AOL 04 CI

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Pergunta 1 -- /1
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na 
identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de 
serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de 
substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I. 
integral fraction numerator x minus 1 over denominator x squared minus x squared minus 2 x end 
fraction d x
 pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II.  integral left parenthesis x squared plus 2 right parenthesis to the power of 32 space 2 x space d x pode 
ser resolvida pelo método de substituição u du.
III. 
integral fraction numerator cos open parentheses x close parentheses over denominator s e n open 
parentheses x close parentheses end fraction d x
é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV. 
integral fraction numerator square root of 4 minus x squared end root over denominator x squared end 
fraction d x
 pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
III e IV.
I, II e III.
II e IV.
Resposta corretaI, II e IV.
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II, III e IV.
Pergunta 2 -- /1
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução 
daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e 
antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral por 
partes.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo 
com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Orientar-se pelo LIATE.
( ) Determinação de du e v.
( ) Identificar os tipos de funções.
( ) Substituição do u e dv.
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
3, 4, 2, 1, 5.
Resposta correta2, 4, 1, 3, 5.
5, 2, 3, 4, 1.
2, 4, 1, 5, 3.
2, 1, 3, 4, 5.
Pergunta 3 -- /1
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O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração 
de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método 
consiste em substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma 
identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições 
trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da substituição 
trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w).
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), temos que 
√(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula 
inicial e integrando, encontramos a expressão dada.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta corretaAs asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
Pergunta 4 Crédito total dado -- /1
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral indefinida, onde 
muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa 
forma, dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de 
integração, como o método da substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo método de 
integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por partes, por se 
tratar do produto de duas funções.
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II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
integral f left parenthesis x right parenthesis space g space apostrophe left parenthesis x space right 
parenthesis d x space equals space f left parenthesis x right parenthesis space g space left parenthesis x 
right parenthesis space minus integral g left parenthesis x right parenthesis space f apostrophe left 
parenthesis x right parenthesis d x plus C
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta corretaF, V, V, V.
F, F, V, F.
Incorreta: V, V, F, F.
V, F, F, V.
F, V, F, V.
Pergunta 5 -- /1
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados 
matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações 
parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais 
por frações parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais 
ou fazer alguma outra substituição para sua resolução.
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações 
parciais, as quais são mais fáceis de se integrar.
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações 
parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
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III e IV.
I e III.
II e III.
Resposta corretaI, II e IV.
Pergunta 6 -- /1
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que 
diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de 
integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores 
são fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Aintegral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da 
integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, 
obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral 
da soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da 
I. 
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Pergunta 7 -- /1
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por nos possibilitar a 
encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do método da substituição, outra 
técnica de integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma função e a 
separamos em duas partes para acharmos sua integral indefinida.
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo com seus 
conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação.
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de v.du.
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a derivação.
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da integral indefinida de 
uma função.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI e II.
I, II e III.
II e III.
II e IV.
I, e IV.
Pergunta 8 -- /1
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais 
complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os 
itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
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4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta4, 1, 2, 3.
1, 2, 4, 3.
2, 1, 3, 4.
1, 2, 3, 4.
3, 4, 2, 1.
Pergunta 9 -- /1
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma de seus 
integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão dentro das integrais. Certos tipos de métodos só 
são aplicáveis a integrandos específicos, como é o caso do método de integração por substituições 
trigonométricas.
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições trigonométricas, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( )  square root of a squared minus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
II. ( )  square root of a squared plus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
III. ( )  square root of x squared minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
IV. ( )  square root of x cubed minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por 
substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
F, F, V, F.
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V, F, F, V.
V, V, F, F.
Resposta corretaV, V, V, F.
F, V, F, V.
Pergunta 10 -- /1
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas 
assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros 
conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos 
vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas 
funções é relevante para a integração por partes porque:
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
ambas são axiomas da matemática.
Resposta correta
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do 
método de integração por partes.
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por 
partes.
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos