28_PDFsam_2Livro Matemática Financeira

Prévia do material em texto

Matemática Financeira26
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10 . 2)
F = R$ 1.200,00
R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
R$ 1.210,00 R$ 1.200,00
1 12 2
Banco A Banco B
No Banco B o investidor terá, ao final de dois anos, R$ 1.200,00.
Comparando as duas propostas, nota-se que a proposta do Banco A – que permite que os 
recursos sejam resgatados e reaplicados – é a mais interessante para o investidor.
Essa diferença entre os dois investimentos, que rendem à mesma taxa, chegando a valores 
diferentes no futuro, é característica dos juros simples, quando existe possibilidade de reinvesti-
mento e o problema pode ser solucionado ao utilizar os juros compostos.
2.2 Formulando juros compostos
A formulação que considera os juros compostos faz com que o montante seja 
corrigido, baseado no saldo do período anterior. É importante lembrar que nos juros 
simples, os juros incidiam apenas sobre o saldo original, já nos juros compostos, eles 
incidem também sobre os juros acumulados.
No regime de juros compostos, há juros sobre juros. Isso ocorre porque os ju-
ros incidem não apenas sobre o valor original, mas também sobre os juros que já estão acumulados.
Para melhor compreensão, pode-se retomar o problema enfrentado pelo investidor que po-
deria decidir entre dois diferentes tipos de investimentos e possui R$  1.000,00 disponíveis para 
aplicação. Porém, agora ele pretende aplicar por um período de tempo maior, nesse caso, por 10 anos.
Calcula-se o valor futuro da aplicação a cada ano. Primeiro considera-se o valor que o inves-
tidor terá após um ano.
F1 = P . (1 + i)
F1 = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10)
F1 = R$ 1.100,00
Com base no saldo que o investidor dispõe após um ano, calcula-se o saldo no período dois. 
Observe que o valor presente corresponde ao valor futuro do período anterior.
F2 = F1 . (1 + i)
F2 = R$ 1.100,00 . (1 + 0,10)
Vídeo
Juros compostos 27
F2 = R$ 1.210,00
Calculando o período três:
F3 = F2 . (1 + i)
F3 = R$ 1.210,00 . (1 + 0,10)
F3 = R$ 1.331,00
Agora, em vez de continuarmos aplicando a equação para todos os períodos, é possível 
generalizá-la:
F1 = P . (1 + i) = P . (1 + i)1
F2 = F1 . (1 + i) = [P . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)2
F3 = F2 . (1 + i) = [P . (1 + i) . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)3
Pode-se verificar que todos os valores futuros (F1, F2 e F3) são escritos como o produto do 
valor presente do investimento pelo fator de capitalização (1 + i) elevado ao período. Dessa forma, 
pode-se desenvolver essa expressão da seguinte maneira:
Fn = P . (1 + i)n
Essa é a expressão dos juros compostos. A cada período, o capital que existia no período 
anterior é multiplicado por (1 + i). Assim, após n períodos, o valor total da aplicação será o valor 
originalmente aplicado multiplicado por (1 + i) em cada um dos períodos.
Com a expressão generalizada, pode-se responder quanto o investidor terá após 10 anos.
F10 = P . (1 + i)10
F10 = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10)10
F10 = R$ 2.593,74
2.2.1 Fator de capitalização e fator de desconto
O valor futuro após n períodos de tempo é dado pelo produto do valor presente (P) pelo 
fator (1 + i)n. Este fator, (1 + i)n, é chamado de fator de capitalização, pois o valor presente foi 
capitalizado para dar origem a um valor futuro (F). Pode-se, então, trazer um valor futuro a valor 
presente dividindo-o por (1 + i)n.
P = F / (1 + i)n
Em outras palavras, é possível multiplicar o valor futuro (F) por 1/(1 + i)n. Dessa maneira, 
o fator 1/(1 + i)n é chamado de fator de desconto. Observe que, se multiplicado o valor futuro (F) 
por 1/(1 + i)n é obtido o valor presente (P). Em resumo, o fator de desconto faz com que o valor 
futuro seja trazido a valor presente.
Moacir aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança, e depois de 12 meses 
o fator de capitalização era igual a dois. Calcule a taxa de juros ao mês 
nesse período.
Matemática Financeira28
O diagrama de fluxo é apresentado da seguinte maneira:
R$ 100,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F = P . (1 + i)12
Como o fator de capitalização é igual a 2, sabe-se que o valor futuro será o dobro do valor 
presente: F = 2 . P e, ainda:
(1 + i)n = 2
(1 + i)12 = 2
Para resolver essa expressão, é necessário elevar cada um dos dois lados a 1
12
:
[(1 + i)12]
1
12 = 2
1
12
Como o termo (1 + i) está elevado a duas potências, multiplica-se uma pela outra. Como o 
produto de 12 por 1
12
 é um, tem-se:
(1 + i) = 2
1
12
i = 2
1
12 – 1 = 0,0595
i = 5,95%
Portanto, a taxa de juros da caderneta de poupança nesse período foi de 5,95% ao mês.
2.3 Comparando juros simples e juros compostos
Retomando o exemplo do investidor com R$ 1.000,00 disponíveis, será ve-
rificado o que ocorre com seu capital quando são considerados os juros simples e 
juros compostos. Lembre-se de que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o investi-
mento é feito por um prazo de 10 anos.
Juros Simples Juros Compostos
Período Juro Valor Futuro Juro Valor Futuro
0 R$ 0,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00
1 R$ 100,00 R$ 1.100,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2 R$ 100,00 R$ 1.200,00 R$ 110,00 R$ 1.210,00 
3 R$ 100,00 R$ 1.300,00 R$ 121,00 R$ 1.331,00
4 R$ 100,00 R$ 1.400,00 R$ 133,10 R$ 1.464,10
5 R$ 100,00 R$ 1.500,00 R$ 146,41 R$ 1.610,51
Vídeo
(Continua)