AOL 4 - CÁLCULO INTEGRAL (2)

Prévia do material em texto

AOL 4 – CÁLCULO INTEGRAL 
 
1. Pergunta 1 
/1 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz 
respeito à integração de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem 
em tabelas de integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por uma 
função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica a 
expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração 
por substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta 
entre elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo 
método da substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 
2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = 
tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a 
expressão dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta correta 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I 
4. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
5. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
Pergunta 2 
/1 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz 
respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que 
aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em 
duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se 
derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração 
por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + 
C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv 
= cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por 
partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada 
a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado 
para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
6. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
7. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
8. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I. 
Resposta correta 
9. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
10. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
 
 
Pergunta 3 
/1 
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma 
de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão dentro das integrais. 
Certos tipos de métodos só são aplicáveis a integrandos específicos, como é o caso do 
método de integração por substituições trigonométricas. 
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
II. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
III. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
IV. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
11. 
F, V, F, V. 
12. 
V, F, F, V. 
13. 
V, V, F, F. 
14. 
F, F, V, F. 
15. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
 
 
 
 
 
Pergunta 4 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a 
integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do 
cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para 
resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob 
uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de 
integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições 
trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a 
substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição 
para integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas 
substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões 
integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições 
trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
16. 
I e III. 
17. 
II e IV. 
18. 
I, II e IV. 
19. 
I, II e III. 
Resposta correta 
20. 
II e III. 
 
 
 
 
Pergunta 5 
/1 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por 
meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento 
de arcos de funções. 
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser 
definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais. 
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de revolução 
construído com eixo de rotação em x. 
III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma 
função. 
IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução 
construído com eixo de rotação y. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
21. 
V, V, F, F 
22. 
F, F, V, F. 
23. 
V, V, F, V. 
24. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
25. 
V, F, V, V. 
 
 
 
 
Pergunta 6 
/1 
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental 
importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do 
denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração 
por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser 
calculada pelo método da integração de frações parciais. 
Porque: 
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos 
essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-
1), para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
26. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
27. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II éuma justificativa 
correta da I. 
Resposta correta 
28. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
29. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
30. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
 
 
 
Pergunta 7 
/1 
A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais 
simples é a da integral de uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da 
área da região sob a curva. Os intervalos de integração da integral definida podem ser 
manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus 
conhecimentos acerca dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo 
o intervalo em subintervalos. 
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o 
trabalho dessa força é dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer 
que o trabalho dessa força é nulo para esse deslocamento. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
31. 
V, V, F, F. 
32. 
V, F, F, F. 
33. 
V, F, F, V. 
Resposta correta 
34. 
F, F, V, F. 
35. 
F, V, F, V. 
 
 
 
 
 
Pergunta 8 
/1 
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e 
comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, 
especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a 
determinação de uma área de interesse. 
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola: 
1.png 
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de 
integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um 
triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2. 
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2. 
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes 
integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
36. 
F, V, F, F. 
37. 
V, F, F, V. 
38. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
39. 
F, F, V, V. 
40. 
V, F, V, F. 
 
 
 
Pergunta 9 
/1 
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e 
complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de 
funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada 
do integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para 
resolução desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
41. 
F, F, V, V. 
42. 
V, V, F, F. 
43. 
V, F, F, F. 
44. 
V, V, V, F. 
45. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 10 
/1 
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, 
auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo 
conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de 
integração é o método conhecido como integral por partes. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
( ) Orientar-se pelo LIATE. 
( ) Determinação de du e v. 
( ) Identificar os tipos de funções. 
( ) Substituição do u e dv. 
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
46. 
3, 4, 2, 1, 5. 
47. 
2, 4, 1, 5, 3. 
48. 
2, 4, 1, 3, 5. 
Resposta correta 
49. 
2, 1, 3, 4, 5. 
50. 
5, 2, 3, 4, 1