CRESCIMENTO EXPONENCIAL

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Crescimento exponencial
Considere os dados populacionais mostrados na tabela 6. Para observar como a popu-
lação está crescendo, compute a variação da população na terceira coluna.
Tabela 6
Se a população estivesse crescendo linearmente em função do tempo, os números
da terceira coluna seriam iguais. No entanto, as populações costumam crescer mais
depressa à medida que ficam maiores, pois há mais indivíduos para se reproduzirem.
Se dividirmos a população de cada ano pela população do ano anterior vamos
notar que o fator de crescimento da população se mantém praticamente constante.
Utilizando duas casas decimais, teremos (tabela 7):
Variação da população (milhões)
–
Ano
1990
1991
1992
1993
1994
1995
População
53.400.000
56.604.000
60.000.240
63.600.250
67.416.270
71.461.250
Tabela 7
Sempre que se tem fator de crescimento constante, tem-se crescimento exponencial.
O fator de crescimento é o número pelo qual temos que multiplicar o valor de
uma variável dependente para obtermos a variação correspondente ao acréscimo de
uma unidade na variável independente.
Por exemplo, na tabela 7, cada vez que a variável “Ano” aumenta 1 unidade, a
variável “População” é multiplicada por 1,06 (cresce pelo fator 1,06).
No crescimento exponencial, o fator de crescimento é constante.
Ano
1990
1991
1992
1993
1994
1995
População
53.400.000
56.604.000
60.000.240
63.600.250
67.416.270
71.461.250
Variação da população (milhões)
–
1,06
1,06
1,06
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TP2 - Matemática nos Esportes e nos Seguros - Parte I
Construção do conhecimento matemático em ação: modelos
matemáticos, funções lineares e exponenciais, juros e valor esperado
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Juros compostos
Quando o dinheiro é aplicado a juros compostos, os juros obtidos a cada novo período
são incorporados ao capital, formando um novo montante que passará a participar da
geração de juros no período seguinte (conforme vimos na Unidade 4 do TP 1). Dessa
forma, os juros incidem não apenas sobre o capital inicial, mas também sobre os juros
que vão sendo acumulados. Por exemplo, se temos 100 reais aplicados à taxa de juros
de 3% ao mês, esses 100 reais crescem da seguinte forma (tabela 8):
Tempo (em meses)
0
1
2
3
Valor (em reais)
100
100 + (3% de 100) = 103
103 + (3% de 103) = 106,09
106,09 + (3% de 106,09) = 109,27
Tabela 8
Se dividirmos o valor de um mês pelo valor do mês anterior, vemos que o fator de
crescimento é de 1,03 (tabela 9):
Tempo (em meses)
0
1
2
3
Valor (em reais)
100 (1,03)0
100 (1,03)1
100 (1,03)2
100 (1,03)3
Tabela 9
Esse número (1 + taxa) pelo qual devemos multiplicar um valor para obter o valor
do período seguinte é chamado fator de capitalização.
Articulando conhecimentos:
 Juros compostos e funções exponenciais
No sistema de juros compostos, o valor em dinheiro cresce exponencialmente. O
fator de crescimento da função exponencial é o equivalente, no contexto dos juros
compostos, ao fator de capitalização.
A operação de multiplicar uma quantia de dinheiro pelo fator de capitalização
sucessivas vezes para saber seu valor em períodos futuros se chama capitalizar.
Do mesmo modo, para saber a quanto equivale hoje uma quantia de dinheiro
futura, devemos fazer a operação inversa, isto é, dividir pelo fator de capitalização
sucessivas vezes. Essa operação se chama descapitalizar.
Na atividade 2 da situação-problema desta unidade você teve que descapitalizar o
valor de R$1.997.000,00 por um período (um ano), considerando uma taxa de 10% ao
ano. O resultado foi:
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Agora vamos ver como faríamos para descapitalizar por períodos maiores.
A que valor equivaleria hoje uma quantia de R$1.000,00 a ser recebida daqui a 4
meses, considerando a taxa de juros de 3% ao mês?
Em outras palavras, que quantia de dinheiro x, ao render 3% ao mês no sistema de
juros compostos por 4 meses, resultaria em R$1.000,00?
Veja que isso equivale a dividir R$1.000,00 pelo fator de capitalização quatro
vezes, cada uma correspondendo a um período de um mês.
Atividade 13
a) Se cobrarmos juros de 2% ao mês sobre R$250,00 no sistema de juros compostos,
quanto teremos após 5 meses?
b) Qual a diferença entre esse valor e o que você encontrou na atividade 12, em que a
mesma taxa de juros foi aplicada ao mesmo capital pelos mesmos 5 meses, mas no
sistema de juros simples?
c) Qual seria essa diferença entre os dois sistemas, se o período de tempo de aplicação
for de 10 meses?
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Construção do conhecimento matemático em ação: modelos
matemáticos, funções lineares e exponenciais, juros e valor esperado
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O gráfico 10 mostra como o valor de R$250,00 aumenta, nos dois sistemas. A
linha verde mostra o sistema de juros compostos, e a linha azul mostra o sistema de juros
simples. Observe que, apesar de no início a diferença ser pequena, esta cresce rapida-
mente conforme o tempo passa.
Gráfico 10
Atividade 14
Estamos no mês de julho e esperamos receber R$500,00 de 13o salário no mês de
novembro. Considerando que a taxa de juros atual é de 3,3% ao mês, a quanto essa
quantia equivaleria hoje?