AO4 calculo integral

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Pergunta 1 -- /1
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se 
substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo 
Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 4, 3, 2.
2, 3, 1, 4.
2, 1, 3, 4.
1, 3, 2, 4.
Resposta correta1, 4, 2, 3.
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Pergunta 2 -- /1
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que 
aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais 
fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função 
dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a 
integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta:
Resposta corretaAs asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
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Pergunta 3 -- /1
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir 
evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas 
das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método da integração por substituições 
trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que:
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
Resposta corretaf(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
Pergunta 4 -- /1
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O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas 
em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores 
são fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta 
entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 
2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
Resposta corretaAs asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Pergunta 5 -- /1
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Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de 
algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os 
passos para a utilização desse método de integração:
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais.
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial.
( ) Substituir os valores nas integrais.
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações.
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
2, 4, 1, 5, 3.
2, 1, 3, 4, 5.
Resposta correta5, 1, 4, 2, 3.
3, 4, 2, 1, 5
5, 2, 3, 4, 1.
Pergunta 6 -- /1
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A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições 
inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos 
vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
Resposta corretafunciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes.
ambas são axiomas da matemática.
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
Pergunta 7 -- /1
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre 
curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
1.png
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Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2.
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
integral subscript 1 superscript 2 x squared plus 1 space d x space minus space integral subscript 1 superscript 2 2 space d x
IV. ( ) É possível a determinaçãodessa área hachurada com apenas uma integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, V.
F, V, F, F.
Resposta corretaF, V, V, F.
V, F, V, F.
F, F, V, V.
Pergunta 8 -- /1
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O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e 
comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de 
integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da 
igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos de du e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
Resposta corretaI, II e III.
I, II e IV.
II e III.
II e IV.
Pergunta 9 -- /1
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Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão dentro 
das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a integrandos específicos, como é o caso do método de integração por substituições trigonométricas.
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) square root of a squared minus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
II. ( ) square root of a squared plus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
III. ( ) square root of x squared minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
IV. ( ) square root of x cubed minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta corretaV, V, V, F.
V, F, F, V.
F, V, F, V.
F, F, V, F.
V, V, F, F.
Pergunta 10 -- /1
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Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente 
solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 2, 3, 4.
Resposta correta4, 1, 2, 3.
1, 2, 4, 3.
2, 1, 3, 4.
3, 4, 2, 1.