um exemplo de como você deve encaminhar essa 
atividade. Registre suas respostas e converse com o tutor. A resposta 
dependerá da peça escolhida. O importante é que você conheça a estrutura 
e o objetivo do material.
É importante destacar a presença de um outro conceito importante neste 
trabalho: o de equivalência. Entendê-lo, diferenciando-o de igualdade, é 
essencial para o estudo das equações, que você verá nas Aulas 14 e 15.
ATIVIDADES
1. Utilizando as réguas de Cuisenaire, complete as expressões seguintes, 
tornando-as verdadeiras.
a. __________________ é metade da peça _______________.
b. _____________________ é o dobro da peça _______________.
c. __________________ é o triplo da peça ________________.
d. __________________ é a oitava parte da peça _____________.
e. ___________________ é quatro vezes a peça vermelha.
f. A peça branca é a sétima parte da peça ________________.
g. __________________ é a terça parte da peça azul.
h. ______________ é oito vezes a peça____________.
i. _______________ é a quinta parte da peça ___________.
MULTIPLICAÇÕES, DIVISÕES, FRAÇÕES, 
COMPARAÇÕES ETC.
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 COMENTÁRIO 
Observe que, manipulando as peças, o aluno desenvolve aspectos conceituais 
elementares relacionados com adição, subtração e outros elementos 
associados, como o dobro de, a metade de uma quantidade etc. Este tipo de 
atividade também é muito recomendável para 5ª e 6ª séries.
Utilizando as réguas de Cuisenaire, também podemos realizar outras 
multiplicações e desenvolver conjuntamente o conceito de área (como 
espaço ocupado). 
2. De que maneira, utilizando as réguas podemos preencher o espaço 
delimitado pelas peças roxa e verde-claro? Encontre soluções possíveis, 
usando:
a. Peças de uma mesma cor.
b. Peças de cores diferentes.
c. Qual o número máximo e o mínimo de peças que pode ser utilizado 
em cada caso?
 COMENTÁRIO 
Observe que, para responder a este tipo de questão, devemos sempre 
recorrer à unidade (o cubo, ou quadrado). O número máximo de peças será 
determinado pela multiplicação 4 x 3, ou seja, 12 cubinhos. Veja:
r
c
r
c
r
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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O número mínimo, para preencher o espaço delimitado pelas duas 
peças, será determinado pela peça de maior tamanho, neste caso, a roxa.
Podemos pensar em outras peças que resultem na quantidade 12.
Por exemplo, uma laranja e uma vermelha. Neste caso, faz sentido 
falarmos de equivalência de quantidades, sem que as mesmas preencham 
o espaço, pois a peça laranja não cabe na região delimitada. Este tipo de 
discussão pode gerar novas e diferentes tarefas!
Dentre as atitudes dos alunos, devemos esperar que eles não aceitem uma 
única resposta, que zelem pelo material e que se ajudem durante a atividade. 
Além disso, o professorpoderá identifi car os procedimentos adotados pelos 
alunos e provocá-los para suscitar questionamentos sobre as tarefas.
!
Outros questionamentos podem ser feitos neste tipo de situação. 
Por exemplo, a disposição de cada peça infl uencia na quantidade fi nal 
de quadradinhos?
r
r
r
r
c
r
r
c
c
3 peças roxas
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2
Que respostas e exemplos você daria aos seus alunos à pergunta anterior?
 COMENTÁRIO 
Fazer os desenhos ajuda no desenvolvimento da atividade, porém, 
dependendo da maturidade e familiaridade do aluno com o material, 
ele não terá difi culdades em responder a este tipo de questionamento. 
Apresente suas respostas ao tutor e converse com ele.
Atividades similares envolvendo a formação de fi guras, contagem e outros 
conceitos geométricos como o de simetria, também podem ser pensadas.
Ao abordarmos a divisão, é importante trabalhar com a idéia de 
quantos cabem. Veja!
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operações com naturais e coisas mais
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ATIVIDADE 
3. Refl ita e responda às seguintes perguntas.
a. Quantas peças amarelas formam a peça laranja ou quantas vezes a peça 
vermelha cabe na peça laranja?
b. Estabeleça outras relações entre as diferentes peças.
c. Faz sentido perguntar quantas vezes a peça marrom cabe na peça roxa?
 COMENTÁRIO 
Na resposta do item a e nas relações em que a peça menor cabe um 
número inteiro de vezes na peça maior, é provável que os alunos não tenham 
difi culdade em responder. No item c, a resposta não é um número inteiro, ou 
seja, a peça marrom não cabe inteira na peça roxa e sim a metade dela.
ASSOCIANDO NÚMEROS, FORMAS E QUANTIDADES 
VARIADAS
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3
De quantas maneiras podemos formar um terreno retangular de 20 unidades de 
área utilizando no máximo duas cores? Que peças podem ser utilizadas? Qual a 
maior possível? Justifi que suas respostas.
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 4
Deseja-se colocar piso numa sala retangular de 36 unidades de área. Utilizando 
pisos de mesma cor, responda qual o menor gasto para o serviço, sabendo que:
• uma peça branca custa 1 real;
• uma peça vermelha custa 1 real e 50 centavos;
• uma peça roxa custa 4 reais e 50 centavos;
• uma peça laranja custa 12 reais;
• uma peça preta custa 6 reais;
• uma peça marrom custa 7 reais e 50 centavos;
• uma peça verde-escura custa 5 reais;
• uma peça verde-clara custa 1 real e 75 centavos;
• uma peça azul custa 10 reais;
• uma peça amarela custa 4 reais.
 COMENTÁRIO 
Como registro de resolução das Atividades Complementares 3 e 4, você deve 
utilizar desenhos, tabelas, esquemas e cálculos. Mais que chegar a uma resposta 
fi nal da atividade, você deve pensar em possibilidades de resoluções que seus 
alunos ou mesmo seus colegas poderão dar.
Observe que, apesar de utilizarmos expressões comuns em nosso dia-a-dia 
(terreno, área, piso, preços), atividades como as complementares 3 e 4 abordam 
o cotidiano em sua semi-realidade, pois a realidade cotidiana é mais complexa. 
Para saber mais sobre essa conceituação, leia Skovsmose (2001).
!
É importante você ter clareza de que todo material tem suas limitações, 
e não podemos exigir dele mais do que pode nos oferecer. Por exemplo, 
atividades como as complementares 3 e 4 podem ser exploradas em outros 
contextos e de outras formas. Apesar da motivação propiciada por um 
recurso, nem sempre seu uso garante uma aprendizagem efetiva. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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ATIVIDADE 
4. O professor Fernando comentou que, dependendo da série, podemos 
trabalhar o conceito de números primos, por exemplo, quando for observado 
que para alguma peça não é possível colocarmos uma quantidade inteira 
de outra peça menor, a não ser a unidade e a própria peça a ser dividida. 
Dê exemplos de peças para as quais esta regra é válida.
 COMENTÁRIO 
Faça uma investigação utilizando todas as peças, assim você estará 
identifi cando os números primos de 1 a 10.
A METÁFORA DO TREM
Neste momento da aula, consideramos que você tenha conhecido 
diferentes possibilidades de trabalhar com as réguas de Cuisenaire, 
principalmente com atividades para 5ª e 6ª séries. Vamos continuar, 
agora, com uma atividade proposta pelo professor ARTHUR.
ARTHUR B. POWELL
É professor da Rutgers Universiy (EUA). É um reconhecido educador matemático, 
muito comprometido no desenvolvimento de projetos que objetivem uma 
aprendizagem matemática signifi cativa, e tem visitado regularmente o Brasil. 
Além disso, é um dos consultores e colaborador assíduo do Gepem (Grupo de 
Estudos e Pesquisas em Educação Matemática).
Esta atividade com as Réguas de Cuisenaire foi desenvolvida em grupo 
pelo professor Arthur. Cada grupo fez um relatório para ser entregue ao 
professor para que, na próxima aula, pudessem fazer alguns comentários.
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ATIVIDADE 
5. Quantos trens podemos formar com uma peça de um determinado 
tamanho, incluindo ela mesma e as peças menores que ela, ou seja, quantos 
trens podemos construir com cada peça, incluindo-a?
 COMENTÁRIO 
Esta é uma atividade aberta e inicialmente provocará muitos questionamentos, 
por isso, procure desenvolvê-la em grupo. Procure registrar suas idéias e 
dúvidas desde o início da leitura.
A peça considerada é 
um vagão de um trem. 
As outras peças e suas 
diferentes combinações 
formarão trens de mes-
mo tamanho da peça 
considerada, porém com
número de vagões dife-
renciado. 
!
Aproveitando o exemplo utilizado no início da aula, faça composições de 
tamanho que cheguem à peça amarela. Vejamos alguns trens que foram 
formados.
Mas atenção! Consideramos que, alterando a ordem dos vagões, 
teremos trens diferentes, ou seja, uma peça branca e uma marrom é um 
trem diferente de uma peça marrom e uma branca. O mesmo acontecerá 
com as outras peças. Por exemplo, com as peças vermelha e branca (3ª linha 
da ilustração anterior), poderemos formar três trens: vermelha-vermelha-
branca, vermelha-branca – vermelha e branca-vermelha-vermelha.
Agora é o momento de você voltar às dúvidas anteriormente 
registradas e procurar saná-las.
b b b b b
v v
b r
 COMENTÁRIO 
Não se preocupe com a resposta fi nal agora. Procure entender o processo 
de construção dos trens. Você pensou em começar pela peça mais simples, 
ou seja, a de menor tamanho? Mãos à obra!
a
b
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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Depois de anotadas as suas novas observações e descobertas, siga 
em frente. O que faremos agora será analisar a resposta de três estudantes 
(Paulo, Kíssila e Rita) do 3º ano do Ensino Médio do Professor Walker.
É importante você entender que, ao contrário do que muitos professores 
pensam, o Ensino Médio é também um nível em que devemos utilizar recursos 
didáticos. Mesmo que pareça infantil para alguns alunos, eles perceberão 
paulatinamente o valor e a importância dos mesmos em sua aprendizagem.
!
ATIVIDADE 
6. Nesta atividade, você analisará a resposta de cada aluno e, ao fi nal, 
compará-las às suas respostas.
 COMENTÁRIO 
Faça uma investigação utilizando todas as peças.
Aluno Paulo
Peça Nº de trens Tipos de trens
1 1 1T de 1V
2 2 1T de 1V, 1T de 2V
3 4 1T de 1V, 2T de 2V, 1T de 3V
4 8 1T de 1V, 3T de 2V, 3T de 3V, 1T de 4V
5 16 1T de 1V, 4T de 2V, 6T de 3V, 4T de 4V, 1T de 5V
:
:
:
:
:
:
V - vagão
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Complementa o aluno: “Organizando o número de trens em ordem 
crescente de vagões, obtemos o triângulo de Pascal.”
1
1 1 
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
:
:
Também podemos visualizá-lo da seguinte forma:
Vagões
T
r
e
n
s
m
1 2 3 4 5 ...
1 1 0 0 0 0 ...
2 1 1 0 0 0 ...
3 1 2 1 0 0 ...
4 1 4 64 1 ...
5
:
:
Observando a tabela anterior, considere an igual ao número de trens e n 
igual ao valor de peças (quantas unidades a peça vale).
Para:
 a1= 2
1-1= 20= 1
a2= 2
2-1= 21= 2
a3= 2
3-1= 22= 4
a4= 2
4-1= 23= 8
a5= 2
5-1= 24= 16
:
:
an= 2
n-1
Utilizaremos esta fórmula para determinar o número de trens que podemos 
ter com uma peça que vale n unidades.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J22
Aluna Kíssila
Após ver a aplicabilidade deste recurso nas séries iniciais, foi proposto o 
seguinte desafi o: para cada peça quantos trens (ou tiras) com o mesmo 
tamanho é possível construir utilizando outras peças, inclusive a mesma?
Com uma certa maturidade adquirida pela atividade anterior com a Torre 
de Hanói, tivemos o cuidado de anotar os resultados em uma tabela cujo 
formato foi sugerido pelo professor, como segue abaixo:
Peça Nº de trens Tipo de trem
1 - marfi m 1 1 trem de 1 vagão
2 - vermelha 2 1 trem de 1 vagão e
1 trem de 2 vagões
3 - verde-claro 4 1 trem de 1 vagão;
2 trens de 2 vagões e
1 trem de 3 vagões
4- vinho 8 1 trem de 1 vagão;
3 trens de 2 vagões;
3 trens de 3 vagões e
1 trem de 4 vagões
5- amarelo 16 1 trem de 1 vagão;
4 trens de 2 vagões;
6 trens de 3 vagões;
4 trens de 4 vagões e
1 trem de 5 vagões
... ... ...
Com esses resultados, percebeu-se que o número de trens cresce segundo 
uma progressão geométrica cujo primeiro termo vale 1 e a razão é 2. Assim, 
seja an = a1q
n-1, em que a é o número de trens formados, n o número de 
unidades (marfi m) equivalentes à peça e q a razão 2, portanto, temos 
que an = 2
n-1. 
Percebemos também que de acordo com n são formados n tipos de trens, 
por exemplo: para a peça marfi m (n=1) existe 1 tipo de trem; para a peça 
vermelha (n=2) existem 2 tipos de trens (com 1 vagão e com 2 vagões); 
para a peça verde-clara (n=3) existem 3 tipos de trens (com 1 vagão, com 
2 vagões e com 3 vagões) e assim por diante. Note que para cada peça 
o número de vagões varia de 1 a n. Veja estes resultados (até a peça 5) 
na tabela a seguir.
Número de trens formados de acordo com o número de vagões
1 vagão 2 vagões 3 vagões 4 vagões 5 vagões
Peça 1 1
Peça 2 1 1
Peça 3 1 2 1
Peça 4 1 3 3 1
Peça 5 1 4 6 4 1
A
U
LA
 
11
 
C E D E R J 23
Da tabela anterior podemos concluir que:
– todas as linhas começam e terminam com o número 1;
– os demais elementos são a soma do elemento da linha acima (na mesma 
coluna) com o anterior (na coluna anterior e na linha acima).
Com essas observações, concluímos que esta estrutura obedece ao 
triângulo de Pascal.
Número de trens formados de acordo com o número de vagões
1 vagão 2 vagões 3 vagões 4 vagões 5 vagões
Peça 1 C0,0
Peça 2 C1,0 C1,1
Peça 3 C2,0 C2,1 C2,2
Peça 4 C3,0 C3,1 C3,2 C3,3
Peça 5 C4,0 C4,1 C4,2 C4,3 C4,4
Sabemos que Cp,k =
p!
k! p - k !( )
k p≤ Em que n é o número de 
unidades (marfi m) equivalen-
tes à peça e k é o número de 
vagões, note que k n≤ .
Para atender a estrutura da tabela, temos então:
C =
n -1 !
k -1 ! n -1- k -1
=
n -1 !
k -1 n - k !n-1,k-1
( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
Assim, sendo Cp-1, k-1 é a quantidade de trens com k vagões de uma determinada 
peça p e an é o número total de trens formados para a peça n.
Anotamos os seguintes dados em uma tabela:
Nº de peças Nº de trens Tipos de trens
1 1 1 t com 1 v 
2 2 1 t com 1 v 
1 t com 2 v 
3 4 1 t com 1 v 
2 t com 2 v 
1 t com 3 v 
4 8 1 t com 1 v 
3 t com 2 v
3 t com 3 v 
1 t com 4 v
5 16 1 t com 1 v
4 t com 2 v;
6 t com 3 v
4 t com 4 v
1 t com 5 v
Onde t = trem e
v = vagão.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J24
Chegamos às seguintes conclusões:
• para cada peça existe um número de trens tp correspondente, ou seja,
tp = 2
p-1. t1 , como t1 = 1 fi camos com tp = 2
p-1;
• concluímos que a seqüência de trens é uma PG (Progressão Geométrica) 
de razão 2 e o primeiro termo 1.
Construímos a seguinte tabela:
Tipo (com k vagões)
1 v 2 v 3 v 4 v 5 v
Quantidade
de trens
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Concluímos que a quantidade de trens correspondente à quantidade 
de vagões obedece à estrutura do triângulo de Pascal. Logo, podemos 
reescrever a tabela da seguinte maneira:
Tipo (com k vagões)
1 v 2 v 3 v 4 v 5 v
Quantidade
de trens
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0




















1
1
2
1
3
1
4
1
















2
2
3
2
4
2












3
3
4
3








4
4




Para a tabela que acabamos de montar, 
p
k
=
p!
k! p-k !





 ( )
Porém, p e K ∈ N* com K < p.
Portanto, para atender à estrutura da última tabela, temos de fazer:
A
U
LA
 
11
 
C E D E R J 25
p -1
k -1
=
p -1 !
k -1 ! p -1- k -1 !
=
p -1 !
k -1 ! p - k !






( )
( ) ( ) 
( )
( ) ( )
Ou seja, a quantidade de trens com k vagões de uma peça p ( tp,k) é dada por:
t
p -1
k -1p,k
=






Portanto, a primeira tabela pode ser reescrita da seguinte forma:
Nº de peças Nº de trens Tipos de trens
p tp=2
p-1
t
p -1
k -1p,k
=






Aluna Rita
Então, foi proposto o seguinte desafi o: quantos trenzinhos podemos 
formar a partir de uma determinada peça até chegarmos no de menor 
tamanho? Vejamos:
...Nº de peçasl Nº de trens Tipos de trens
b 1 1 t de 1 v 
v 2 1 t de 1 v e 1t de 2v
c 4 1 t de 1 v, 2t de 2v e 1t de 3v 
r 8 1 t de 1 v, 3t de 3v, 3t de 2v, 1t de 4v 
a 16 1 t de 1 v, 4t de 4v, 6t de 3v, 4t de 2v e 1t de 5v
... ............ ................................................................................
l 512 ................................................................................
Podemos observar que os tipos de trens formados descrevem o triângulo de 
Pascal e o número de trens formados por uma determinada peça equivale 
à soma das linhas do triângulo. Além disso, que o número de trens pode 
ser visto como uma PG de razão 2, vejamos: 
Termo Geral da PG: an = a1 q
(n-1).
Fica fácil perceber que a1=1 e a2=2, então, como q =
a
a
n
n-1
.
Substituindo a1 e a2 em q, temos q =
2
1
= 2 .
O Termo Geral pode ser substituído por: an = 1. 2
(n – 1).
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J26
Então, para a peça laranja temos a10 = 1. 2
(10 -1) = 1. 29 = 512.
A abordagem, segundo o triângulo de Pascal é uma forma de dispor os 
números binomiais formando um triângulo.
Lembrando que: 
n
p
=
n!
p! n - p !





 ( )
Vamos ao triângulo de Pascal:
b
0
0
v
1
0
1
1
c
2
0
2
1
2
2
r
3
0
→
→
→
→













































































→
3
1
3
2
3
3
a
4
0
4
1
4
2
4
33
4
4
l
10
0
10
1
10
2
10
10





























→






... ......................................
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
......................................
......................................
A última linha do triângulo de Pascal fi ca:
n
0
n
1
n
2
n
3
n
n






























Antes de continuar sua leitura, fi nalize, como professor, a análise das respostas 
anteriores. Contraste cada resposta com a sua. Converse com o tutor.
......
A
U
LA
 
11
 
C E D E R J 27
CONCLUSÃO
No trabalho com as réguas de Cuisenaire, os estudantes 
desenvolvem sua capacidade de generalizar, analisar, sintetizar, inferir, 
formular hipóteses, deduzir, refl etir e argumentar. O desenvolvimentodo pensamento combinatório é um aspecto presente nas atividades 
que gostaríamos de ressaltar. Não é objetivo do Ensino Fundamental 
o trabalho com o Binômio de Newton, porém os alunos poderão construir 
os trens e produzir generalizações pertinentes a esse nível de ensino.
R E S U M O
O pensamento combinatório se desenvolve num contexto de contagem. Neste, 
estão envolvidos diferentes processos: combinações, permutações, probabilidades, 
distribuição e organização de informações, estudo de eventos e freqüências etc. 
Além de realizar combinações e permutações manipulando as réguas de Cuisenaire, o 
aluno aprofunda aspectos conceituais relacionados à adição, subtração, multiplicação, 
divisão e fração, e outros elementos associados como o dobro de, a metade de uma 
quantidade etc. O uso do registro em suas diferentes formas (tabelas, quadros, 
ilustrações pictóricas etc.) é imprescindível para que o aluno possa analisar e revisar 
continuamente o seu aprendizado.
ATIVIDADE FINAL
Na Atividade 6, você analisou a resposta de três alunos do Ensino Médio. É possível 
que tenha construído um quadro com suas observações. Se não o fez, preencha 
o quadro seguinte considerando:
Aluno (a) Suas observações sobre registros feitos, conceitos presentes no 
desenvolvimento da descoberta, incorreções e conclusão ressaltada.
Paulo
Kíssila
Rita
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J28
AUTO-AVALIAÇÃO
Entender como trabalhar com as réguas de Cuisenaire e identifi car características 
do pensamento combinatório é essencial. Caso tenha tido difi culdades para analisar 
as respostas dos alunos Paulo, Kíssila e Rita volte, atentamente, às respostas de 
cada um e converse com o tutor. Preencher com compreensão o quadro anterior 
constitui uma importante estratégia auto-avaliativa de sua aprendizagem.
INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, estudaremos múltiplos e divisores. 
Vamos jogar sinuca?
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Discutir o ensino de múltiplos e divisores.
• Aplicar diferentes atividades para o ensino 
de múltiplos e divisores.
• Utilizar o método investigativo nas formulações 
das atividades.
Pré-requisitos 
Para o bom acompanhamento desta aula, é necessário que você 
retome alguns conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental 
e na disciplina Álgebra I. Como: múltiplos e divisores, números primos, 
regras de divisibilidade, algoritmo de Euclides e propriedades 
relacionadas ao MDC e MMC.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino 
de múltiplos e divisores.
12AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J30
No ensino tradicional, o trabalho com múltiplos e divisores é usualmente feito na 
5ª série do Ensino Fundamental. O enfoque dado ao assunto segue geralmente 
a seqüência: conceito de múltiplos e divisores, números primos, regras de 
divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC). 
Encontramos nos livros didáticos esses tópicos, mais ou menos nessa ordem, 
sempre com problemas ao fi m, cujo objetivo é a fi xação do que foi estudado. 
Nessa perspectiva, o ensino de MDC e MMC se resume a técnicas. Os conteúdos 
não são apresentados de forma problematizada. Além disso, ao longo 
do Ensino Fundamental e Médio, o MDC não é praticamente utilizado, e o MMC 
se limita à aplicação da técnica para reduzir frações ao mesmo denominador. 
Alguns professores questionam o ensino do MDC ou o justifi cam para que mais 
tarde, na 7ª série, possam ensinar MDC com expressões algébricas.
INTRODUÇÃO
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá, você encontrará diferentes 
animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
A INVESTIGAÇÃO 
MATEMÁTICA é uma 
metodologia atual que 
vem sendo difundida 
em Portugal, na 
Universidade de 
Lisboa. Atividades 
de investigação 
são atividades nas 
quais a ênfase é 
dada a processos 
matemáticos 
como a busca de 
regularidades, 
formulação, teste, 
justifi cativa e 
demonstração de 
conjecturas. 
Algumas das 
características de uma 
situação investigativa 
são a motivação 
e o desafi o, o que 
vem provocando 
nos alunos grande 
entusiasmo pela 
Matemática.
Pense no assunto
E você, o que acha? Que signifi cado que o estudo de MDC, MMC e regras 
de divisibilidade tiveram em sua formação? Com o assunto trabalhado 
novamente na disciplina Álgebra I, que mudanças ocorreram na formação 
desses conceitos?
Nesta aula, vamos apresentar o estudo de múltiplos e divisores com base na 
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 31
O MDC GEOMÉTRICO
Você deve conhecer alguns métodos para o cálculo do MDC. 
Nosso objetivo aqui é oferecer uma outra maneira de ensinar o 
MDC, com um enfoque geométrico.
Vamos descobrir o MDC entre 5 e 7 geometricamente. Para isso, 
considere um retângulo de dimensões 5x7, formado por 35 quadrados 
de área 1.
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
É um quadrado cuja medida do lado é 5, observe:
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 5x2. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J32
Repetimos a mesma pergunta, agora para o retângulo de 
dimensões 5x2. 
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
É um quadrado cuja medida do lado é 2.
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 3x2.
O maior quadrado que podemos formar nesse novo retângulo é 
novamente um quadrado de lado 2.
Enfi m, retirando mais uma vez o quadrado formado, encontramos 
um retângulo de dimensões 1x2. O maior quadrado que podemos formar 
nesse novo retângulo tem a medida do lado 1.
Quando retiramos esse último quadrado, temos na medida do 
lado do menor quadrado, o MDC entre 5 e 7.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 33
Assim, como você sabe, o MDC entre 5 e 7 é 1.
Podemos representar esse MDC em um mesmo retângulo, onde 
os quadrados “retirados” estão destacados. Veja:
A medida do lado do menor quadrado 
obtido no processo é o MDC entre 5 e 7.
Veja outro exemplo, em que o MDC não é 1. Vamos encontrar 
por esse processo o MDC entre 4 e 6, isto é, MDC (4, 6).
O maior quadrado formado no retângulo é um quadrado 
de lado 4.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J34
Considerando agora o retângulo 4x2 que “sobrou” quando 
“retiramos” o quadrado de lado 4, o maior quadrado que podemos 
retirar agora tem lado de medida 2.
Agora, na medida do lado do quadrado que “sobrou”, temos 
o MDC (4, 6).
A medida do lado do menor quadrado 
obtido é 2. Assim, o MDC (6, 4) = 2.
ATIVIDADES 
1. Você sabe que o MDC (12, 18) = 6. Faça o processo geometricamente 
e confi ra:
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 35
2. Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4) MDC (2,8) MDC (4,8)
MDC (2,6) MDC (3,6) MDC (5,15)
a. O que você observa na formação dos quadrados para o processo 
do MDC? Por que isso ocorre?
 COMENTÁRIO 
O cálculo do MDC nos casos apresentados é imediato, e você, com certeza, 
o fará de cabeça. O objetivo da atividade é que você analise as formas 
geométricas formadas no processo e relacione-as com o MDC.
Atividades como essas podem 
ser desenvolvidas com alunos
para que percebam propri-
edades do cálculo do MDC, 
como a propriedade:
Sendo m, n dois números 
inteiros não-nulos, se m divide 
n, então, MDC (m, n) = m. 
Uma outra exploração de 
propriedade é com o cálculo 
do MDC (m, 1) no qual m é um 
número inteiro não-nulo. 
!
O Algoritmo de Euclides, que você estudou na Aula 5 do curso de 
Álgebra I, é um dos métodos de cálculo do MDC entre dois números inteiros 
positivos. Caso você não se lembre, volte à aula e dê uma olhadinha.
No caso, no cálculo do MDC entre 5 e 7, temos, pelo Algoritmo 
de Euclides:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J36
7 =1 x 5 + 2
5 = 2 x 2 + 1
2 = 2 x 1 + 0
O Algoritmo de Euclides possui um dispositivo prático conhecido 
como jogo da velha, em que efetuamos diretamente as divisões sucessivas.
quocientes 1 2 2
 7 5 2 1
restos 2 1 0
Muitos autores utilizam a disposição dos restos colocando-os a partir do 
primeiro número a ser dividido, no nosso exemplo, o 7. O processo é o mesmo, 
apenas o tipo de visualização dos “novos” divisores é modifi cado.
 1 2 2
 7 5 2 1
 2 1 0
!
Será que há alguma relação entre o Algoritmo de Euclides e o 
MDC geométrico? Observe:
7= 1 x 5 + 2
Retângulo de dimensão 7x5
Retângulo de dimensão 5x2
5= 2 x 2 + 1
2= 2 x 1 + 0
Retângulo de dimensão 2x1
Do lado de medida 7, 
retiramos 5 unidades 
e sobraram 2 unidades. 
Do lado de medida 5, 
retiramos 2 unidades 2 vezes 
e sobrou 1 unidade.
Do lado de medida 2, 
retiramos 2 vezes 1 unidade 
e não sobrou nada.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 37
O MMC GEOMÉTRICO
Da mesma maneira que fi zemos com o MDC, faremos com o MMC. 
Nosso objetivo, nesta aula, não é discutir os métodos que você conhece, 
mas apresentar uma outra maneira de apresentar esse conteúdo.
Para encontrar geometricamente o MMC entre dois números 
positivos, considere novamente o retângulo cujas dimensões são os 
números em questão.
Vamos calcular o MMC entre 4 e 6. Para isso, considere um 
retângulo 4x6 subdividido em quadrados cuja medida do lado é 1.
D C
A B
Pense nesse retângulo como uma mesa de sinuca, não como 
uma qualquer, mas como uma sinuca matemática, claro. Nessa 
sinuca matemática, os vértices (A, B, C e D) são as quatro caçapas 
da mesa. A “bola” se move sempre da mesma forma. Ela sai de uma 
das caçapas e se “movimenta” pela diagonal dos quadradinhos indicados 
no retângulo. Veja:
A B
D C
Saída da bola
A B
D C
Percurso
da bola
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J38
Quando essa bola chega a um dos lados dessa sinuca matemática, 
ela faz uma rotação “perfeita”, dá um giro de 900 no sentido anti-horário 
e continua seu caminho com a mesma regra.
O fato de a rotação ser no sentido anti-horário depende do vértice de onde 
sai a bola, mas a idéia é que a rotação seja feita de forma que a bola sempre 
continue no retângulo (na sinuca). 
!
Então, a bolinha roda 90º no sentido anti-horário, continua seu 
caminho e ops! Esbarra em outro lado da mesa de sinuca.
D C
A B
Novamente, a bola roda 90º no sentido anti-horário e continua. 
Esbarra mais uma vez no lado da sinuca, faz uma rotação de 90º no 
sentido anti-horário e...
D C
A B
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 39
Encontra a caçapa indicada pelo vértice D. Fim de jogo!
Quantos quadradinhos a bolinha percorreu saindo da caçapa 
indicada pelo vértice A até chegar à caçapa indicada pelo vértice D?
– Até encontrar a parte superior da mesa, ela percorreu 4 
quadradinhos.
– Andou por mais 2 quadradinhos e encontrou a lateral direita 
da mesa.
– Mais 2 quadradinhos e encontrou a parte inferior da mesa.
– Mais 4 quadradinhos e encontrou a caçapa indicada pelo vértice D.
Percorreu, então, um total de 4 + 2 + 2 + 4 = 12, que é o MMC 
entre 4 e 6.
O resultado do MMC geométrico independe do vértice escolhido para a 
“saída da bola”. 
!
Quer outro exemplo? Então vamos fazer o MMC entre 5 e 7. 
Para isso, partiremos de um retângulo de dimensões 5x7. 
A bola sai da caçapa indicada pelo vértice A.
D C
A B
Bate na parte superior, na lateral direita, na parte inferior e na 
lateral esquerda, mas ainda não encontra a caçapa.
D C
A B
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J40
Bate na parte superior, depois na inferior, na lateral direita, 
na parte superior, novamente na lateral esquerda, mas ainda não encontra 
a caçapa.
D C
A B
Por fi m, bate na parte inferior e cai na caçapa indicada pelo 
vértice C.
D C
A B
O MMC entre 5 e 7 será o número de quadradinhos que a bola 
passou. Mas, observe que a bola passou por todos os quadradinhos do 
retângulo. Assim, o MMC será a área desse retângulo, ou seja, 5x7 = 35.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 41
ATIVIDADES
3. Você sabe que o MMC (12, 18) = 36. Faça o processo geometricamente 
e confi ra:
D C
A B
a. Partindo do vértice A, em qual caçapa a bola cai?
4. Faça geometricamente cada MMC indicado.
a. Em cada caso, em qual caçapa a bola cairá? Observe relações entre 
números envolvidos no MMC e caçapa na qual a bola caiu. Registre suas 
conclusões.
A B
D C
MMC (2,4)
A B
D C
MMC (3,9)
A B
D C
MMC (2,6)
A B
D C
MMC (3,6)
A B
D C
MMC (5,15)
A B
D C
MMC (2,8)
A B
D C
MMC (1,8)
A B
D C
MMC (1,7)
A B
D C
MMC (4,8)
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J42
 COMENTÁRIO 
O objetivo da atividade não é o cálculo do MMC. Busque observar as formas 
geométricas criadas e relacioná-las com o MMC.
A exploração do MMC geométrico possibilita explorar a álgebra e a geometria 
em conjunto através das noções de área, diagonal, rotação e simetrias. 
Além da conjectura lançada no boxe explicativo, você pode formular outras, 
por exemplo, será que quando os números são primos entre si, como 
no exemplo do 5 e do 7, a caçapa sempre cai na caçapa correspondente 
ao vértice D?
Use seus conhecimentos do curso de Álgebra I para demonstrações formais 
de suas conjecturas.
!
Você reparou que tanto no exemplo feito no cálculo do MMC geométrico 
entre 4 e 6 quanto naquele entre 12 e 18 a bola caiu na caçapa D? Por que 
isso ocorreu?
A SINUCA DE SNOOKER E A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
A sinuca de SNOOKER traduz a idéia de interpretar o retângulo como 
uma mesa de sinuca. Além da exploração do MMC, outra observação 
interessante é o número de batidas da bola nas laterais da mesa até 
entrar na caçapa.
No retângulo de dimensão 4x6, se incluirmos os vértices A 
(a caçapa de onde sai a bola) e D (a caçapa onde entra a bola), quantas 
batidas a bola dará no total? Observe:
Visite a página da Confederação 
Brasileira de Bilhar e Sinuca (CBBS) 
na internet e conheça 
as regras da Sinuca 
SNOOKER.
http://www.sinuca.com.br/
sinuca/cbbs/conteudo/
Regras_Ofi cial.asp
Na página ilustrada 
a seguir http:
//www.sinuca.com.br/
sinuca/cbbs/conteudo/ 
você poderá conhecer as 
jogadas básicas.
A
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12
 
C E D E R J 43
D C
A B
São 3 batidas nas laterais, mais 2 nas caçapas, totalizando 5 batidas.
E no retângulo 5x7, quantas batidas são?
Por fi m, a bola bate na parte inferior e cai na caçapa indicada 
pelo vértice B.
D C
A B
São 10 batidas nas laterais mais 2 nas caçapas, totalizando 12 batidas.
Você conseguiu perceber a relação existente entre 4 e 6 e o 
total de batidas 5? E entre 5 e 7 e o total de batidas 12? Qual a regra? 
Essa generalização não é imediata.
Agora pare um pouco a leitura da aula e investigue.
Para ajudá-lo, sugerimos que você acesse o site http://illuminations.
nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28. Lá você encontra possibilidade
de modificar as dimensões do tabuleiro de sinuca. Nesse recurso, a conta-
gem do número de batidas é dado por Hits, o que acelerará sua investigação.
Na tela inicial aparecerá um retângulo de dimensão 3x5.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J44
Com o mouse na bolina de sinuca, você dispara a bola.
Na sinuca fi ca indicado Hit para cada batida e toda vez que a 
bola cai na caçapa. Na parte inferior da tela, há a contagem Hits: 8, 
isso signifi ca que o número de batidas é 8.
Figura 12.1: Tela inicial do jogo de sinuca.
Figura 12.2: Tela inicial do jogo de sinuca.
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12
 
C E D E R J 45
Para modifi car as dimensões da mesa, movimente os traços verticais Length 
e Width. Assim, você pode investigar todas as dimensões de mesa que quiser, 
atéo máximo de 21x21, com facilidade.
Observe que, analisando o percurso da bola, essa mesa permite explorar o 
MMC geométrico também.
!
Agora, jogue sinuca, formule sua conjectura, procure validar o 
que pensou, ou seja, investigue!
Já fez suas descobertas? Fez anotações? Então, vamos 
continuar!
Qual a diferença entre o que está sendo proposto a você 
agora e um problema mais “usual”? A maioria das atividades 
realizadas nas aulas de Matemática é focada em procedimentos 
e se apresenta de forma estruturada. Estas são necessárias, 
mas com uma metodologia concentrada apenas nesse tipo de 
atividade, não proporcionamos ao aluno desenvolver algumas 
atitudes importantes em relação à Matemática.
As atividades investigativas se contrapõem às tarefas 
procedimentais e estruturadas, sendo, portanto, mais “abertas”, 
favorecendo processos de descoberta e redescoberta, numa atmosfera 
de motivação e desafi o. Quanto mais experiência o aluno tem com 
atividades de investigação, mais aberta deve ser a proposta. Por exemplo, 
no problema do número de batidas da sinuca, poderíamos ter dado as 
regras e perguntar: o que você observa?
Para o desenvolvimento de uma atividade de investigação, devem estar 
aliadas as crenças do professor acerca da matemática e da educação. Essas 
idéias infl uenciam diretamente no processo de aprendizado do aluno e 
em suas concepções. É necessário que o ensino não seja embasado apenas 
em trabalhos estruturados e que o aluno tenha oportunidade de formular 
e validar questões.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J46
No desenvolvimento de uma atividade de investigação com alunos, 
é necessário que o professor redimensione seu papel, provocando outras 
questões. Tais intervenções são essenciais para a continuidade da tarefa.
Love (1998) afi rma que, nesse tipo de atividade, o aluno tem 
oportunidade de:
• identifi car e iniciar os seus próprios problemas;
• expressar as suas próprias idéias e desenvolvê-las ao resolver 
problemas;
• testar as suas idéias e hipóteses de acordo com experiências 
relevantes;
• defender racionalmente as suas idéias e conclusões e submeter as 
idéias dos outros à crítica ponderada.
Voltando ao problema proposto a você, vamos analisar o número 
de batidas de alguns casos nos quais os números são primos entre si, ou 
seja, quando o MDC entre os números é 1.
Dimensões da mesa Número de batidas
5x7 12
3x7 10
2x9 11
7x11 18
15x16 31
:
:
:
:
Analisando este caso, podemos CONJECTURAR que, quando os números 
são primos entre si, o número de batidas é a soma desses números.
Será que essa primeira sensação é verdadeira? Vamos analisar 
casos em que o MDC entre os números não seja 1.
CONJECTURAR
Emitir uma opinião 
sem fundamentos 
precisos.
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C E D E R J 47
Dimensões da mesa Número de batidas
4x6 5
10x20 3
9x12 7
14x21 5
15x18 11
:
:
:
:
Não, o número de batidas não é a soma dos números envolvidos. 
Mas existe uma relação com a soma.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das 
dimensões da mesa
4x6 5 10
10x20 3 30
9x12 7 21
14x21 5 35
15x18 11 33
:
:
:
:
:
:
Os números da segunda coluna estão relacionados com os números 
da terceira coluna através de uma divisão.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das 
dimensões da mesa
4x6
5 =
10
2
10
10x20
3 =
30
10
30
9x12
7 =
21
3
21
14x21
5 =
35
7
35
15x18
11 =
33
3
33
:
:
:
:
:
:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J48
E o divisor em questão é o MDC entre os números das dimensões 
da mesa.
Dessa forma, podemos expressar o número de batidas por: 
m + n
mdc (m,n)
.
No livro Investigações matemáticas na sala de aula, 
dos autores João Pedro da Ponte, Joana Brocado e Hélia 
Oliveira, da Editora Autêntica, você encontrará vários 
registros de alunos a respeito desse problema.
!
MÚLTIPLOS, DIVISORES, MMC E MDC
Vimos dois processos, um para o cálculo de MDC e outro para 
MMC. Estes dão possibilidades de várias explorações e conexões com 
a Matemática. Entretanto, é importante que o professor tenha em mente 
que o trabalho com múltiplos e divisores e posteriormente com MDC e 
MMC não pode estar restrito à repetição de procedimentos. Para isso, 
é necessário que os conceitos sejam trabalhados.
Estas são algumas crenças de alunos a respeito de múltiplos e 
divisores no Ensino Fundamental e Médio:
I. 2 ÷ 0 = 2.
II. 0 ÷ 5 = 5.
III. 0 ÷ 0 = 1.
IV. –6 não é múltiplo de 3 porque é negativo.
V. –5 não é divisível por 1 porque é negativo.
VI. O MMC é sempre positivo.
VII. O MDC é sempre positivo.
VIII. 1 é primo.
Essas crenças estão todas erradas?
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C E D E R J 49
O conceito de divisibilidade envolve dois números inteiros. 
Como você viu na Aula 5, da disciplina Álgebra I:
Dados dois inteiros m e n, dizemos que m divide n se existe um 
inteiro q tal que n = qm. Nesse caso, dizemos que m é divisor de n ou 
“n é múltiplo de m”.
Assim, o conceito de divisor de um número é válido para números 
positivos e negativos. Acontece que os números positivos são trabalhados 
primeiro, e quando os alunos trabalham com números negativos, esses 
conceitos não são retomados. Isso faz com que o aluno pense como nos 
itens IV e V, uma vez que nada foi falado a ele a esse respeito.
No caso das divisões, qual o resultado de 2 ÷ 0?
De acordo com a defi nição dada, se 0 fosse divisor de 2, existiria 
um número inteiro q tal que 2 = 0.q. Como todo número inteiro 
multiplicado por 0 é 0, 2 ÷ 0 não existe. Assim, a crença que 2 ÷ 0 = 2 
(I) está errada.
A propriedade 0.q = 0 para qualquer número inteiro q é uma propriedade de 
anéis. Preste atenção nesse fato no estudo da estrutura de anéis.
!
O caso em que 0 ÷ 5 = 5 (II) também não se justifi ca. De acordo 
com o que foi visto, se 5 divide 0, existe q tal que 0 = 5.q. O único número 
inteiro que satisfaz a igualdade é q = 0, assim, o resultado de 0 ÷ 5 = 0.
Vamos analisar agora a crença (III): 0 ÷ 0 = 1. Você observou que, 
de acordo com a defi nição feita na disciplina Álgebra I, não há restrição 
inicial ao fato de o divisor ser 0?
Se o divisor é 0, ou seja n = 0, m também deverá ser 0. Nesse caso, 
o valor de q na expressão 0 = q.0 não será único. Como uma operação 
matemática tem resultado único, costuma-se excluir o caso em que o 
divisor é 0. Assim, assumimos que o divisor é n (n ≠ 0). Por isso, dizemos 
que 0 ÷ 0 não existe (III).
O trabalho de MDC e MMC com alunos de Ensino Fundamental 
é muito focado nas técnicas. Cabe lembrar que o MDC e o MMC são 
sempre positivos. Revise essas defi nições nas Aulas 5 e 6 da disciplina 
Álgebra I. Assim, as crenças (VI) e (VII) estão corretas.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J50
Para relembrar, o conjunto dos divisores positivos de um número 
é um conjunto finito. Quando falamos de MDC entre dois 
números, estamos nos remetendo ao MAIOR número que divide os dois 
números ao mesmo tempo.
Por exemplo, o MDC (6, 8) é o maior número positivo que divide 
6 e 8 ao mesmo tempo. Os divisores positivos do 6 são 1, 2, 3 e 6, 
e os divisores do 8 são 1, 2, 4, e 8. O maior número positivo que é divisor 
de 6 e 8 ao mesmo tempo é o 2. Assim, MDC (6, 8) = 2.
Como falamos antes, muitos professores são contra o estudo do MDC, 
pois afi rmam que o assunto não tem utilização nem no Ensino Fundamental, 
nem no Médio. Dizem, ainda, que os problemas que envolvem o MDC são 
artifi ciais, o que, na maioria dos casos, é verdade. Outros defendem que 
o MDC é importante no estudo das relações entre números e que o Algoritmo 
de Euclides deve ser estudado. As duas idéias devem ser respeitadas e 
questionadas por você, futuro professor de matemática.
!
No estudo do MDC, as idéias de encontrar divisores comuns e 
de que o MDC deve ser o maior deles não devem ser descartadas, e o 
ensino do tema não pode ser restritoao procedimento, seja por fatoração, 
pelo Algoritmo de Euclides ou pelo método geométrico.
O mesmo deve ocorrer com o estudo do MMC. O conjunto dos 
múltiplos de um número inteiro é um conjunto infi nito. Quando falamos 
do MMC entre dois números inteiros positivos, nos remetemos à idéia do 
MENOR número possível que ao mesmo tempo é múltiplo desses dois 
números envolvidos.
Por exemplo, o MMC (6, 8).
M6 = {0, ± 6, ± 12, ± 18, ± 24, ± 30, ± 36, ± 42, ± 48, ± 54, ...}
M8 = {0, ± 8, ± 16, ± 24, ± 32, ± 40, ± 48, ± 56, ...} 
Os múltiplos comuns a 6 e a 8 são 0, ± 24, ± 48, ...
M6 ∩ M8 = {0, ± 24, ± 48, ...}.
Assim, o MMC (6, 8) é o menor número positivo desse conjunto, 
ou seja, 24.
Agora, só falta analisar a afi rmação VIII. Para isso, vamos recordar 
o que é um número primo. Um número é dito primo quando tem 
exatamente dois divisores diferentes. Caso tenha mais de dois divisores 
diferentes, é chamado composto. De acordo com o que foi dito, o número 
1 não é primo, tampouco composto.
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12
 
C E D E R J 51
ATIVIDADES 
5. Observe a situação-problema:
A Confederação Internacional dos Jogadores de Bolinhas de Gude realiza 
um torneio a cada cinco anos. O primeiro ocorreu em 1987, o segundo, 
em 1992 e assim por diante.
a. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5?
b. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5 somados com 3?
c. Se o campeonato continuar a ser realizado a cada cinco anos, haverá 
torneiro em 2068?
d. Além dos múltiplos de 5, o que está sendo abordado no problema?
6. Considere o problema a seguir.
a. Se um número inteiro é múltiplo de 3, o mesmo acontece com o seu 
quadrado? E com a sua décima potência?
b. Escreva uma forma de explorar esse problema com alunos de 5ª ou 6ª série.
c. Escreva agora uma forma de explorar o problema, com alunos de 7ª 
ou 8ª série.
 COMENTÁRIO 
Um modo de você pensar na diferença da exploração possível em cada 
item é ter em mente que, com alunos de 5ª ou 6ª série, devemos buscar 
generalizações, mas a manipulação dos símbolos algébricos ainda não é o 
foco principal, ao passo que, com alunos de 7ª ou 8ª série, o professor deve ter 
dentre seus objetivos exatamente a manipulação de símbolos algébricos.
O trabalho com múltiplos 
não deve ficar restrito à 
exploração imediata do con-
ceito e às regras de divisi-
bilidade. Algumas situ-
ações-problema que explo-
ram seqüências de múltiplos 
somados com um número, ou 
seja, seqüências de números 
que deixam o mesmo resto 
na divisão por um número 
inteiro não-nulo, no caso 3, 
devem ser trabalhadas com 
alunos. 
!
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J52
7. Considere os problemas a seguir.
Em uma estrada de 360km, de um lado há postes de 12 em 12 quilômetros 
a partir do quilômetro zero e do outro há árvores de 18 em 18 quilômetros, 
também a partir do quilômetro zero.
a. De quantos em quantos quilômetros haverá um poste de frente para 
uma árvore?
Tenho 18 livros de Matemática e 12 livros de Português. Quero arrumar 
esses livros em prateleiras só com livros de Matemática ou só com livros 
de Português, de maneira que, em cada prateleira, eu tenha o maior 
número possível de livros.
b. Quantos livros colocarei em cada prateleira?
c. Quantas prateleiras usarei? 
d. Esses problemas são usualmente apresentados em livros como 
problemas envolvendo MDC e problemas envolvendo MDC. Você acha 
necessário o estudo do MDC e do MMC para resolver esses problemas? 
Você acha interessante trabalhar esses problemas com alunos? Registre 
suas observações e discuta com seu tutor.
Ser professor exige um olhar atento sobre o que é trabalhado e a maneira 
como esse trabalho é feito. Procure sempre refl etir sobre o que você está 
ensinando! 
!
A
U
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12
 
C E D E R J 53
COMPREENDENDO REGRAS DE DIVISIBILIDADE
O que são regras de divisibilidade? O número 12.345.678 é 
divisível por 2? O número 789.567 é divisível por 5? E o número 
345.687.390 é divisível por 10? Você rapidamente deve ter respondido 
que 12.345.678 é divisível por 2, que 789.567 não é divisível por 5 
e que 345.687.390 é divisível por 10 sem ter feito nenhum cálculo. 
Você provavelmente pensou que 2.345.678 é par, que 789.567 não termina 
em 0, nem em 5, e que 345.687.390 termina em 0. Por meio das chamadas 
regras de divisibilidade, podemos saber se um número é divisível ou não 
por outro sem efetuar a divisão entre respectivos números.
As regras de divisibilidade são geralmente dadas aos alunos sem 
que haja uma exploração dos porquês. As regras de divisibilidade mais 
úteis aos alunos são as de 2, 3, 5, 6, 9 e 10.
As regras de divisibilidade dos números 2, 5 e 10 são facilmente 
percebidas pelos alunos por meio da análise dos padrões formados pelos 
respectivos múltiplos, representados em uma tabela.
A regra do 6, após o aluno saber as regras de divisibilidade por 2 
e por 3, pode ser facilmente percebida também, pois 6 = 3x2, e a regra 
de divisibilidade por 6 envolve uma conjunção, ou simultaneidade, 
já que o número pode ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
As regras de divisibilidade por 3 e por 9 são mais artifi ciais se 
forem apenas dadas sem justifi cativa. Vale lembrar que:
Se um número é divisível por 3, então a soma de seus algarismos 
é divisível por 3, e, se um número é divisível por 9, então a soma dos 
seus algarismos é divisível por 9.
A difi culdade de justifi car algebricamente essa regra está na 
generalização da escrita do número na base 10, pois, nesse caso, teríamos de 
supor um número de n algarismos, e a escrita fi ca difícil para alunos 
de 5ª ou 6ª séries.
Podemos, então, justifi car essas regras aos alunos supondo um 
número de três ou quatro algarismos. Por exemplo, para saber qual a 
condição necessária para que um número seja divisível por 3, supondo 
um número de quatro dígitos (ABCD), vamos recorrer à sua escrita no 
sistema de numeração decimal.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J54
A escrita de (ABCD) entre parênteses foi utilizada para reforçar que A, B, C e D 
são algarismos e diferenciá-la da escrita de multiplicação de quatro números.
(ABCD) = 1000A + 100B + 10 C + D
Mas,
1000A = 999A + A
100B = 99B + B
10C = 9C + C
Assim, (ABCD) = 999A + A + 99B + B + 9C + C + D.
Reorganizando as parcelas, temos:
(ABCD) = 999A + 99B + 9C + A + B + C + D.
Como 999A + 99B + 9C é divisível por 3, se A + B + C + D também for, 
o número (ABCD) também será. A regra da divisibilidade por 9 pode ser 
justifi cada da mesma maneira.
Se houver difi culdade dos alunos em relação à regra com “letras”, 
o professor pode trabalhar o raciocínio com exemplos, explorando o que 
ocorre de diferente com a soma dos algarismos, os números, no caso de 
serem ou não divisíveis por 3 ou por 9.
ATIVIDADE 
8. Um número natural formado por três algarismos iguais é sempre múltiplo 
de 37? Por quê?
 COMENTÁRIO 
Você pode realizar divisões por números ou pensar dedutivamente, 
orientando-se pelo boxe explicativo anterior.
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C E D E R J 55
ATIVIDADE FINAL
Crivo de Eratóstenes
Na tabela, risque o número 2 e todos os seus múltiplos com lápis de uma 
determinada cor.
Depois, risque o 3 e todos os seus múltiplos com lápis de outra cor.
E assim, sucessivamente, para o 4, o 5, o 6, o 7 até o 99.
a. Que números têm apenas um risco? O que eles têm em comum?
b. Observe a cor com que você riscou o número 6 e seus múltiplos e a que você 
utilizou para riscar o número 8 e seus múltiplos. Que números têm riscos nestas duas 
cores ao mesmo tempo? Com base em sua resposta, qual é o MMC entre 6 e 8?
c. Observe os riscos que você fez nos múltiplos de 2 e nos múltiplos de 4. Existem 
números que têm o risco da cor do 2 e não têm da cor do 4? Existem números que 
têm riscos na cor do 4 e não têm na cor do 2? O que você pode concluir?
d. O número 1 não foi pintado. O que isso signifi ca?
1 2 3 4 5 6 7 89 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J56
 COMENTÁRIO 
Esta atividade é um exemplo para ser aplicado com alunos no trabalho com 
múltiplos e divisores e com números primos. Não deve haver difi culdades 
em fazê-la, o importante é que você refl ita sobre o que lhe está sendo pedido 
nos itens e em como a atividade favorece a concretização de algumas 
propriedades. A mesma atividade pode ser utilizada para reconhecer os 
divisores de um número. 
CONCLUSÃO
Quando falamos das atividades investigativas, vale destacar um 
importante aspecto do ensino da Matemática: aliar uma metodologia 
consistente ao conhecimento do professor.
A divisão por zero, por exemplo, deve ser analisada pelo professor 
por meio de suas próprias difi culdades e da maneira como as esclareceu. 
Isso pode gerar excelentes contextos para o trabalho de sala de aula.
Além das atividades de investigação, para o trabalho com 
múltiplos e divisores, o professor dispõe de excelentes problemas 
e jogos. Muitos estão presentes nos livros didáticos e outros podem ser 
criados pelo próprio professor.
R E S U M O
A exploração do MDC e do MMC geométricos são exemplos de processos para 
o cálculo dos mesmos que podem ser usados em sala de aula. Os dois consideram 
inicialmente um retângulo onde os quadrados de 1 unidade de área estão 
destacados, formando uma malha.
No processo do MDC, a idéia é a retirada dos maiores quadrados formados. 
Nesse processo, a medida do lado do menor quadrado é o MDC entre os números 
que são as medidas dos lados do retângulo inicial. No MMC, trabalhamos com 
a idéia de mesa de sinuca. A “bola” parte de um dos vértices e faz “tabelas” até 
chegar a outro vértice. O número de quadradinhos que percorreu é o MMC entre 
os números que compõem as dimensões do retângulo.
Na sinuca de Snooker, além de manipular novamente o MMC geométrico usando 
a internet, exploramos o “número de batidas”. Encontramos uma relação entre os 
números da medida dos lados do retângulo e o MDC.
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C E D E R J 57
AUTO-AVALIAÇÃO
Os MDC e MMC geométricos foram duas maneiras apresentadas para abordar os 
processos de cálculo dos mesmos, em que exploramos algumas regularidades 
também. Verifique se você atingiu essa perspectiva nas Atividades 2 e 4. 
Na sinuca de Snooker, você utilizou a tecnologia no ensino da matemática, 
não como uma atividade à parte, mas inserida em um processo de investigação 
que foi exposto a você no decorrer do tópico. Questionamos, também, aspectos 
do ensino de múltiplos e divisores, regras de divisibilidade focalizando 
as dificuldades encontradas por alunos nesse estudo. Na Atividade Final, 
além de identifi car esses aspectos, uma boa avaliação é pensar em outras questões 
que esse contexto permite explorar.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula prepare-se para jogar com números.
Algumas questões sobre o ensino de múltiplos e divisores foram enfatizadas, 
como a divisão por zero e as restrições dadas aos cálculos do MDC e do MMC. 
Os critérios de divisibilidade foram resgatados onde exploramos, em particular, 
as justifi cativas dos critérios da divisibilidade por 3, em que a soma dos algarismos 
do número deve ser divisível por 3 e por 9, e em que a soma dos algarismos do 
número deve ser divisível por 9.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J58
RESPOSTAS
Atividade 1
Menor quadrado formado tem 
medida do lado 6
Atividade 2
Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4)=2 MDC (2,8)=2 MDC (4,8)=4
MDC (2,6)=2 MDC (3,6)=3 MDC (5,15)=5
a. Em cada um dos casos do processo do MDC geométrico, todos os quadrados (tanto 
os “retirados” quanto o último) são congruentes. Isso ocorre porque os números 
envolvidos no MDC são múltiplos. Quando pensamos no maior quadrado possível, 
a medida do lado desse quadrado será o menor número envolvido no processo.
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C E D E R J 59
Atividade 3
A B
D C
a. A bola cai na caçapa D, percorrendo um total de 36 quadradinhos.
Atividade 4
A B
D C
MMC (2,4)=4
A B
D C
MMC (3,9)=9 A B
D C
MMC (4,8)=8
A B
D C
MMC (1,8)=8
A B
D C
MMC (3,6)=6 A B
D C
MMC (5,15)=15
A B
D C
MMC (2,6)=6
A B
D C
MMC (2,8)=8
A B
D C
MMC (1,7)=7
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J60
a. Observe que, em alguns casos, a bola cai na caçapa C e, em outros, na B, 
mas em todos os casos os números envolvidos são múltiplos. No MMC entre 3 e 9, 2 e 6, 5 
e 15 e 1 e 7, a bola caiu na caçapa indicada pelo vértice C. Já no MMC entre 2 e 4, 4 e 
8, 3 e 6, 2 e 8 e 1 e 8, a bola cai na caçapa indicada pelo vértice B. Uma possibilidade 
de generalização é a seguinte:
Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m divide n. Se m ÷ n é ímpar, 
então a bola cai na caçapa indicada pelo vértice C, entretanto, se m ÷ n é par, a bola 
cai na caçapa indicada pelo vértice B.
Busque justifi car seu argumento.
Atividade 5
A resposta encontra-se no boxe de atenção.
Atividade 6
a. Esta questão não tem resposta fechada. Muitas questões devem ser levadas em 
consideração pelo professor quando aborda uma situação-problema com alunos. 
Veja, a seguir, uma forma de abordá-la, mas procure pensar em outras e discuta 
com seu tutor.
b. Uma possibilidade de manipulação é usar uma tabela, onde exploramos as 
potências dos números múltiplos de 3, em alguns casos concretos, trabalhando com 
a escrita de múltiplos de 3 em forma de produto e com a propriedade de potenciação 
(a.b)n = an.bn. Através da investigação, o aluno pode buscar uma argumentação.
Número divisível por 3 Elevado à 2ª potência Elevado à 3ª potência ... Elevado à 10ª potência
0=0x3 (0x3)2 = 02.32 (0x3)3 = 03.33 ... (0x3)10 = 010.310 
3=1x3 (1x3)2 = 12.32 (1x3)3 = 13.33 ... (1x3)10 = 110.310
6=2x3 (2x3)2 = 22.32 (2x3)3 = 23.33 ... (2x3)10 = 210.310
9=3x3 (3x3)2 = 32.32 (3x3)3 = 33.33 ... (3x3)10 = 310.310
12=4x3 (4x3)2 = 42.32 (4x3)3 = 43.33 ... (4x3)10 = 410.310
15=5x3 (5x3)2 = 52.32 (5x3)3 = 53.33 ... (5x3)10 = 510.310
18=6x3 (6x3)2 = 62.32 (6x3)3 = 63.33 ... (6x3)10 = 610.310
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33=11x3 (11x3)2 = 112.32 (11x3)3 = 113.33 ... (11x3)10 = 1110.310
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C E D E R J 61
A partir da análise da tabela, o aluno pode concluir que sempre haverá pelo 
menos um fator 3 na escrita do número em forma de potência, logo, nos dois 
casos, elevando-se um número ao quadrado ou à décima potência, o número será 
divisível por 3.
c. A partir da 7ª série, o professor pode desenvolver com seus alunos raciocínios como 
o apresentado na tabela, a diferença pode ser apenas no tipo de argumentação 
dos alunos. Pode-se buscar argumentações que considerem a escrita algébrica. 
Por exemplo: se um número n é divisível por 3, podemos escrevê-lo como n = 
3m. Neste caso, n2 = 32m2 apresenta um fator 3 na expressão (precisamente dois 
fatores 3), sendo assim, divisível por 3. A décima potência também apresenta um 
fator 3 na expressão (precisamente dez fatores 3), sendo também divisível por 3. 
Observe: n10 = 310m10.
Atividade 8
Sim, todos os números naturais de três algarismos iguais são múltiplos de 37. 
Para justifi car, você pode efetuar a divisão por 37 dos números 111, 222, 333, 444, 
555, 666, 777, 888 e 999, ou pode optar por um raciocínio dedutivo.
Nesse caso, podemos escrever um número da forma AAA como 100A + 10A + A, 
mas 100A = 37A + 37A + 26A, assim, o número (AAA) = 37A + 37A + 26A + 10A 
+A = 37A + 37A + 37A = 3x37A. Logo, o número (AAA) é divisível por 37. 
Atividade Final
a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,67, 71, 73, 79, 
83, 89, 93, 97. Todos possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo, ou seja, são 
números primos.
b. 24, 48, 72 e 96. É o 24.
c. Sim, o 6 por exemplo. Não. Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2, mas nem todo 
múltiplo de 2 é múltiplo de 4.
d. Ele não é primo nem composto.
Jogos com números
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Utilizar jogos com números em sala de aula.
• Diferenciar os tipos de jogos.
• Produzir novos jogos a partir das sugestões aqui apresentadas.
Pré-requisitos 
 Para acompanhar esta aula, você deve conhecer os números 
reais e as operações básicas. Além disso, você deve estar 
com um espírito questionador, investigativo e curioso. 
Estas são características importantes em um professor de Matemática.
ob
jet
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Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino de jogos.
13AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J64
Esta aula inaugura a primeira das três Aulas (13, 21 e 23) que teremos 
especifi camente sobre o uso de jogos no ensino de Matemática dos Ensinos 
Fundamental e Médio. Além disso, você encontrará sugestões de outras atividades 
lúdicas em outras aulas no seu laboratório de Álgebra e Aritmética. 
Desde tempos remotos, o jogo tem sido usado pela humanidade para divertir, 
desafi ar, elaborar estratégias. No caso do uso didático dos jogos, o professor 
precisa aguçar sua sensibilidade para saber o melhor momento e a forma como 
deve utilizá-los.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de 5ª a 8ª série apontam o uso de jogos 
como um dos modos de fazer matemática em sala de aula.
Nesta aula, exploraremos, além de jogos com números, também os desafi os 
numéricos. A maioria desses jogos explora números e operações, em particular os 
números naturais. Apresentaremos algumas versões envolvendo números reais. 
O professor, todavia, poderá produzir variações desses jogos com números 
reais. Os jogos podem ser em grupo ou individuais. Os jogos individuais 
desenvolvem a concentração dos alunos, ao passo que os jogos em grupo 
levam o aluno a descentralizar, prever ou antecipar ações, levantar hipóteses, 
lidar com critérios e construir esquemas.
Um outro aspecto relevante no uso de jogos em sala de aula é que o professor 
deve deixar um tempo para o que chamamos jogo livre. Além disso, um passo 
importante é o registro do jogo; isso ajuda o aluno a se afastar do “concreto”, 
utilizando progressivamente a linguagem e o raciocínio.
INTRODUÇÃO
Ao apresentar um material pedagógico ou jogo para o aluno, 
é sempre interessante deixar que ele mexa no material, faça o 
que achar interessante. Brinque sem nenhum compromisso di-
dático. Chamamos este momento de jogo livre. Quando isso não é 
feito, e o professor expõe a atividade direcionada no momento inicial, 
percebe-se que os alunos usam um tempo para essa familiarização, 
deixando de se concentrar na atividade solicitada, o que pode causar 
um desgaste inicial e decepção por parte do professor, acreditando 
que a proposta não seja interessante. 
Fique atento, pois existem jogos para diferentes fi nalidades, ou seja, há aqueles 
que constroem conceitos, outros servem para o aluno se familiarizar com a 
nomenclatura e os termos matemáticos e, por último, há jogos que exploram 
a fi xação e reprodução do conteúdo.
Veja, a seguir, um mapa conceitual que resume as principais idéias sobre o 
uso de jogos.
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Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J66
DESAFIOS NUMÉRICOS
Os desafi os são apropriados para qualquer série. Como envolvem 
números naturais, são bastante oportunos ao serem usados no 3º ciclo 
(5ª e 6ª séries). Temos certeza de que você vai gostar de resolvê-los! 
ATIVIDADES 
1. TRINTA
Expresse o número 30, usando três algarismos iguais.
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
COMENTÁRIO
Utilize, além dos três números iguais, operações matemáticas.
2. O CERTINHO
Um número é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Se a esse número 
acrescentarmos 18, obteremos outro número formado pelos mesmos 
algarismos, mas invertidos. Qual é o número inicial?
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
COMENTÁRIO
Um caminho é procurar encontrar a solução por tentativa e erro. Para chegar 
mais rápido à resposta é importante registrar e analisar as tentativas.
3. A MULTIPLICAÇÃO
Você sabe que fi guras iguais correspondem a algarismos iguais. Substitua as 
fi guras por algarismos.
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C E D E R J 67
COMENTÁRIO
Não deixe de registrar suas tentativas; lembre-se de que só podemos ter 
algarismos nos lugares dos símbolos, (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9). Este é um 
desafi o que envolve números, operações e pensamento algébrico.
Os desafi os propostos nas Atividades 1, 2, 3 e 4 foram retirados do 
livro Jogos matemáticos, das professoras Tânia Rocha e Heloísa Borges, 
da Editora Brasil. Nesse livro, você poderá encontrar outros desafi os 
interessantes para fazer com seus alunos.
JOGO DA MEMÓRIA
Este jogo é de confecção simples e apropriado para fi xar conteúdos 
e conceitos previamente trabalhados. A quantidade de peças fi ca a critério 
do professor. Não deve ter uma quantidade muito pequena de peças, 
pois isso pode tornar o jogo rápido demais e desinteressante. Porém, 
não deve ter uma quantidade excessiva de peças, a ponto de torná-lo 
cansativo e difícil. É importante adequar esses fatores às habilidades dos 
alunos envolvidos. O número médio de peças para compor um jogo da 
memória deve estar entre 20 e 30. Tradicionalmente, trabalha-se com 
um número par de peças, por ser o objetivo encontrar pares iguais. Na 
utilização como jogo didático, é interessante que as peças trabalhem 
com “objetos” que estejam de alguma forma relacionados ou sejam 
equivalentes. Uma possível variação do jogo é trabalhar com trios de 
peças equivalentes.
4. QUATRO QUATROS
Usando quatro algarismos 4, escreva todos os números de 0 a 10.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
!
COMENTÁRIO
Mais uma vez, além dos algarismos 4, você deve utilizar as operações. 
Há mais de uma resposta para cada número. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J68
ATIVIDADE 
A seguir, apresentamos um exemplo de jogo da memória que 
apresenta a tabuada de 8 relacionada com outras operações. 
Você encontrará as peças no Módulo Prático, e deverá recortá-las 
e colar num papel de maior resistência (cartolina, papel-cartão, papelão 
ou E.V.A), para tornar mais fácil a manipulação. As peças devem ser 
arrumadas com a parte escrita virada para baixo. Cada jogador (2 ou 3), 
quando começar a jogar, deverá virar 3 peças e, se as três possuírem o 
mesmo valor, ele retirará as três peçaspara ele. O jogo continua assim, até 
acabarem todas as peças. Ganha quem retirar o maior número de peças. 
5. Idealize e confeccione um jogo da memória com 20 ou mais peças, 
utilizando os números e operações.
COMENTÁRIO
Utilize sua criatividade para criar seu próprio jogo da memória. Lembre-se 
de que, para combinar duplas, você terá de ter um número par de peças 
e, para combinar trios, você deverá ter uma quantidade que seja um 
número múltiplo de 3. 
A tabuada é considerada
por alguns como uma forma
tradicional de ensinar as
operações. Acreditamos que
devemos explorar diferentes
formas de memorização, sem
abrir mão do signifi cado.
!
0 x 8 = 1 x 8 = 2 x 8 = 3 x 8 = 4 x 8 = 5 x 8 = 6 x 8 = 
7 x 8 = 9 x 8 = 10 x 8 = 0 8 16 24
80726456484032
0 x 6 = 2 x 4 = 2x2x2x2 4 x 6 = 25 = 4 x 10 = 4 x 12 =
8 x 7 = 4 x 18 = 20 x 4 = 8 x 8 = 4 x 16 =
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C E D E R J 69
DOMINÓS
Os dominós são, em geral, conhecidos pelos alunos. Sua estrutura 
original envolve números que, no caso, são quantidades de círculos, 
coloridos ou brancos, que variam de 0 a 6. A estrutura de cada peça é 
constituída por duas quantidades, que podem ser iguais ou distintas.
Se você conhece o dominó tradicional, deve estar pensando: 
“Mas que maneira complexa de descrever um ‘simples’ dominó!”. Não 
se preocupe, pois como vamos utilizar as características do dominó 
tradicional para construir outros dominós didáticos, precisamos conhecer 
sua estrutura. 
O total de peças de um dominó é 28, embora as quantidades de 
círculos sejam apenas sete (0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6). Você já parou para pensar 
como essas quantidades se combinam nas peças? São essas combinações 
que dão alternativas às jogadas, ou seja, elas aumentam o leque de 
possibilidades de continuidade e fechamento do jogo.
Agora veja uma possível arrumação para as peças do dominó.
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J70
Quando vamos idealizar um dominó e confeccioná-lo para uso 
didático, podemos escolher a estrutura do dominó tradicional. Nesse 
caso, os elementos distintos escolhidos se restringem a sete. No dominó 
que apresentamos a seguir, adotamos essa estrutura, porém variamos a 
representação para os números de 0 a 6. Em cada coluna estão registradas 
algumas possíveis representações para estes números.
0 1 2 3 4 5 6
5 – 5 30 5 – 3 9 : 3 31 + 1 10:2 42 – 10
0.8 9/9 1 + 1 90 – 87 41 32 – 4 25 – 19
34.0 11:11 100 – 98 36:12 (12 – 2) : 2 32 – 3
50 1.1 21 18/6 22 7 + 2 – 4
0 + 0 1 : 1 30 : 15 21 + 1 90 : 22, 5 25 3 + 1 + 2
0 : 3 1000 – 999 78/39 68/17 30/6 30/5
3 + 2 – 5 675/675 (1 + 1) . 1 32/3 23/2 55/54 2.2 + 2
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
5–5 30 1+15–3 9:3 419 22 7+2–4 (12–2)
:2
32–3
0.8 2 9/9 90–87 100–98 31+1 18:6 32–4 25–19
34.0 3 11:1 48:12 21 10:2 36:1 42–6
0 4 1.1 30/6 30:15 3+1+2
0 3 1.1 30/5
0 6
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ATIVIDADE 
Como você pode observar, esse dominó tem igualdade única de 
resultados para a maioria das situações. Se o dominó deste tipo tiver 
poucas peças, os alunos rapidamente memorizarão as respostas e, de 
acordo com as peças recebidas, o vencedor estará, de certa forma, 
predeterminado. Nesse sentido, o aluno não terá como recorrer a 
estratégias para vencer o jogo. Algumas vezes, os alunos se unem e, em 
vez de jogarem, procuram, em conjunto, montar a seqüência como se 
fosse um quebra-cabeças.
6. Idealize um dominó com a estrutura que achar mais conveniente. Confi ra 
se as operações propostas estão corretas e confeccione com cartolina o 
seu dominó.
COMENTÁRIO
O primeiro passo é idealizar seu dominó, ou seja, fazer um rascunho antes 
de utilizar um material para confeccioná-lo. Se a estrutura escolhida for a 
do dominó tradicional, construa uma tabela com as equivalências.
Alguns dominós não possuem essa estrutura. Nesse caso, é preciso 
abrir mão da fl exibilidade das jogadas para tornar possível a exploração 
de um número maior de elementos matemáticos. É comum encontrarmos 
em lojas e revendedores especializados dominós desse tipo.
Por meio do exemplo a seguir, você vai entender isto de forma 
mais clara.
444+
5563 1000 23
0 1 8, 5 17:2 103 102.10 5 X 15
6:2
98:2:2
24,5 2 24:12 1/8 2-3 87+13 100 243 7.7.7 6 – 7 –1 15
75
45/3
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J72
UM POUCO DE NUMEROLOGIA
O número tem encantado os homens através dos tempos, com 
idéias algumas vezes não-científi cas. A humanidade tem procurado 
interpretações místicas para os números. 
Segundo o site: http://estrelaguia.virgula.terra.com.br/numerologia/
numerologia.php Acessado em: 21/3/05
A Numerologia Cabalística é uma das ciências esotéricas mais 
antigas que existe. Com a numerologia, você pode descobrir mais 
sobre sua vida pessoal, amorosa e fi nanceira, utilizando as letras 
de seu nome e sua data de nascimento.
Lins (1997) discute o uso da numerologia para fi ns didáticos e 
afi rma que:
Na numerologia, o número 2 pode, por exemplo, signifi car o homem, 
e o 3, a mulher; que número você esperaria que representasse o 
casamento? Se pensou 5, acertou, mas não se engane: a noção 
central é de união, e não de adição (p. 19).
De qualquer forma, acreditamos que o jogo ou a brincadeira que 
apresentaremos a seguir poderá ser interessante e curioso para estimular 
os alunos a trabalharem com as operações. Este jogo é denominado 
Código Secreto, e foi extraído do livro Jogos e atividades matemáticas 
do mundo inteiro, de Claudia Zaslavsky. Lá você encontrará outras 
atividades para o seu trabalho em sala de aula.
Código Secreto (Parte I) dos antigos hebreus e gregos
Ruy e Bárbara empregaram um código secreto para decifrar o valor 
de seus nomes. O nome Ruy tem o valor de 64. O nome de Bárbara 
tem o valor de 43. O nome Ruy só tem três letras, ao passo que o 
de Bárbara tem sete letras. Embora o nome de Bárbara seja mais 
comprido que o de Ruy, o valor é menor. Isso surpreende você?
Ruy e Bárbara estão empregando um sistema muito antigo. Ele 
remonta aos antigos hebreus e gregos, há mais de 2 mil anos. Em vez 
de inventarem símbolos para os números, como fi zeram os antigos 
egípcios, os hebreus e gregos usavam as letras de seus alfabetos como 
numerais. Os símbolos que empregamos hoje, como 0, 1, 2 e 3, 
A autora denominou Parte I 
porque, a seguir, ela apresenta 
um outro jogo semelhante a 
esse, que ela denomina Código 
Secreto (Parte II), e que se situa 
na fase histórica dos antigos 
hebreus e gregos.
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C E D E R J 73
ATIVIDADES 
foram inventados na Índia e levados para a Europa bem mais 
tarde por novos norte-africanos de língua árabe. Chamamos 
esses números de indo-arábicos (ou hindu-arábicos).
As duas primeiras letras do alfabeto hebraico são aleph e bet. 
No alfabeto grego, as duas primeiras letras são alfa e beta. Dá 
para adivinhar de onde vem a palavra portuguesa alfabeto, 
não? Os hebreus e gregos usavam essas letras para representar 
os números 1 e 2 (ZASLAVSKY, 2000 pp. 73-74).
Um argumento bastante usual 
do professor que já atua em 
sala de aula, em particular o 
professor da rede pública de 
ensino, é o de que não utiliza 
outras metodologias por falta 
de material. Na maioria das 
vezes, é possível construir 
jogos com materiais de baixo 
custo. Com criatividade, é 
possível produzir materiais 
interessantes. Este jogo é um 
bom exemplo de que muito 
pouco é necessário para que o 
professor utilize jogos em sala 
de aula. Mas, atenção, não 
devemos perder de vista nossa 
postura de reivindicação! Os 
materiais estruturados e que 
podem ser adquiridos no mer-
cado também possuem sua 
beleza.
!
7. Utilize a tabela e brinque à vontade. Aqui vão algumas sugestões:
a. Quanto vale o seu nome?
b. Calcule quantovalem os nomes de seus amigos.
c. Calcule quanto valem os nomes das pessoas de sua família.
d. Os nomes mais “compridos”, ou seja, com maior quantidade 
de letras têm sempre valores mais elevados?
e. Um nome com três letras que tenha um valor acima de 100 é 
possível? Justifi que.
f. Qual o número mínimo de letras que um nome deve ter para 
que o valor seja acima de 100?
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Assim, no exemplo citado por Zaslavsky (2000, p. 73):
Ruy calculou o valor do seu nome usando R = 18; U = 21 e Y = 25, 
logo, 
Ruy = 18 + 21 + 25 = 64.
E Bárbara usou B = 2, A = 1, R = 18; logo, Bárbara = 2 + 1 + 18 
+ 2 + 1 + 18 + 1 = 43.
Para jogar, você vai precisar do seguinte material: folha 
de papel e uma caneta ou lápis.
Agora veja como jogar: utilizando o nosso alfabeto, copie 
a tabela a seguir em uma folha de papel.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J74
COMENTÁRIO
Algumas respostas são pessoais. Brinque e converse com seu tutor sobre as 
respostas e outras possibilidades de perguntas que você poderá fazer para 
seus alunos.
8. TRIÂNGULOS NUMÉRICOS 
a. No triângulo a seguir, a soma dos números que estão nos círculos, em 
cada lado, é sempre 20. Complete os círculos, utilizando os algarismos 
de 1 a 9, sem repetição.
b. No triângulo a seguir, a soma dos números que estão nos círculos, em 
cada lado, é sempre 17. Complete os círculos, utilizando os algarismos de 
1 a 9, sem repetição.
COMENTÁRIO
Atribua valores aleatoriamente e registre suas tentativas. Um outro caminho 
é escrever algumas adições com quatro números cujos resultados sejam 
20 ou 17. Nos vértices, fi caram os números que aparecem em, pelo 
menos, duas adições.
Apresentamos, a seguir, mais um jogo de fácil confecção, envolvendo 
as operações. Você poderá criar variações, mudando os valores dos 
números e sugerindo o uso de outras operações.
JOGO DO ZIGUE-ZAGUE
O jogo é constituído de um tabuleiro com 99 números, tendo um 
ponto de partida e um ponto de chegada, como mostra a Figura 13.1. 
Você encontrará esse tabuleiro em tamanho maior no Módulo Prático.
20
17
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C E D E R J 75
Para o jogo, são necessários três dados e um peão para cada 
jogador. Os peões são colocados na linha de partida, e o objetivo do 
jogo é ser o primeiro a alcançar a linha de chegada. 
Os jogadores se revezam, lançando os três dados ao mesmo tempo. 
Os números obtidos por cada um podem ser somados ou subtraídos em 
qualquer ordem, como desejarem.
Assim, se saírem os números 3, 2 e 4, o jogador pode obter os 
seguintes resultados: 
9 = 2 + 3 + 4
1 = 2 + 3 – 4 ou 1 = 3 + 2 – 4
3 = 2 + 4 – 3 ou 3 = 4 – 3 + 2, podendo colocar o seu peão sobre 
o número 9, 3 ou 1. 
Cada jogador poderá movimentar apenas uma caixa em cada 
jogada, para cima, para os lados ou em diagonal. Deve ser jogado com 
duas a quatro pessoas. O jogo pode ser adaptado, tanto para trabalhar 
a multiplicação e a divisão quanto para números negativos.
Partida
Chegada
Figura 13.1: Tabuleiro do jogo do zigue-zague.
2 9 7 4 6 8 7 5 9
5 4 3 8 9 1 2 5 4
8 7 6 3 5 4 9 2 7
6 2 5 7 8 7 6 4 3
8 7 3 6 4 1 2 5 1
2 4 8 5 9 7 6 8 5
7 3 2 1 5 4 5 7 3
5 8 7 2 8 7 6 9 8
8 4 5 6 7 3 6 5 3
2 8 1 8 10 7 9 4 5
7 5 6 9 4 2 8 1 3
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J76
AGORA É A VEZ DOS NÚMEROS INTEIROS
As operações com números inteiros, positivos e negativos, são, de 
maneira geral, difíceis de ser assimiladas pelos alunos, embora memorizar 
as regras para realizar as operações seja aparentemente um facilitador. 
Um professor que já atua em sala de aula constata com freqüência um 
esquecimento das regras e, conseqüentemente, erros constantes quando 
os alunos têm de fazer operações envolvendo esses números. O jogo 
Matrix, que apresentamos a seguir, pode ser aplicado para memorização 
ou construção do conceito de adição dos números inteiros relativos. 
Para introduzir, não devem ser usados sinais no número e, sim, cores 
diferentes; por isso, deve-se combinar anteriormente que determinada cor 
corresponda a pontos ganhos e outra corresponda a pontos perdidos. 
Vamos ao jogo!
MATRIX
O Matrix é um jogo de tabuleiro com peças que podem ser 
feitas de tampas de garrafa PET, nas quais colamos números positivos 
e negativos.
 (Imagem disponível em http://revistaescola.abril.com.br/edicoes/
0177/aberto/faca.shtml
Nesse jogo, os alunos devem organizar-se em duplas. Os alunos 
posicionam no tabuleiro 35 tampas com números e mais uma que deve 
ter um curinga. Decide-se, por meio de “par ou ímpar” entre os alunos, 
quem começa a partida. O aluno que começa decide também se jogará 
na vertical ou na horizontal, e essa situação deve ser mantida até o fi nal 
do jogo: um jogador joga na horizontal e outro na vertical.
A
U
LA
 
13
 
C E D E R J 77
ATIVIDADE 
O primeiro jogador, então, retira o curinga do tabuleiro e, em 
seguida, um número da mesma linha (se escolheu jogar na horizontal) 
ou coluna (se preferiu a vertical). O segundo só pode retirar sua peça da 
linha ou da coluna da qual foi tirada a última peça. A partida continua 
assim e termina quando não for mais possível realizar jogadas. Ganha 
o jogo quem tiver a maior soma total de pontos.
O interessante desse jogo são os desenvolvimentos do cálculo 
mental e as estratégias que os alunos começam a desenvolver, a fi m de 
pegar a maior peça positiva ou a menor negativa.
9. Após o jogo, situações podem ser exploradas. Veja:
O que aconteceu com esses participantes? Considere que:
a. Paulo estava com vinte pontos positivos na quarta jogada. Quando 
terminou a quinta rodada, estava com treze pontos positivos.
b. Júlia estava com treze pontos negativos na terceira jogada e 
terminou o jogo com cinco pontos positivos.
c. Após a quarta jogada, Guilherme estava com oito pontos positivos. 
Sabendo que ele escolheu as cartas + 10 na terceira jogada e – 2 na 
quarta jogada, com quantos pontos ele fi cou?
COMENTÁRIO
Faça a atividade de duas formas: primeiro usando o cálculo mental, 
depois registre as operações.
O próximo jogo envolve o conceito de múltiplos e divisores. O material 
que será utilizado é um jogo que se encontra à venda em lojas de 
brinquedos e pode ser adquirido a preços acessíveis. Pode também 
ser confeccionado por alguém habilidoso. A sugestão desse jogo foi 
retirada da Revista Nova Escola, de março de 2000. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J78
ATIVIDADE FINAL
Pega-varetas – O conceito de divisibilidade
Os pontos atribuídos às varetas são:
Regras do trabalho
1. A pontuação das varetas foi alterada dos valores convencionais.
2. A classe é dividida em grupos de três ou quatro alunos. Todas as equipes recebem 
um pega-varetas. Alunos e professor combinam quantas rodadas terão as partidas. 
Tirando par ou ímpar, cada grupo escolhe quem vai começar.
3. O vencedor lança as varetas sobre uma mesa ou outra superfície plana. Depois, 
tenta pegá-las uma a uma, sem fazer as outras mexerem. Enquanto conseguir 
isso, continua a jogar. Caso contrário, a partida é interrompida e os valores de 
cada vareta retirada são multiplicados uns pelos outros, obtendo-se o número 
de pontos daquela jogada. A partir daí, o professor estimula o grupo a sugerir outras 
combinações que levem ao mesmo produto. O número de sugestões oferecidas pela 
equipe é anotado num papel, e a partida recomeça com a criança da vez.
4. Vence o grupo que conseguir propor mais opções.
Exemplos colhidos na sala de aula
• Você tirou varetas azuis. Que outras poderiam substituí-las, de modo que o total 
de pontos continuasse o mesmo? E quais alterariam o resultado fi nal?
Resposta: As três azuis multiplicadas resultam em 216 pontos (6 x 6 x 6 = 216). Para 
descobrir outras combinações que resultariam nesse número, é precisofatorar 
(decompor) 216 em números primos. Você vai encontrar 23 x 33 . Isto mostra que 
as três varetas azuis poderiam ser trocadas por três amarelas e três vermelhas 
(2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 216). Varetas verdes e pretas não teriam utilidade, pois não 
há nenhum número que, multiplicado por 5 ou 30, resulte em 216.
• É possível fazer 80 pontos numa jogada sem tirar nenhuma vareta verde?
Resposta: Fatorando o número 80, conseguimos 24 x 5. Como a verde vale 5 e 
o número só é formado pelos números primos 2 e 5, seria impossível fazer 80 
pontos sem tirá-la.
Cor Pontos
Amarela 2
Vermelha 3
Verde 5
Azul 6
Preta 30
A
U
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C E D E R J 79
• Em determinada jogada, você alcança 72 pontos tirando três varetas de cores 
diferentes. Que cores foram estas? Há possibilidade de haver mais de uma vareta 
com a mesma cor?
Resposta: O número 72 é formado pelos fatores 23 x 32, portanto, por três varetas 
amarelas e duas vermelhas. Mas como você tirou três cores diferentes, vai ter de 
trocar varetas para conseguir a terceira cor. A solução é tirar uma amarela e uma 
vermelha e substituí-las por uma azul. No fi nal, fi cam duas amarelas, uma vermelha 
e uma azul (2 x 2 x 6 x 3 = 72).
• O produto vale 180 pontos. Encontre pelo menos duas combinações possíveis 
que correspondam a esse mesmo número de pontos.
Resposta: Várias possibilidades foram encontradas pelos alunos de Maria José, 
sempre calcadas nos divisores de 180: uma preta e uma azul; duas amarelas, duas 
vermelhas e uma verde; ou, ainda, uma amarela, uma vermelha, uma azul e uma 
verde. 
(NENO, 2000, pp.10-11)
CONCLUSÃO
Em muitas situações, nas aulas de Matemática, é possível observar, 
em alguns momentos, no aluno, uma angústia e uma ansiedade devido 
ao receio da não compreensão dos conteúdos propostos.
O jogo é mais uma metodologia de ensino, a fi m de minimizar a 
resistência em relação à Matemática, pois, através do lúdico, o professor 
tem mais um recurso para proporcionar um processo de aprendizagem 
mais agradável ao aluno. 
A utilização do jogo em sala de aula, aliado ao trabalho de 
construção de conhecimento por parte do professor, desenvolve o 
hábito de explorar novas possibilidades. Nessa perspectiva, o aluno 
abandona a utilização do que já está pronto e busca suas próprias 
construções, podendo modifi car, inclusive, sua relação com o professor. 
Essa metodologia deve estar inserida na aula, e não deve ser feita como 
um apêndice ao fi nal da aula ou momento para que os alunos brinquem 
sem que haja uma ação pedagógica.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J80
R E S U M O
Jogos com números podem ser interessantes para explorar o cálculo mental, as 
propriedades das operações e favorecer a melhoria da relação do aluno com a 
Matemática. Os jogos e desafi os apresentados exploraram a adição, a subtração, 
a multiplicação e a divisão.
É possível utilizar a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, a potenciação 
e a radiciação de números reais nos jogos, com a fi nalidade de aliar o ensino à 
vivência do aluno. 
AUTO-AVALIAÇÃO
É importante que você perceba a importância do uso de jogos no ensino da 
Matemática. Refl ita sobre isso, para que o jogo não seja usado como um momento 
de diversão no tempo que sobra ao fi m de uma aula. Você fará uma boa auto-
avaliação se, a partir do que lhe foi apresentado, jogar ou analisar alguns jogos com 
outras pessoas praticando, para que você perceba as possibilidades de trabalho 
com o mesmo.
Atividade 1
Aqui estão duas possíveis respostas; encontre outras:
5 x 5 + 5 = 30.
33 – 3 = 30.
Atividade 2
O número é 57:
57 + 18 = 75. 
RESPOSTAS
A
U
LA
 
13
 
C E D E R J 81
Atividade 3
Atividade 4
Estas são algumas possíveis respostas. Você poderá encontrar soluções diferentes 
dessas.
44 – 44 = 0.
44 : 44 = 1.
(4:4) + (4:4) = 2.
(4 . 4 – 4) : 4 = 3.
(4 – 4) : 4 + 4 = 4.
(4 . 4 + 4) : 4 = 5.
(4 + 4) : 4 + 4 = 6.
44 : 4 – 4 = 7.
(4 + 4) : 4 . 4 = 6.
4 : 4 + 4 + 4 = 9.
( 44 – 4 ) : 4 = 10.
= 1 = 4 = 8 = 6
Resolvendo equações e 
inequações: para além 
da álgebra
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
• Utilizar software de construção de gráfi cos para 
resolver equações e inequações.
• Estudar equações e inequações sob o ponto 
de vista geométrico.
• Identifi car e aprender a representar grafi camente 
as soluções de equações e inequações.
Pré-requisitos 
Para acompanhar esta aula, é necessário que você revise funções 
que aprendeu nas aulas anteriores, principalmente no que se refere 
ao gráfi co de cada uma delas. É importante também saber resolver 
equações do 1º e do 2º graus.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com equações e inequações.
14AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J84
As equações aparecem com certa freqüência nas resoluções de problemas 
matemáticos, e torna-se fundamental reconhecê-las e resolvê-las. Durante seu 
curso de Licenciatura em Matemática, você deve ter tido a oportunidade de estudar 
vários tipos de equações: as polinomiais, as trigonométricas, as exponenciais, as 
logarítmicas, as diferenciais ou algumas em que se misturam mais de um tipo 
de equação. Dentre estas, o estudo das equações polinomiais do 1º e do 2º 
grau se faz presente nas grades curriculares do Ensino Fundamental e Médio. 
Por isso, nesta aula, voltaremos nossa atenção para o estudo dessas equações. 
Freqüentemente, observamos que a resolução de equações e inequações não é uma 
tarefa simples para os alunos. Estes reproduzem os procedimentos de resolução sem 
uma preocupação com a representação gráfi ca. Isso acontece porque as práticas 
pedagógicas de grande parte dos professores de matemática ainda se pautam 
numa concepção fragmentada da construção do conhecimento. 
INTRODUÇÃO
Esperamos que você, futuro professor de Matemática, proporcione junto a 
seus alunos atividades que explorem as diferentes representações: algébrica, 
por meio de tabelas e gráfi ca.
!
Nesta aula, daremos ênfase na construção de soluções gráfi cas para as equações 
e inequações. Utilizaremos um software, chamado Graphmática, que possui 
acesso gratuito na internet. As soluções da equação ou inequação serão 
visualizadas por meio de uma interpretação gráfi ca. 
Em muitas das escolas onde atuará, é provável que você não tenha acesso 
a computadores para desenvolver atividades com seus alunos. Nesse caso, 
um material que você poderá utilizar é o papel quadriculado ou milimetrado.
!
Não deixe de acessar as aulas desta disciplina na Plataforma. Lá você encontrará 
diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem.
!
A
U
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C E D E R J 85
Acesse a página e clique primeiro em download (Versão 2003 P) e a seguir 
em setup.exe. Pronto! Você já tem o Graphmática instalado no computador. 
Agora, é só aprender a usá-lo! 
Figura 14.1: Tela inicial do Graphmática.
CONHECENDO O SOFTWARE GRAPHMÁTICA
Para facilitar a construção de gráfi cos, podemos usar alguns 
tipos de ferramentas computacionais, que são softwares especialmente 
elaborados para o uso na Matemática. 
Como exemplos de softwares matemáticos para computadores, podemos citar 
o Maple, o Mathematica, o MATLAB, o Derive e o Graphmática. Além disso, 
você ainda pode optar pelas calculadoras gráfi cas. 
!
Nesta aula, usaremos apenas gráfi cos gerados pelo Graphmática, 
de autoria de Carlos Malaca e Keith Hertzer, um programa gratuito de 
desenho para gráfi cos que é encontrado na internet e apresenta facilidade 
de acesso.
Você pode obter este programa por meio da internet, acessando 
o endereço www107.pair.com/cammsoft/graphmatica.html. Mesmo que 
o software não esteja instalado no seu computador ou no computador 
do seu pólo, você poderá baixá-lo. É muito simples! Veja as instruções 
a seguir (que também sãodadas na própria página).
A tela que faz a interface com você está representada a seguir.
Neste espaço em branco, 
você deverá digitar as 
leis das funções que você 
deseja traçar os gráfi cos.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J86
Utilizando um software para esboçar gráfi cos, você não perde 
tempo na construção de tabelas, no cálculo de imagens e de derivadas 
e na resolução de equações; ao contrário, você otimiza seu tempo para 
investigar outras questões.
É importante que você fi que atento aos gráfi cos. Analise sua 
construção e seu comportamento. Caso você tenha dúvidas, o próprio 
software constrói tabelas no intervalo que você deseja. 
Veja, a seguir, a simulação do gráfi co da função y = 2x, com a 
tabela ao lado. 
Para construir o gráfi co da função y = 2x, você deve digitar 
y = 2^x, pois a potenciação é representada pelo símbolo “^”, o acento 
circunfl exo. Para aparecer a tabela que está ao lado do gráfi co, clique 
onde está mostrando a seta na ilustração a seguir.
Figura 14.2: Gráfi co da função y = 2x no Graphmática.
Clicando aqui, aparecerá 
a tabela com alguns 
pontos utilizados na 
construção do gráfi co.
Aqui foi digitada a lei da 
função, y=2^x.
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C E D E R J 87
Alguns símbolos de operações matemáticas têm códigos diferentes neste 
software e em programas como o Excel. No Graphmática, você tem acesso 
a esse código clicando em ajuda e depois em tabela de operadores. 
Veja a tabela a seguir com as operações mais usuais.
Operação Símbolo
multiplicação *
divisão /
potenciação ^
radiciação sqrt
REPRESENTANDO EQUAÇÕES GRAFICAMENTE
No Ensino Fundamental e Médio, grande parte dos problemas 
em Matemática recai em equações de 1º e 2º graus. Quando começamos 
a trabalhar com os alunos os problemas em que buscamos algebrizar a 
Aritmética, estamos introduzindo, mesmo de forma informal, o estudo 
de equações. 
Muitas vezes, esse estudo começa antes da 5ª série. Nesta etapa, 
os alunos habitualmente não usam letras, mas símbolos, como o 
famoso “quadradinho”. O objetivo é buscar generalizar o pensamento 
de problemas como: Qual o número que somado com 5 dá 8?
A partir da 5ª série, começamos a introduzir o uso de letras 
buscando uma generalização mais complexa do pensamento algébrico. 
Paralelamente, o universo de números que o aluno trabalha é ampliado 
ao longo do Ensino Fundamental: números naturais, racionais positivos, 
inteiros, racionais, irracionais e reais. As difi culdades dos problemas que 
envolvem equações também se tornam mais complexas.
Resolvemos algebricamente as equações do 1º grau, nas quais 
buscamos encontrar uma incógnita, que é um número em um universo 
defi nido: natural, inteiro, racional, irracional ou real.
Assim, a título de ilustração, a solução da equação 5x – 10 = 0, 
tomando como universo, por exemplo ú, é x = 2.
E qual a representação gráfica da solução dessa equação? 
A resposta é: depende! 
Quando consideramos o universo como ú, a representação será 
a abscissa x = 2 representada sobre a reta.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J88
Figura 14.3: Solução da equação 5x–10 = 0 em ú.
-1 0 1 2 3 4 x
Neste caso, a solução pertence a um conjunto de dimensão 1.
Quando consideramos o universo como ú2, como será essa repre-
sentação? 
Analise e perceba que agora temos dois valores envolvidos, x e y, 
abscissa e ordenada, respectivamente.
A equação 2x – 10 = 0 nos diz que x = 5 e y é qualquer, isto é, 
pode possuir qualquer valor.
Vamos tomar alguns valores de y e verifi car quanto vale x.
y vale x vale (x,y)
-5 5 (5,-5)
-1,5 5 (5,-1,5)
0 5 (5,0)
2
5
(5, 2 )
3 5 (5,3)
20 5 (5,20)
Isso nos dá, geometricamente, em 2, uma reta paralela ao eixo 
y que tem abscissa igual a 5. Veja:
Figura 14.4: Solução da equação 2x–10 = 0 em 2.
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15
5
10
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C E D E R J 89
Resolver a equação 2x – 10 = 0 em ú2 é o mesmo que encontrar 
todos os pontos do ú2 em que x = 5, ou seja, todos os pares da forma 
(5, y) em que y é um número real.
Dessa forma, é importante fi car atento na dimensão na qual se está 
resolvendo a equação. A mesma equação 2x – 10 = 0 no ú3 nos dá como 
solução ternos ordenados da forma (5, y, z), pois, como não temos restrição 
alguma sobre as variáveis y e z, somente temos a condição de que 2x – 10 = 0, 
ou seja, x = 5. Neste caso, o conjunto solução é um plano paralelo ao 
plano OYZ afastado cinco unidades à direita desse plano. Você consegue 
visualizar tal situação? Observe o conjunto solução a seguir.
Figura 14.5: Solução da equação 2x–10 = 0 em ú3.
4
3
2
1
5
plano de equação x = 5
plano YZ
Nesta aula, quando nada for dito sobre o conjunto universo na resolução 
de equações e inequações, convencionamos que o conjunto solução é um
subconjunto de .ú
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J90
RESOLVENDO EQUAÇÕES GRAFICAMENTE
Para encontrar uma solução gráfi ca de uma equação, usaremos 
a representação da equação em ú2. 
Para isso, aplicaremos como recurso a interpretação de cada 
membro da equação como uma função de x.
Primeiro trabalharemos com a equação 2x – 10 = 0.
2x – 10 = 0
 y1 y2
As duas funções envolvidas (y1 e y2) são, respectivamente, a função 
polinomial do 1º grau e a função constante, cujos gráfi cos são retas. 
A interseção dessas duas funções acontece no ponto (5, 0). 
Como queremos descobrir apenas o valor de x, temos a solução da 
equação para x = 5. Veja na Figura 14.6.
ATIVIDADE 
1. Você acabou de ver que a mesma equação possui diferentes soluções, 
isso vai depender da dimensão em que se está trabalhando. Pensando 
agora na equação x2–9 = 0, resolva-a quando o conjunto universo for:
a. ú 
b. ú2
c. ú3
A
U
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C E D E R J 91
Figura 14.6: Representação de y1 = 2x–10 e y2 = 0.
-30 -25 -20 -15 -10 -5
0
5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15-15
5
10
15
A igualdade 
acontece para x = 5
Quando modifi camos a equação por uma equação equivalente, 
a solução é a mesma, mas a representação gráfi ca não. Para que você 
visualize esse fato, vamos trabalhar com a equação 2x = 10. Observe 
como mudam as leis das duas funções:
2x = 10
 y1 y2
Nos dois casos, estamos igualando duas funções. Isso indica que 
pretendemos encontrar o valor de x que torna iguais essas funções, 
isto é, o valor das duas funções que possuem imagens iguais.
Quando a equação considerada é 2x–10=0, as funções 
que esboçamos no gráfi co são y1 = 2x–10 e y2 = 0, como você viu 
na Figura 14.6; já no caso em que a equação que se toma é 2x = 10, 
os gráficos que iremos traçar são das funções y1 = 2x e y2 = 10, 
conforme é apresentado na Figura 14.7.
Figura 14.7: Representação de y1 = 2x e y2 = 10.
-30 -25 -20 -15 -10 -5
0 5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15
5
1010
15
A igualdade 
acontece 
para x = 5 
Em outras 
palavras, estamos 
procurando o ele-
mento do domínio 
que possui imagens 
iguais; nos dois 
casos é o 5.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J92
UMA DIFERENÇA IMPORTANTE
É importante registrar a diferença entre as equações y = f(x) 
e f(x) = 0.
Quando consideramos y=f(x), temos uma relação entre duas 
grandezas, representadas pela lei que rege essas duas grandezas, é a lei 
de uma função.
Já quando temos f(x) = 0, referimo-nos aos valores de x que 
anulam uma determinada função.
Veja o que acontece quando digitamos no software as duas 
equações y = 5x – 10 e 5x – 10 = 0.
Figura 14.8 Figura 14.9
y = 5x–10 5x–10 = 0
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15
5
10
15
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
-2
-4
0
A equaçãoda Figura 14.8 representa uma reta cuja lei é y = 5x – 10; 
já a equação 5x – 10 = 0, identifi cada na Figura 14.9, representa todos 
os pontos que possuem abscissa 2, isto é, x = 2. Observe que nos dois 
casos o programa desenha os gráfi cos no ú2. Mais adiante, resgataremos 
a discussão sobre o universo onde resolvemos as equações.
Também é fácil visualizar a solução pela representação gráfi ca da equação. 
Como vimos, a solução da equação 5x–10 = 0 em ú2 é {(2, y) | y ∈ ú}, assim, 
como queremos apenas o valor da abscissa, a solução em ú será x = 2.
!
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 93
RESOLVENDO INEQUAÇÕES GRAFICAMENTE
Vamos analisar geometricamente a solução das inequações do 1º grau. 
Para isso, considere a inequação 2x–10 > 0. Desejamos observar grafi camente 
que valores reais de x tornam verdadeira a sentença 2x –10 > 0.
Tomando como referência as funções y1 = 2x – 10 e y2 = 0, vamos 
analisar para que valores de x a função y1 será maior que a função y2. 
Observe na Figura 14.10 que isto acontece a partir de x = 5, pois neste 
intervalo, o gráfi co da função y1 está acima do gráfi co da função y2. 
-15 -10 -5 5 10 15
5
10
5
10
Figura 14.10: Representação gráfi ca da inequação 2x – 10 > 0.
x > 5
Se, em contrapartida, queremos representar a inequação 
equivalente a 2x > 10, as funções envolvidas serão y1 = 2x e y2 = 10. 
Da mesma maneira que observamos na Figura 14.10, o gráfi co da função 
y1 está acima do gráfi co da função y2 para valores de x maiores que 5.
Figura 14.11: Representação gráfi ca da inequação 2x > 10.
x > 5
-30 -25 -20 -15 -10 -5
0
10 15 20 25 30
5
10
15
-5
-10
-15
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J94
Ao manipularmos a inequação, mas continuando com inequações equivalentes, 
modifi camos as funções envolvidas, porém não alteramos o conjunto-solução.
!
Não se esqueça de que a solução da inequação x > 5 em ú2 é um conjunto 
infi nito de pares ordenados com abscissa x maior que 5 e ordenada qualquer. 
Isso representa a região do plano esboçada na ilustração a seguir. Podemos 
escrever esse conjunto da forma {(x,y)/x e y∈ R e x > 5}. 
!
Figura 14.12: Solução da inequação x > 5 em ú2.
-15 -10 -5 0 5 10 15
5
-5
RESOLVENDO GRAFICAMENTE EQUAÇÕES DO 
2º E 3º GRAUS
Vamos resolver agora a equação polinomial do segundo grau 
x2 – 4 = 0. Primeiramente, quando trabalhamos com as funções y1 = x
2 – 4 e 
y2 = 0, observamos seus pontos de interseção que, conforme nos mostra 
a Figura 14.13, ocorre nas abscissas dos pontos destacados que são os 
valores 2 e –2. 
Manipulando a equação original e chegando à igualdade 
x2 = 4, consideramos agora as funções y1 = x
2 e y2 = 4. Seus gráfi cos estão 
representados na Figura 14.14. Observe que os pontos de interseção têm 
abscissas 2 e –2, da mesma forma que na Figura 14.13.
Na Figura 14.13, os pontos de interseção têm coordenadas (-2, 0) e (2, 0), pois 
estamos interceptando pela reta de equação y = 0, que é o eixo x; já na Figura 
14.14, os pontos de interseção são (-2, 4) e (2, 4), pois, nesse caso, a função que 
intercepta a parábola é uma reta de equação y = 4. 
!
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 95
Figura 14.13 Figura 14.14
y1 = x
2 – 4 e y2 = 0 y1 = x
2 e y2 = 4
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
-2
-4
0
-6
-8
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
-2
-4
0
-6
ATIVIDADE 
2. Resolva algebricamente a equação x2–3x+2 = 0 e mostre que a solução 
encontrada pode ser visualizada por meio dos gráfi cos das funções envolvidas 
na igualdade, utilizando para isso os pares de funções a seguir.
a. y1 = x
2 – 3x + 2 e y2 = 0.
b. y1 = x
2 – 3x e y2 = 2.
c. y1 = x
2 e y2 = 3x - 2.
d. y1 = –3x + 2 e y2 = –x
2. 
 COMENTÁRIO 
Utilize nas construções dos gráfi cos o software Graphmática ou algum 
outro que construa gráfi cos. Esta atividade faz com que você visualize 
sempre a mesma solução, trabalhando com duplas de funções diferentes, 
desde que essas duplas representem equações equivalentes à original. 
A resposta encontra-se no fi nal da aula.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J96
Vamos fazer um exemplo de equação polinomial do 3°. Por 
exemplo, resolver a equação x3–x2 = 0.
Algebricamente, encontramos duas soluções. São elas 0 e 1. Observe 
a resolução da equação, em que usamos a fatoração para resolvê-la:
x3–x2 = 0 x2 (x – 1) = 0 x2 = 0 ou x–1 = 0 x = 0 ou x = 1
 Lembre-se de que uma equação polinomial do 3° grau tem 
exatamente três raízes complexas. Então, por que encontramos duas? 
A solução x = 0 é uma raiz dupla, já que na equação envolvida 
o polinômio p(x) = x aparece elevado ao quadrado. 
Vamos aos gráfi cos. Para isso, analisaremos dois pares de funções: 
y1 = x
3 – x2 e y2 = 0; y1 = x
3 e y2 = x
2.
Para construí-las, utilizamos o software Graphmática. Observe 
na ilustração a seguir os pontos de interseção das funções. Na Figura 
14.15, vemos mais facilmente que são dois pontos, o de abscissa 0 e 
o de abscissa 1. Já na Figura 14.16, visualizamos o ponto de abscissa 
0, e o ponto de abscissa 1 fi ca mais difícil, observe o tracejado. A 
reta tracejada possui equação x = 1, mas como acreditar nisso?
Nesse caso, a comprovação pode ser feita substituindo x = 1 nas funções 
y1 = x
3 e y2 = x
2 e verifi cando que para esse valor de x as imagens são 
iguais, isto é, 13 = 12 = 1.
Figura 14.15 Figura 14.16
y1= x
3 – x2 e y2= 0 y1 = x
3 e y2 = x
2
-6
2
4
-2
-4
0
-4 -2 2 4 60 1 2 3
1
2
3
–1
–2
–3
–3 –2 –1
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 97
RESOLVENDO AS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Vamos resgatar a função y = x2 – 4 e resolver a inequação x2 – 4 > 0
em ú, utilizando, para isso, o mesmo enfoque dado às equações. 
Caso 1: Considerando as funções y1 = x
2 – 4 e y2= 0, devemos 
observar para que valores de x, a função y1 é maior que a função y2. Veja 
na Figura 14.17 que isso acontece para x > 2 ou para x < –2.
Caso 2: Transformando a inequação x2– 4 > 0 em x2 > 4, devemos 
analisar agora as funções y1 = x
2 e y2 = 4. Verifi que, na Figura 14.18, 
que a função y1 é maior que a função y2 para os mesmos valores de x 
encontrados no caso 1.
O conjunto solução da inequação x2 – 4 > 0 pode ser escrito pelo 
menos de duas formas diferentes:
S = {x ∈ ú / x > 2 ou x < –2} ou S = ]- ∞ , -2[ ∪ ]2, + ∞ [
Figura 14.17
y1 = x
2 – 4 e y2= 0
-6
2
4
-2
-4
0-4 -2 2 4 6
Figura 14.18
y1 = x
2 e y2 = 4
x < –2 x > 2
-6
-8
-6
2
4
-2
-4
0
-4 -2 2 4 6
x < –2 x > 2
-6
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J98
ATIVIDADE 
3. Observe o gráfi co das funções f(x) = 2x e g(x) = 3
2
x+1 a seguir e 
responda:
-6
2
4
-2
0-4 -2 2 4 6
f g
6
a. O gráfi co sugere que as funções f e g são iguais para x = 0 e para x = 2. 
Isto é verdade? Justifi que.
b. Para que valores de x temos f(x) ≥ g(x), isto é, para que valores de x o gráfi co 
da função f está acima do gráfi co da função g? 
c. Para que valores de x temos f(x) ≤ g(x), isto é, para que valores de x o gráfi co 
da função f está abaixo do gráfi co da função g?
y
x
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 99
UM POUCO DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...
Vamos resgatar a trigonometria e mostrar um pouco mais a importância 
da análise do gráfi co, usando como ferramenta o software Graphmática.
Vamos começar construindo os gráfi cos das funções f(x) = cos x 
e g(x)= sen x e fazer alguns comentários baseados no gráfi co.
Figura 14.19: Gráfi cos de f(x) = cos x e g(x) = sen x.
-6
2
4
-2
-4
0-4 -2 2 4 6
Observando apenas o gráfi co apresentado, você consegue saber 
quais as raízes dessas funções? O gráfi co não nos fornece, pois nos eixos 
estão indicados somente números inteiros, e as raízes das funções seno 
e cosseno são números irracionais, com excessão para a raiz zero da 
função seno. Você se lembra quais são elas?
Esteproblema pode ser resolvido. Para isso, clique no ícone opções 
e a seguir em papel do gráfi co, conforme ilustração a seguir.
Figura 14.20: Modifi cando o papel do gráfi co.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J100
Aparecerá a tela “Defi nições para os gráfi cos”: nela você poderá 
modifi car alguns aspectos do gráfi co. Na primeira, você escolhe o sistema 
de coordenadas que deseja usar (retangulares, trigonométricas, polares 
ou logarítmicas) e na segunda você modifi ca o layout do plano onde fi ca 
o traçado do gráfi co. Para o gráfi co das funções trigonométricas, escolha 
a opção Trigonométricas.
Figura 14.21: Escolhendo o sistema de coordenadas.
Um outro recurso muito útil é modifi car os pontos destacados no 
eixo x e no eixo y. Vá ao ícone Ver, Intervalo da grelha, onde aparecerá 
a seguinte janela:
Figura 14.22: Escolhendo os intervalos do gráfi co.
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 101
Nessa janela, é só escolher o intervalo do domínio e da imagem 
que você deseja que apareça no seu gráfi co.
Veja, agora, o gráfi co das funções f(x) = cos x e g(x) = sen x, 
onde passamos para coordenadas trigonométricas e alteramos o plano.
Figura 14.23: Gráfi cos de f(x) = cos x e g(x) = sen x no sistema de coordenadas trigonométricas.
2
4
-2
-4
0
-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
Ficou bem melhor, não é?
ATIVIDADE 
4. Aproveitando os gráfi cos da Figura 14.23, responda às perguntas sobre 
algumas equações e inequações trigonométricas. 
a. Para que valores de x, entre 0 e 2π, temos cos x = 0?
b. Para que valores de x, entre –2 e 2, temos sen x = 0?
c. Resolva a equação cos x = sen x, para x real.
d. Resolva a inequação cos x > 0, para x entre –2 e 2.
 COMENTÁRIO 
Os itens a e c serão respondidos a seguir; já as respostas dos itens b e d estão 
no fi nal da aula. É importante fi car bem atento ao gráfi co que está trabalhando 
e à restrição sobre o domínio das equações e inequações.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J102
Para responder ao item a, vamos nos fi xar na função cosseno, cujo gráfi co 
veremos separadamente.
2
4
-2
-4
0-0,5π-π-1,5π
-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π
2,5π
O conjunto solução deve pertencer ao intervalo ]0, 2[, indicado na fi gura pela 
seta. A equação cos x = 0 representa a interseção da função y = cos x com a 
função y = 0, ou seja, estamos encontrando as raízes da função y = cos x. 
Essa interseção acontece nos pontos indicados no gráfi co, que são os pontos 
A= (0,5π; 0) e B= (1,5π; 0).
Portanto, o conjunto solução em ú da inequação cos x = 0 é S = {0,5π; 
1,5π}.
O item c é uma equação de domínio real, isto é, devemos encontrar todas 
as soluções reais que atendem à equação cos x = sen x.
Em primeiro lugar, devemos observar no gráfi co onde acontecem os pontos 
de interseção das funções envolvidas.
1
2
-1
-2
0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
A
U
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14
 
C E D E R J 103
Os valores de x, identifi cados no gráfi co onde as funções possuem imagens 
iguais, são -7
4
-3
4
1
4
5
4
9
4
π π π π π, , , , . Será que são somente estes ou existem 
outros?
Como as funções seno e cosseno são funções periódicas de domínio real, 
temos infi nitas soluções que se repetem num determinado período. Observe 
que os valores observados, -7
4
-3
4
1
4
5
4
9
4
π π π π π, , , , , formam uma seqüência
aritmética de razão π, portanto, uma forma de escrever todas as soluções é 
segundo a expressão 1
4
kπ π+ ⋅ , onde k é um número inteiro. Dessa forma, 
o conjunto solução da equação f(x) = g(x) é S =
1
4
k kπ π+ ⋅ ∈




/ onde Z .
CONCLUSÃO
Esta aula apresentou uma alternativa didática na resolução de 
equações e inequações e que é possível de ser implementada no currículo 
do Ensino Médio para explorar principalmente o conceito de função, 
tão enfatizado neste segmento. O uso de softwares, aliado às atividades 
elaboradas pelo professor, é um importante recurso ao trabalho de sala de 
aula, favorecendo a realização de atividades investigativas e diminuindo 
o tempo de construção de gráfi cos.
As tarefas matemáticas devem favorecer o desenvolvimento 
constante das diferentes representações algébrica e geométrica, 
e neste sentido é o gráfi co que favorece essa relação. Utilizar o plano 
cartesiano é imprescindível, uma vez que permite desenvolver conceitos 
importantes tais como domínio e imagem de uma função. 
Neste sentido, interpretar grafi camente a resolução de uma 
equação faz com que você conecte vários tópicos da Matemática 
numa só atividade.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J104
ATIVIDADE FINAL
1.Utilizando o Graphmática, construímos o gráfi co das funções f(x) = 2x e g(x) = x2. 
Com base no gráfi co, responda:
a. Determine os valores positivos de x, para os quais f(x) = g(x).
b. Para que valores positivos de x, temos f(x) ≥ g(x)?
c. Para que valores positivos de x, temos f(x) ≤ g(x)?
d. Quantas raízes reais possui a equação 2x –x2 = 0?
e. O que você pode afi rmar sobre a raiz negativa da equação f(x) = g(x)? Existe 
alguma forma de encontrá-la?
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 105
R E S U M O
O estudo da Álgebra não deve estar reduzido ao uso de letras e equações. 
A visualização geométrica contribui signifi cativamente no desenvolvimento do 
pensamento matemático, especifi camente no pensamento algébrico. A investigação 
gráfi ca é um processo importante, e deve ser bastante trabalhada no Ensino Médio. 
Além disso, a resolução de equações e inequações contribui como uma aplicação de 
conceitos importantes, tais como variável e função, pois no trabalho com funções 
estabelecemos relações entre variáveis. Outro ponto importante é aprender a utilizar 
softwares gráfi cos, principalmente os de domínio público, pois a informática está 
cada vez mais presente em nossas vidas.
Na maneira como resolvemos equações e inequações, foi necessário, em primeiro 
lugar, visualizar as funções trabalhadas. É importante enfatizar também que 
equações equivalentes têm o mesmo conjunto solução, mas suas representações 
gráfi cas são diferentes. 
AUTO-AVALIAÇÃO
Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de construção gráfi ca 
no software Graphmática. Refl ita sobre seu uso, quando ele é válido ou não e 
em que momentos ele pode ser utilizado.
Liste e justifi que pontos positivos e negativos do uso de softwares educativos 
e pense sobre os objetivos das atividades propostas ao longo da aula.
É relevante você entender que a abordagem feita para o estudo de equações 
e inequações requer mais cuidados por parte do professor, pois ela envolve 
conceitos que ainda não foram amadurecidos pelos alunos. 
Se entendeu que equações equivalentes têm representações gráfi cas diferentes, 
mas que chegam à mesma solução, você alcançou um dos nossos principais 
objetivos desta aula. Caso contrário, você deve refazer novamente a Atividade 2. 
É importante também que você tenha percebido que há momentos em nossas 
aulas que a utilização de tabelas e de papel quadriculado esteve aliado ao uso 
de softwares, ou seja, utilizamos um conjunto de recursos importantes para 
o trabalho de sala de aula. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J106
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, faremos um passeio pelas equações do 2º grau. É importante 
você saber que precisaremos de régua e compasso.
RESPOSTAS
Atividade 1
a. x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = –3 S = {–3,3}.
b. Os valores encontrados para a abscissa são os mesmos –3 e 3, mas a ordenada 
é livre, não temos nenhuma restrição à ela. Logo, todos os pares da forma (–3, y) 
ou (3, y) são soluções desta equação no ú2. O conjunto dos pontos (–3, y) representa 
uma reta paralelaao eixo y afastada 3 unidades à esquerda, e o conjunto (3, y) 
é também uma reta paralela ao eixo y, só que afastada 3 unidades à direita.
S = {(x, y) | x = 3 ou x = -3 e y ∈ ú} representa um par de retas paralelas.
c. Em ú3, temos que x = –3 ou x = 3 e y e z livres, logo, o conjunto solução é 
S= {(x, y, z) | x = 3 ou x = –3, y ∈ ú e z ∈ ú}, que representa grafi camente um par 
de planos paralelos ao plano OYZ.
A Atividade Final mostra a importância gráfi ca na resolução de uma equação. 
Grafi camente, essa equação pode ser resolvida no Ensino Médio, mas para a resolução 
algébrica, é necessário mais conhecimento do que é usualmente ensinado.
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 107
Atividade 2
a. y1 = x
2 –3x + 2 e y2 = 0
1
b. y1 = x
2 – 3x e y2 = 2
2 3 4-1-2
1
2
0
-1
0 2 4-2-4-6 6 8
2
4
-2
-4
c. y1 = x
2 e y2 = 3x – 2 d. y1 = –3x + 2 e y2 = –x
2
0 2 4-2-4-6 6
2
4
-2
0 2 4-2-4-6 6
2
-2
-4
-6
3
5
x
y
x
y
x
y
6
x
y
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J108
Atividade 3
a. Sim, pois f(0) = 20 = 1 e g(0) = 
3
2
. 0 + 1 = 1 e f(2) = 22 = 4 e g(2) = 
3
2
 . 2 + 1 = 4.
b. Observe no gráfi co, na indicação feita pelas setas, que isso acontece quando 
x ≤ 0 ou quando x ≥ 2.
0 2 4-2-4-6 6
2
4
-2
6
c. Aproveitando o gráfi co anterior, veja que o gráfi co da função f está abaixo do 
gráfi co da g para valores entre 0 e 2, incluindo esses valores, isto é, 0 ≤ x ≤ 2, ou 
utilizando intervalo [0, 2].
Atividade 4
b. Observando os pontos destacados, interseção com o eixo x, temos que os valores 
de x que tornam sen x = 0, no intervalo ] –2π, 2π[ são – π, 0 e π.
0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
2
4
-2
-4
x
y
f g
x
y
A
U
LA
 
14
 
C E D E R J 109
d. Devemos observar onde cos x > 0, somente no intervalo indicado pela seta. 
A função y = cos x possui imagens positivas nos intervalos indicados na fi gura pelos 
segmentos tracejados. Logo, o conjunto solução dessa inequação é 
S = [-2π, -1,5π[ ∪ ]-0,5π, 0,5π[ ∪ ]1,5π, 2π].
0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
2
4
-2
-4
Atividade Final
a. 2 e 4, pois f(2) = g(2) = 4 e f(4) = g(4) = 16.
b. [0, 2] ∪ [4,+ ∞ [.
c. [2, 4].
d. Possui três raízes reais, pois a equação 2x – x2 = 0 é equivalente à 2x = x2. Dessa 
forma, basta olhar no gráfi co quantos pontos em comum têm as funções f e g.
e. É um número que está entre –1 e – 0,5. 
Um bom método para um valor aproximado da equação é um método numérico 
chamado Método de Newton-Rapson. Pesquise mais sobre isso!
5
10
15
20
0-2-4-6 2 4 6 8
y
x
y
x
y = f(x) y = g.(x)
Equação do 2º grau: para além 
da fórmula de Bhaskara... 
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Utilizar outras maneiras de resolver equação 
de 2º grau além da fórmula de Bhaskara.
• Aplicar a História da Matemática como recurso 
metodológico.
15
ob
jet
ivo
s
A
U
L
A
Meta da aula
Instrumentalizar o ensino de 
equação do 2º grau.
112 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
É importante lembrar que nessa época ainda não existia a escrita 
algébrica, e os métodos de resolução eram geométricos. Com essas 
difi culdades, não existia uma regra geral, e eram utilizadas regras 
diferentes para resolver equações do tipo x2 + px = q e x2 = px + q.
!
INTRODUÇÃO No Brasil, a fórmula geral de resolução da equação do 2º grau é conhecida 
como fórmula de BHASKARA.
BHASKARA
Foi um matemático 
que viveu entre 1114 
e 1185 na Índia. 
Foi considerado o 
mais importante 
matemático hindu 
do século XII e 
desempenhou a 
função de diretor 
do Observatório de 
Ujjain. 
Um de seus livros 
mais famosos foi 
Lilavati, que signifi ca 
graciosa, uma 
obra que trata de 
Aritmética, Geometria 
Plana e Combinatória.
Uma de suas 
mais importantes 
contribuições foi 
na resolução das 
equações diofantinas 
(equações polinomias 
de coefi cientes 
inteiros) com infi nitas 
soluções inteiras. 
Nesse estudo, 
Bhaskara aborda a 
solução das equações 
quadráticas da forma 
ax2 + bx = c em forma 
de prosa.
Entretanto, Bhaskara, apesar de conhecer a regra de resolução de uma equação 
do 2º grau, não a descobriu. Nos textos dos babilônios já apareciam problemas 
com equação do 2º grau, que constituíam escritos em forma textual, e pelo 
menos Sridara, um matemático que viveu mais ou menos um século antes de 
Bhaskara, já os conhecia. Assim, até o século XVI não se usava fórmula para 
resolução de equação do 2º grau.
Por esse motivo, o método geral de resolução da equação do 2º grau não é 
chamado de fórmula de Bhaskara em nenhum outro lugar do mundo além 
do Brasil. 
Tradicionalmente, o trabalho com equação do 2º grau costuma ser feito da 
seguinte maneira: defi ne-se que uma equação do 2º grau é uma equação 
da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c, chamados coefi cientes, são números 
reais e a é não-nulo; resolvem-se equações do tipo incompletas, onde b = 0 
ou c = 0; fi nalmente, são desenvolvidas as equações completas, onde é dado 
para o aluno a fórmula x =
-b– b - 4ac
2
2
. 
É usual também, nesta visão, o professor fazer um quadro-resumo da forma:
Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais ou apenas uma raiz.
Se ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.
Nessa abordagem de ensino, o aluno, decorando a fórmula, calcula 
numericamente o valor da incógnita, para depois resolver problemas com 
a fi nalidade de aplicá-la. Muitas vezes, o aluno não sabe o que signifi ca o 
resultado dessa equação.
O ensino da equação do 2º grau não deve fi car restrito à aplicação de fórmulas. 
Para isso, a estratégia de completar quadrados e conhecer alguns processos 
históricos é interessante para uma prática com base na metodologia de 
resolução de problemas, que o aluno, além de resolver equações, também 
refl ita sobre o assunto.
C E D E R J 113
A
U
LA
 
1
5
 
COMPLETANDO QUADRADOS...
A idéia de que resolver equação é encontrar o valor de x que torna 
a igualdade verdadeira é reforçada quando completamos quadrados.
Quando perguntamos a um aluno qual ou quais os números 
que, elevados ao quadrado, resultam em 4, ou seja, qual a solução da 
equação x2 = 4, o aluno entende que – 2 e 2 são números que, elevados 
ao quadrado, têm como resultado 4.
Freqüentemente, os alunos se enganam ao pensar que 4 = –2 ou que a 
solução da equação é apenas 2. No trabalho com equações do 2º grau, é 
interessante que o professor esteja sempre abordando as questões:
• com exceção do 0, sempre existem dois números que, elevados ao quadrado, 
resultam em um número real positivo, esses números são simétricos;
• x x2 = .
!
Vamos usar o fato anterior, pois ele será de grande importância 
na obtenção das soluções da equação do 2º grau. Começamos pela 
equação (x + 2)2 = 16. 
Vale dizer que, quando os alunos se deparam com equações que não estão na 
forma reduzida, a primeira ação é justamente colocá-la na forma reduzida, isto 
é, ax2 + bx + c = 0. No caso, esta equação fi caria assim: x2 + 4x – 12 = 0. Com isso, 
ele fi ca impossibilitado de resolver a equação utilizando a estratégia de imaginar 
que número elevado ao quadrado dá o número 16, o que vamos fazer agora. 
É justamente esse raciocínio que nos leva à fórmula de Bhaskara. Portanto, nada 
de desenvolver os quadrados, pelo menos por enquanto!
!
Voltando à equação (x + 2)2 = 16, você deve focar na potenciação, 
no caso, um número que, elevado ao quadrado, tem como resultado 16.
2
= 16
Esse número pode ser 4 ou – 4, pois 42 = 16 e (– 4)2 = 16. Logo, a 
base desconhecida x + 2 pode ser 4 ou pode ser – 4, isto é, x + 2 = 4 
ou x + 2 = – 4. Resolvendo cada uma das equações, obtemos x = 2 ou 
x = – 6. 2
= 16
4 - 4
114 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
O conjunto-soluçãoda equação (x + 2)2 = 16 ou x2 + 4x – 12 = 0 
é {2, –6}. Observe que esta equação possui duas soluções distintas.
Vamos fazer uma leve modifi cação na equação, que já causa 
difi culdade. Seja a equação (x + 2)2 = 10, em que devemos agora 
imaginar que número ao quadrado dá resultado 10. Nesse momento, 
surgem os números irracionais, que são pouco trabalhados e conhecidos 
dos alunos.
Que número elevado ao quadrado tem resultado 10? Esse número é 
o irracional 10 ou o seu simétrico − 10 . Com isso, resolver a equação 
(x + 2)2 = 10 se reduz a resolver as equações do 1º grau x + =2 10 e 
x + = −2 10 . Veja:
Resolvendo x + =2 10... Resolvendo x + = −2 10 ...
x
x
+ =
↓
= − +
2 10
2 10
x
x
+ = −
↓
= − −
2 10
2 10
O conjunto solução é S = {-2 + 10 e -2 - 10 }
Apesar de termos utilizado a mesma estratégia de resolução, o 
grau de difi culdade aumentou, pois a manipulação dos irracionais não 
é bem trabalhada e os alunos se atrapalham ao somar um racional a 
um irracional, querendo reduzir a expressão numérica encontrada a um 
único termo.
Vamos agora encontrar a solução da equação (x – 3)2 = 0. Devemos 
pensar no número que, ao quadrado, tem resultado zero. Isso acontece 
para um único número que é o zero. Portanto, x – 3 = 0, o que nos leva 
à solução x = 3.
O conjunto-solução da equação (x – 3)2 = 0 é S = {3}. E se a 
equação a ser resolvida for (x – 3)2 = – 4? Que número ao quadrado 
tem como resultado – 4?
Um erro que aparece também com alguma freqüência é 
imaginar que 52 = 10. Os alunos dividem o número por 2. Nesse 
caso, a operação potenciação precisa ser retomada. 
!
2
= – 4
C E D E R J 115
A
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1
5
 
Neste exemplo, os alunos se atrapalham e alguns pensam no 
número –2. Acontece que (-2)2 = 4 e não – 4. Esta equação não tem 
solução real, pois todo número real, não-nulo, elevado ao quadrado, é 
sempre positivo.
Portanto, o conjunto-solução da equação (x – 3)2 = – 4 é S = { } 
ou S = Ø.
Você observou na resolução de equações do 2º grau que nem 
sempre obtemos duas soluções distintas. Mais adiante, investigaremos 
melhor esse fato.
Vamos resolver agora a equação x2 + 10x = 24. Como proceder, 
se o problema agora não é mais “encontrar um número que elevado ao 
quadrado nos dá o resultado...”? A idéia aqui é justamente fazer com que 
a equação chegue à forma A2 = B, para continuarmos sua resolução.
Para isso, vamos completar quadrados. Devemos acrescentar 
termos nos dois membros da equação, sem alterá-la, de forma que 
passamos a ter o quadrado de uma soma ou o quadrado de uma 
diferença. Veja:
x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 
x2 - 2ax + a2 = (x - a)2. 
Vejamos a equação x2 + 10x = 24. O que devemos fazer, isto é, 
que termo devemos acrescentar à expressão x2 + 10x para que se torne 
um quadrado da soma? Observe:
X2+10X + ... = X + ...
2
Na igualdade, você deve fi car atento ao termo do meio, que é sempre 
o dobro do segundo termo. Veja em negrito: x2 + 2ax + a2 = (x + a)2. 
Na equação que estamos resolvendo, esse termo é 10x, logo, o segundo 
termo é o 5. Vamos, então, desenvolver o quadrado de x + 5:
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25.
Descobriu o termo que falta? É o 25, que é o quadrado de 5. 
Voltando à equação x2 + 10x = 24, a estratégia é adicionar 25 em ambos 
os membros da equação:
x2 + 10x + 25 = 24 + 25
x2 + 10x + 25 = 49 → (x + 5)2 = 49.
116 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
Entendeu até aí? Agora, voltamos à pergunta inicial: que número 
elevado ao quadrado resulta 49? Resolvemos com equações do 1º 
grau.
Resolvendo x2 + 10x = 24, ou melhor, (x + 5)2 = 49
resolvendo x + 5 = 7 resolvendo x + 5 = – 7
x + 5 = 7
↓
x = 2
x + 5 = -7
↓
x = -12
O conjunto-solução é S ={2, -12}
Vamos fazer outro exemplo? Pense agora na equação x2 – 6x = 8.
Que devemos adicionar aos dois membros? Agora você deve escrever 
com um quadrado de uma diferença.
X2 – 6X + ... X – ...=
O QUADRADO DE 
3 É 9
A METADE 6 É 3
2
Na equação que estamos resolvendo, esse termo é 6x, logo, o 
segundo termo é o 3. Agora, vamos desenvolver o quadrado de x – 3. 
Para isso, devemos adicionar 9 em ambos os membros da equação:
x2 – 6x + 9 = 8 + 9
x2 – 6x + 9 = 17 → (x – 3)2 = 17.
Resolvendo x2 – 6x = 8, ou melhor, (x – 3)2 = 17
resolvendo x − =3 17 resolvendo x − = −3 17
x
x
− =
↓
= +
3 17
3 17 
x
x
− = −
↓
= −
3 17
3 17
O conjunto-solução é S = + −{ }3 17 3 17, 
→ X2 – X + ... = X – ...
2
C E D E R J 117
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1
5
 
ATIVIDADES
2 = 25;
b. x2 + 12x = 64;
c. 4x2 – 4x + 1 = 0.
2. Na equação x2 – 8x + ? = 0, responda:
a. Colocando 16 no lugar de ? , qual será a solução da equação?
b. E se colocarmos o 15 no lugar de ? ?
c. E se colocarmos o 20 no lugar de ? ?
118 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
PASSAMOS O TERMO INDEPENDENTE 
c
a
 PARA O SEGUNDO MEMBRO.
÷ 2
DEMONSTRAR OU NÃO A FÓRMULA DE BHASKARA? 
A maioria dos professores de Matemática demonstrou, ao menos 
uma vez em sua vida profi ssional, a fórmula x
b b ac
a
= − ± −
2 4
2
 para 
alunos da 8ª série do Ensino Fundamental. De acordo com depoimentos, a 
vivência dessa experiência é quase traumatizante. Certa vez um professor 
falou: 
parece que se abriu uma espécie de buraco negro no quadro, por 
onde os alunos ultrapassam em uma grande viagem... Alguns deles 
fi caram quietinhos só olhando, outros copiando desesperadamente, 
mas eu podia escrever qualquer insensatez...
Depois da primeira experiência em turmas de cursos regulares, a 
maioria dos professores desiste da demonstração e simplesmente oferece 
a fórmula para que os alunos encontrem o valor numérico da equação. 
E você o que faria? Demonstraria ou não a fórmula de Bhaskara?
A estratégia utilizada na dedução da fórmula é basicamente a que 
fi zemos quando completamos quadrados. 
Considere uma equação do 2º grau qualquer (ax2 + bx + c = 0) e 
uma outra, por exemplo, 2x2 – 9x + 4 = 0. Vamos encontrar a fórmula 
trabalhando simultaneamente com essas duas equações. 
Para começar, vamos dividir a equação por a, pois essa estratégia 
torna mais fácil completar os quadrados.
ax bx c2 0+ + = 2 9 4 02x x− + =
÷ a
x
b
a
x
c
a
2 0+ + = x x2 9
2
2 0− + =
PASSAMOS O TERMO 
INDEPENDENTE 2 PARA O 
SEGUNDO MEMBRO.
x
b
a
x
c
a
2 + = − x x2 9
2
2− = −
C E D E R J 119
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1
5
 
SOMAMOS NOS DOIS MEMBROS O 
TERMO QUE FALTA PARA COMPLETAR 
O QUADRADO, QUE É b
a
b
a2 4
2 2
2




=
SOMAMOS 9
4
81
16
2




= 
NOS DOIS MEMBROS DA 
EQUAÇÃO.
x
b
a
x
b
a
c
a
b
a
2
2
2
2
24 4
+ + = − + x x2
9
2
81
16
2
81
16
− + = − +
FAZEMOS A SOMA − +c
a
b
a
2
24
.
FAZEMOS A SOMA 
− +2 81
16
.
x
b
a
x
b
a
b ac
a
2
2
2
2
24
4
4
+ + = − x x2 9
2
81
16
49
16
− + =
FAZEMOS A TROCA DE 
x
9
2
2 − +x 81
16
 POR x
9
4
2




.
x +
b
2a
=
b - 4ac
4a
2 2
2




x
9
4
=
49
16
2
−



FAZEMOS A TROCA DE
x
b
a
2
2
2
+ +x b
a4
 POR x
b
2a
+



2
.
120 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
Para acabar de resolver, precisamos pensar que número ao 
quadrado tem como resultado o segundo membro. Esse número é a 
raiz quadrada! Vamos continuar resolvendo...
x x+ = − + = − −b
a
b ac
a
ou
b
a
b ac
a
ii ii
2
4
4 2
4
4
2
2
2
2
 x x− = − = −9
4
49
16
9
4
49
16
ii iiou
melhorando...
x x+ = − − + = − −b
a
b ac
a
ou
b
a
b ac
a
ii ii
2
4
2 2
4
2
2 2
 
x x− = − = −9
4
7
4
9
4
7
4
ii iiou
Isolando x...
x x= − + − = − − −b
a
b ac
a
ou
b
a
b ac
a
ii ii
2
4
2 2
4
2
2 2
 
x x= + = −9
4
7
4
9
4
7
4
ii iiou
Finalmente...
x x= − + − = − − −b b ac
a
ou
b b ac
a
ii ii
2 24
2
4
2
 
x x= = = =16
4
4
2
4
1
2
ii iiou
Chegamos, assim, à fórmula que resolve todas as equações de 2º grau.Isso é um grande 
feito! Mas, para isso, é necessária muita habilidade algébrica, e talvez seja por isso que alunos e 
professores muitas vezes utilizam a fórmula sem demonstrá-la.
Observe com atenção a equação e a fórmula que a soluciona. Quantas variáveis existem 
nesta fórmula? Quais são elas?
Equação Fórmula
ax bx c2 0+ + =
x
b b ac
a
= − ± −
2 4
2
Utilizamos três variáveis na fórmula e os coefi cientes a, b e c da equação. Quando você 
utiliza a fórmula para resolver a equação do 2º grau, ela deve estar “arrumadinha”, isto é, na 
forma reduzida, e você deve retirar corretamente os três coefi cientes da equação. Vamos trabalhar 
paralelamente a demonstração da fórmula e a resolução da equação. 
Destacando da equação 2x2 – 9x + 4 = 0 os seus coefi cientes a = 2, b = –9 e c = 4 e 
substituindo-os na fórmula, obtemos: 
x =
− −( ) ± −( ) −
= ± − = ± − ±
9 9 4 2 4
2 2
9 81 32
4
9 49
4
9 7
4
2 . .
.
,
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1
5
 
o que nos dá como raízes 9+7
4
= 4 e
9 7
4
=
1
2
.
Portanto, o conjunto-solução é S = 4, 1
2






.
Dessa maneira, chegamos à solução bem mais rápido.
ATIVIDADE
3. Será que toda equação do segundo grau possui sempre duas soluções? 
O que você tem a dizer sobre isso utilizando a fórmula de Bhaskara?
COMENTÁRIO
Basta analisar o valor de b2 – 4ac. Caso você tenha alguma 
difi culdade, encontrará a resposta durante esta aula.
DISCRIMINANTE 
Provém do latim. Dis 
signifi ca separar ou 
distinguir e crimem 
indício. A palavra 
pode ser entendida 
como aquilo que 
distingue um indício.
∆ = b2 – 4ac não é o único contexto da Matemática onde aparece o termo discriminante. Na resolução 
de um sistema linear pelo método de Cramer, o determinante formado pelos coefi cientes das variáveis é 
chamado também de discriminante.
Vejamos, o sistema de equações 
ax by m
cx dy n
+ =
+ =



. Ao resolvê-lo, encontramos x
md bn
ad bc
e y
an mc
ad bc
ii ii= −
−
= −
−
. 
Observe que o sistema tem a representação matricial 
ax by
cx dy
m
n
+
+





 =





 , assim, o denominador de x e y é 
∆ = = −
a b
c d
ad bc .
!
Observe que, na dedução da fórmula, a etapa.
x+ b
2a
= b 4ac
4a
2 2
2






.
O valor de 4a2 é sempre positivo. Assim, b2– 4ac é responsável 
pelo sinal do segundo membro da igualdade. Como temos no primeiro 
membro da igualdade um número elevado ao quadrado, o primeiro 
membro será sempre positivo. Dessa maneira, a igualdade só será 
verdadeira se b2 – 4ac 0≥ .
O valor de b2 – 4ac é chamado de DISCRIMINANTE e indicado por ∆.
122 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
Podemos distinguir três casos relacionando o valor do discriminante 
∆ e a solução da equação.
∆ < 0 → a equação não tem raiz real.
∆ = 0 → a equação tem uma raiz real de multiplicidade 2.
∆ < 0 → a equação tem duas soluções reais distintas.
ONDE TUDO COMEÇOU!
Há uma suspeita de que no Egito já houvesse alguma técnica de 
resolução de equação do 2º grau, mas não há registro sobre o assunto. 
Essa suspeita se deve ao conteúdo do papiro de Kahun, no qual aparece 
uma equação do tipo x2 + y2 = k, onde k é um número positivo.
Na Mesopotâmia foi encontrado o primeiro registro de uma 
equação polinomial do 2º grau feito por um escriba, em 1700 a.C., 
aproximadamente, em uma tábula de argila. Sua apresentação e forma 
de resolução era retórica, ou seja, a tábula era escrita com palavras 
consideradas como uma “receita matemática” infalível para solucionar 
tal tipo de equação e que fornecia somente uma raiz positiva.
De acordo com registros da História da Matemática, esse povo 
resolveu o problema, por meio de uma receita, que pode ser descrita da 
seguinte forma:
Tome a metade de 100, que é 50; multiplique 50 por 50, o que dá 
2.500; some 2.500 a 7.500, obtendo 10.000, que é o quadrado de 100; 
subtraia a metade de 100(coefi ciente de x) de 100 (último resultado 
encontrado); assim, o resultado é 50 (EVES, 1997, p. 78).
A solução do problema do terreno é x = 50, fazendo com que a 
área do terreno original fosse de 2.500m2.
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1
5
 
UM PASSEIO PELA GRÉCIA
Os gregos resolveram inúmeros problemas matemáticos com 
um tratamento geométrico. A resolução de equações do 2º grau foi um 
deles. 
A equação x2 + 100x – 7.500 = 0 seria resolvida pelos gregos 
assim:
Primeiro constrói-se um segmento AB de medida 100.
A B
Agora, devemos construir o ponto médio (P) do segmento AB.
Traçamos um segmento B perpendicular ao segmento AB medindo
7500 e construímos o segmento BE.
Para construir precisamente uma raiz quadrada, você pode usar a 
relação métrica no triângulo retângulo h2 = mn. Construindo um 
triângulo retângulo com a hipotenusa medindo m + n, onde m e 
n são as projeções dos catetos, temos na altura desse triângulo a 
mn . Fazendo n = 1, temos que h m= 
No nosso caso, podemos construir um triângulo retângulo cujas 
projeções dos catetos meçam 7500 e 1. Assim, teremos h = 7500.
!
1m
E
BPA
124 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
Para fi nalizar, projetamos o segmento PE sobre a reta que contém 
o segmento AB encontrando o ponto Q.
E
QBPA
A medida do segmento AQ é a solução da equação do 2º grau.
Vamos entender o processo? Resolvemos uma equação do tipo 
x2 + ax – b2 = 0, onde os números a e b são positivos. Sabemos que a 
solução positiva dessa equação é x
a a b= − + +
2 24
2
.
Colocando medidas na construção realizada, temos:
AB a e BE bii ii= = .
E
QBPA
a
b
C E D E R J 125
A
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1
5
 
Considerando o triângulo retângulo PBE, temos que PB
a=
2
, pois 
p é ponto médio de AB, e BE b b= =2 .
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos:
PE
a
b
2
2
2
2
= 



+ .
Como PE PQ PQ
a
b
a b= = + = +,
2
2
2 2
4
4
2
.
AQ AP PQ
a a b a a b= + = + + = + +
2
4
2
4
2
2 2 2 2
.
No exemplo demonstrado, a medida a solução da equação é: 
AQ AP PQ= + = + + = + = + =100 100 4 7500
2
100 40000
2
100 200
2
150
2 .
. 
Naquela época, a solução encontrada era apenas a positiva, já 
hoje em dia, a solução dessa equação é 150 e – 50. Confi ra!
Como resolver uma equação do tipo x2 – ax + b2 = 0?
A construção é a seguinte: partimos do segmento AB de medida 
a e construímos o ponto P, ponto médio de AB. A partir de P, subimos 
uma perpendicular e encontramos o segmento PE b= .
P B Q
E
b
a
2
Observe que por construção os segmentos PE e PQ são congruentes.
!
126 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
 ATIVIDADE
4. Justifi que o método de resolução apresentado para equações do tipo 
x2 – ax + b2 = 0.
O MÉTODO DE AL-KOWHARIZMI
Al-Kowharizmi, um matemático árabe do século X d.C., 
apresentou um método de construção geométrica atualmente conhecido 
como o método de completar quadrados.
E
Q BPA
a
Para fi nalizar, traçamos um círculo de raio AP com centro E, 
considerando Q o ponto de interseção à direita de P. Novamente, a 
medida do segmento AQ é a solução da equação do 2º grau. Veja:
C E D E R J 127
A
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1
5
 
x2
Agora, um retângulo de lados medindo x e 10. A área desse 
retângulo mede 10x.
10x
Obtêm-se quatro retângulos de dimensões x e 2,5, dividindo-se o 
retângulo anterior em quatro partes iguais.
2,5x
2,5x
2,5x
2,5x
Ele apresentou e solucionou a equação x2 + 10x = 39, da seguinte 
forma:
Considera-se o quadrado a seguir cujo lado é x, ou seja, possui 
área x2.
Dispomos os retângulos no quadrado de medida de lado x e 
completamos o novo quadrado.
2,5x
2,5x
2,5x 2,5x
2,52 2,52
2,52 2,52
x2
128 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
A área do novo quadrado formado é (x+ 5)2.
Calculando essa área, usando a decomposiçãoda fi gura, temos 
x2 + 10x + 4.(2,5)2 = x2 + 10x + 25.
Como a equação inicial era x2 + 10x = 39, substituindo em x2 + 
10x + 25, teremos o cálculo da área da seguinte forma: 39 +25 = 64.
Assim desejamos obter um número que, somado com 5, dê a área 
do quadrado de lado medindo 8, ou seja, x + 5 =8, encontrando x = 3.
O método dos árabes está bastante próximo ao método do usado 
no mundo europeu a partir do século XVII. Completar quadrados, 
juntamente com uma boa notação e a solidifi cação do conceito de 
número negativo, ajudaram na elaboração e utilização da fórmula 
de resolução geral que usamos até os dias de hoje.
CONCLUSÃO
Procuramos mostrar a você a importância de levar o aluno a 
entender o processo de resolução das equações do segundo grau e de 
que maneiras esses processos podem proporcionar um aprendizado e 
aperfeiçoamento na sua formação. Refl ita sobre aquela pergunta feita 
no início da aula: Demonstrar ou não a fórmula de Bhaskara?
 O professor deve possibilitar ao aluno a construção dos conceitos 
por meio de processos ou levar em conta apenas o produto fi nal? Não 
só esses, mas outros questionamentos devem ser feitos por você. 
As ferramentas algébricas são muito importantes na Matemática, 
mas não devem ser utilizadas sozinhas todo o tempo, por isso foram 
apresentados processos históricos que são baseados em construções 
geométricas. Além das atividades de investigação que a História da 
Matemática proporciona, a aula pode se tornar muito mais suave e 
interdisciplinar. Procure livros sobre a História da Matemática, você 
descobrirá uma excelente fonte de atividades investigativas. 
C E D E R J 129
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1
5
 
• Substitua o coefi ciente de x2 (a = 8) por 1.
• Mantenha o coefi ciente de x (b = –11).
• Multiplique o termo independente (c = 3) pelo coefi ciente original de x2 (a = 8), obtendo 24.
• A nova equação é x2 – 11x + 24 = 0.
• É fácil resolvê-la por “soma e produto”, encontrando x’ = 3 e x’’ = 8 como raízes.
• Para obter as raízes da equação original, basta dividir as raízes encontradas na segunda equação 
pelo coefi ciente de x2 na equação original (a = 8).
• Assim, as raízes da equação 8x2 – 11x + 3 = 0 são x e xii ii1 2e xii
3
8
8
8
1=e xii 2e xii = .
ATIVIDADE FINAL
1. No decorrer dos tempos, o Homem se defrontou com inúmeros problemas que 
recaem numa equação do 2º grau (ax2 + bx + c = 0). Vários métodos podem ser 
usados na resolução desse tipo de equação. 
Uma maneira de resolver essa equação é por “soma e produto”. Nesse método, um 
cálculo mental simples permite identifi car as raízes. Você descobre, por exemplo, 
que as raízes de x2 – 7x + 10 = 0 são 2 e 5. No entanto, nem todas as equações são 
fáceis de resolver por “soma e produto”.
Você já pensou em resolver “de cabeça” a equação 8x2 – 11x + 3 = 0? Complicado, 
não? Pois é, mas existe uma maneira de fazê-lo por meio das regras abaixo.
R E S U M O
O método de completar quadrados é uma importante estratégia na resolução de 
equações. Existem equações com duas soluções distintas, duas iguais ou que não 
possuem nenhuma solução real. Isso é verifi cado no momento do uso da fórmula 
em que o número de soluções reais fi ca determinado. 
Algumas formas de resolução da equação do 2º grau de povos antigos foram 
exploradas, para apresentar a você, futuro professor, outras abordagens deste 
tipo de equação, além da fórmula de Bhaskara. 
130 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
a. Utilize o método descrito para resolver a equação 5x2 + 9x + 4 = 0.
b. Justifi que algebricamente por que o método funciona.
AUTO-AVALIAÇÃO
As atividades desenvolvidas na aula têm o objetivo de mostrar a você diferentes 
formas de entender a resolução de equações do 2º grau. Procuramos mostrar a 
você processos geométricos para a obtenção das soluções positivas. A Atividade 1
proporciona a você exercitar o método algébrico de completar quadrados. Se 
houver dúvida, releia o encaminhamento feito antes da atividade. A Atividade 2
é relevante, na medida em que trabalha a importância do discriminante na 
obtenção de raízes.
Na Atividade Final, você integra conhecimentos sobre soma e produto das raízes 
com o uso da fórmula de Bhaskara e a ainda trabalha a questão das justifi cativas 
matemáticas. Se achar que o número de exercícios é insufi ciente, procure mais 
alguns em livros da 8ª série do Ensino Fundamental ou até mesmo na internet.
INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você trabalhará com a multiplicação e fatoração de expressões.
C E D E R J 131
A
U
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1
5
 
Atividade 1
a. 1 e – 4.
b. 4 e –16.
c. 1
2
Atividade 2
a. 4.
b. 5 e 3.
c. A equação não tem solução real.
Atividade 4
A solução positiva dessa equação é x
a a b= + +
2 24
2
.
Considerando o triângulo retângulo EPQ, temos que EB
a=
2
, pois PE b b= =2 .
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos: PQ
a
b PQ
a
b
2
2
2
2
2
2 4
=



+ → = + .
PQ AP PQ
a a a b a a b= + = + + + = + +
2
4
2
4
2
2 2 2 2
Atividade Final
a.
5x2 + 9x + 4 = 0
x2 + 9x + 4 = 0
x2 + 9x + 20 = 0
As raízes da equação original 5x2 + 9x + 4 = 0 são − − = −4
5
5
5
1i ie .
a = 5 será substituído por 1
e b = 9 será mantido.
c = 4 será substituído por 
c = 4.5 = 20
Resolvendo esta equação por soma e 
produto, encontramos as raízes –4 e –5. 
RESPOSTAS
132 C E D E R J
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula 
 de Bhaskara...
b. Seja uma equação qualquer ax2 + bx + c = 0. Fazendo as substituições: a → 1, 
b → b e c → ac, obtemos a equação x2 + bx + ac = 0. Vamos resolver esta equação 
utilizando a fórmula de Bhaskara. Suas raízes são dadas por x
b b ac= − ± −
2 4 1
2
. .
. Agora 
compare estas soluções com as da equação ax2 + bx + c = 0, que são − ± −b b ac
a
2 4
2
. 
Qual a diferença? As soluções da nova equação estão multiplicadas por a. Por isso, 
ao encontrarmos por soma e produto as soluções da nova equação, é necessário 
dividi-las por a para se chegar às soluções corretas da equação original.
Mais álgebra: multiplicando 
e fatorando casos notáveis!
Pré-requisitos 
Para o bom desenvolvimento desta 
aula, é necessário que você conheça 
o conceito de área e saiba manipular 
algebricamente as expressões.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho com 
expressões algébricas.
16AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
• Relacionar o conceito de área de retângulo 
com os casos de multiplicação e fatoração 
de expressões.
• Analisar o estudo de fatoração nas expressões 
algébricas.
• Aplicar as expressões em diferentes contextos 
matemáticos: numéricos, algébricos 
e geométricos.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
134 C E D E R J
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá você encontrará diferentes animações 
e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
As expressões algébricas aparecem com certa freqüência nas resoluções de 
problemas matemáticos, e, dessa forma, torna-se fundamental reconhecê-las 
e resolvê-las. Durante o Ensino Fundamental e o Médio, você deve ter tido a 
oportunidade de estudar vários tipos de expressões. Lembra-se dos produtos 
notáveis: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma 
pela diferença e do cubo da soma? E dos casos de fatoração: diferença de 
quadrados, trinômio quadrado perfeito, fator comum e agrupamento? Talvez 
até você lembre dos nomes, ou somente de alguns casos. De qualquer forma, 
nesta aula vamos rever e aprofundar com o auxílio da Geometria todos esses 
casos, falar da sua importância e aprofundar alguns contextos na Matemática. 
Vamos também discutir como são abordados esses tópicos e o fato de os 
alunos terem tantas difi culdades ao lidar com essa parte da Álgebra que tem 
início, mais ou menos, pela7a série do Ensino Fundamental. 
INTRODUÇÃO
PARA QUE SERVE A ÁLGEBRA DOS PRODUTOS NOTÁVEIS E 
DA FATORAÇÃO?
Há alguns temas desenvolvidos na Matemática do Ensino 
Fundamental cuja aplicação se restringe à própria Matemática. Tal fato 
acontece com os produtos notáveis e casos de fatoração, que normalmente 
são vistos no programa de 7a série.
Esses assuntos são ferramentas matemáticas que agilizam a solução 
de problemas, desde os relacionados à própria Álgebra até questões 
ligadas à Geometria Espacial (estudo dos paralelepípedos reto-retângulos, 
por exemplo). No entanto, ao estudá-los, os alunos normalmente se 
vêem diante de intermináveis listas de exercícios de mecanização de 
procedimentos, que normalmente tornam-se repetitivos e sem sentido.
Uma alternativa possível para tornar mais suave o estudo da 
Geometria é aquela em que o aluno visualiza os mecanismos algébricos 
e fortalece seus conhecimentos sobre os retângulos e quadrados, seus 
Esperamos que você, futuro professor de Matemática, proporcione junto a seus alunos 
atividades que explorem simultaneamente a Álgebra e a Geometria.
!
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6
 
C E D E R J 135
Durante a aula, como iremos trabalhar com retângulos e quadrados e precisaremos 
indicar suas áreas, para um melhor entendimento dos produtos, convencionaremos, 
então, que as medidas das áreas das figuras serão escritas dentro das figuras, 
conforme o exemplo, onde estão indicados um quadrado de lado a e área a2 e um 
retângulo de dimensões a e b e área ab.
comprimentos e suas áreas. Nesse caso, o professor pode ressaltar que a 
fatoração e a aplicação de produtos notáveis na resolução de problemas 
depende de uma identifi cação inicial da expressão algébrica, ou seja, 
quem está resolvendo o problema precisa perceber e identifi car que a 
expressão algébrica presente na solução pode ser fatorada ou escrita de 
outra forma, por ser um produto notável. 
b
aa2 ab
O QUE SÃO OS PRODUTOS NOTÁVEIS?
Algumas multiplicações aparecem com uma certa freqüência no 
desenvolvimento de idéias, de problemas ou em demonstrações matemáticas. 
É o que acontece com os produtos (a + b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b) e (a + b)3. 
Esses produtos são chamados produtos notáveis, e estão diretamente 
relacionados à fatoração, que também abordaremos nesta aula. Para 
entendê-los melhor, vamos associá-los a fi guras geométricas.
Quando relacionamos a Álgebra com a Geometria, restringimos o universo trabalhado 
aos reais positivos. É importante que, adotando esse enfoque, o professor amplie esse 
universo com outras problematizações.
!
Vejamos a área da fi gura a seguir, cujo lado mede a. Sua área mede 
a2. Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, passamos a ter 
um quadrado de lado a + b; assim, a área do novo quadrado é (a + b)2.
a
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
136 C E D E R J
a2
(a+b)2
a b
Quando os alunos desenvolvem a expressão (a + b)2, que é o quadrado 
da soma de a com b, normalmente encontram a2 + b2. Os professores, por 
sua vez, chamam a atenção, por meio de exemplos, que as duas expressões 
não são iguais. Por exemplo, (3 + 4)2 = 72 = 49, que não é igual a 32 + 42 = 9 
+ 16 = 25. Porém, a prática nos mostra que os exemplos não são sufi cientes 
para que esse tipo de erro não ocorra mais; alguns alunos voltam a cometer 
esse mesmo erro.
Utilizando a Geometria, o aluno pode perceber, por meio dos 
quadrados envolvidos, que a soma das áreas de dois quadrados é diferente 
da área do quadrado cujo lado é a soma dos lados dos quadrados 
anteriores, isto é, a2 + b2 = (a + b)2. Veja na fi gura que se segue.
(a+b)2
a2
b2
a b
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C E D E R J 137
Percebemos visualmente que a soma das áreas dos quadrados 
menores é menor que a medida da área do quadrado maior.
Então, o que está faltando para termos uma igualdade? Para 
visualizarmos o que falta, vamos reorganizar esses quadrados. 
a2
b2
a b
(a+b)2
a b
Com esta nova disposição dos quadrados, percebemos que estão 
faltando dois retângulos de dimensões a e b, cuja área é ab.
aba
b
ab
b
a
Veja como fi ca decomposto o quadrado de lado a + b, utilizando 
o quadrados de lado a, o de lado b e os dois retângulos de lados a e b.
ab
aba2
b2a
b
a b
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
138 C E D E R J
Observe que o quadrado de lado a + b possui a mesma área que a 
soma das áreas dos dois quadrados com as áreas dos dois retângulos. Usando 
as expressões das áreas e somando os termos semelhantes, temos que:
(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab = a2 + 2ab + b2.
Isso signifi ca que (a + b)2 – (a2 + b2) = 2ab, isto é, o que falta 
acrescentar à área dos dois quadrados menores para se chegar à área 
do maior quadrado é exatamente a soma das áreas dos dois retângulos 
de lados a e b.
Portanto, (a + b)2 = a2 + b2.
O que acabamos de fazer não é uma demonstração de que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, 
pois, ao usarmos as formas geométricas, trabalhamos somente com medidas positivas. 
A demonstração desse fato é feita desenvolvendo o próprio produto que é repetido, veja: 
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2, pois ab = ba nos conjuntos 
numéricos N, Z, Q e R.
!
1. Faça o desenho, utilizando quadrados e retângulos, conforme acabamos 
de ver, para mostrar que:
a. (x + 2)2 = x2 + 4x + 4.
b. (3 + 2x)2 = 9 + 12x + 4x2.
Agora, vejamos como a Geometria nos ajudará a compreender que:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
2. Demonstre algebricamente que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
COMENTÁRIO
Caso você tenha alguma difi culdade na realização dessas atividades, 
não se preocupe, pois o assunto será mais bem desenvolvido a seguir. 
A utilização de números em malhas (papel) quadriculadas também 
pode ser um ótimo recurso para uma boa visualização numérica.
ATIVIDADES
A atividade está desenvolvida no decorrer de sua leitura.
!
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Precisamos arrumar um quadrado cujo lado meça a – b, e a – b > 0, 
logo, a > b. Para isso, vamos partir de um quadrado de lado a, do qual 
retiraremos o comprimento b. Observe:
b2 b(a-b)
b(a-b) (a-b)2
a2
b a-b
a
a
Para encontrar a área do quadrado de lado a–b, partindo do 
quadrado de lado a, precisaremos retirar os dois retângulos e o quadrado 
de lado b. Dessa forma, obtemos a seguinte expressão, que nos dará o 
valor de (a – b)2:
(a – b)2 = a2 – 2.b(a –b) – b2 = a2 – 2ba + 2b2 – b2 = a2 – 2ab + b2
Área do quadro de lado a.
Área dos dois retângulos 
de lados b e a-b.
Área do quadro de lado b.
Uma outra forma de mostrar essa igualdade é trabalhar com os 
retângulos de lados a e b, conforme indica o desenvolvimento da expressão. 
Do quadrado de lado a, retiraremos dois retângulos de lados a e b.
b
a
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
140 C E D E R J
(a-b)2
b a-b
a2
a
Você não pode deixar de perceber que, ao retirar esses dois 
retângulos, estamos retirando duas vezes o quadrado de lado b. Veja:
a
b
b2 b2
b
a
Portando, devemos acrescentar a área desse quadrado. Escrevendo 
essas ações matematicamente, temos:
a2
a2 – 2ab
a2 – 2ab + b2
(a–b)2 = a2 – 2ab + b2
Retiramos dois retângulos de área ab.
Acrescentamos o quadrado de área b2.
Essa área é igual ao quadrado de área (a-b)2.
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C E D E R J 141
Até agora, já temos dois resultados de produtos notáveis:
• Quadrado da soma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• Quadrado da diferença (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. Bruna e Guilherme calcularam a área da moldura colorida do quadrado 
de maneiras diferentes. Bruna somou a área dos quatro retângulos de lados 
30 e x, com a área dos quatro quadrados de lado x.
Guilherme calculou a área total da fi gura e subtraiu a área do retângulo 
branco interno.
Responda:
a. Que expressão representa o cálculo de Bruna?
b. Que expressão representao cálculo de Guilherme?
c. Como você confi rma que as duas expressões são iguais?
COMENTÁRIO
Este tipo de atividade é uma aplicação prática de produtos do tipo 
(a + b)2 e (a – b)2. Também encerra o envolvimento de cálculo de 
área por partes (por decomposição).
ATIVIDADE
x
x
30
30
Vamos, então, ao terceiro produto notável, que é o produto 
(a + b).(a – b), chamado produto da soma pela diferença. Fazendo a 
multiplicação e usando a distributiva, obtemos (a + b) (a – b) = a2 + 
ba – ab – b2, e como ba = ab, temos que (a + b) (a – b) = a2 – b2.
Para mostrar geometricamente tal fato, vamos partir do segundo 
membro da equação, isto é, de um quadrado de lado a, retiraremos um 
quadrado de lado b e mostraremos que a parte que fi ca possui área igual 
à do retângulo de lados a + b e a – b.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
142 C E D E R J
b
a–b
a
a–b
Retângulo de 
lados b e a–b. Retângulo de 
lados a e a–b.
Retirando o quadrado de área b2, restaram dois retângulos: um 
deles de dimensões a – b e a, e o outro de lados a – b e b.
a–b
a
b
a–b
Que podemos reagrupar, formando um retângulo de dimensões 
a + b e a – b. Veja:
a b
a–b
a+b
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6
 
C E D E R J 143
Dessa forma, mostramos para a e b positivos e a > b que 
(a + b).(a – b) = a2 – b2.
4. Certo dia, uma professora de Matemática foi à padaria. Lá, um funcionário 
a desafi ou:
A professora logo entendeu que o resultado sempre daria 5, independentemente 
do número pensado (e este deveria ser diferente de zero). Como ela pôde 
perceber esse fato?
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________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
COMENTÁRIO
Analisar por que esta seqüência de operações funciona é uma ótima 
atividade para o desenvolvimento do pensamento algébrico e do 
sentido numérico.
ATIVIDADE
MAIS PRODUTOS NOTÁVEIS: O CUBO DA SOMA...
Vamos agora investigar o cubo da soma, isto é, a expressão (a + b)3. 
Geometricamente, quando pensamos no quadrado de um número positivo 
(a2), remetemo-nos à imagem da área de um quadrado de lado a, mas no 
caso do cubo de um número positivo (a3), associamos esse valor à medida 
do volume de um cubo de aresta a. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
144 C E D E R J
a
a
a
a3a2
a
Supondo que a e b são números positivos, pensar geometricamente 
em (a + b)3, signifi ca pensar no volume de um cubo de aresta (a + b). 
Como (a + b)3 = (a + b)2.(a + b), primeiro pensamos na área de um 
quadrado de lado a+b e a partir daí levantamos um cubo, isto é, desta 
base levantamos arestas de mesma medida a + b. 
b
a
ab b2
a2 ba
a b
a
b
Podemos imaginar que sobre esta área dividida em quatro áreas – a2, 
ab, ba e b2 – subirão quatro prismas de altura a + b, ou melhor, oito 
prismas, quatro de altura a e mais quatro de altura b. Veja a tabela que 
indica esses oito prismas.
Prisma Área da base Altura Volume
I a2 a a3
II ab a aba = a2b
III b2 a b2a = ab2
IV ba a ba2 = a2b
V a2 b a2b
VI ab b ab2
VII b2 b b3
VIII ba b b2a = ab2
a
A
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C E D E R J 145
Dessa forma, o volume do cubo de aresta a + b, que é (a + b)3, nada 
mais é do que a soma dos volumes desses oito prismas, isto é, (a + b)3 = 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Observe esses oito prismas destacados na fi gura a seguir:
Usando a geometria do cubo, mostramos, para a e b positivos, que 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Se você desejar verifi car esse resultado 
algebricamente, basta fazer as multiplicações (a + b).(a + b).(a + b) e 
somar os termos semelhantes.
5. Aproveitando o resultado do cubo da soma, mostre o resultado do 
desenvolvimento do cubo da diferença (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
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________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
COMENTÁRIO
Você deve ter visto que mostrar algebricamente é mais fácil que 
geometricamente. No entanto, esta última forma é extremamente 
importante para o entendimento desse tipo de expressão.
ATIVIDADE
a b
a
b
ab
b2
a2
a
b
ab
Prisma de base a2 e 
altura a V= a3 
Prisma de base a2 e 
altura b V= a2b 
Prisma de base ab e 
altura a V= a2b 
Prisma de base ab e 
altura b V= ab2 Prisma de base b2 e 
altura b V= b3 
Prisma de base ab e 
altura b V= ab2 
Prisma de base b2 e 
altura a V= ab2 
Prisma de base ab e 
altura a V= a2b 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
146 C E D E R J
FATORAÇÃO...
O que é fatorar? Fatorar é escrever um número como produto 
de fatores. O paradigma da fatoração em fatores primos traz uma idéia 
para muitos alunos de que fatorar é o processo:
12 2
 6 2
 3 3
 1
Essa idéia não leva em consideração a escrita do número em forma 
de produto: 12 = 2.2.3.
Descontruindo essa idéia e usando o fato de que se a = b, b = a, 
temos, na propriedade distributiva e nos produtos notáveis, os casos de 
fatoração usualmente trabalhados no Ensino Fundamental.
O caso de fatoração conhecido como fator comum consiste na 
escrita em forma de produto, na qual um dos fatores é um fator comum 
aos termos do polinômio.
Por exemplo: na expressão 4x2 – 4xy; 4x é o maior fator comum 
aos termos 4x2 e –4xy; assim, podemos escrever que 4x2 – 4xy = 4x(x – y). 
Observe que esse caso de fatoração nada mais é que a aplicação da 
propriedade distributiva.
Da mesma forma, quando temos
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 – b2 = (a + b)(a – b),
estamos usando os produtos notáveis.
Uma expressão está na forma fatorada quando está representada por meio de um 
produto de fatores; caso contrário, dizemos que a expressão está na forma não-
fatorada. Veja a tabela.
Forma fatorada Forma não-fatorada
(x+3)2 x2 + 6x +9
(2x –1)2 4x2 – 4x + 1
(x – 1)3 x3 – 3x2 + 3x – 1
(2x + 5) (2x –5) 4x2 – 25
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C E D E R J 147
Assim, os dois primeiros casos são chamados de trinômio 
quadrado perfeito. Trinômio pelo fato de ser o polinômio de três 
termos, e quadrado perfeito por ser o resultado de um número elevado ao 
quadrado. O terceiro caso é chamado de diferença de dois quadrados.
Uma utilização interessante da fatoração é propor atividades que 
estimulem o cálculo mental e a resolução de equações sem fórmula. Veja 
nas atividades.
6. Faça as contas a seguir usando fatoração:
a. 5432 – 2. 543.533 + 5332 =
b. 1752 – 1652 = 
c. = 
7. Resolva as equações usando fatoração:
a. x3 – 16 x = 0
b. 4x5 – 12x4 + 9x3 = 0
8. Leia os seguintes comandos:
• pense num número diferente de zero;
• eleve-o ao quadrado;
• some com o quíntuplo do número em que você pensou no início;
• agora, divida esse resultado pelo número que você pensou.
Garanto que pelo resultado que você encontrar eu descubro esse 
número!
a. Pensando no número 12 e seguindo os procedimentos indicados, qual 
seria o resultado encontrado?
b. Chamando o número pensado de “x”, escreva a expressão algébrica que 
descreva o procedimento.
c. Agora, use fatoração para simplifi car essa expressão! 
d. Qual a relação entre o número pensado e o resultado encontrado?
ATIVIDADES
23.54 + 23.32 + 23.14
 242 – 1 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Maisálgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
148 C E D E R J
USANDO O PRODUTO NOTÁVEL NA FATORAÇÃO DOS 
CUBOS
Vamos fatorar agora as expressões a3 + b3 e a3 – b3. Para isso, 
vamos manipular algebricamente os produtos notáveis (a + b)3 = a3 + 
3a2b + 3ab2 + b3 e (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Da igualdade (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, isolamos um dos 
membros da equação a3 + b3, fi cando assim: a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b 
– 3ab2. Agora, é só usar o fator comum, veja:
a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
a3 + b3 = (a + b) ((a + b)2 – 3ab)
Desenvolvendo o quadrado da soma
a3 + b3 = (a + b) (a2 + 2ab+ b2 – 3ab)
e somando 2ab com – 3ab, chegamos a
Aí está a forma fatorada de a3 + b3. Utilizando a mesma estratégia 
com o cubo da diferença, mostramos que:
-3ab é fator comum desses dois 
termos, portanto, podemos 
colocá-lo em evidência
(a + b) é fator comum desses 
dois termos, portanto, podemos 
colocá-lo em evidência
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab+ b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab+ b2)
CONCLUSÃO
Esta aula apresentou uma alternativa didática para o trabalho feito 
com produtos notáveis e fatoração, feito a partir da 7a série. O uso de formas 
geométricas e das áreas é um importante recurso ao trabalho de sala de 
aula, favorecendo a visualização desses resultados que causam muitas 
difi culdades nos alunos. É uma forma, também, de trabalhar o conteúdo 
de Matemática em espiral.
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C E D E R J 149
ATIVIDADE FINAL
1. A situação a seguir foi proposta no vestibular 2005 da UERJ.
Alguns cálculos matemáticos fi cam mais simples quando usamos identidades, 
tais como:
a2 – b2 = (a + b)(a – b).
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2).
Considerando essas identidades, calcule os valores numéricos racionais mais simples 
das expressões:
a. (57, 62)2 – (42, 38)2.
b. cos6 15º + sen6 15º.
c. Você concorda em apresentar os produtos notáveis no corpo da questão ou acha 
 que isso deveria fazer parte da resolução? Por quê? Discuta com o tutor.
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Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
150 C E D E R J
AUTO-AVALIAÇÃO
Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de justifi cativas geométricas 
para resultados da álgebra. Refl ita sobre seu uso, quando ele é válido ou não e 
em que momentos ele pode ser utilizado no ensino de Matemática.
É relevante você entender que a abordagem feita para esta aula requer mais 
cuidados por parte do professor, pois ela envolve conceitos de Geometria, 
visualização gráfica e uma certa habilidade no trato com as expressões e 
equações. 
Se você entendeu o caso de fatoração dos cubos, alcançou um dos nossos principais 
objetivos desta aula. Caso contrário, você deve fazer mais exercícios que envolva 
fatoração e produtos notáveis. Também é importante que você utilize cartolinas 
com seus alunos para que eles possam confeccionar os quadrados e os retângulos 
necessários para as justifi cativas geométricas desses resultados.
A Atividade Final mostra um exemplo importante de aplicação dos tópicos 
abordados nesta aula, por meio de uma questão de vestibular envolvendo 
resultados de Trigonometria.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você irá passear sobre as curvas que representam os gráfi cos de 
funções, analisando seu comportamento.
O estudo da Álgebra não deve ser reduzido ao uso de letras e equações. A visualização 
geométrica contribui significativamente no desenvolvimento do pensamento 
matemático, especifi camente no pensamento algébrico. 
Existem diferentes atividades que retomam os produtos notáveis e os casos de 
fatoração. Procure outras nas suas anotações do curso ou nos livros de Matemática, 
pois com certeza você encontrará em vários momentos. Neste módulo mesmo, quando 
foi demonstrada a fórmula de Bhaskara e completamos quadrados, foi fundamental 
conhecer o quadrado da soma e o quadrado da diferença.
R E S U M O
A
U
LA
 1
6
 
C E D E R J 151
Atividade 1
x2
2
x 2x
4
x2
2x
3 2x
3
2x
9
6x
6x
4x2
Atividade 2
(a – b) (a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2.
Atividade 3
a. 4x2 + 120x.
b. (2x + 30)2 – 302.
c. Desenvolvendo a expressão obtida por Guilherme, encontramos:
(2x + 30)2 – 302 = 4x2 – 120x + 302 – 302 = 4x2 – 120x, que é a expressão encontrada 
por Bruna.
Atividade 4
O cálculo feito pode ser expresso por:
[2(3x + 1) – x – 2] ÷ x = (6x + 2 – x – 2) ÷ x = 5x ÷ x = 5, se x ≠ 0.
Atividade 5
 (a – b)3 = (a + (-b))3 = a3 + 3a2(-b) + 3a(-b)2 + (-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
a b
RESPOSTAS
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando 
 casos notáveis!
152 C E D E R J
Atividade 6
a. 5432 – 2 . 543 . 533 + 5332 = (543 – 533)2 = 102 = 100.
b. 1752 – 1652 = (175 – 165)(175 + 165) = 10 . 340 = 3400.
c. = = = = 4.
Atividade 7
a. x3 – 16x = 0 x ( x2 – 16) = 0 x = 0 ou x2 –16 = 0.
x2 – 16 = 0 x2 = 16 x = 4 ou x = –4.
Logo, o conjunto-solução é S = {0, 4, –4}.
b. 4x5 – 12x4 + 9x3 = x3 (4x2 –12x + 9) = 0 x3 = 0 ou 4x2 – 12x + 9 = 0
x3 = 0 x = 0 e 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 = 0 2x – 3 = 0 x = .
Assim, o conjunto-solução da equação é S = {0, }.
Atividade 8
a. 122 122 + 5 . 12 = 144 + 60 = 204 204 ÷ 12 = 17.
b. x2 x2 + 5 . x .
c. = , como x é diferente de zero, podemos dividir numerador 
e denominador por x, obtendo o resultado x + 5.
d. O número pensado é 5 unidades menor que o número encontrado.
Atividade Final
a. Observe que a expressão é uma diferença de dois quadrados; logo, podemos 
usar o seguinte produto notável para fatorar essa expressão: (a + b) (a – b)
(57, 62)2 – (42, 38)2 = (57,62 + 42,38).( 57,62 - 42,38) = 100 x 15,24 = 1.524. Viu 
como usando a fatoração foi mais fácil? Para isso, contudo, você precisa saber 
manipular esses resultados.
23 . 54 + 23 . 32 + 23.14
242 – 1
23(54 + 32 + 14)
(24+1)(24-1)
23 . 100
25 . 23
100
25
3
2
x2 + 5x
x
x2 + 5x
x
x(x + 5)
x
3
2
A
U
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 1
6
 
C E D E R J 153
b. Neste caso, vamos usar a soma de cubos, isto é, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2). 
Veja:
cos6 15º + sen6 15º = (cos2 15º)3 + (sen2 15º)3 = 
= (cos2 15º + sen2 15º) (cos4 15º - cos2 15º. sen2 15º + sen4 15º). (A)
Da Trigonometria, temos que cos2 15º + sen2 15º = 1, porém, usando
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, temos 
(cos2 15º + sen2 15º)2 = cos4 15º + 2.cos2 15º. sen2 15º + sen4 15º. Concluímos, então, 
que:
cos4 15º + sen4 15º = (cos2 15º + sen2 15º)2 - 2.cos2 15º. sen2 15º.
Substituindo em A, fi camos com a expressão:
= (cos2 15º + sen2 15º) ((cos2 15º + sen2 15º)2 - 2.cos2 15º.sen2 15º - cos2 15º.sen2 15º) 
= 1. (1 - 3 cos2 15º.sen2 15º) = 1 – 3(cos 15º.sen 15º)2. (B)
Usaremos, agora, outro resultado da Trigonometria: 2 sen x.cos x = sen 2x. Logo,
2 cos 15º.sen 15º = sen 30º 2 cos 15º.sen 15º = cos 15º.sen 15º = .
Voltando em B, temos 1 – 3 .2
 = 1 – 3 . = .
1
2 1
41
4
1
16
13
16
Passeando sobre as curvas: 
uma interpretação gráfi ca
Pré-requisitos 
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
17AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, 
você seja capaz de:
• Empregar gráfi cos e equações no estudo de funções.
• Analisar o estudo de derivada de diversas funções.
Instrumentalizar o trabalho com as curvas que representam 
gráfi cos de funções.
Para acompanhar esta aula, é necessário que você saiba trabalhar com as 
funções e suas derivadas, principalmente no que se refere à construção e 
à análise de gráfi cos. Para isso, volte à Aula 32 do Módulo 4 da disciplina 
Pré-cálculo. Dê uma atenção especial à discussão dos diferentes domínios 
e seus respectivos gráfi cos.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J156
INTRODUÇÃO A análise de representações gráfi cas é uma ação que está presente em vários 
momentos de nossa vida, seja nas leituras de jornais e revistas, nos concursos 
ou no dia-a-dia das nossas profi ssões e nos estudos de fenômenos naturais. 
O gráfi co de uma curva é usualmente representado no plano cartesiano e sua 
análise nos mostra como se relacionam as grandezas envolvidas numa equação. 
A partir dele, podemos retirar todas as informações que precisamos saber a 
respeito do comportamento das variáveis envolvidas. 
Nesta aula, você aplicará seus conhecimentos sobre as funções e seus gráfi cos 
e, para isso, trabalharemos com o software gráfi co WINPLOT. 
O programa WINPLOT 
é uma ferramenta 
computacional para 
fazer gráfi cos de duas 
dimensões (2D) e de 
três dimensões (3D) 
de maneira bastante 
simples. É um software 
inteiramente gratuito 
e foi desenvolvido 
pelo professor Richard 
Parris, por volta de 
1985. É de simples 
utilização, pois no 
menu você encontra 
o recurso “ajuda” e 
o programa aceita as 
funções matemáticas 
de maneira bastante 
semelhante à forma 
como as escrevemos 
em outros contextos. 
Está sempre atualizado 
e existe também na 
versão em português. 
Para obter mais 
explicações sobre 
este programa e 
fazer o download, 
acesse a página: http:
//www.mat.ufpb.br/
~sergio/winplot/
winplot.html#toc1.
FALANDO SOBRE GRÁFICOS
O gráfi co de uma função de ú em ú é o conjunto de todos os 
pontos do plano da forma (x, f(x)), onde x é elemento do domínio da 
função. A primeira idéia que surge quando vamos construir um gráfi co 
é marcar alguns destes pontos no plano cartesiano e ligá-los a partir 
da observação da trajetória formada pelos pontos marcados. Alguns 
alunos, de forma errônea, ligam esses pontos usando segmentos de 
reta ou curvas contínuas. Isso pode levar a uma série de equívocos, e é 
importante que o professor esteja atento. Vejamos alguns exemplos do 
que pode acontecer: 
Na tabela da função f(x) = , marcamos alguns pontos para
observar seu comportamento. 
Lembre-se de acessar esta disciplina na plataforma. 
Lá você encontrará diferentes animações e recursos 
que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
1
x 
X f(x) = 
2
1 1
2
– 2
– 1 – 1
– 2
1
x 
1
2 
1
2 
1
2 
–
1
2 
–
f(x) = 1
x 
A
U
LA
 
17
 
C E D E R J 157
A partir daí, localizamos esses seis pontos no plano. Mas em 
que domínio desejamos construir no gráfi co dessa função? É comum 
que os professores de Matemática tenham a crença de que o domínio 
fi ca subentendido, ou seja, é o conjunto dos números reais ou o maior 
domínio possível contido no conjunto dos números reais.
Na construção desse gráfi co, cujo domínio é formado por todos 
os números reais, com exceção do zero, é importante fi car atento ao fato 
de o zero não possuir imagem por não possuir inverso multiplicativo. 
Apesar de muitas vezes os alunos saberem disso, acontecem diversas 
situações erradas. Uma delas é deixar o gráfi co somente com os seis pontos, 
conforme a fi gura anterior. Numa outra situação, considerando todos os 
reais do intervalo [–2, 2], é comum também que os alunos liguem todos 
os seis pontos usando segmentos de reta. Há ainda os que sabem que 
não podem ser segmentos de reta e ligam os pontos também no intervalo 
[–2, 2] seguindo a trajetória apresentada pelos pontos. Veja, a seguir, como 
fi cam os gráfi cos referentes a essas situações.
Figura 17.1: Alguns erros na construção do gráfi co da função f(x –2, 2].
Os pontos são ligados por 
segmentos de reta.
Os pontos são ligados seguindo
o comportamento dos pontos.
Esses três exemplos apresentados nos mostram que é necessário 
investigar funções cujo comportamento não é linear e que apresentam 
restrições no domínio, pois elas geram novos acontecimentos no 
comportamento da curva. Questões como “Professora, posso ligar os 
pontos?” ou “O gráfi co continua ou pára por aqui?” são bastante comuns 
nessa etapa inicial do estudo das funções. 
1
x 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J158
Para que esse tipo de erro não aconteça, é preciso estar atento a 
algumas questões, como por exemplo: 
- qual é o domínio da função? 
- onde a função é crescente?
- onde a função é decrescente?
- onde a função é positiva?
- onde a função é negativa?
- como o gráfi co se comporta quando x→+∞?
- e quando x→ –∞?
- o que acontece com o gráfi co quando este se aproxima de valores 
que não pertencem ao domínio da função?
real, a única restrição do domínio é o zero, que não possui inverso. 
Se aumentarmos o valor de x, o valor de y diminui. Observe isso tomando 
valores negativos, cada vez mais próximos do zero.
Isto nos mostra que a curva está descendo e que a função é 
decrescente. E quanto mais próximo do zero, menor será a imagem. 
Observe que quando x é um número negativo, sua imagem também é, o 
que faz com que seus pontos se situem no 3º quadrante. Podemos afi rmar, 
então, que a função y = , é negativa para todo x < 0.
E o que acontece quando atribuímos valores positivos numa 
seqüência crescente? Os valores das imagens também diminuem. 
Veja a tabela de pontos.
Portanto, a função é decrescente para valores positivos e quanto 
maior o número que tomamos, mais próximo de zero está sua imagem. 
Agora, para x > 0, todos os pontos situam-se no 1o quadrante, o que 
nos faz ver que a função é positiva para todo x postivo.
1
x 
1
x 
X – 5 – 4 – 3 – 2 – 1
2 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5
1
5 
–
x 1 2 3 4 5
y 5 4 3 2 1
1
4 
–
1
3 
–
1
2 
–
1
2 
–
1
3 
–
1
4 
–
1
5 
–
1
4 
1
5 
1
3 
1
2 
1
2 
1
3 
1
4 
1
5 
A
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17
 
C E D E R J 159
Esta breve análise dessa função, tomando apenas alguns valores, 
leva-nos a importantes conclusões sobre seu gráfi co, como por exemplo: 
quando x é positivo e está se aproximando de zero, é cada vez
maior; quando x é negativo e está se aproximando de zero, é cada
vez menor. Numa linguagem mais formal, escrevemos:
Isto signifi ca que no ponto de descontinuidade, que é o zero, 
temos uma assíntota vertical. Em contrapartida, quando observamos o 
que acontece à direita (x muito grande) e à esquerda (x muito pequeno), 
concluímos que as imagens se tornam cada vez mais próximas de zero, 
isto é, 
Com isso, concluímos que a reta de equação y = 0 (eixo x) é uma 
assíntota horizontal. Agora, vejamos como fi ca o gráfi co da função y = 
usando, para isso, o software gráfi co Winplot.
Para construir o gráfi co da função y = , após ter feito para o seu computador o
download do programa Winplot, siga o roteiro:
• clique em janela 2-dim – ação A
• clique em equação explícita – ação B
• digite a lei da função, y = e clique OK – ação C
• se desejar, utilize o zoom para afastar ou aproximar – ação D
1
x 1
x
lim lim .
x xx
e
x
ii ii
→+∞ →−∞




= 



=1 0 1 0
lim lim .
x xx
e
x→ →+ −




= +∞ 



= −∞
0 0
1 1
Imagens aumentam
x tende a zero 
pela direita
x tende a zero 
pela esquerda
Imagens 
diminuem1
x
1
x
1
x
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J160
Seguindo esses comandos, obtemos o gráfi co a seguir:
RELACIONANDO GRÁFICO COM LIMITES E DERIVADAS...
Vamos aproveitar o que você já estudou sobre derivada e aplicar 
os resultados vistos na função y = .
Você viu nas aulas de Cálculo, no estudo das funções contínuas em 
[a, b] e derivável em ]a, b[, que, nos intervalos onde a derivada é positiva, 
a função é crescente; e onde a derivada é negativa a função é decrescente. 
Figura 17.2: Gráfi co da função f(x) = no domínio ú*.
Ação A
Ação B
Ação C
Ação D
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 1– 2– 3– 4– 5– 6
1
x
1
x
A
U
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17
 
C E D E R J 161
Quando vamos ao estudo do sinal da segunda derivada y” = ,
esse sinal depende do sinal de x3, que como é uma potência de grau 
ímpar, depende do sinal da base, isto é, do sinal de x. Portanto, quando 
x é positivo, a função y”= é positiva e, segundo outro teorema, que
relaciona a segunda derivada com a concavidade da função, a função 
y = possui concavidade para cima. Agora, quando x é negativo, a
função y”= é negativa, o que nos leva a afi rmar que a função neste
intervalo é côncava para baixo. Confi ra isso no gráfi co!
Como para x < 0 a função é côncava para baixo e para x > 0 ela é 
côncava para cima, pode haver um ponto de infl exão em x = 0. Acontece 
que x = 0 não é elemento do domínio; isto signifi ca que acontece uma 
descontinuidade no zero. Dessa forma, a função não possui pontos de 
infl exão. Veja a fi gura a seguir.
Observe o gráfi co e veja que acontece exatamente isso, só que
agora utilizamos o teorema que relaciona o sinal da primeira
derivada com o crescimento e decrescimento da função. 
Para x > 0, a função é decres-
cente e côncava para cima.
Para x < 0, a função é 
decrescente e côncava 
para baixo.
!
Dessa forma, o problema de determinar os intervalos onde uma função é 
crescente e os intervalos onde ela é decrescente se reduz a determinar os 
valores de x para os quais a derivada da função é positiva, isto é, resolver 
a inequação f’(x) > 0, e os intervalos onde ela é negativa, isto é, determinar 
os valores de x para os quais f’(x) < 0.
O que ocorre na função y = 1
x
 onde y’ = – 1
x2
 e y”= 2
x3
? Estudando 
o sinal da primeira derivada y’ = – 1
x2 
, vemos que ela é sempre negativa 
no domínio da função, pois x2 > 0 para todo x, x ≠ 0. Isto signifi ca que 
a função é decrescente para todo x ≠ 0. 
2 
x3 
2 
x3 
1
x 2 
x3 
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6 7
Figura 17.3: Analisando o gráfi co de acordo 
com o sinal das suas derivadas.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J162
O uso de limites nos leva a concluir o comportamento da função 
quando quando e se existem assíntotas verticais, 
como já verifi camos no início da análise deste gráfi co.
ATIVIDADE 
1. Observe o gráfico a seguir, cuja lei é f(x) = 1 – 4
x2
, e responda às 
x i→ − ∞x i→ + ∞,
a. Qual o domínio dessa função?
b. Para que valores de x a função é crescente?
c. Para que valores de x a função é decrescente?
d. A função possui raízes? Quais são?
e. Onde a função é positiva?
f. Onde a função é negativa?
g. Como o gráfi co se comporta quando x i→ + ∞,? E quando 
x i→ − ∞ ?
h. O que acontece quando se aproxima de valores que não pertencem 
ao domínio da função?
i. A função possui assíntotas? Quais são?
CURVAS MUITO ESPECIAIS: AS FUNÇÕES 
Todo gráfi co de uma função é uma curva, mas temos exemplos de 
curvas que não são funções, como por exemplo, as circunferências, as 
elipses e algumas hipérboles que são chamadas de cônicas. Nesta aula, 
vamos tratar das curvas que representam gráfi cos de funções. 
3
2
1
1 2 3 4 5 6
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
f(x) = 1 – 4
x2 
A
U
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17
 
C E D E R J 163
Ao analisar os gráfi cos das funções, normalmente investigamos 
questões do tipo:
1. Qual é o domínio da função?
2. Qual é a imagem da função?
3. Para que valores de seu domínio a função é crescente?
4. Para que valores de seu domínio a função é decrescente?
5. Para que valores de seu domínio a função é constante?
6. Para que valores de seu domínio a função é positiva?
7. Para que valores de seu domínio a função é negativa?
8. A função possui um valor máximo? Qual?
9. A função possui um valor mínimo? Qual?
10. A função possui raízes?
Observando o gráfi co anterior, podemos afi rmar, sem muita 
formalidade, que a curva começa no ponto (–6, 3) e caminha 
continuamente até o ponto (9, –2). Daí, já é possível dizer que o conjunto-
domínio é formado por todos os números reais de –6 a 9, isto é, o intervalo 
[–6, 9]. Agora, sobre o conjunto imagem, precisamos ter mais atenção, 
pois neste caso é necessário observar no percurso da curva, que é 
contínua, qual foi a menor e a maior imagem obtida.
!
O gráfi co de cada função deve nos dar todas as informações de 
que precisamos sobre os elementos do domínio e os elementos 
da imagem. Conseqüentemente, observando o gráfico, 
devemos saber responder a todas as questões anteriores.
y = f(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
– 1
– 2
– 3
– 1– 2– 3– 4– 5– 6
1
2
3
4
5
6
7
Observe o gráfi co da função y = f(x) a seguir e vamos juntos 
responder ao que foi perguntado.
y
x
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J164
Deslizando o lápis sobre a trajetória da curva, vemos que a 
menor imagem alcançada é –3 e a maior imagem é 7. Desta forma, 
Dom f = [–6, 9] e Im f = [–3, 7]. A fi gura a seguir destaca o que 
acabamos de dizer.
Para analisar o crescimento e o decrescimento, lembre-se de que você 
deve sempre observar o comportamento da curva da esquerda para a direita. 
Ao deslizar o lápis sobre a curva, vemos que primeiro ela fi ca constante 
até o ponto (–5, 3), depois desce até o ponto (–3, –3). A seguir, mantém-se 
constante até o ponto (2, –3), de onde ela sobe até chegar no ponto (5, 7), a 
partir do qual a curva começa a descer até seu último ponto, que é (9, –2). 
É com base neste relato que respondemos aos itens 3, 4 e 5. 
Atenção ao responder às perguntas! Devemos dar como resposta 
os valores do domínio da função que a tornam constante, crescente ou 
decrescente. Veja a solução organizada na tabela a seguir. 
A maior imagem é 7
9 é o último elemento do 
domínio que possui imagem
Ponto (– 6,3)
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10– 1– 2– 3– 4– 5– 6
– 1
– 2
– 3
Figura 17.4: Domínio e imagem da função y = f(x).
Observação na curva Valores do domínio Resposta
Constante – gráfi co 
estacionado
de (–6, 3) até (–5, 3) e de 
(–3, –3) até (2, –3)
de –6 a –5 e de –3 a 2 [–6, –5] U [–3, 2]
Crescente – gráfi co sobe de (2, –3) até o ponto (5, 7) de 2 a 5 [2, 5]
Decrescente – gráfi co desce
de (–5, 3) até (–3, 3) e de 
(5, 7) até (9, –2)
de –5 a –3 e de 5 a 9 [–5, –3] U [5, 9]
Tabela 17.1: Análise da função y = f(x)
–6 é o primeiro elemento do 
domínio que possui imagem
a menor imagem é -3
Ponto (9, –2)
y
x
A
U
LA
 
17
 
C E D E R J 165
Agora, vamos aos itens 6 e 7. Para responder a estes itens, é 
importante saber o que é função positiva e função negativa. Uma função 
é positiva quando para todo elemento x de seu domínio tem-se f(x) > 0; 
já no caso em que f(x) < 0 para todo x do domínio, dizemos que a função 
é negativa. Quando falamos do sinal da função, estamos nos referindo 
ao sinal da imagem da função.
No estudo do sinal de uma função, é fundamental conhecermos 
suas raízes, isto é, os valores em que f(x) = 0. A função y = f(x) possui 
três raízes, mas não sabemos o valor exato de duas delas, por isso as 
chamaremos de a e b. Isso já responde ao item 10. 
Observe os intervalos destacados no gráfi co, acima e abaixo 
do eixox. Os que estão acima, juntos, formam o conjunto-solução da 
inequação f(x) > 0, e os que estão abaixo representam todos os valores 
para os quais f(x) < 0.
]– 6, –4[ ]– a, b[
]b, 9]]– 4, a[
Raiz real b
Raiz real aRaiz real – 4
y > 0
y < 0
– 1
– 2
– 3
– 3 – 1– 2– 4– 5– 6 0 1 2 3 4 65 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
Figura 17.5: Estudo do sinal da função y = f(x).
x
y
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J166
Desta forma, os valores que tornam a função positiva pertencem 
ao conjunto [–6, –4[ ∪ ]a, b[, e os valores que tornam a função negativa 
formam o conjunto ]–4, a[ ∪ ]b, 9]. 
Respondendo aos itens 8 e 9, basta verifi car se a função possui uma 
imagem maior e uma menor. Veja no gráfi co que a função possui 
valor máximo igual a 7, que ocorre no ponto (5, 7) e também possui valor 
mínimo igual a –3, que ocorre no intervalo [–3, 2]. Neste conjunto a 
função é constante.
Figura 17.6: Valor máximo e valor 
mínimo da função y = f(x).
Valor máximo 7
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10– 1– 2– 3– 4– 5– 6
– 1
– 2
– 3
Valor mínimo –3
x
y = f(x)
ATIVIDADE 
2. Com base no gráfi co da função y = f1(x) a seguir, responda:
y = f1(x)
1
2
3
4
5
6
7
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
–1–2–3–4–5–6–7–8
–1
–2
–3
–4
–5
y
y
A
U
LA
 
17
 
C E D E R J 167
a. Para que valores do intervalo [-5, 7] a função é estritamente crescente?
b. No intervalo ]0, 9], a função apresenta decrescimento? Em que valores isto 
acontece?
c. Imagine que você esteja viajando continuamente sobre o domínio da função, 
isto é, no intervalo ]-8, 10], e esteja observando crescimento e decrescimento 
dessa função. Como você relataria suas observações?
PASSEANDO SOBRE CURVAS CONHECIDAS...
Veja, a seguir, dois gráfi cos de funções com suas respectivas leis 
e observe suas características, isto é, domínio, imagem, crescimento e 
decrescimento, estudo do sinal, extremos relativos, pontos de infl exão, 
comportamento no infi nito. Refl ita durante um certo tempo antes de 
continuar a leitura.
Figura 17.7: Gráfi cos de duas funções de domínio real para refl exão. 
f(x) = 2x g(x) = x3 – x
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1 2 3 4 5–1–2–4 –3–5
1
2
3
4
6
5
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6 7
Agora que você já investigou as duas curvas, vamos analisá-las. 
Na função f(x) = 2x, podemos fazer as seguintes afi rmações:
• Seu gráfi co está totalmente acima do eixo x e não encosta no eixo x. 
Apesar de o desenho induzir que sim, sabemos que 2x > 0 para todo x. Logo, 
Im f = ]0, +∞[, o que já nos diz que a função é estritamente positiva.
• A função é crescente para todo x. Isso é fácil de observar grafi camente 
e confi rmamos pelo teste da primeira derivada, pois f’(x) = 2x. ln2 é uma 
função estritamente positiva, pois 2x > 0 e ln 2 > 0. Pelo fato de ser 
estritamente positiva, a função não possui extremos relativos.
LN signifi ca logaritmo 
neperiano.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J168
• Pelo teste da segunda derivada, que é f”(x) = 2x . ln2 2, temos 
que f”(x) > 0 para todo x. Portanto, a função é côncava para cima e não 
possui pontos de infl exão.
• Como o domínio da função é R, isto é, não apresenta restrições, 
a função não possui assíntotas verticais.
• Observando o comportamento nos extremos laterais, temos que 
lim
x
x
→+∞
= +∞2 e lim
x
x
→−∞
=2 0. Isto signifi ca que à direita o gráfi co cresce 
infi nitamente e à esquerda o gráfi co se aproxima da reta y = 0, que é 
uma assíntota horizontal.
Fazendo agora uma análise rápida da função g(x) = x3 – x, 
somente pela observação gráfi ca podemos dizer que a função g possui 
três raízes reais, a curva começa crescendo, depois decresce e volta a 
crescer infi nitamente. Possui dois extremos relativos, um máximo e um 
mínimo e em relação à concavidade, até o zero, a função é côncava 
para baixo, e a partir do zero, é côncava para cima. Logo, (0,0) é ponto 
de infl exão. Não possui assíntotas, e o comportamento do gráfi co nas 
laterais é: à direita, o gráfi co cresce infi nitamente, e à esquerda, o gráfi co 
decresce infi nitamente.
Vamos fazer uma análise mais formal.
• Dom f = R e Im = R.
• As raízes são dadas pela equação x3 – x = 0, que na forma 
fatorada é x (x2 – 1) = 0, dando as raízes x = 0, x = 1 e x = –1.
• Estudando o sinal da primeira derivada f’(x) = 3x2 – 1, que é 
uma função quadrática, com concavidade para cima e cujas raízes são 
x’ = 3
3
 e x’’ = − 3
3
 (verifi que!), temos que para x < − 3
3
 e para
x g x> <3
3
0, ’( ) , portanto, nestes dois intervalos, a função g é 
crescente. Em contrapartida, quando − < < <3
3
3
3
0x g x, ’( ) ,
implicando que g(x) é decrescente neste intervalo. Usando o teste da 
primeira derivada sobre máximos e mínimos relativos, o ponto onde 
x = − 3
3
 é um ponto de máximo e o ponto correspondente a x = 3
3
 
é um ponto de mínimo. Veja a ilustração a seguir.
A
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17
 
C E D E R J 169
Figura 17.8: Utilizando a primeira derivada.
Ponto de mínimo relativo
A função g é crescente 
para 
A função g é crescente 
para
Ponto de máximo 
relativo
A função é decrescente para 
4
3
2
1
–1–2
–1
–2
1 2
x'' x'
1
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5–6 –1
–2
–3
–4
–5
–6
g(x) = x3 – x
− < <3
3
3
3
x
x < – 3
3 x > 3
3
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J170
• Para analisarmos a concavidade da função, precisamos do teorema 
que fala sobre o sinal da segunda derivada. Sabemos que g”(x) = 6x. Como 
se trata de uma função polinomial do 1º grau, cujo gráfi co é uma reta, o 
estudo do sinal dependerá de sua raiz e da inclinação da reta. 
Temos que a função g”(x) = 6x é crescente, e sua raiz é o zero, 
logo, para x < 0, temos g”(x) < 0, o que nos faz dizer que a função g neste 
intervalo é côncava para baixo; já para x > 0, a função g”(x) > 0, donde 
concluímos que, no intervalo ]0, +∞[, a função g é côncava para cima. 
Como a função é contínua, pelo teste da segunda derivada, o ponto de 
infl exão ocorre quando x = 0, que é a raiz da segunda derivada.
 
• Finalizando, temos que lim lim
x x
x x x
x→+∞ →+∞
− = −



=3 3 21
1
lim . lim
x x
x
x→+∞ →+∞
−

3
21
1 

= +∞, pois lim
x x→+∞
−



=1 1 12 . Analogamente, 
mostramos que lim .
x
x x
→
− = −∞3 Com isso, a função não possui assíntotas 
horizontais, conforme observamos no gráfi co.
Figura 17.9: Utilizando a segunda derivada.
Vale chamar a atenção sobre uma função do Winplot. Quando 
você construir um gráfi co de uma função no Winplot, ao clicar 
sobre a curva com o botão esquerdo do mouse, aparecem as 
coordenadas desse ponto. Assim, você pode fi car passeando sobre 
a curva e investigando questões. Verifi que você mesmo!
A função g é côncava para 
cima para x > 0
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7–1
–2
–3
–4
–5
–6
–1–2–3–4–5–6
A função g é côncava para 
baixo para x < 0
g(x) = x3 – x
A
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17
 
C E D E R J 171
 ATIVIDADE FINAL
1. Considere a função f x x
x
( ) = − 1 . Responda aos itens a seguir.
a. Qual o domínio dessa função?
b. Utilize a primeira derivada para estudar crescimento e decrescimento dessa 
função. 
c. Essa função possui extremos relativos? Justifi que.
d. A função possui raízes? Quais são? E de que forma as determinou?
e. Utilize a segunda derivada para estudar a concavidade dessa função. 
f. A função f possui ponto de infl exão? Justifi que.
g. Como o gráfi co se comporta quando x i→ + ∞,? E quando ?
h. A função possui assíntotas? Quais são? E como determinou?
i. Faça um esboço do gráfi co dessa função, com base nos itens anteriores. Depois, 
utilize o Winplot para construir o gráfi co desta função e veja se o seu esboço está 
correto.
CONCLUSÃO
Investigar e analisar gráfi cos defunções requer muita atenção e 
conhecimento sobre domínio, imagem, equações. Esta aula apresentou 
formas diferentes de análise de gráfi cos, uma mais intuitiva, que vai 
seguindo a trajetória e observando certos aspectos, e a outra mais formal, 
utilizando para isso teoremas do Cálculo. O uso do software Winplot é 
um importante recurso para o seu trabalho, pois proporciona descobertas 
num espaço de tempo menor.
Esta aula, além de revisar tópicos do Ensino Médio, fez você 
revisar as aplicações da derivada no estudo dos gráfi cos das funções. 
Aproveite esta oportunidade para treinar suas habilidades nas derivadas, 
equações e inequações.
x i→ − ∞
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J172
R E S U M O
Nesta aula, você observou que o estudo das funções não se reduz a determinar 
imagens e calcular raízes. O conhecimento de seu gráfi co está relacionado a 
vários conceitos da Matemática, como limites, derivadas, equações e inequações. 
A visualização geométrica contribui signifi cativamente no desenvolvimento do 
pensamento matemático, especifi camente no pensamento algébrico. A investigação 
gráfi ca é um processo importante e deve ser bastante trabalhado por você como 
uma aplicação de conceitos importantes.
Você trabalhou sob dois enfoques diferentes: num deles você tinha conhecimento 
do gráfi co, e a partir daí retirava as informações necessárias; no outro, somente a 
partir da lei da função você tinha de construir o gráfi co da função, tarefa muito 
mais difícil! 
AUTO-AVALIAÇÃO
Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de construção gráfi ca no 
software Winplot, de domínio público. Compare os softwares já trabalhados e 
faça sua opção para o caso da construção de gráfi cos. 
Liste todos os resultados utilizados nesta aula e, se persistirem as dúvidas, retome 
suas aulas de cálculo e peça orientação ao seu tutor. 
É importante perceber que a construção de gráficos e seu entendimento 
requer mais cuidados por parte do professor, pois ela envolve muitos conceitos 
e resultados. 
Sempre que julgar necessário, utilize tabelas com quantos valores desejar. 
O importante é que você investigue os intervalos que causam difi culdades. 
As Atividades 1 e 3 têm enfoques diferentes, por isso é importante entendê-las 
bem para acompanhar a evolução da aula.
A Atividade Final envolve tudo o que foi visto na aula. Faça-a com atenção e 
sempre que precisar volte às atividades anteriores. 
A
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17
 
C E D E R J 173
INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, estudaremos as seqüências. Pense em algumas antes de ler a 
aula!
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
Atividade 1
a. R*.
b. ]0, +∞[.
c. ]–∞, 0[.
d. Sim. –2 e 2.
e. ]–∞, –2[ ∪ ]2, +∞[.
f. ]–2, 0[ ∪ ]0, 2[.
g. Aproxima-se da reta y = 1, que é assíntota horizontal, pois 
h. Quando x se aproxima de zero, único elemento que não pertence ao domínio 
da função, a função tende a –∞, pois lim
x
f x
→
( ) = −∞
0
.
i. Sim, uma vertical de equação x = 0 e uma horizontal de equação y = 1.
Atividade 2
a. ]–5,1[.
b. ]5, 9[.
c. A função decresce do ponto (–8, 5) até o ponto (–6, –4). A partir daí, ela cresce 
até o ponto (1, 7), onde estaciona (fi ca constante) até o ponto (5, 7). A seguir, a 
curva decresce novamente até chegar ao ponto (10, –5).
lim .
x x→
−



=
0 2
1
4
1
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: 
 uma interpretação gráfi ca
C E D E R J174
ATIVIDADE FINAL
a. Dom f = R*.
b. é positiva para todo x do domínio, logo, a função é crescente 
para x < 0 e para x > 0.
c. Não possui, pois a primeira derivada é sempre positiva.
d. Sim, basta fazer x
x
− =1 0, o que implica x
x
= 1 , ou x2 = 1, que nos dá como 
solução x = 1 ou x = –1.
e. f”(x) = – 
2
x3
 é positiva para x < 0 e negativa para x > 0, logo, é côncava para cima 
quando x é negativo e côncava para baixo quando x é positivo.
f. O ponto de infl exão poderia ocorrer em x = 0, mas isso não é possível, já que 
nesse ponto a função é descontínua, pois não existe imagem para o zero.
g. Temos que já que 
h. Pelo item anterior, essa função não possui assíntotas verticais. Como existe um 
ponto de descontinuidade em x = 0, precisamos calcular os limites laterais quando 
x tende a zero. Temos que Portanto, a 
reta x = 0 é uma assíntota vertical.
i. O gráfi co da função fi ca então:
f x
x
’( ) = +1 12
lim lim ,
x x
x
x
e x
x→+∞ →−∞
−



= +∞ − = −∞



1 1 lim lim .
x xx
e
x→+∞ →−∞
= =1 0 1 0
lim lim .
x x
x
x
e x
x→ →+ +
−



= +∞ −



= −∞
0 0
1 1
6
 x 
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7–6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
–4
Vamos às progressões!
Pré-requisitos 
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino de progressões.
18AULA
Para o desenvolvimento desta aula, é 
necessário que você saiba o conceito 
de função e o de progressões. Além 
disso, usaremos alguns contextos 
explorados na Aula 10.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Reconhecer uma seqüência como uma função de domínio discreto.
• Aplicar diferentes contextos no ensino de seqüências.
• Reconhecer e discutir as seqüências aritméticas e geométricas.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J176
INTRODUÇÃO O ensino da Matemática deve proporcionar ao aluno mais do que a simples 
memorização, relacionando o ensino da Ciência à compreensão de signifi ca-
dos. Nesse contexto, a busca de regularidades e a generalização de padrões 
são importantes tanto à compreensão do conhecimento matemático quanto 
à aplicação da Matemática em outras áreas de conhecimento.
Lembre-se de acessar a disciplina na plataforma cederj. Lá você encon-
trará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem 
na aula.
!
Dentre os objetivos do ensino da Matemática no Ensino Médio, concluímos 
que, ao fi m do Ensino Médio, o aluno deve ser capaz de:
“estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e 
o conhecimento de outras áreas do currículo” (BRASIL. MEC. PCN, 1998, p. 42).
O aluno no Ensino Médio deve entender que a Matemática tem seu próprio 
contexto de investigação, por ser uma ciência, mas também é uma linguagem 
e um instrumento para outras áreas de conhecimento. 
O ensino de funções é importante para que ele compreenda essa característica 
do ensino da Matemática. Este deve ser feito de maneira integrada, tanto com 
outras áreas de conhecimento quanto com o próprio conhecimento matemáti-
co. As progressões, muitas vezes, não são estudadas como funções, mas como 
uma teoria isolada de outros contextos da Matemática.
Outro aspecto importante do ensino de seqüências é o enfoque muito restrito 
nas progressões aritmética e geométrica. Estas são alvo de atenção especial, 
mas não devem ser as únicas seqüências exploradas.
AFINAL, O QUE É UMA SEQÜÊNCIA?
Mesmo sem definir formalmente o conceito matemático de
seqüência, a idéia de ordenar com “certa harmonia”, ou de algo que tem 
continuação já está presente nos alunos desde as séries iniciais. Verifi que 
na atividade.
A
U
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18
 
C E D E R J 177
Se modifi carmos uma só dessas operações, os números obtidos 
podem ser outros. A idéia de ordem modifi ca a “harmonia” dos números 
formados. 
Uma seqüência é uma função cujo domínio é IN* ou um 
subconjunto A não-vazio de IN* e o contradomínio é um conjunto B ≠ 
∅. Em outras palavras, a: A → B defi nida por a(n) = b, onde n ∈ A, 
b ∈ B.
Quando o conjunto A = IN* , dizemos que a seqüência é infi nita. 
Entretanto, se o domínio for um subconjunto {1, 2, 3, ...., n} ⊂ IN*, a 
seqüência é fi nita, e possui n termos.
ATIVIDADE
1. Inventei uma máquinacom 4 teclas: ♣, ♦, ♥, e ♠.
As funções das teclas são as seguintes:
♣ – multiplica por 2.
♦ – divide por 2.
♥ – adiciona 2.
♠ – subtrai 2.
(a) Se eu digitar o número 5 e apertar a tecla ♥ 10 vezes, que 
número encontro?
(b) Se eu digitar o número 10 e apertar a tecla ♦ 5 vezes, que 
número encontrarei?
(c) Digitei um número diferente de zero e apertei as teclas da 
seguinte forma: 
♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠.
A partir do número que encontrei, devo voltar ao número que 
digitei e apertar as teclas:
(I) ♥ ♦ ♠ ♠ ♣ ♣ ♥ ♠ ♣ ♠ ♦ ♦
(II) ♠ ♣ ♥ ♥ ♦ ♦ ♠ ♥ ♥ ♣ ♣ ♣
(III) ♣ ♣ ♦ ♥ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠
(IV) ♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠
 
COMENTÁRIO
Na atividade, a seqüência numérica é obtida a partir das operações feitas 
pelos comandos. Por exemplo, se a partir do número 10, digitamos as 
teclas ♣ ♥ ♦ ♥ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠, formaremos a seguinte seqüência:
10 ♣ 20 ♥ 22 ♦ 11 ♥ 13 ♦ 6,5 ♥ 8,5 ♥ 10,5 ♣ 21 ♠ 19.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J178
Costuma-se indicar a(n) = an para o termo que ocupa a enésima 
posição na seqüência. Essa simplifi cação de notação pode ser um dos 
motivos pelos quais os alunos não relacionam o ensino das seqüências ao 
ensino de funções.
Uma das maneiras de expressar elementos de uma seqüência é 
colocá-los entre parênteses, separados por vírgulas:
(1, 7, 9, 23, ...) → seqüência infi nita onde são dados os quatro 
primeiros termos;
(2, 4, 6, 7) → seqüência fi nita de quatro termos.
!
Se substituirmos, acrescentarmos, retirarmos ou trocarmos de lugar qual-
quer termo de uma seqüência, obteremos uma nova seqüência!
Por exemplo:
(0, 3, 6, 9, 12) e (12, 9, 6, 3, 0) são seqüências diferentes que são formadas 
pelos mesmos elementos.
ATIVIDADE
2. Observe a seqüência a: IN* → B, onde B ⊂ Z:
(−4, 1, 5, 4, −1, −5, −4, 1, 5, 4, −1, −5, ...).
Nesta seqüência, cada número é obtido pela subtração dos números 
anteriores.
Responda:
(a) Qual é o décimo termo dessa seqüência?
(b) Determine a23.
(c) Determine a234.
(d) Qual a soma dos termos da seqüência até o vigésimo quarto termo?
(e) Qual a soma dos termos da seqüência até o termo que ocupa a posição 
2541?
(f) Construa o gráfi co dessa seqüência considerando o domínio {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
(g) Sendo uma seqüência (a, b, ...) formada com o mesmo padrão da 
seqüência dada, qual será o conjunto-imagem desta?
A
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18
 
C E D E R J 179
Algumas seqüências importantes...
A seqüência dos números primos é (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 
...). Sobre esses números, que se caracterizam por uma propriedade tão 
simples, ainda existem muitas questões “em aberto”, as quais a Ciência 
não conseguiu validar. 
Entretanto, durante anos pensou-se não existir uma fórmula de 
determinar números primos. Mas ela existe e é “relativamente” simples. 
Ela determina todos os números primos e tão-somente eles. O incrível 
deste fato é que o conjunto dos números primos é infi nito!
Essa fórmula é a seguinte:
Considere x e y números naturais e y ≠ 0.
Calcule a = x(y+1) - (y!+1).
A fórmula que dá todos os números primos (e somente esses) é:
f x y
y
a a( , ) | | ( ) .= − − − −  +
1
2
1 1 22 2
!
A demonstração da validade dessa fórmula você encontra na Revista do 
Professor de Matemática, número 37, página 19.
Essa fórmula é um pouco diferente das que estamos habituados 
a usar. Ela não é uma função porque nem todos os valores de x e y 
resultam em f(x, y) inteiro.
Se não analisarmos a fórmula e usarmos valores aleatórios, fare-
mos conta por muito tempo e, além disso, encontraremos infi nitamente 
o 2, pois este é gerado infi nitas vezes nessa fórmula.
Mas, observe a fórmula f x y
y
a a( , ) | | .= − − − −( )  +
1
2
1 1 22 2
• Quando a ≠ 0, a2 também o será, e a2−1 será maior ou igual a zero.
Isso acarreta que | |a a2 21 1− = − , o que faz:
f x y
y
a a
y
a a
y
( , ) | | ( )= − − − −  + =
− − − +  + =
− [ ]1
2
1 1 2
1
2
1 1 2
1
2
02 2 2 2 ++ =2 2.
Neste caso, o 2 aparecerá repetida e infinitamente.
• Quando a = 0, vamos gerar os outros primos.
Se a x y y temos x y y= + − + = + = +( ) ( ! ) , : ( ) ( ! ).1 1 0 1 1
Logo, x
y
y
= +
+
!
.
1
1
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J180
Veja a tabela:
y
1
2
3 não serve porque x não é inteiro
4
5 não serve porque x não é inteiro
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x = +
+
=1 1
1 1
1
!
x = +
+
=2 1
2 1
1
!
x = +
+
=3 1
3 1
7
4
!
x
y
y
= +
+
!
.
1
1
x = +
+
= =4 1
4 1
25
5
5
!
x = +
+
=5 1
4 1
121
6
!
x = +
+
= =6 1
6 1
721
7
103
!
f( , )1 1
1 1
2
2 2 2= − [ ] + =
f x y
y
a a( , ) | |= − − − −( )  +
1
2
1 1 22 2
f( , )1 2
2 1
2
2 2 1 2 3= − [ ] + = + =
f( , )5 4
4 1
2
2 2 3 2 5= − [ ] + = + =
f( , )103 6
6 1
2
2 2 5 2 7= − [ ] + = + =
Como você pode observar, a partir do y = 7, os valores de x vão 
fi cando “monstruosos” rapidamente por causa do fatorial.Os números primos
são muito importan-
tes na Criptografia.
Procure saber mais
sobre isso!
!
A PROGRESSÃO ARITMÉTICA: PA
As progressões aritméticas são seqüências onde a diferença entre 
cada termo e o termo anterior é sempre a mesma constante. Essa cons-
tante é chamada de razão, que indicamos pela letra “r”.
Assim, a seqüência:
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) será uma PA se:
a2 − a1 = r
a3 − a2 = r
a4 − a3 = r
a5 − a4 = r
 an−2 − an−1 = r
an−1 − an = r.
Para todo n > 3, temos:
Tabela 18.1: Cálculo dos valores de f(x, y)
A
U
LA
 
18
 
C E D E R J 181
Dessa forma, mostramos a principal característica de uma PA;
o termo do meio é a média aritmética entre o termo anterior e o sucessor, 
ou melhor, qualquer termo a partir do segundo até o anti-penúltimo é a 
média aritmética de dois termos eqüidistantes.
!
Nos livros didáticos 
do Ensino Médio, a 
seqüência sempre co-
m e ç a p e l o a 1, m a s 
não há problema em 
começá-la pelo termo 
a0; em alguns casos, é 
até conveniente.
Considerando a seqüência aritmética (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) 
como (2, 5, 8, ...), temos graficamente representados os sete primeiros 
termos como:
Você se lembra de que o termo geral de uma PA é dado por an = a1 + (n − 1)r?
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J182
Você mostra a validade da 
expressão do termo geral 
pelo princípio da indução 
fi nita. Primeiro, faça com que 
os alunos percebam que:
a1 = a1 + 0. r
a2 = a1 + 1. r
a3 = a1 + 2. r
a4 = a1 + 3. r
a5 = a1 + 4. r
e, a partir daí, busquem uma 
generalização.
!Como já vimos, isso significa que
a(n) = a(1) + (n − 1)r = (a(1) − r) + nr.
Se a1 = a(1) = 2 e r = 3, temos, por exemplo, a 
seqüência cujo termo geral é
a(n) = (2 − 3) + 3n, ou seja, a(n) = 3n −1. 
Assim, quando r ≠ 0, uma progressão aritmética é a 
restrição de uma função afi m a um domínio contido nos 
números naturais diferentes de zero. Dessa forma, o gráfi co 
é uma seqüência de pontos colineares. Veja:
Gráfi co da função 
afi m f(x)=3x-1
A
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18
 
C E D E R J 183
Esse fato nos dá uma importante ferramenta de resolução de 
problemas: o uso da taxa de variação.
Considere a PA onde a85 = 46 e a99 = 102. Qual é a razão dessa 
PA?
É usual vermos a solução desse problema por sistemas. Mas vamos 
pensar de outra maneira. Podemos pensar que:
a(85) = 46
a(99) = 102.
Como os pontos estão sobre uma reta, temos que 
∆(n) = 99 − 85 = 14
e 
∆(y) = 102 − 46 = 56.
!
Assim, a taxa de variação é: 
y
n
( )
( ) = =
56
14
4 , que é a 
razão da PA.
102
46
85 99
∆(n) = 99 − 85 = 14
Outra maneira de resolver esse problema, sem resolver o sistema, 
tem fundamento na idéia de taxa de variação. 
Como temos a85 = 46 e a99 = 102, considera-se que estamos “saindo” 
da posição 85 e “chegando” à posição 99. Assim:
a99 = a85 + (99 − 85)r, ou seja, 102 = 46 + 56r e encontrando r = 4.
∆(y) = 102 − 46 = 56
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E DE R J184
ATIVIDADE
3. Observe as seqüências S1 e S2 dadas a seguir.
S1: (8, 14, 20, 26, …320). 
S2: (−6 , −2, 2, 6, 10, …, 382).
Quantos termos as duas seqüências acima possuem em comum?
Os termos comuns formarão uma nova seqüência aritmética.
Descobrindo essa seqüência, é só determinar o número de termos 
da mesma.
A PA de segunda ordem...
Considere (a1 , a2 , a3 , ..., an , ...) uma progressão aritmética de razão r.
A partir dela, vamos construir uma nova seqüência (b1, b2, b3,... bn , ...), 
formada da seguinte maneira:
b1 = a1
b2 = a1 + a2
bn = a1 + a2 +...+ an
Essa nova seqüência (bn) é chamada PA DE SEGUNDA ORDEM.
COMENTÁRIO
Uma PA DE SEGUN-
DA ORDEM é uma
seqüência (bn), onde
bn = Sn, sendo Sn a 
soma dos termos de 
uma PA (an). Sabemos que a soma dos termos de uma PA é S
a a n
n
n=
+( )1
2
 . Assim:
b
a a n a a n r n a nr r n r n n
an
n=
+( )
=
+ + −( )( )
=
+ −( )
=
−( )
+1 1 1 1
2
12
1
2
2
2 2
.
A
U
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18
 
C E D E R J 185
!
Na Aula 10, vimos a justifi cativa da fórmula da soma dos termos da PA 
através da soma de Gauss. Além disso, você pode justifi cá-la pelo Princípio 
da Indução Finita ou, ainda, usando o seguinte artifício de fazer uma 
adição simples, escrevendo duas vezes os mesmos termos com as parcelas 
em ordem oposta. Veja:
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . +an – 2 + an-1 + an
 +
Sn = an + an-1 + . . . + a4 + a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + . . . + (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1).
Usando o fato de a soma dos termos eqüidistantes de uma PA serem iguais, 
ou seja, (a1 + an) = (a2 + an-1) = (a3 + an-2) = . . . e de que esses termos aparecem 
n vezes, encontramos 2Sn = (a1 + an)n ou 
S
a a n
n
n=
+( )1
2
.
Escrita de outra maneira, a seqüência b
r
n
r
n an = − +2 2
2
1.
 Assim, uma PA de segunda ordem, com r ≠ 0, é uma restrição 
de uma função quadrática a um domínio contido nos números naturais 
diferentes de zero. Dessa forma, o gráfico é uma seqüência de pontos 
que estão sobre uma parábola. 
Caso r > 0 será uma parábola voltada para cima.
Caso r < 0 será uma parábola voltada para baixo.
O vértice dessa função quadrática não depende da razão. Veja:
Com isso, podemos generalizar que:
r>0
Eixo de simetria
Domínio: IN*.
Pode ser visto também
como inteiros
do intervalo ]xv, +∞[.
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C E D E R J186
0 1 2 
r<0
Eixo de simetria
Domínio: IN*.
Pode ser visto também
como inteiros
do intervalo ]xv, +∞[.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Vamos voltar aos números fi gurados vistos na Aula 10 (Figura 10.1).
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
Figura 18.1: Números triangulares.
Construindo o gráfi co
com base na tabela
de pontos, temos:
n Tn
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
9 45
10 55
11 66
12 78
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
0
75
70
80
10
0 1 2 3 4 5 76 8 9 10 11 12 13
Figura 18.2: Gráfi co da seqüência de números triangulares.
A
U
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18
 
C E D E R J 187
Na Tabela 10.4 (Aula 10), buscamos generalizar a formação dos 
números figurados.
Nº Triangulares Nº Quadrados Nº Pentagonais Nº de um polígonoregular de r lados 
1 1 1 1
1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + r
1 + 2 + 3 1 + 3 + 5 1 + 4 + 7 1 + (r-1) + (2r-3)
1 + 2 + 3 + 4 1 + 3 + 5 + 7 1 + 4 + 7 + 10 1+(r-1)+(2r-3)+(3r-5)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 1 + 4 + 7 + 10 + 13 1+(r-1)+(2r-3)+(3r-5)+ (4r-7)
Cada termo é dado 
pela soma de uma 
seqüência (PA) cujo 
primeiro termo é 1 
e a razão é 1. 
Cada termo é 
dado pela soma 
de uma seqüência 
(PA) cujo primeiro 
termo é 1 e a 
razão é 2. 
Cada termo é dado 
pela soma de uma 
seqüência (PA) cujo 
primeiro termo é 1 
e a razão é 3.
Cada termo é dado pela 
soma de uma seqüência 
(PA) cujo primeiro termo é 
1 e a razão é (r − 2).
Tabela 18.2: Tabela 10.4.
Escrita de outra maneira, a seqüência b
r
n
r
n an = − +2 2
2
1
 
Devemos ter cuidado, pois o r da tabela era o número de lados 
do polígono. Agora o r signifi ca a razão.
Assim:
Tabela 18.3: Descrição das leis de formação
Número de lados do 
polígono
Razão da PA que 
envolve a soma dos 
termos
Primeiro termo
Lei de formação do 
número em função da 
posição
3 1 1
4 2 1
5 3 1
6 4 1
7 5 1
... ... ... ...
r + 2 r 1
T n nn = − +
2 1
T n nn = − +
3
2
3
2
12
T n nn = − +2 2 1
2
T n nn = − +
5
2
5
2
12
T
r
n
r
nn = − +2 2
12
Agora temos outra ferramenta para buscar generalizações:
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C E D E R J188
ATIVIDADES 
4. Considere a seqüência de números pentagonais.
a. Construa um gráfi co com os 10 primeiros números pentagonais
b. Qual o centésimo número pentagonal?
c. O número 1024 é um número pentagonal?
A
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18
 
C E D E R J 189
5. (Adaptada do vestibular UFRJ 2004) Felipe começa a escrever números 
naturais em uma folha muito grande, como mostra a fi gura a seguir:
Considerando que Felipe mantenha o mesmo padrão em todas as 
linhas:
a. Determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha.
b. Determine a soma dos números escritos na 50ª linha.
c. Prove que a soma de todos os elementos de uma linha é o quadrado 
de um número ímpar.
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C E D E R J190
A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
Os números da seqüência de FIBONACCI são formados da seguinte 
maneira:
O primeiro e o segundo número são fi xos e iguais a 1.
a1 = 1 e a2 = 1.
Os outros termos são obtidos pela soma dos dois anteriores, 
a3 = 2 = 1+1,
a4 = 3 = 2+1,
a5 = 5 = 3+2,
a6 = 8 = 5+3,
e assim por diante.
LEONARDO FIBONACCI 
Foi um matemático 
que nasceu na Itália em 
1180 e morreu em 1250. 
Fibonacci signifi ca “fi lho 
de Bonaccio”.
A fórmula para a obtenção da seqüência de Fibonacci é recursiva, 
conceito que vimos na Aula 10:
F(1) = e F(2) = 1,
F(n) = F(n-1)+F(n-2), para n = 3,4,5, ...
A história conta que Fibonacci começou a investigar essa seqüên-
cia no estudo de uma população de coelhos. O problema dos famosos 
coelhos de Fibonacci foi investigado em 1202, e consistia em adaptar a 
procriação de coelhos a certas condições ideais.
O problema considera um par recém-nascido de coelhos, um 
macho e uma fêmea. Esses coelhos são capazes de acasalar com um mês 
de nascidos. Assim, com mais um mês, ou seja, no fi m do segundo mês 
de vida, a fêmea pode gerar outro par de coelhos.
Suponha que nossos coelhos nunca morrem, e que o coelho fêmea 
sempre gera exatamente um novo par, um macho e uma fêmea, a cada 
mês, do segundo mês de vida em diante. 
O quebra-cabeças de Fibonacci consistia em saber quantos pares 
teremos em um ano.
• No fi m do primeiro mês, temos uma fêmea e um macho que 
irão se acasalar. Eles são só 1 par.
• No fi m do segundo mês, a fêmea gera um novo par, então agora 
são 2 casais de coelhos.
• No fi m do terceiro mês, a fêmea original dá à luz mais um par, 
formando 3 pares no total.
• No fi m do quarto mês, a fêmea original produz outro novo 
par, mas a fêmea nascida há dois meses produz seu primeiro par.
São agora 5 pares.
A
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C E D E R J 191
1
1
2
3
5
O número de pares de coelhos a cada mês é dado pela posição do 
número na seqüência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...). Assim, podemos 
calcular o número de coelhos no fi m de 12 meses. Aliás, quantos são?
O problema dos coelhos não é muito realista; difi cilmente cada 
nascimento é de exatamente dois coelhos, um macho e uma fêmea. 
Entretanto, encontrou aplicação em outros campos da Matemática. 
Por exemplo, a seqüência aparece no triângulo de Pascal.
Número de pares
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
5
20
21
5
20
21
8
1
520
21
8
1
1
10
15
7
1
1
10
15
7
1
1
10
15
7
1
4
10
6
1
4
10
6
1
4
10
6
1
1
6
5
1
1
6
5
1
1
6
5
1
3
4
1
3
4
1
3
4
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
111
111
1
3
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1 +
 1 =
 2
1 +
 2 =
 3
1 +
 3 +
 1=
 5
1 +
 4 +
 3 =
 8
1 +
 5 +
 3 +
 1 =
 13
1 +
 6 +
 10
 + 4
 = 2
1
1 +
 7 +
 15
 + 1
0 +
 1 =
 34
1 +
 8 +
 21
 + 2
0 +
 5 =
 55
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J192
ATIVIDADE
6. Considere o triângulo de Pascal e a maneira como a seqüência de Fibonacci 
aparece no mesmo.
a. Escreva F(8) (o oitavo número de Fibonacci), usando os números binomiais 
que compõem as parcelas da adição no triângulo de Pascal.
b. Agora, com o mesmo raciocínio, escreva uma adição de números binomiais 
que expresse F(10).
COMENTÁRIO
Para fazer o item b, você pode completar o que falta no triângulo de 
Pascal.
Vamos, agora, montar quadrados justapostos com os números 
de Fibonacci.
Começamos justapondo os dois quadrados de medida do lado 1.
Agora vamos ao 
terceiro quadrado, que tem 
medida do lado 2 (terceiro 
número da seqüência).
Construímos, então, os qua-
drados cujas medidas dos lados são 
3, 5, 8 e 13 (quarto, quinto, sexto e 
sétimo números da série).
!
De forma geral, F(n) = 
onde r é o maior
inteiro, tal que n > 2r.
F n
n i
ii
r
( ) =
−( ) −


=
∑ 1
0
A
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C E D E R J 193
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C E D E R J194
Com arcos, nesse retângulo, construímos uma espiral “mágica”, 
onde estão presentes muitas formas da Natureza.
Imagem disponível em:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fi bonacci/seqfi b2.htm
Quando tiver oportunida-
de, assista ao filme Pato 
Donald no país da Mate-
mágica. O filme explora, 
com excelentes imagens, 
esse e outros contextos da 
Matemática.
!
A
U
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18
 
C E D E R J 195
No limite da razão entre dois termos consecutivos da seqüência de Fibonacci,
encontramos o número de ouro: φ = 1 5
2
+ ≅ 1,61803398874989. Observe:
A PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) − JUROS
A progressão geométrica (PG) se caracteriza por obtermos cada 
termo multiplicando o anterior por uma constante.
Assim, a seqüência
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) será uma PG se:
F
F
( )
( )
2
1
1
1
1= =
F
F
( )
( )
3
2
2
1
2= =
F
F
( )
( )
,
3
2
3
2
1 5= =
F
F
( )
( )
,
4
3
5
3
1 6666666= ≅
F
F
( )
( )
,
5
4
8
5
1 6= =
F
F
( )
( )
,
6
5
13
8
1 625= =
F
F
( )
( )
,
7
6
21
13
1 6153846= ≅
F
F
( )
( )
,
8
7
34
21
1 6190476= ≅
F
F
( )
( )
,
9
8
55
34
1 6176471= ≅
a
a
q2
1
=
a
a
q3
2
=
a
a
qn
n
−
−
=2
1
a
a
qn
n
− =1 .
.
.
.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J196
a
a
q
a
a
q
a
a
a
a
a a a a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n
−
−
−
−
−
−
− −
=
=
⇒ =






⇒ = ⋅ ⇒
2
1
1
2
1
1
1
2
2 nn n na a− −= ⋅1 2
Para todo n > 3, temos:
Isso nos mostra que o módulo do termo do meio é a média 
geométrica entre o termo anterior e o sucessor; por isso, o nome 
“progressão geométrica”. Essa propriedade é válida para quaisquer 
dois termos eqüidistantes.
Você sabe que o termo geral da PG é dado por an = a1q
n−1.
Desse modo, o gráfi co da PG obedece ao modelo exponencial.
Veja os gráfi cos das progressões geométricas:
(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) e (32; 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25).
Gráfi co da PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) Gráfi co da PG (32; 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25)
A
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18
 
C E D E R J 197
 A primeira é uma PG cujo primeiro termo é 2 e a razão é 2, 
modelada pela função an = 2.2
n−1 = 2n e é uma função crescente.
No segundo, o primeiro termo é 32, e a razão é 1
2
, onde bn=2
5.21-n=26-n. 
O ensino da PG não costuma apresentar grandes dificuldades 
na compreensão do termo geral e na soma de termos quando o trabalho 
é associado e comparado ao da PA.
Atenção especial deve ser dada à soma da PG infinita, onde
|q| ≤ 1. Essa questão envolve mais do que a manipulação da fórmula, 
mas a discussão do infinito limitado.
!
Pesquisas em Educação 
Matemática apontam 
que a compreensão do 
infi nito ilimitado não é 
alvo de grandes proble-
mas de compreensão; 
entretanto, o mesmo 
não ocorre no trabalho 
com o infi nito limitado, 
onde o aluno deve per-
ceber que em um inter-
valo da reta existem 
infi nitos pontos.
Para que os alunos percebam quando a soma de termos de uma 
PG infi nita é limitada, é interessante que o professor proponha o cálculo 
da soma de várias seqüências diferentes. É um bom momento para usar 
a calculadora em sala de aula.
Por exemplo, considere as progressões geométricas:
(3, 6, 12, ...)
1
1
2
1
4
1
8
, , , ,....



(2,-4,8,-16,...)
(2,-2,2,-2, ...)
Quando o número de termos tende ao infinito, podemos 
concluir que a soma dos termos da primeira PG tenderá a +∞. Na 
terceira PG, se a posição é par, a soma tende a –∞; já se a posição 
é ímpar, a soma tende a +∞, dessa forma o limite não existe.
Na quarta PG, o limite não existirá.
Na segunda PG, sabemos que a soma nunca passará de 2. Ao 
aluno do Ensino Médio deve ser dada a chance da investigação e do 
convencimento antes de ser dada a fórmula
a
1 q
1
−
S =
!
Uma aplicação muito 
importante da PG é 
no cálculo de juros 
compostos. Pesquise 
a respeito. Você 
pode encontrar esse 
assunto na maioria 
dos livros de Ensino 
Médio.
.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J198
Observe a seqüência de fi guras: 
“De sucessões de imagens como estas, defi nidas por regras muito simples, conseguimos obter 
apenas meia dúzia de termos, mesmo recorrendo aos melhores instrumentos de desenho. 
Mas, com um computador, o processo pode continuar indefi nidamente, obtendo-se, porém, 
fi guras com pormenores invisíveis a olho nu. Ora, aí entra em cena a enorme capacidade de 
ampliação dos modernos computadores que torna possível visualizar os termos avançados destas 
sucessões, fornecendo imagens incrivelmente belas. O limite de uma sucessão de fi guras como 
as anteriores é um fractal.
 http://www.alu.por.ulusiada.pt, em 10 de dezembro de 2003
A partir de um triângulo equilátero cuja área mede 4cm, construímos a primeira 
fi gura da seqüência. Determine o limite da área do fractal, ou seja, o limite da 
soma de todas as áreas hachuradas.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você pôde observar vários tipos de seqüência e suas 
aplicações em outras áreas da Matemática. Investigar e analisar a forma-
ção da seqüência e a busca do termo geral faz com que você aprofunde 
seus conhecimentos e aprenda outros. O uso das funções é uma estraté-
gia para fazer com que o aluno estabeleça diversas conexões sobre esse 
conceito, que é tão importante na Matemática. 
Esta aula, além de revisar tópicos do Ensino Médio, tais como o 
triângulo de Pascal, taxa de variação, função, geometria plana etc.; passeou 
por tópicos extremamente importantes como, por exemplo, os números 
primos, a seqüência de Fibonacci e o número de ouro. Pesquise mais sobre 
esses assuntos; você vai descobrir um mundo impressionante!
ATIVIDADE FINAL
A
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18
 
C E D E R J 199
 R E S U M O
O estudo das funções esteve novamente enfocado. Mas, agora, as funções 
vistas são de domínio natural. O modelo da PA é linear e o da PG é exponencial.
A Geometria também apareceu no número de ouro, nos números triangulares. 
Isso contribui signifi cativamente no desenvolvimento do pensamento matemático, 
pois a investigação gráfi ca é uma ação importante para visualizar o conceito e 
amadurecê-lo e, então, utilizar a Álgebra na formalização.
AUTO-AVALIAÇÃO
Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de contextualização das 
seqüências na Matemática e em outras áreas do conhecimento.Compare as 
abordagens apresentadas com as que você já vivenciou sobre esses tópicos e 
registre os aspectos positivos e negativos das diferentes abordagens.
Liste as seqüências vistas nesta aula e escreva algo sobre elas, pois esta é uma 
forma de você constatar o que fi cou apreendido e no que ainda é preciso investir. 
Faça todas as atividades, pois cada uma trabalha um aspecto da seqüência ou uma 
nova seqüência. 
Em caso de dúvidas, não deixe de conversar com seus colegas ou procurar o seu 
tutor no pólo.
 INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA 
Na próxima aula, você aprenderá e se divertirá com a Torre de Hanói.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J200
Atividade 1
a. 25. 
b. 0,3125.
c. (I).
Atividade 2
a. 4.
b. − 5.
c. − 4.
d. 0.
e. 10.
f.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
g. {a, b, b − a, −a, −b, a − b}.
Atividade 3
Observe que a seqüência dos termos comuns começa no 26 e termina no 314. 
É uma seqüência de razão 24 e tem 13 termos.
RESPOSTAS
A
U
LA
 
18
 
C E D E R J 201
Atividade 4
T n nn = − +
3
2
3
2
12 Tn = − + =
3
2
100
3
2
100 1 148512
c. Se 1024 for um número pentagonal, então existe n, tal que
3n2 − 3n + 1 = 1024.
Assim, n = 1 1365
2
± . Mas 1365 é irracional (1365 = 3.5.91). 
Logo, não existe um número natural satisfazendo a condição. Assim, 
1023 não é um número pentagonal.
Atividade 5
.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J202
Atividade 6
a. F(8) = 21.
 F(8) = 1 + 6 + 10 + 4 = 
7
0
6
1
5
2
4
3




+




+




+




b. F(10) = 
9
0
8
1
7
2
6
3
5
4




+




+




+




+




Atividade Final
Vamos chamar a área de cada fi gura de An.
A1= 4
1
4
1. =
A2= 4
1
4
3
1
4
1
4
⋅ + ⋅ ⋅


 = 4
1
4
3
1
4
2
⋅ + ⋅ 









A3= 4
1
4
3
1
4
1
4
9
1
16
1
4
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅


 4
1
4
3
1
4
9
1
4
2 3
⋅ + ⋅ 



+ ⋅ 








=
A4= 4
1
4
3
1
4
1
4
9
1
16
1
4
27
1
32
1
4
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅



= 4
1
4
3
1
4
9
1
4
27
1
4
2 3 4
⋅ + ⋅ 



+ ⋅ 



+ ⋅ 









Cada área envolve uma soma de termos de uma PG cujo primeiro 
termo é 1 e a razão é . Logo, A = A∞ = .
.
.
.
a. Observe que a seqüência dos últimos números de cada linha é 
uma PA (1, 4, 7, 10, ...) cuja razão é 3. Assim, o último termo da primeira 
linha é (1 + 3.49) = 148. Você também pode ter montado diretamente 
uma expressão para o número de linhas da forma (2n − 1), onde n é a 
linha em questão.
 c. Primeiro elemento da linha: n
Último elemento da linha: 2n − 1 
Número de termos da linha: n + 1
S50
250 148 99
2
99 9801= + = =( )b.
S
n n n n n
nn =
+ − − = − − = −( )( ) ( )( ) ( )3 2 2 1
2
2 2 1 2 1
2
2 1 2
Movendo discos, formando 
torres e pensando 
indutivamente
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, 
você seja capaz de:
• Utilizar as Torres de Hanói como recurso de aprendizagem.
• Estudar regularidades.
• Aplicar o conceito de função na análise de movimentos 
de peças das Torres de Hanói.
• Refl etir criticamente sobre a avaliação em Matemática.
Pré-requisitos 
Para o bom desenvolvimento desta aula, é aconselhável que você revise 
o princípio da indução fi nita (ou matemática), na Aula 4 
da disciplina Álgebra I.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com as Torres de Hanói.
19AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J204
Conforme você identifi cou nos objetivos desta aula, revisaremos o conceito 
de função e de indução fi nita utilizando um jogo: Torres de Hanói. Apesar 
de a importância do uso de jogos em aulas de Matemática ser sempre ressaltada, 
muitos professores não o incluem em seus planejamentos. É comum utilizarem 
jogos e situações lúdicas apenas como passatempos. Esta não é nossa proposta, 
conforme você perceberá nesta aula. 
INTRODUÇÃO
Além de promover a socialização e despertar o espírito investigativo, 
importantes no processo de matematizar, o jogo provocará mudanças de 
atitude em relação ao erro. Assim, professor e aluno passarão a reconhecer 
o erro como potencial no processo de matematização. 
O JOGO E A PRÁTICA EM SALA DE AULA
Por ser o jogo uma atividade inata às crianças, o professor pode 
aproveitar o lúdico para fazer com que o processo ensino-aprendizagem, 
em especial o de Matemática, seja mais motivador e divertido, sem que 
a prática pedagógica seja confundida com falta de proposta educativa. 
Segundo Giménez e Rosich (1998), um jogo possui as características 
de vertente lúdica, fator de azar, tempo limitado e conteúdo curricular 
implícito. Como componente lúdico, o jogo confere um valor motivacional 
de atitudes e de predisposições ao livro didático. No mais, fomenta 
o processo de socialização, uma vez que tem um componente social 
indubitável, na medida em que estabelece efetivas reações de aceitação, 
cumprimento de regras etc. O azar é um dos principais elementos sociais 
do jogo, por desenvolver no aluno o hábito de ganhar ou perder como 
inerente ao processo. O tempo e o número limitado de movimentos 
de um jogo fazem com que seja possível utilizá-lo também como base de 
situações didáticas, e o conteúdo curricular (conceitos, procedimentos e 
atitudes) do jogo não pode fi car em segundo plano. 
A
U
LA
 
19
 
C E D E R J 205
O MITO (FERRERO, 1991; MACHADO, 1992) DO TEMPLO DE BENARES, no qual 
Deus, no momento da criação, colocou 64 discos de ouro puro, todos de tamanhos 
diferentes, em uma das três agulhas de diamante fi xadas numa placa de cobre. 
O maior disco seria a base da torre, e o menor, seu topo: era a Torre de Brahma. 
A tarefa dos sacerdotes do templo seria transportar a torre para outra agulha 
de diamante, movendo um disco de cada vez, nunca colocando um disco maior 
sobre outro menor. Ainda segundo o mito, quando a tarefa fosse cumprida, o mundo 
desapareceria.
Como você viu, o jogo também nos permite matematizar. Consi-
deramos matematizar como um processo construtivo, fortalecido pela 
interação pessoa/grupo, na qual as idéias matemáticas constituem e são 
constituídas de signifi cações e sentidos, a partir do que “falam” (gesti-
culam, desenham ou qualquer outra maneira de representar e comunicar 
suas idéias) os alunos. Complementa Powell (1996): matematizar é um 
processo natural, inerente ao ser humano, devendo ser propiciado desde 
a infância; depende da capacidade que todos os seres humanos têm de 
tomar consciência de um evento ou acontecimento. 
Propor diferentes jogos como detonadores do processo de matematização 
e refl etir continuamente sobre a prática avaliativa em Matemática devem ser 
objetivos constantes do professor.
Vejamos, então, o jogo Torre de Hanói (ou Torres de Hanói), 
bastante conhecido pelos professores.
O JOGO TORRE DE HANÓI
Este jogo foi construído a partir de um interessante MITO INDIANO 
DO TEMPLO DE BENARES. 
O jogo Torre de Hanói tem caráter motivador e aspecto inves-
tigativo que se adaptam a diferentes séries. Sua regra: mover um 
disco de cada vez e sempre impedir que um disco maior fi que sobre 
um menor. O desafi o é descobrir o número mínimo de movimentos que 
podem ser realizados para deslocar determinada quantidade de discos 
de uma torre a outra. Veja, a seguir, a ilustração de um jogo com seis 
discos e três torres.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J206
Figura 19.1: Exemplo de um jogo com seis discos.
C
A
B
O jogo é encontrado facilmente em lojas de materiais pedagógicos, mas 
também pode ser construído utilizando-se madeira, cartolina, papelão 
ou até mesmo moedas.
Supomos que você estejamuito empolgado e interessado em 
conhecer melhor o jogo, fazendo-o você mesmo.
ATIVIDADE
1. Consiga ou construa um jogo Torres de Hanói e jogue-o.
 COMENTÁRIO 
Inicialmente, não se preocupe em encontrar o número mínimo de movimentos. 
Este primeiro contato exploratório, jogando livremente, é importante no 
processo de reconhecimento e familiarização com o recurso. Lembre-se 
das regras: (1) mover um disco de cada vez, e (2) um disco maior não 
pode fi car sobre um menor. Não se esqueça de anotar suas descobertas e 
questionamentos.
Como você sabe, a internet pode ser uma grande aliada do professor em 
suas aulas, seja na busca de informações para elaborar planejamentos, seja 
como recurso para desenvolver atividades matemáticas. Assim, caso tenha 
possibilidade de acesso à rede, realize a atividade seguinte.
Lembre-se de que o desafi o é 
descobrir o número mínimo 
de movimentos que podem 
ser realizados para mover 
determinada quantidade de 
discos de uma torre a outra.
A
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C E D E R J 207
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 
1. Acesse http://www.fortalnet.com.br/jogos/hanoi/hanoi.htm e jogue. 
Este site também está disponível na plataforma Cederj. 
Acesse-a constantemente!
 COMENTÁRIO 
Jogar na internet ou utilizar o programa do jogo salvo num arquivo 
específi co e comparar suas descobertas, após manipular o jogo, podem 
ser ricas experiências de aprendizagem. Anote suas observações sobre esta 
comparação num quadro como o seguinte.
Torre de Hanói Observações: facilidades, difi culdades, 
curiosidades, diferenças etc.
Manipulando o jogo
Jogando na internet ou 
no programa salvo
Quadro 19.1: Respostas da Atividade Complementar 1
Converse com o tutor e com os colegas. Caso não consiga realizar 
a atividade complementar, por problemas de conexão ou quaisquer 
outros, não se preocupe: se fez a Atividade 1 e registrou suas descober-
tas e questionamentos, podemos continuar, sem problemas.
Supomos que você tenha feito várias observações sobre o seu primeiro con-
tato com o jogo. Pela experiência que temos com nossos alunos, encontrar o 
número mínimo de movimentos não é tão simples nas primeiras tentativas. No 
entanto, todo este processo é imprescindível para o desenvolvimento crítico 
do pensamento algébrico.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J208
ATIVIDADE
2. Com base em suas anotações feitas na Atividade 1, tente responder ao 
desafi o do jogo, construindo e preenchendo a tabela seguinte:
 COMENTÁRIO 
Você deve ter percebido que tentar descobrir o número mínimo de movimentos 
para o maior número de discos da torre que você tem não é simples; 
exige várias tentativas, que, muitas vezes, divergem no resultado fi nal. Para isso, 
a construção da tabela é importante. Desta forma, você pode registrar o 
número mínimo de movimentos e ir identifi cando regularidades. 
Você verá que, ao perceber 
determinadas regularidades 
e estar realmente convencido 
delas, não necessitará mais 
manipular sempre o mate-
rial. No entanto, se sentir 
necessidade, jogue; é impor-
tante. 
Número de discos Número mínimo de movimentos
1
2
3
4
5
6
Tabela 19.1: Respostas da Atividade 2
Antes de continuar a leitura da aula, sugerimos que você converse 
com colegas e com o tutor sobre suas descobertas e difi culdades com 
as Torres de Hanói. Não se esqueça de anotá-las, pois precisará delas 
na Atividade Final.
É possível que você já tenha se dado conta de que, no trabalho 
com as torres, utilizamos RACIOCÍNIO INDUTIVO. 
RACIOCÍNIO INDUTIVO
Conforme você estudou em Álgebra I, uma forma de demonstrar certos resultados 
matemáticos é mediante o uso da indução matemática. Este princípio tem base no fato 
de qualquer subconjunto dos números naturais conter um elemento mínimo. Por isso, 
o raciocínio indutivo deve ser utilizado exclusivamente para demonstrar as proposições 
dadas por números naturais. Para utilizarmos a indução matemática, temos de contemplar 
três etapas: (1) verifi car se P(n) é verdadeira para o menor número, onde P(n) está defi nida; 
(2) supor que P(n) é verdadeira para todo número; (3) provar que P(n+1) também é 
verdadeira. 
A
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C E D E R J 209
Lembra-se dos seus diários produzidos para Instrumentação 
de Geometria? Nesta aula, você conhecerá e analisará parte de diários 
produzidos por alunos do Ensino Médio e do Ensino Superior sobre 
o trabalho com Torres de Hanói. Inicialmente, relembremos o roteiro que 
utilizamos para a elaboração dos diários (BAIRRAL; DA SILVA, 2004).
– Data
– Carga horária
– Tema principal da aula
– Palavras-chave
– Qual(is) foi(ram) o(s) objetivo(s) da(s) aula(s)?
– O que você aprendeu? O que precisa de esclarecimento?
– Descreva brevemente um momento especialmente 
signifi cativo no desenvolvimento da aula
– Identifi que algo que o tenha surpreendido e feito você 
levantar perguntas etc.
– Procure explicar algo que o tenha deixado confuso, 
alguma difi culdade, uma dúvida ou pergunta não 
esclarecida.
– Sugestões e outros comentários que considere 
importantes
– Bibliografi a (utilizada, sugerida etc.).
Avalie de 1 a 10:
A aula como um todo:
O professor:
O seu grupo:
Os demais grupos:
Você mesmo:
Quadro 19.2: Roteiro para elaboração de diários de campo
É importante enfatizar aos alunos que eles não precisam seguir a ordem das 
perguntas e tampouco que o façam como pergunta seguida de resposta. 
Os itens são orientadores do conteúdo esperado nos diários, sejam eles indi-
viduais ou coletivos.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J210
Iniciemos com diários de estudantes da 1ª série do Ensino Médio. 
Na experiência (BAIRRAL; CARPI, 2002), os alunos trabalharam em 
grupos de, no máximo, quatro componentes. Vejamos parte dos textos 
produzidos por três dos grupos.
ATIVIDADES
3. Nesta atividade, vamos analisar descobertas dos alunos da professora 
Angela Carpi. O trabalho durou dez aulas. Inicialmente, você deve ler 
atentamente parte do diário de cada grupo e as observações feitas por 
Bairral e Carpi (2002), que selecionamos, e ir fazendo suas anotações. 
Mãos à obra!
Grupo 1
O primeiro grupo produziu uma tabela e observou o jogo em seus 
detalhes:
nº de discos
nº de 
movimentos
1
2
3
4
5
6
1
3
7
15
31
63
(...)
Nesta estratégia, descrevendo quantos movimentos cada disco fazia, 
o grupo verifi cou a presença das potências de 2. Olhar e descrever o jogo em 
suas partes, em seus mínimos detalhes, de uma forma única, demonstram 
que o grupo assumiu uma atitude de curiosidade e investigação que 
conduziu à elaboração de uma generalização esboçada a partir de
conhecimentos anteriores (as potências). Esta estratégia permitiu que se 
estabelecesse uma fórmula por meio da observação e da dedução do que 
ocorre com as somas das potências de 2.
Grupo 2
Este grupo afi rmou, de forma singular, que o disco maior move-se apenas 
uma vez, enquanto os outros percorrem em dobro o mesmo número de 
movimentos.
Ao fazer a representação disto na tabela a seguir, o grupo usou a linguagem 
matemática para mostrar, de forma clara e precisa, que o número de 
movimentos é sempre ímpar.
1 1 + 2 4 + 2 + 1 8 + 4 + 2 + 1
 3 7 15
f(x) = 20 + 21 + 22 + 23 + 2 x - 1
 x vezes
x - 1
=
1
2
1
2
1
4
2
1
4
8
A
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C E D E R J 211
Para sermos mais objetivos, formulamos esta tabela, que indica 
o número mínimo de jogadas para o número de discos utiliza-
dos:
Tabela 19.2: Análise de jogadas
Peças Número de jogadas Total
3 3 1 3 7
4 7 1 7 15
5 15 1 15 31
6 31 1 31 63
7 63 1 63 127
A turma reagiu à apresentação deste grupo, pois a tabela apresentava algo 
que os outros grupos não haviam observado. Na comunicação estabelecida, 
o grupo 2 conseguiu mostrar para os colegas que a tabela apresentava 
deforma fi el o que ocorria durante o jogo. A professora aproveitou esta 
oportunidade para recorrer ao trabalho do grupo 1 e verifi car, junto com 
os alunos, que o olhar sobre o movimento de cada peça confi rmava que 
o disco maior movia-se apenas uma vez.
Grupo 3
A refl exão deste grupo foi explicitada por meio de um texto que afi rmava 
o envolvimento coletivo dos alunos do grupo com o trabalho.
Nós conseguimos deduzir, descobrir a fórmula que estabelece 
o número mínimo de movimentos para cada quantidade de 
discos, e aí está ela: 2n + 1. Nós a descobrimos depois de muito 
trabalho, depois de passarmos horas e horas com uma folha à 
nossa frente com o número de discos e seus respectivos números 
mínimos de movimentos, estabelecendo relações até não poder 
mais; vamos tentar explicar como chegamos a essa fórmula.
Como quase todos os grupos, este também observou a relação 
que estabelece o número de movimentos para um determinado número 
de discos ao enunciarem a fórmula 2n + 1. Tal procedimento implica, 
por exemplo, que para mover 20 discos, é necessário conhecer o número 
de movimentos para 19 discos. Este raciocínio recursivo é natural em alguns 
casos e, apesar de ser trabalhoso, tem de ser considerado pelo professor como 
uma das primeiras descobertas que ajudará na integração e na descoberta 
de outras novas relações. Por exemplo, o grupo percebeu que:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J212
Observamos também que todos os números mínimos de 
movimentos são primos e ímpares, e que todos seguem uma 
seqüência a partir do último número. Esta seqüência seria: 7, 5, 
1 e 3; como podemos ver, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1.023, 
... (respectivamente, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 discos).
O destaque para esta descoberta esteve na observação de que todos os 
algarismos da unidade, dos números que representam os movimentos dos 
discos, aparecem nesta ordem, ou seja, 7, 5, 1, 3. Além de identifi carem 
esta regularidade, uma importante competência em Matemática, o trabalho 
deste grupo possibilitou ao professor explorar e desenvolver uma outra 
competência: o levantamento de hipóteses e a sua investigação. 
A resposta da Atividade 3 consiste no seguinte: imagine que os textos 
produzidos são de seus alunos. Conforme você observou, eles fi zeram 
descobertas interessantes, que poderiam ser consideradas em aulas 
posteriores para debates e outros desdobramentos. Por exemplo:
Quadro 19.3: Análise fi nal da Atividade 3
Grupo 1 Buscou entender por que seria potência de 2
Grupo 2 Mostrou que o número mínimo de movimentos 
é sempre ímpar
Grupo 3 Ressaltou que todos os números mínimos 
de movimentos são primos e ímpares
Escolha uma das observações anteriores e elabore uma justifi cativa que 
você poderia utilizar com seus alunos, caso alguns tivessem dúvida.
 COMENTÁRIO 
Independentemente da observação escolhida, é importante você ter percebido 
que uma delas não está correta. Se preferir, analise-as todas. Converse com 
colegas e com o tutor.
Vejamos refl exões e parte de textos de alunos do Ensino Superior. 
Os alunos também trabalharam em grupos de quatro jogadores durante 
umas oito aulas. 
A
U
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19
 
C E D E R J 213
4. Como fi zemos na atividade anterior, agora você analisará, como 
professor, respostas de diferentes grupos no trabalho com a Torre de 
Hanói. Inicie lendo atentamente as descobertas de cada grupo e fazendo 
suas anotações.
Grupo 1
Nº de discos Nº de movimentos
1 1
2 3 (3 – 1 = 2)
3 7 (7 – 3 = 4)
4 15 (15 – 7 = 8)
5 31 (31 – 15 = 16)
6 63 (63 – 31 = 32)
7 127 (127 – 63 = 64)
Para descobrir a quantidade de movimentos a serem feitos 
(MT) para um determinado número de discos, basta somar a 
quantidade de movimentos anteriores (MA) com a quantidade 
de discos que queremos mover (MD), isto é, MT = MA + MD.
Fórmula para o movimento da torre com n discos (observe tabela 
anterior): seja an o número mínimo de movimentos com n discos. 
De acordo com a tabela, vemos que:
an= 2an-1 + 1
an – an-1= 2
n-1.
Resolvendo o sistema para an, chegamos à fórmula que determina 
o número mínimo de movimentos: an= 2
n – 1.
Estratégias para conseguir um número mínimo de movimentos. 
Considere
 T1
 T2
Se quisermos mover a pilha de T1 para T2 (sentido horário), 
então:
(1) se o número de discos for par, o primeiro disco deve ser 
colocado em T3 (sentido anti-horário).
(2) se o número de discos for ímpar, o primeiro disco deve ser 
colocado em T2 (sentido horário).
Obs.: Esta estratégia serve para o movimento das torres interme-
diárias também.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J214
Grupo 2
...Para cada disco a mais que colocamos, o número de movi-
mentos dobrava e aumentava em 1, como mostra o esquema 
abaixo:
Nª de discos Movimentos numéricos 
necessários
1 1 (x2 + 1 = 3)
2 3 (x2 + 1 = 7)
3 7 (x2 + 1 = 15)
4 15 (x2 + 1 = 31)
5 31 (x2 + 1 =...)
... ...
N X (2 + 1)
Notemos que, ao aumentarmos o número de discos em 1 unidade, 
o número de movimentos dos discos aumenta, segundo uma P.G. 
de razão 2. Logo, podemos determinar o número de movimentos 
para qualquer número de discos.
Grupo 3
...Variando o número de discos e tentando identifi car que número 
expressa o mínimo de movimentos necessários [...], passamos 
à tarefa de generalizar para um número n de discos. Veja os 
passos utilizados nesses raciocínios: 
1º passo:
Nº de discos Nº mínimo de 
movimentos
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
6 63
7 ?
A
U
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C E D E R J 215
2º passo
a1 = 1
a2 = 2a1 + 1
a3 = 2a2 + 1
a4 = 2a3 + 1
a5 = 2a4 + 1
a6 = 2a5 + 1
3º passo
a7 = 2a6 + 1
a7 = 2 . 63 + 1= 127
4º passo
an = 2 (an–1 + 1)
n = nº de discos
a = nº min. de mov.
6º passo
an = 2
n – 1 
5º passo
a7 = 2a6 + 1
a7 = 2 (2a5 + 1) + 1
a7 = 4a5 + 3
a7 = 4 (2a4 + 1) + 3
a7 = 8a4 + 7
a7 = 8 (2a3 + 1) + 7
a7 = 16a3 + 15
a7 = 16 (2a2 + 1) + 15
a7 = 32a2 + 31
a7 = 32 (2a1 + 1) + 31
a7 = 64a1 + 32 + 31
a7 = 64 + 32 + 31
a7 = 2
7-1 + 27-2 + 27-2 – 1
a7 = 2
7-1 + 2 (27-2) – 1
a7 = 2
7-1 + 27-1 – 1
a7 = 2 (2
7-1) – 1
a7 = 2
7 – 1
Grupo 4
Tabela 19.3: Organização das respostas do grupo 4
Quantidade de discos 
das torres (n)
Quantidade de movimentos das peças nas torres Total de 
movimentosPç 1 Pç 2 Pç 3 Pç 4 Pç 5 Pç 6 Pç 7
1 1 0 0 0 0 0 0 1
2 2 1 0 0 0 0 0 3
3 4 2 1 0 0 0 0 7
4 8 4 2 1 0 0 0 15
5 16 8 4 2 1 0 0 31
6 32 16 8 4 2 1 0 63
7 64 32 16 8 4 2 1 127
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J216
– A tabela apresentada anteriormente forma uma matriz triangu-
lar inferior, com a diagonal principal contendo todos os termos 
iguais a 1, apresentando sete divisores do nº 64.
– O número de divisores de 64 contido na matriz é igual ao 
número de discos da Torre de Hanói.
– A matriz é quadrada e de ordem 7.
1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 0
4 2 1 0 0 0 0
8 4 2 1 0 0 0
16 8 4 2 1 0 0
32 16 8 4 2 1 0
64 32 16 8 4 2 1
É interessante observarmos nos diários o objeto matemático priorizado por 
cada grupo e como os alunos vão desenvolvendo suas idéias e construindo o 
seu texto matemático. Neste processo, ressaltamos a importância do desafi o 
próprio do jogo e no trabalho em grupo, pois as discussões e as diferentes 
colocações de cada aluno enriquecem esta dinâmica e os diferentes estilos, 
o que não poderia deixar de ser: diferentes alunos, diferentes discussões, 
diferentes registros e diferentes conteúdos contextualizados.
Agora você vai analisar, como professor, o texto dos grupos. Iniciaremos 
destacando algumas de nossas observações. Acrescente mais uma para 
cada grupo. 
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C E D E R J 217
Consideramos que esta atividade será difícil, se você não tiver jogado.
Grupo Observação
1 – Destacou que somar a quantidade de movimentos anteriores com 
a quantidade de discos que queremosmover é uma estratégia para 
encontrar o número mínimo de movimentos.
– Escreveu uma fórmula que determina o número mínimo de 
movimentos.
– Fez observações orientando-se pelo número de peças a serem 
movidas e relacionou ao sentido horário/anti-horário.
2 – Interessante também notar que o grupo 2 se deu como convencido 
para determinar o número de movimentos apoiados no termo 
anterior.
3 – A escrita bem organizada e detalhada do grupo 3 mostra que os 
estudantes conseguiram generalizar a partir de uma investigação 
apoiada na recursividade.
– Além de construir um sistema de equações a partir do que observa 
na tabela, o grupo 3 construiu a estratégia para o número mínimo 
de movimentos a partir do sentido horário/anti-horário.
4 – O texto do grupo 4 chama a atenção por sua análise, que considera 
também a quantidade de movimentos de cada peça e como 
isso contribui para determinar o número total de movimentos. 
Ao observarem o movimento de cada peça e disporem estas 
observações em forma de tabela, os estudantes passaram a centrar 
sua atenção na matriz que fi ca formada e fazem mais destaques 
sobre esta disposição.
 COMENTÁRIO 
Existem grupos que tendem a ser mais imediatos, dando-se por convencidos 
a partir de cinco movimentos. Por exemplo, a justificativa apoiada apenas 
na observação numérica seguinte:
Nº de discos Nº de movimentos
1 1 = 21 – 1
2 3 = 22 – 1
3 7 = 23 – 1
4 15 = 24 – 1
5 31 = 25 – 1
... ...
n 2n –1"
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J218
É importante verificar o matematizar de cada estudante e discutir com 
eles este processo. Uma preocupação dos estudantes é fazer compa-
rações do tipo “melhor” ou “pior”. 
É importante enfatizar que não deve ser objetivo do professor estabelecer compa-
rações do tipo saber mais ou menos. É relevante que os alunos percebam, analisem 
e respeitem o matematizar do seu colega e contribuam com a continuidade deste 
processo, pois ensino-aprendizagem é um processo contínuo de aprender a aprender 
e aprender a ser, fortalecido pelas relações interpessoais, e não mera acumulação 
acrítica de conhecimentos. 
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 
2. Para os que gostam de navegar pela internet, recomenda-se acessar outros sites 
interessantes sobre o jogo Torre de Hanói.
http://www.cut-the-knot.com/recurrence/hanoi.html
http://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/algo.html
http://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/HTonWebE.html
http://obelix.ee.duth.gr/~apostolo/TowersOfHanoi/
 COMENTÁRIO 
Visitar os sites anteriores trará novas descobertas e possibilidades 
de entendimento do jogo. Além do mais, sensibilizará você a inserir a internet 
como recurso de aprendizagem própria e em suas aulas.
A PRÁTICA AVALIATIVA EM MATEMÁTICA COM OS 
DIÁRIOS DE CAMPO
Como você sabe, pensar em avaliação implica mudanças 
nos objetivos para o processo ensino-aprendizagem, na maneira 
de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos 
conteúdos matemáticos, num trabalho docente que deve incluir uma 
variedade de situações de aprendizagem (BRASIL. MEC. PCN, 1998).
Despertados e infl uenciados pelos trabalhos de Powell e López (1995) 
sobre a importância da escrita no ensino-aprendizagem de Matemática, 
começamos a utilizar em nossas aulas um instrumento de avaliação: 
o diário de campo. 
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19
 
C E D E R J 219
Normalmente, existem alunos que, ao iniciarem o processo de escrita 
dos diários, descrevem, superfi cialmente, o que aconteceu. Por exemplo, 
em uma aula com o jogo Torre de Hanói, é comum escreverem 
“hoje conhecemos e trabalhamos com a Torre de Hanói”; então, o 
que enfatizamos é que nosso interesse é saber da aprendizagem 
(descobertas, difi culdades, facilidades, questões pensadas e sem resposta 
etc.) no trabalho com a torre, e um texto descritivo normalmente não 
traz este tipo de informação. Por isso, preferimos denominar diário de 
campo, e não relatório. Embora o texto contido no diário possa não 
ser descritivo, nossa experiência mostrou que há um entendimento de 
sê-lo (relato de visitas e trabalhos extra-aula etc.). Um exemplo que 
possibilita ao aluno entender melhor nossa intenção com esta prática são 
aqueles diários pessoais feitos tradicionalmente pelas meninas em sua 
adolescência. Neles, são explicitados sentimentos diários, descobertas 
e emoções variadas.
As idéias de D’Ambrósio (1996) também foram orientadoras para 
a adaptação do instrumento à dinâmica de nossa aula. Assim, como 
critérios de avaliação, utilizamos:
Critérios avaliativos orientadores
Principais Outros
– Prazo estipulado para entrega.
– Compreensão e explicitação dos 
temas abordados: perceber o que 
é importante destacar dentro do 
estudado.
– Utilização do roteiro.
– Resposta às colocações feitas 
pelo professor.
– Reporte ao trabalho coletivo. 
Associação de idéias com a prática, 
apresentando exemplos.
– Capacidade de análise e síntese.
– Evolução no processo de elaboração 
de escrita e idéias.
– Dúvidas levantadas e esclarecimentos 
solicitados.
– Críticas e sugestões feitas.
– Organização e apresentação. 
– Vocabulário e coerência na escrita.
– Referência bibliográfi ca.
Tabela 19.4: Critérios de avaliação com diários
Os erros gramaticais não interferem na avaliação, porém são feitas as devidas 
correções e observações.
Após o trabalho em pequenos grupos, durante o qual vamos 
esclarecendo dúvidas, analisando processos de raciocínio utilizados 
e propondo questões, passamos a analisar os diários de cada grupo, 
ou seja, cada grupo analisava o texto do outro e, ao fi nal, realizávamos 
uma discussão com toda a turma. Por exemplo, veja a observação do 
grupo 3 sobre o diário do grupo 1. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J220
Em princípio, discordamos do tipo de referencial, horário e anti-
horário, que o grupo usou. Só partimos para a prática (testamos na 
torre) e verifi camos que funciona para n movimentos e n número 
de peças. Este fato não ocorreu em nenhum dos membros do nosso 
grupo, o que observamos que facilita em fazer o menor número 
de movimentos.
Podemos observar, na escrita do grupo, que, além de compre-
enderem, inicialmente discordando do texto do outro grupo, os estu-
dantes foram verifi car se realmente procediam as observações feitas. 
Alguns sentiam necessidade de voltar ao jogo, enquanto outros o faziam 
direto no papel. Além de se darem por satisfeitos, reconheciam a impor-
tância do referencial (sentido horário ou anti-horário), para determinar 
o número mínimo de movimentos. 
O que consideramos importante é o professor fazer este tipo de observação. 
Desta forma, o estudante tem a oportunidade de verifi car como pensaram seus 
colegas. Estes diferentes momentos escrita-refl exão-nova escrita favorecem o 
desenvolvimento do processo de matematizar.
CONCLUSÃO
É comum estudantes encontrarem dificuldade na escrita. 
A dinâmica de ler criticamente, recebendo e colocando questões, seja do 
próprio diário, seja do(s) colega(s), é imprescindível, pois enriquece e 
propicia melhora no processo de escrita, na medida em que o aluno que 
lê outro tipo de texto faz críticas com argumentos e discute com toda a 
turma. Quanto aos resultados expressos pelos instrumentos de avalia-
ção, sejam eles provas, trabalhos ou observações de postura em sala de 
aula, eles constituem indícios de competências e, como tais, devem ser 
considerados. A tarefa do professor constitui um permanente exercício de 
interpretação de sinais, de indícios, a partir dos quais manifesta juízos 
de valor que lhe permitem reorganizar a sua prática. Ao levantar indí-
cios sobre o desempenho dos alunos, o professor deve ter claro o que 
pretende obter e que uso fará destes indícios. Neste sentido, a análise 
do erro pode ser uma pista interessante e efi caz.
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19
 
C E D E RJ 221
O processo de matematização ocorrerá à medida que o professor 
reconhecer sua sala de aula como um espaço de diálogo e confi ança, 
um quebra-cabeça complexo, do qual ele é uma das peças, diferente 
e imprescindível – mas não sufi ciente –, que se (des)constrói com muito 
respeito e força de vontade para romper difi culdades próprias, ajudar 
o outro e contribuir com o crescimento coletivo.
ATIVIDADE FINAL
Como atividade fi nal, propomos que você analise a veracidade, ou não, de cada 
afi rmação seguinte:
1. A quantidade mínima de movimentos das torres com n discos é igual à soma 
de uma P.G. fi nita de razão 2, 1º termo igual a 1 e com número de termos igual 
ao número de discos da torre.
2. Ao movimentarmos o número de discos, a quantidade de movimentos de cada 
peça cresce em P.G. de razão 2, com 1º termo igual a 1.
3. O número de movimentos de uma torre com n discos é igual ao dobro de 
movimentos da torre com (n-1) discos, acrescido de um movimento.
4. Condições para os movimentos das peças para obtermos o mínimo possível: 
consideramos as peças/discos numerados de 1 a 7. Dividimos a Torre de Hanói 
conforme o esquema a seguir:
1
3 2
P
I
P P
I
I 1, 2 e 3 são pinos da torre
P – par
I – ímpar
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
C E D E R J222
Observação Verdadeira Falsa Correções, complementos etc.
1
2
3
4
5
6
Tabela 19.5: Respostas da Atividade Final
 COMENTÁRIO 
Você deve ter verifi cado que apenas duas das observações anteriores são 
falsas. Se teve difi culdade, procure entender cada afi rmação realizando os 
movimentos na torre.
R E S U M O
Dependendo dos objetivos do professor, o jogo Torre de Hanói também pode ser 
utilizado com alunos das séries iniciais. A própria utilização, pelo aluno, de um 
tipo de registro para mostrar uma seqüência de movimentos já se constitui numa 
tarefa importante. Em séries mais avançadas, este jogo pode ser utilizado para 
o desenvolvimento de noções relacionadas ao estudo de regularidades, ao princípio 
da indução fi nita, às seqüências e relações numéricas, como vimos nos textos dos 
estudantes. O número de discos utilizados infl ui na complexidade do jogo. Há uma 
relação funcional entre o número de discos e a quantidade mínima. Se o objetivo 
docente for inserir o trabalho com as torres para explorar o conceito de função, 
é importante ressaltar que, segundo Tinoco (1996), as situações que envolvem este 
conceito devem explorar diferenças entre variável e incógnita, além de desenvolver 
processos de generalização mediante o estudo de relações e de regularidades.
5. As peças pares se movimentam seguindo a ordem crescente dos pinos, partindo 
do número 1.
6. As peças ímpares se movimentam seguindo a ordem decrescente dos pinos, 
partindo do número 1.
A
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19
 
C E D E R J 223
AUTO-AVALIAÇÃO
Esperamos que você tenha compreendido como utilizar o jogo Torre de Hanói em 
aulas de Matemática e em diferentes séries. A aplicação do princípio de indução 
fi nita – ao considerarmos um determinado número anterior de movimentos para 
identifi carmos o número de movimentos seguintes com mais um disco (n+1) – 
e a percepção de que existe uma relação funcional entre o número mínimo de
movimentos e o número de discos da torre também devem ter sido objetos 
de seu entendimento nesta aula. Ter refl etido sobre a importância do trabalho 
em grupo, dos diferentes registros matemáticos que podem ser elaborados pelos 
estudantes, bem como o papel que assume a avaliação nesta dinâmica de trabalho 
é o objetivo que consideramos relevante em sua aprendizagem.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você irá estudar e relacionar os conceitos de proporcionalidade 
e função.
Um relacionamento 
quase perfeito: funções 
e proporcionalidades
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, 
você seja capaz de:
• Analisar o estudo das grandezas direta e inversamente 
proporcionais.
• Relacionar o conceito de proporcionalidade 
com o estudo de funções.
• Identifi car funções que apresentam proporcionalidade.
Pré-requisitos 
Para o desenvolvimento desta aula, é necessário que você reveja 
o conceito de função, saiba construir gráfi cos e tenha algum 
entendimento sobre o conceito de proporcionalidade.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho com 
as funções e as grandezas direta 
e inversamente proporcionais. 
20AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J226
A proporcionalidade é um dos conceitos matemáticos mais presentes no dia-
a-dia das pessoas. Seja na cozinha, na obra, nas compras; enfi m, poderíamos 
exemplifi car várias situações do cotidiano em que utilizamos grandezas 
diretamente proporcionais.
Nesta aula, vamos relacionar esse conceito com o estudo das funções. Para isso, 
utilizaremos alguns exemplos clássicos, investigaremos a lei da função que modela 
o problema e analisaremos seu gráfi co.
Leia e refl ita sobre o seguinte problema publicado pelo grande matemático 
LEONARDO EULER, em seu livro Elementos de Álgebra, publicado em São 
Petersburgo, em 1770. 
INTRODUÇÃO
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma CEDERJ. Lá você encontrará 
diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
O matemático 
LEONARDO EULER 
nasceu na Suíça 
em 1707 e morreu 
em 1783. Perdeu a 
visão em 1766, mas 
continuou publicando 
seu trabalho. Ele 
fez contribuições 
em diversas áreas 
da Ciência. Uma de 
suas mais famosas 
descobertas foi a 
relação de Euler para 
poliedros conexos: 
V + F = A + 2.
Uma lebre está 50 pulos à 
frente de um cachorro, o 
qual dá 3 pulos no tempo 
que ela leva para dar 4. 
Sabendo que 2 pulos do 
cachorro valem 3 da lebre, 
quantos pulos ele deve dar 
para pegá-la?
Este é um exemplo de problema que se refere à proporcionalidade, 
assunto que será tratado nesta aula. Pense no problema e depois confi ra 
com a solução dada ao fi nal da aula.
PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PROPORCIONALIDADE... 
Uma receita muito simples, e às vezes bastante necessária, é a do soro 
caseiro. Para fazer 1 litro de soro, você precisa dos seguintes ingredientes:
• 1 litro de água fi ltrada (ou fervida).
• 1 colher (das de café) de sal.
• 2 colheres (das de café) de açúcar. 
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20
 
C E D E R J 227
Quantidade de soro Água (L) Sal (colher de café) Açúcar (colher de café)
1 litro 1 1 2
2 litros 2 2 4
3 litros 3 3 6
4 litros 4 4 8
Misture-os, e está pronto um soro muito útil nos casos de 
desidratação. Você deve estar se perguntando: o que essa receita tem 
a ver com proporcionalidade? Observe a tabela:
A quantidade de água, sal e açúcar é dependente da quantidade 
de soro caseiro que se deseja fazer. Quanto mais soro você precisar fazer, 
maiores serão as quantidades de água, sal e açúcar, mantendo a mesma 
proporção de que você irá precisar.
Por exemplo, se precisar de meio litro de soro, você deve misturar 
meio litro de água, meia colher (das de café) de sal e seis colheres (das 
de café) de açúcar.
O uso de receitas como atividade prática no ensino de proporção 
é uma estratégia bastante utilizada e importante para um contato inicial 
com esse conceito.
Pense, agora, que vamos fazer uma viagem de São Paulo ao Rio de 
Janeiro. Sabemos que a velocidade média pode ser obtida dividindo-se a 
distância percorrida pelo tempo gasto na viagem (v = d
t
). Considerando 
400km a distância entre essas duas cidades, resolvemos registrar algumas 
anotações na tabela:
Distância percorrida Velocidade média Tempo gasto
400km
50km/h 8h
60km/h 6h 40 min
80km/h 5h
100km/h 4h
Observe que, à medida que a velocidade aumenta, o tempo 
diminui. E mais ainda, o produto das medidas das grandezas velocidade 
e tempo é sempre constante igual a 400km; veja:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamentoquase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J228
50km/h . 8h= 400km
60km/h . 6h 40min= 400km
80km/h . 5h= 400km
100km/h . 4h= 400km
Dizemos, então, que as grandezas velocidade e tempo mantêm 
entre si uma relação inversamente proporcional.
Vamos investigar um pouco mais a razão v = d
t
, onde d é a distância, 
v é a velocidade média e t é o tempo em que foi percorrida a distância.
Se com 10 anos tenho um metro de altura, com 30 anos terei 30 metros de 
altura?
Se uma pessoa com 20 anos come 300g num restaurante a quilo, com 50 anos 
comerá 750g?
Se três gatos comem três ratos em três minutos, então cem gatos comem cem 
ratos em cem minutos?
Atenção! Nem todos os problemas envolvem proporcionalidade!
!
O QUE A PROPORCIONALIDADE “TEM A VER” COM 
AS FUNÇÕES?
Observe que o modelo matemático da proporcionalidade considera 
apenas grandezas que têm medida positiva; logo, leva em consideração 
apenas números reais positivos. Uma proporcionalidade direta e inversa 
é uma função f: IR → IR que atende a duas propriedades que você verá 
a seguir separadamente.
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais ou 
simplesmente proporcionais quando existe uma correspondência x → y, 
que associa a cada valor x de uma delas um valor y, bem defi nido da 
outra, de modo que sejam cumpridas as seguintes condições:
1. Quanto maior for x, maior será y. Em termos matemáticos, se 
x → y e x’ → y’, então x < x’ implica y < y’.
2. Se dobrarmos, triplicarmos etc. o valor de x, então o valor 
correspondente de y será dobrado, triplicado etc. 
Na linguagem matemática: se x → y, nx → ny para todo n ∈ N. 
Escrito de outra maneira, se y= f(x), f(nx)= n . f(x).
Nessas condições, a correspondência x → y chama-se propor-
cionalidade (proporcionalidade direta).
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20
 
C E D E R J 229
Dada uma função, quando escrevemos x → y e x’ → y’, então x < x’ implica y 
< y’, estamos dizendo que essa função é crescente, pois se x aumenta, temos 
um aumento no y.
!
No exemplo do soro, sua quantidade depende da quantidade de 
ingredientes, I → S, onde I = água + sal + açúcar e se I < I’ → S < S’, isto 
é, quando aumentamos a quantidade de ingredientes, a quantidade de 
soro aumenta e ainda n.I → n. S, ou seja, dobrar, triplicar,... a quantidade 
de ingredientes signifi ca dobrar, triplicar a quantidade de soro. 
Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando existe uma correspondência x → y, que associa a cada valor x 
de uma delas um valor y bem defi nido da outra, de tal modo que sejam 
cumpridas as seguintes condições:
1. Quanto maior for x, menor será y. Em termos matemáticos, se 
x → y e x’ → y’, então x < x’ → y > y’.
2. Se dobrarmos, triplicarmos,... o valor de x, então o valor 
correspondente de y fi cará dividido por 2, dividido por 3 etc. Na 
linguagem matemática: se x → y, então nx → y
n
 , para todo n ∈ N, ou, 
se y = f(x), f(nx) = f(x)
n
 .
Nesse caso, a correspondência x → y chama-se proporcionalidade 
inversa.
Dada uma função, quando escrevemos x → y e x’ → y’, então x < x’ implica 
y > y’, estamos dizendo que essa função é decrescente, pois se x aumenta, 
temos uma diminuição nos valores de y.
!
No exemplo da velocidade média do Rio a São Paulo, em que a 
distância considerada foi de 400km, temos que a grandeza velocidade 
depende da grandeza tempo, isto é, t → v. Se aumentarmos o tempo, a 
velocidade diminuirá, e ao dobrar, triplicar,... o tempo gasto na viagem, a 
velocidade fi ca reduzida à metade, à terça parte,..., isto é, n . t → v
n
 .
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J230
ATIVIDADE
1. Uma substância mantida em temperatura constante tem sua massa e 
seu volume representados na tabela a seguir. Considerando somente essas 
informações, responda às questões seguintes.
m (kg) 0.8 2.4 4.0 8.0
V (L) 1 3 5 10
(a) Massa e volume são grandezas diretamente proporcionais? 
Justifi que.
(b) Esboce o gráfi co m x V correspondente.
(c) Qual é a massa de substância correspondente ao volume de 0,7L?
(d) Qual é o volume correspondente à massa de 3,2Kg?
 COMENTÁRIO 
 Esta é uma atividade muito comum no estudo de grandezas proporcionais 
conjugadas com a representação e a análise gráfi ca.
UM PROBLEMA MUITO CURIOSO: O CASO DO RETÂNGULO
Você sabe que a área (A) do retângulo é dada por A = bh, onde b 
é a base e h é a altura. Nesta equação, temos três variáveis envolvidas, e 
podem acontecer três casos diferentes, que estudaremos agora.
Caso 1: Podemos ter a base b constante.
Neste caso, temos que a área é dada em função de sua altura, já 
que a base se mantém constante (veja ilustração a seguir). Escrevemos, 
então, que A = f(h) = b.h, onde b é constante. Agora, observe o que 
acontece quando multiplicamos a altura por n:
A(nh) = b . nh = n . bh = n . A(h)
Desta forma, mostramos que a área e a altura de um retângulo 
são grandezas proporcionais, pois A é função de h, A é função crescente 
e A(n . h) = n . A(h) ou n . h → n . A. Esta última afi rmação signifi ca 
justapor n retângulos com a mesma base b.
A
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C E D E R J 231
b b b b b
Veja a tabela com alguns valores para a altura h:
Base Altura Área
b 0,5 0,5b
b 1 b
b 1,3 1,3b
b 2 2b
b 3 3b
b 5 5b
b 20 20b
O valor de b está fixo e atua como uma constante de 
proporcionalidade. 
Vamos fazer um exemplo onde b = 2. Neste caso, a área é dada 
por A = 2 . h. Pelas restrições do domínio, o gráfi co será uma semi-reta, 
parte de uma função polinomial do primeiro grau, cuja lei é dada por 
A(h) = 4h, chamada de função linear. Sua inclinação, ou taxa de variação, 
é dada por b.
h
A
2
1
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J232
Assim, considerando as variáveis b e h de domínio real positivo, 
o gráfi co da função A: IR → IR defi nida por A(b) = bh, onde h é um 
número real positivo, será sempre uma semi-reta sem a origem (0,0) que 
parte do gráfi co da função linear y = kx.
Caso 2: Podemos ter a altura h constante.
Neste caso, temos que a área é dada em função de sua base, já 
que a altura se mantém constante (veja ilustração a seguir). Escrevemos, 
então, que A = f(b) = b . h, onde h é constante. Agora, observe o que 
acontece quando multiplicamos a altura por n:
A(nb) = nb . h = n . bh = n . A(b)
Desta forma, mostramos que a área e a base de um retângulo são 
grandezas proporcionais, pois A é função de b. A é função crescente e 
A(n.b) = n.A(b) ou n.b → n. A. Esta última afi rmação signifi ca justapor 
n retângulos com a mesma altura h.
h h h h h
Veja a tabela com alguns valores para a base b:
Base Altura Área
2 h 2h
4 h 4h
4,6 h 4,6h
5 h 5h
7,1 h 7,1h
O valor de h, que está fixo, atua como uma constante de 
proporcionalidade.
A
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20
 
C E D E R J 233
ATIVIDADES
2. Faça um exemplo do caso 2 onde h = 5. 
Caso 3: Podemos ter a área constante.
 Neste último caso, faremos a área constante. Dessa forma, as variáveis 
são a base e a altura, e temos que A = bh → b = A
h
 ou h = A
b
. Vamos 
considerar b = A
h
.
3. Para você entender melhor este caso, considere todos os retângulos cuja 
área mede 12. Complete as duas tabelas a seguir.
Base Altura Base Altura
1 0,004
2 0,1 = 1
3 0,5 = 
4 1,2
6 2
12 2 3 = 12
36 4,8
120 12,5
n 144
Escrevemos que b(h) = A
h
 ou b: h → A, onde A é constante. Agora, 
observe o que acontece quando multiplicamos a altura h por n:
b(nh) = A
nh
 = 1
n
 . A
h
 = 1
n
 . b(h)
A função b é decrescente, isto é, dada uma área fi xa, quanto maior 
a altura, menor será a base do retângulo. Desta forma, mostramos que a 
base e a altura são grandezas inversamente proporcionais, pois b é função 
de h, b é função decrescente e b(n . h) = n . b(h) ou n . h → n . b. 
Qual será o gráfico desta nova função que representa uma 
proporcionalidade inversa?Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J234
Veja, a seguir, o gráfi co da função b(h) = A
h
, fazendo A = 12 e 
considerando o domínio da função, isto é, todos os valores que a altura 
pode assumir. Este conjunto é formado por todos os reais maiores que 
zero, isto é, ]0, +∞[. 
b
12
2 3
2 31
1
12
h
Este gráfi co é parte de uma hipérbole, e, por conseguinte, a função é chamada 
de hiperbólica. Volte à Aula 17, pois essa função foi estudada detalhadamente. 
No caso da proporcionalidade, consideramos somente a parte do gráfi co do 
primeiro quadrante por causa da restrição geométrica.
!
UM TEOREMA MUITO IMPORTANTE: TEOREMA DA 
PROPORCIONALIDADE
Este teorema é de grande importância na Matemática, pois faz a 
passagem dos naturais para os reais. Ele diz o seguinte:
Se f: IR → IR é uma função crescente tal que
f(nx)= n . f(x) para todo x ∈ IR e todo n ∈ N; então, 
f(cx)= c . f(x) para quaisquer x e c reais positivos.
Uma aplicação importantíssima, que aparece no Ensino Médio, 
ocorre quando trabalhamos o conceito de volume. Veja o caso do 
paralelepípedo.
A
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20
 
C E D E R J 235
O paralelepípedo reto retângulo fi ca perfeitamente determinado 
por três medidas que são suas dimensões: comprimento (a), largura 
(b) e altura (c).
 O volume de um paralelepípedo retângulo é uma função de 
suas dimensões, e representaremos esse volume por V(a, b, c). É uma 
função crescente, de três variáveis, porque ele aumenta se qualquer 
uma das três variáveis aumentar (e diminui se qualquer uma das três 
variáveis diminuir).
Como o cubo unitário é um paralelepípedo retângulo cujas 
dimensões são todas iguais a 1, ou seja a = b = c = 1, seu volume é 
V(1, 1, 1) = 1.
1
1 1
O volume do paralelepípedo retângulo é proporcional a cada 
uma de suas dimensões.
Observe o bloco retangular de 24 unidades de volume. O que 
aconteceria se dobrássemos seu comprimento? Quando mantemos 
constantes a largura e a altura e dobrando o comprimento, o volume 
do paralelepípedo gerado é o dobro do original.
V(a, b, c) = V(4, 3, 2) V(8, 3, 2) = V(2a, b, c) = 2 . V(a, b, c)
Podemos, então, escrever que, dado um número natural n, 
V(na, b, c) = n . V(a, b, c).
E o que aconteceria se triplicássemos sua altura em vez de 
duplicar seu comprimento? Mantendo constantes o comprimento e a 
largura e triplicando a altura, o volume do paralelepípedo gerado é o 
triplo do original.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J236
V(a, b, c) = V(4, 3, 2) V(4, 3, 6) = V(a, b, 3c) = 3.V(a, b, c)
Temos assim que, dado um número natural n, V(a, b, nc) = 
n . V(a, b, c).
Esse resultado pode ser estendido para qualquer número real por 
meio do Teorema Fundamental da Proporcionalidade.
Com isso, se V(na, b, c) = n . V(a, b, c), podemos escrever que 
V(xa, b, c) = x . V(a, b, c) para todo número real x, e se V(a, b, nc) 
= n . V(a, b, c), podemos escrever que V(a, b, yc) = y . V(a, b, c) para 
todo número real y.
Vamos voltar ao paralelepípedo retângulo com dimensões a, b e 
c agora reais, onde temos: 
V(a, b, c) = V(a × 1, b, c) = a × V(1, b, c) = a × V(1, b × 1, c) = 
a × b × V(1, 1, c) = a × b × V(1, 1, c × 1) = a × b × c × V(1, 1, 1).
Contudo V(1, 1, 1) é o volume de um cubo de aresta 1, ou seja, 
é o volume do nosso cubo unitário e, portanto, vale 1. Então, V(a, b, c) 
= a × b × c × V(1, 1, 1) = a × b × c × 1 = a × b × c, para quaisquer 
medidas a, b e c reais.
Se você desejar conhecer a demonstração do Teorema Fundamental 
da Proporcionalidade, procure em livros de análise ou vá ao endereço 
www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap1.pdf. A demonstração está no 
Apêndice 1, na página 16. Você também pode ver nos seguintes livros publicados 
pela (SBM) (Sociedade Brasileira de Matemática): Meu professor de Matemática, 
página 129, e A Matemática do Ensino Médio, vol. 1, página 94.
!
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C E D E R J 237
Alguns exemplos clássicos:
O tempo gasto para ir de um ponto A ao ponto B, em linha reta, com 
velocidade constante v, é inversamente proporcional a essa velocidade.
Observe:
• se dobrarmos a velocidade, o tempo se reduzirá à metade;
• se triplicarmos a velocidade, o tempo fi cará dividido por 3.
No movimento retilíneo uniforme: 
Velocidade - v Tempo - t
2v 12
3v 13
v
10 10t
k.v tk
Outro problema que aparece bastante no Ensino Fundamental é 
a divisão de um número em partes proporcionais. Veja, como exemplo, 
o problema a seguir.
Três pessoas formaram uma sociedade: A entrou com R$ 24.000,00; 
B com R$ 30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três meses, tiveram 
um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada sócio.
Vamos resolver este problema de duas formas diferentes.
Solução 1: O problema pede que você divida 60.000 em partes 
proporcionais a 24.000, 30.000 e 36.000. Repare que o investimento 
inicial foi de 90.000. Assim,
A pessoa 1 investiu 24.000
90.000
 = 4
5
A pessoa 2 investiu 24.000
90.000
 = 1
3
 = 5
15
A pessoa 3 investiu: 36.000
90.000
 = 6
15
Assim, dividindo 60.000 em 15 partes iguais, temos 4.000 
como resultado.
A pessoa 1 recebe 4 partes, 4 x 4.000 = 16.000;
A pessoa 2 recebe 5 partes, 5 x 4.000 = 20.000;
A pessoa 3 recebe 6 partes 6 x 4.000 = 24.000.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J238
Solução 2: O lucro de cada sócio deve ser proporcional ao valor 
com que ele entrou na sociedade. Dessa forma, temos que A
24.000
= 
B
30.000
= C
36.000
. Em contrapartida, esta razão é igual à razão entre o 
lucro total e a quantia total investida na sociedade, isto é, 60.000
90.000
= 2
3
.
Com isso, basta igualar cada razão a e resolver as três equações. 
Veja:
A
24.000
 = 2
3
 → A = 16.000
B
30.000
 = 2
3
 → B = 20.000
C
36.000
 = 2
3
 → C = 24.000
ATIVIDADE
4. Uma miniatura de um automóvel foi construída na escala 1:40. As 
dimensões da miniatura são: comprimento 12,5cm e largura 5cm. Quais 
as dimensões reais do automóvel? Como você classifi ca essas grandezas? 
Qual a lei da função que modela esse problema?
 COMENTÁRIO 
Lembre-se de que a escala é uma razão entre as medidas no desenho 
e as reais.
NEM TODAS AS GRANDEZAS SÃO PROPORCIONAIS...
Para avaliar se duas grandezas são proporcionais, não basta 
analisarmos que “quanto maior for x, maior será y”. Esse fato não 
assegura a proporcionalidade entre x e y.
Veja, por exemplo, a caderneta de poupança. Suponha que você 
invista em sua caderneta de poupança R$1.000,00 por um ano, a uma 
taxa de juros de 2% ao mês e, ao fi nal desse um ano, recebe 
C12 = 1.000(1 + 0,02)
12 = 1.000 . 1,0212 ≅ 1.268,24.
Se você deixar seu dinheiro investido por cinco anos, nessas 
mesmas condições, ao fi nal desse período, você receberá 1.268,24 x 5 
= 6.341,2?
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C E D E R J 239
Na verdade, o valor será um “pouco” diferente disso!
Veja: C60 = 1.000(1 + 0,02)
60 = 1.000 . 1,0260 ≅ 3.281,03, embora, 
nesse caso, a proporcionalidade fosse mais “agradável”!
Este exemplo, presente no nosso dia-a-dia, mostra que a propriedade 
“quanto maior for x, maior será y” não assegura a proporcionalidade 
entre x e y. 
 Um outro exemplo muito trabalhado na sala de aula, mas que 
ainda causa confusão entre os alunos, é a área do quadrado em função 
do seu lado, isto é, a função A(x) = x2, onde x é real e x > 0.
Quando dobramos ou triplicamos o lado do quadrado, a área não 
fi ca dobrada ou triplicada: A(2x) = (2x)2 = 4x2 e A(3x) = (3x)2 = 9x2. 
É importante que o professor preste bastante atenção no problema 
e não saia generalizando situações sem uma boa refl exão. Lembre-se de 
que a proporcionalidade deve atender a duas condições, e não apenas 
ao fato de a função ser crescente.
ATIVIDADE
5. Construa o gráfi co da função A(x) = x2 no domínio dos reais positivos.COMENTÁRIO 
Verifi que que não se trata nem de uma reta que passa pela origem nem 
de uma hipérbole.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J240
A lei da gravitação universal de Newton afi rma que dois corpos, de massas m1 e m2, 
respectivamente, situados a uma distância d um do outro, atraem-se segundo uma 
força cuja intensidade F é proporcional a essas massas e inversamente proporcional 
ao quadrado da distância entre eles, isto é, F(d) = k m1 . m2
d2
, onde a constante 
k depende do sistema de unidades utilizado.
ATIVIDADE FINAL
Observe as fórmulas a seguir e faça uma discussão sobre proporcionalidade a 
respeito de cada variável envolvida.
P(r) = 2πr, onde P é o perímetro da circunferência e r é a medida do raio.
A(r) = πr2, onde A é a medida da área do círculo e r é a do raio.
V(a) = a3, onde V é a medida do volume do cubo e a é a medida da aresta.
F(d) = k
m1 . m2
d2
, onde F é a forma gravitacional universal, K = 6,67x10–11 Nxm2/kg2 
constante, m1 e m2 são as respectivas massas das partículas em Kg, e d é a distância 
em metros entre as mesmas.
!
|F| |F|
d
CONCLUSÃO
O conceito de proporcionalidade é muito importante na Matemática; por 
isso, é necessário um bom entendimento da definição. Assim, definimos a 
proporcionalidade de forma não-usual aos livros didáticos do Ensino Fundamental, 
já que uma vez entendido com bastante clareza este conceito, todos os problemas 
relativos à regra de três e às proporções se resolvem de forma mais natural.
Investigar e analisar bem o problema vai fazer com que você o amadureça e o 
entenda de verdade. Verifi que sempre as duas condições e não se deixe enganar 
pela monotonicidade (estritamente crescente ou estritamente decrescente) da 
função envolvida.
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C E D E R J 241
R E S U M O
O estudo da proporcionalidade requer um pouco mais de atenção na defi nição 
do conceito. A investigação do problema é fundamental e deve ser bastante 
trabalhada.
Você trabalhou com a proporcionalidade direta, cujo modelo é dado por uma reta, 
e com a proporcionalidade inversa, modelado por uma hipérbole. O teorema da 
proporcionalidade complementou esse estudo, pois ele nos permite passar de um 
modelo de números naturais para números reais, e uma importante aplicação disso 
é o estudo de volume.
Discutimos a crença entre relacionar proporcionalidade direta e função crescente. 
Você viu que essa condição não é sufi ciente com o contra-exemplo do quadrado.
AUTO-AVALIAÇÃO
Durante esta aula, você conheceu duas importantes funções que modelam 
problemas de proporcionalidade: a função linear e a função hiperbólica, esta já 
trabalhada na Aula 17, as duas com restrição no seu domínio.
Sempre que julgar necessário, utilize tabelas, com quantos valores desejar. O 
importante é que você investigue aquilo que ainda lhe causa dúvidas. A Atividade 
3 é um bom exemplo disso. A Atividade Final envolve tudo visto na aula; por isso, 
faça com atenção, escreva antes todos os resultados desta aula e, sempre que 
precisar, volte às atividades anteriores. 
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, vamos abordar o ensino de expressões algébricas.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J242
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
Solução do problema proposto no início da aula:
Vamos retomar o problema da lebre e do cachorro.
Observe que um pulo da lebre corresponde a 2
3
 de um pulo do cachorro.
Quando começam a pular, a dianteira será 50 . 2
3
 = 100
3
.
No momento em que alcançar a lebre, quantos pulos terá dado cada um?
O cachorro terá dado x pulos; a lebre terá dado 2
3
 . 2
3
x = 8
9
x pulos.
Nesse momento, a distância percorrida pelo cachorro (medida em pulos) é igual 
àquela percorrida pela lebre mais a dianteira que ela levava no princípio. Assim:
x = 8
9
x + 100
3
.
Concluímos, então que x = 300.
Portanto, dando 300 pulos, o cachorro alcança a lebre.
Atividade1
a. Sim, pois, aumentando a massa, aumenta-se o volume e k. m → k. V. Veja:
3m → 3V, 5m → 5V e 10m → 10V.
b. Vamos marcar os pares (0,8, 1), (2,4, 3), (4, 5) e (8, 10).
0
0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4 7,2 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
U
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20
 
C E D E R J 243
c. Observe que a razão m
V
 é constante: 0,8
1
 = 2,4
3
 = 4,0
5
 = 8,0
10
 = 0,8. Essa constante é 
chamada de densidade. Temos a equação m
0,7
 = 0,8, logo, m = 0,7 . 0,8 = 0,56 Kg.
d. Procedemos da mesma forma como foi feito no item c, só que a informação 
dada é a massa; logo, 3,2
V
. Resolvendo, temos V = 3,2 ÷ 0,8 = 4 L. Usando a tabela, 
veja como fi ca:
m (Kg) 0,8 2,4 4,0 8,0 0,8 x 4 = 3,2
V (L) 1 3 5 10 1 x 4 = 4
Atividade 2
 Neste caso, a área é dada por A = 5 . h. O gráfi co é uma semi-reta, parte do gráfi co 
da função linear y = 5x, de domínio ]0, +∞[.
Para chegar ao 3,2, 
multiplica-se por 4.
Para chegar ao 3,2, 
multiplica-se por 4.
5
A
1 b
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e 
 proporcionalidade
C E D E R J244
Atividade 3
Base Altura Base Altura
1 12 0,004 3.000
2 6 0,1 = 110 120
3 4 0,5 = 12 24
4 3 1.2 10
6 2 2 6 2
12 1 2 3 = 12 2 3 = 12
36 13 4,8 2,5
120 0,1 12,5 0,96
n 12n 144
1
12
Atividade 4
Comprimento: 500cm = 5m.
Largura: 200cm = 2m.
São grandezas diretamente proporcionais.
lei: y = 40x, onde x é a dimensão na miniatura e y a dimensão real.
Atividade 5
É uma função crescente no 
domínio dos reais positivos, mas 
não é uma reta. Observe que:
A(x) = x2.
A(nx) = n2x2, não atendendo às 
condições da proporcionalidade 
direta nem da inversa.
0 1 2 3 4 5 6 7
x
5
10
15
20
y
A
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20
 
C E D E R J 245
Atividade Final
O perímetro é diretamente proporcional ao raio, pois P(nr) = 2π(nr) = n(2πr) = 
nP(r).
A área do círculo não é proporcional (nem direta nem inversamente) ao raio. 
A(nr) = π(nr)2 = n2A(r).
O volume do cubo não é proporcional (nem direta nem inversamente) à medida 
da aresta, V(na) = (na)3 = n3a3 = n3V(a).
A força gravitacional F não é proporcional (nem direta nem inversamente) à 
distância entre as partículas F(nd) = km1 . m2
(nd)2
 = km1 . m2
d2
. 1
n2
 = 1
n2
F(d).
Entretanto, dizemos que:
• a medida da área do círculo é proporcional ao quadrado da medida do raio;
• a medida do volume do cubo é proporcional ao quadrado da medida da 
aresta;
• a força gravitacional é proporcional ao inverso do quadrado da distância 
(isso também ocorre com a força elétrica e com a força magnética).
C E D E R J 247
Instrumentação do Ensino 
de Aritmética e Álgebra
Re
fer
ên
cia
s
248 C E D E R J
Aula 11
BAIRRAL, Marcelo et al. (coord.) Réguas de Cuisenaire: Um jeito diferente e prazeroso 
de aprender Matemática. V Ciclo de Ofi cinas “Do Lúdico ao Sério em Matemática”. 
UFRRJ/DPTE-IE, fev./2003. Apostila.
Boletim Especial do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (Gepem). 
Número 42: Educação Algébrica, fev./jul.2003. Vários autores.
FALZETA, Ricardo. Réguas de Cuisenaire: O arco-íris de faz de contas. Revista Nova 
Escola. São Paulo. Editora Abril. 
GATEGNO, Caleb. The common sense of teaching mathematics. Nova Iorque: 
Educational Solutions, 1974.
POWELL, Arthur. Seminário de Pesquisa em Educação Matemática. Rio de Janeiro: 
GEPEM,MEM/USU, 1996.
SKOVOSMOSE, Ole. Cenários de Investigação. BOLEMA. Rio Claro-SP, 2001.
Aula 12
CHEMALE, E. H e KRUSE, F. Curiosidades Matemáticas. Novo Hamburgo: FEVALE, 
1999.
GOMICE, E. F e ROCHA, J. C. Atividade de Laboratório de Matemática. São Paulo: 
CAEM, 2003.
GONÇALVES, R. e FIGUEIREDO, L. F. Álgebra 1. Volume 1, 1ª edição. Rio de 
Janeiro: CEDERJ, 2004.
LOVE, E. (1994). Matemátics Teachers´ Accounts Seen as Narratives. In L. Bazzini 
(Ed.), Proceedings of the ‘Filth International Conference on Systematic Cooperation 
BetweenTheory and Practise in Mathematics Education’. Grado, Italia.
MILIES, F. C. P. Números: Uma introdução a Matemática. São Paulo: Edusp, 1998.
PONTE, J. P.; BROCADO, J. e OLIVEIRA H. Investigações Matemáticas em sala de 
aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
<http://illuminations.nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28>, Acesso em 15 de fevereiro 
de 2005.
C E D E R J 249
Aula 13
KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas, implicações na teoria de Piaget. 
São Paulo: Papirus, 1995.
MARANGON, Cristiane. Um jogo para treinar o cálculo mental: um tabuleiro com 
36 peças com números positivos e negativos. Disponível em: <http://revistaescola.ab
ril.com.br/edicoes/0177/aberto/faca.shtml>. Acesso em: 07 abr. 2005.
NENO, Silvianne. A matemática do pega-varetas: um jogo simples e divertido para 
ensinar o conceito de divisibilidade. Revista Nova Escola, São Paulo, Fundação Victor 
Civita, p.10-11, mar. 2000. 
ROCHA, Tânia; BORGES, Heloisa. Jogos matemágicos. Belo Horizonte: Editora do 
Brasil, 1992. (Coleção ludo-aprendizagem)
ZASLAVSKY, Cláudia. Jogos e atividades matemáticas do mundo inteiro. São Paulo: 
Artmed, 2000.
Aula 15
BOYER, Carl. História da matemática. 9.ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. 488 p.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 3.ed. São Paulo: Unicamp, 
2002. 844p.
FRAGOSO, Wagner da Cunha. Equações do 2º grau: uma abordagem histórica. 2.ed. 
Rio Grande do Sul: Unijuí, 1999.
PRANDIANO: matemática aplicada à vida. Pequeno dicionário etimológico. Disponível 
em: <http://www.prandiano.com.br/html/fr_dic.htm>. Acesso em: 09 mar. 2005.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 2000. n. 43. 
Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm105/bhaskara.htm>. Acesso 
em: 09 mar. 2005.
250 C E D E R J
Aula 16
IMENES, Luiz Márcio. Matemática para todos: 7a série, 4o ciclo. São Paulo. Scipione, 
2002.
______. Matemática para todos: 8a série, 4o ciclo. São Paulo. Scipione, 2002.
Aula 17
CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Gradiva. Lisboa, 1998.
FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo. Makron, 1992.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E. e MORGADO, A. C. A Matemática 
do Ensino Médio – volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: 
SBEM, 1998.
http://www.mat.uc.pt/~me0203/LivroWebAM/funcoes_grafi cos.html#determinando
valoresfuncoes
Aula 18
ALEGRIA Matemática: sequências de Fibonacci e aplicações. Disponível em: <http:
//pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fi bonacci/seqfi b2.htm>. Acesso em: 08 
abr. 2005.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e tecnológica. 
Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio: matemática. Brasília, DF: 
MEC/SEMT, 1998. p. 42.
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 
1998. v. 2.
 MATEMÁTICA Essencial: ensino fundamental , médio e superior. Disponível em: 
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica>. Acesso em: 8 abr. 2005.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 1998. n. 37.
VAZ, Ana Lucia et al. Funções I. Rio de Janeiro: Colégio Pedro II, 2002.
C E D E R J 251
Aula 19
BAIRRAL, Marcelo A.; SILVA, Miguel Ângelo da. Instrumentação para o ensino de 
geometria. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2004.
______; GIMÉNEZ, Joaquin. Geometria para 3º e 4º ciclos pela internet. Seropédica: 
EDUR, 2004.
______; CARPI, Angela M. Jogar e desenvolver competências em matemática. Pátio 
Revista Pedagógica, Porto Alegre, n. 24, p. 32-35, nov./jan. 2002.
______. Movendo discos, construindo torres e matematizando com futuros professores. 
Boletim GEPEM , Rio de Janeiro, n. 38, p. 95-110, fev./2001.
BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares 
Nacionais: matemática. Brasília,DF: MEC/SEF, 1997.
D`AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas,SP: 
Papirus, 1996.
FERRERO, Luis. El juego y la matemática. Madrid: La Muralla, 1991.
FIGUEIREDO, Luiz Manoel; GONÇALVES, Adilson. Álgebra I. Rio de Janeiro: 
Fundação CECIERJ, 2004.
GIMÉNEZ, Joaquin; ROSICH, Nuria. Jugand amb les matemàtiques de la diversitat. 
Barcelona: Universitat Oberta de Catalunya, 1998.
GRANDO, Regina Célia. A construção do conceito matemático no jogo. Revista de 
Educação Matemática da SBEM-SP. São Paulo, n. 3, p. 13-17, 1997.
LINS, Romulo C.; GIMÉNEZ, Joaquin. Perspectivas em aritmética e álgebra para o 
século XXI. Campinas,SP: Papirus, 1997.
POWELL, Arthur B. A tomada da consciência da matematizaçao. Rio de Janeiro: 
MEM/USU, 1996.
______; LÓPEZ, J.A. A estrita como veículo de aprendizagem da matemática: estudo 
de um caso. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n. 33, p. 9-41, 1995.
SANTOS, Vânia M.P. (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática: 
métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM/UFRJ, 1997.
SHOKRANIAN, Salahoddin. Números notáveis. Brasília: Ed. UnB, 2002.
252 C E D E R J
TINOCO, Lúcia et al. Construindo o conceito de função no 1º grau. Rio de Janeiro: 
UFRJ, 1996.
BOGOMOLNY, Alexander. Tower of Hanói. Disponível em: <http://www.cut-the-
knot.com/recurrence/hanoi.html>. Acesso em: 8 abr. 2005.
THE TOWERS of Hanói. Disponível em: <http://obelix.ee.duth.gr/~apostolo/
TowersOfHanoi/>. Acesso em: 8 abr. 2005.
Aula 20
CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Gradiva. Lisboa, 1998.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E. e MORGADO, A. C. A Matemática 
do Ensino Médio – volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: 
SBM, 1998.
Revista do Professor de Matemática, 9. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 
1994.
<http://www.mat.uc.pt/~me0203/LivroWebAM/funcoes_grafi cos.html#determinando
valoresfuncoes>. Acesso em 1 de Março de 2005.
<http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap1.pdf>. Acesso em 1 de Março 
de 2005.
Leonard Euler. <http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/
Euler.html>. Acesso em 2 de Março de 2005.
Instrumentação do Ensino 
da Aritmética e Álgebra
M
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tic
o
C E D E R J 255
Aula 11
5
1
1
1
1
1 1
2
2
2
1
4
3
= branca / marfi m (unidade)= 
C E D E R J 257
a
b
B
b
b
b
b
V V
v
b
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c
= branca / marfi m (unidade)= 
C E D E R J 259
C E D E R J 261
Aula 13
0 
x 
8 
=
 
1 
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0
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2x
2x
2x
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6 
=
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 =
4 
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4 
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20
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 4
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8 
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8 
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4 
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16
 =
C E D E R J 263
0 
 
 
 
0
1 
 
 
 
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5
6 
 
 
 
6
5–
5
30
1+
1
5–
3
9:
3
41
9
√√
22
7+
2–
4
(1
2–
2)
:2
32
–3
0.
8
2
9/
9
90
–8
7
10
0–
98
31
+
1
18
:6
32
–4
16 √√
25
–1
9
34
.0
3
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:1
48
:1
2
21
10
:2
36
:1
42
–6
0
4
1.
1
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/6
30
:1
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1+
2
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3
1.
1
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0
6
C E D E R J 265
2 9 7 4 6 8 7 5 9
5 4 3 8 9 1 2 5 4
8 7 6 3 5 4 9 2 7
6 2 5 7 8 7 6 4 3
8 7 3 6 4 1 2 5 1
2 4 8 5 9 7 6 8 5
7 3 2 1 5 4 5 7 3
5 8 7 2 8 7 6 9 8
8 4 5 6 7 3 6 5 3
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