AOL 2 Cálculo Integral

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AOL 2 Cálculo Integral 
1. Pergunta 1 
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Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e 
cosseno, vimos que as derivadas alternam entre senos e cossenos, seguindo 
um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma função cosseno 
duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na 
segunda, novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o 
cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples. 
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com 
base nos seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação 
geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3. 
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto 
onde x = 0, é igual a 0. 
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* 
cos(cos(2sen(3x))). 
IV. ( ) f’’(x) = -f(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
2. 
V, F, V, V. 
3. 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
V, V, F, F. 
2. Pergunta 2 
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A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para 
a resolução de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de 
indeterminações, apenas derivando o numerador e o denominador de uma 
função que é escrita em forma de razão. 
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e 
com base nos seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental 
trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5. 
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2. 
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1. 
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, F. 
2. 
V, F, V, F. 
3. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
F, F, V, V. 
3. Pergunta 3 
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Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, 
podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado 
dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No 
Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos 
limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a 
algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam 
indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas 
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das 
funções para o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a 
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma 
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia 
gerar respostas incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, e IV. 
2. 
III e IV. 
3. 
I, II, III. 
4. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
I, II, III e IV. 
4. Pergunta 4 
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O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para 
encontrar retas tangentes e taxas de variações. Derivar funções 
trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no 
Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos 
nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos simples e de 
correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca 
das derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas 
respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 1, 2, 3. 
2. 
2, 1, 3, 4. 
3. 
1, 3, 2, 4. 
4. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. 
4, 2, 1, 3. 
5. Pergunta 5Crédito total dado 
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No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de 
uma função ser o domínio de outra, e a notação que temos para descrever 
esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe 
uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em 
que derivamos f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e 
multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = f’(g(x))*g’(x). 
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus 
conhecimentos sobre derivadas de funções circulares, analise as afirmativas 
a seguir: 
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5). 
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem 
derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)). 
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x). 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
Resposta correta 
2. 
II e III. 
3. 
II, III e IV. 
4. 
I e III. 
5. 
II e IV 
6. Pergunta 6 
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De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e 
a derivada são operações contrárias. As integrais indefinidas são 
extremamente importantes para a determinação da função primitiva F(x), 
que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, 
da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais 
definidas, analise as afirmativas a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas 
para o problema de função primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
2. 
I, III e IV. 
3. 
II e III. 
4. 
I, II e III. 
Resposta correta 
5. 
II, III e IV. 
7. Pergunta 7 
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A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites 
específicos. Ela auxilia no entendimento de algumas funções e na eliminação 
de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao substituir os valores de x 
de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos 
expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra 
de L’Hospital e suas propriedades, analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a 
indeterminação 0/0 ou infinito/infinito ainda estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as 
resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV. 
2. 
II e III. 
3. 
I, II e III. 
Resposta correta 
4. 
I, II e IV. 
5. 
I e II. 
8. Pergunta 8Crédito total dado 
/1 
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como 
aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar 
muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático 
deduzir todos os resultadosdecorrentes da manipulação de funções 
trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem 
como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em 
indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite 
fundamental trigonométrico e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a 
seguir. 
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. 
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). 
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. 
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II, III e IV. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
I e IV. 
9. Pergunta 9 
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Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações 
são inversas. Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) 
é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema Fundamental 
do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, 
um coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da 
função, enquanto a integral representa a área sob a curva do gráfico da 
função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema 
Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 
4e^(2x) + 6 − sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos 
a expressão obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o 
gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
I e II. 
3. 
I e III. 
4. 
II e IV. 
5. 
II e III. 
10. Pergunta 10 
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Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de 
cálculo integral, já que este valor possui um significado prático para análise 
da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de 
variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação 
referente a outra função ou algo similar, o que implica na possibilidade de 
se aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral 
indefinida, pode-se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é 
relevante porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
2. 
vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
3. 
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
4. 
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou 
seja, a função que a gerou. 
Resposta correta 
5. 
passa a ser possível derivar outros tipos de funções.